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【50道解答题·专项集训】人教版数学八年级下册期中复习卷
1．如图，在 中，对角线AC，BD交于点O，过点B作 于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连结AF。
（1）求证：四边形ABEF是矩形。
（2）连结OF，若， ，求OF的长。
2．如图，四边形 BCD是平行四边形，AE⊥BC， F⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．
（1）求证：四边形 BCD是菱形；
（2）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE=2，求EC的长．
3．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB，交 AB 于点 D，过点 D 分别作 DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
（1）求证：四边形 DECF 为正方形；
（2）若 AC=6 cm，BC=8 cm，则四边形DECF 的边长为　 　.
4．直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标依次为A（﹣1，0），B（a，b），C（﹣1，5），D（c，d）
（1）当四边形ABCD是菱形时，求a，b，c，d应满足的条件；
（2）四边形ABCD是正方形时，求a，c的值；
（3）当点D在y轴上，且四边形ABCD是矩形时，求点D的坐标．
5．如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，，求这个矩形对角线的长．
6．已知求代数式的值.
7．四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠DAB，AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E点．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC=8，BD=6，求DE的长度．
8．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)四边形AFCD是什么特殊的四边形 请说明理由.
(2)填空：
①若AB=AC，则四边形AFCD是_______形.
②当△ABC满足条件______时，四边形AFCD是正方形.
9．如图所示，在四边形 ABCD 中，∠B= 90°， AB=3， BC=4， CD=12， AD=13，求四边形ABCD的面积．
10．如图，在中，，D，E分别是AB，BC的中点，，.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接DF交BC于点M，连接CD，若，，求DM，CD的长.
11．在解决问题“已知．求的值”时．聪聪是这样分析与解答的：
解：．
．
请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题：
（1）化简；
（2）若，求的值．
12．如图，在六边形ABCDEF中，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=120°，∠E=80°，求∠F的度数。
13．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BE=CF，AE与BF交于点G.
（1）求证：△ABE≌△BCF.
（2）连结AF，若点E是BC的中点，求tan∠AFG的值.
14．如图，矩形的对角线相交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
15．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.
16．已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简 .
17．在中，．回答下列问题：
（1）由勾股定理，易知______；
（2）如图，用尺规作图的方法作射线n交边于P，求线段的长．
18．已知实数a、b、c在数轴上的位置如下，化简|a|+|b|+|a+b|﹣﹣2．
19．已知实数a 满足 求 的值.
20．如图，等腰中，，，E点是的中点，分别过D，E作，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，求的长．
21．已知+（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，求ab﹣c的值.
22．如图，在四边形ABCD中，∠B=50°，∠C=110°，∠D=90°，AE⊥BC，AF是∠BAD的平分线，与边BC交于点F．
（1）求∠DAE的度数；
（2）∠EAF=　 　度．
23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？
24．（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理；
（2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积．
25．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为．
（1）边的长度为______，的取值范围为______．
（2）从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？
（3）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
26．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，该n边形的周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．
27．已知：如图，四边形是平行四边形，上的一点，且分别平分，交于点．
（1）求证：；
（2）如果，那么 的面积是多少？
28．如图， 在四边形 中， 为边 上一点， 连结 ， 相交于点 ， 且 ， 连结 ．
（1）求证： 四边形 是平行四边形．
（2） 取 的中点 ， 连结 ， 若 ， ， 求四边形 的面积．
29．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，　 　（填写序号）．
求证：四边形DEBF是平行四边形．
30．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，AD＝3，CD＝5，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线．求EF的长.
31．如图，在中，平分，于，为的中点，若，，求的值．
32． 如图， 线段 过平行四边形 对角线的交点 ， 交 于点 ， 交 于点 ． 若平行四边形 的周长为 ， 求四边形 的周长．
33．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO是等边三角形， ，求 ABCD的面积．
34．如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．
（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．
35．如图， ， 平分 ， ， ，求 的面积．
36．如图所示，求 的度数.
37．已知，在正方形ABCD中，E是CB延长线上一点，且EB=BC，F是AB的中点，请你将F点与图中某一标明字母的点连接成线段，使连成的线段与AE相等．并证明这种相等关系．
38．如图，在平行四边形 中， 分别为边长 的中点，连结 ．若 ，则四边形 是什么特殊四边形？请证明你的结论．
39．如图1，在△ABC中，∠CAB的角平分线交边BC于点D，甲、乙两人想作菱形AEDF，使得E、F两点分别在边AB和边AC上，他们的作法如下：甲：作AD的中垂线分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF，则四边形AEDF即为所求；乙：分别作DE//AC交边AB于点E，DF//AB交AC于点F，则四边形AEDF即为所求；
（1）对于两人的作法，你认为： ▲
(A)甲、乙都对；(B)甲、乙都错；(C)甲正确，乙错误；(D)甲错误、乙正确；
请你选择一种甲或乙中你认为正确的作法进行证明(作图无须用尺规)；
（2）如图2，菱形AEDF中，过点F作FG⊥AB，垂足为点G，若点G是AE的中点，AF=4，求AD的长．
40．已知长方形的长是 ，宽是 ，求长方形的周长.
41．在学习了《特殊平行四边形》这一章后，老师布置了一项课后作业：利用所学知识在一张长8cm，宽6cm的矩形纸片ABCD上作出一个菱形.
①小明的方案，如图1：1.连接BD；2.作BD的垂直平分线，交AD，BC，BD于点E，F，0；3.连接BE，DF；4.四边形BFDE即为所作的菱形. ②小彤的方案，如图2：1.利用刻度尺找到四条边的中点E，F，G，H；2.顺次连接E，F，G，H；3.四边形EFGH即为所作的菱形.
（1）【解答问题】
方案设计正确的是 　 　(写出序号即可)；
（2）请选择一种正确的方案进行证明；
（3）直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少.
42．如图，矩形中，点是边上的动点，连接、，以、为边向上作平行四边形，
（1）填空： ______（填“，，”）；
（2）当点运动到什么位置时，平行四边形是菱形，为什么？
（3）若要使得平行四边形为正方形，则与之间应该满足什么样的数量关系？请直接写出与之间的数量关系．
43．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）中，是的中点，是射线上的点，设．若，则称为勾股比．
（1）如图（1），过、分别作中线的垂线，垂足为、．求证：．
（2）①如图（2），当，且时， （填一个恰当的数）．
②如图（1），当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由．
44．乘风破浪，最近遥望
（1）在两条平行的航线上，两艘轮船以相同的速度航行，航行方向如图①所示．当两船所在直线与航线的夹角α为时，两船之间的距离，求航行过程中两船的最近距离．
（2）在两条笔直的航线上，两艘轮船以相同的速度航行，航行方向如图②所示．当两船的距离最近时，求作两船的位置．（尺规作图，保留痕迹，并说明理由）
45．
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF交于点O，．求证：．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，，．求GH的长．
（3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，，．直接写出下列两题的答案：
①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则　 　；
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则　 　（用n的代数式表示）．
46．综合实践
如图1，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，且，，延长交于点F，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明；
（3）如图1，若，，请求出的长．
47．如图，在矩形 中， ， ，若点M、N分别是线段 、 上的两个动点，则求 的最小值.
48．如图1， △ABC是边长为4的等边三角形， O为BC中点.
（1）求AO的长.
（2）如图2， 点E在线段AC上， 连结BE并延长至点F， 使EF=BE， 连接AF， G为线段BC上一动点
①当AE=1 时， 求AF 的长；
②若AG=AF，且∠BAF=150°，求AE+BG 的最小值.
49．
（1）如图1，四边形是正方形，点G是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证：.
小明展示了一种正确的解题思路：取的中点M，连接，请你写出证明过程．
（2）如图2，如果把“点G是边的中点”改为“点G是边上（除A、B外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立．这个结论正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）若点G在边的延长线上的任意一点，其他条件不变，结论“.”仍然成立，你认为（1）的结论还正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.
50． 如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，且AD＝，BD＝，CD＝．
（1）求BE的长；
（2）求证：AF＝BC；
（3）如图2，在（2）的条件下，在ED的延长线上取一点G，使BG＝BE，请猜想DG与DE的数量关系，并说明理由．
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【50道解答题·专项集训】人教版数学八年级下册期中复习卷
1．如图，在 中，对角线AC，BD交于点O，过点B作 于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连结AF。
（1）求证：四边形ABEF是矩形。
（2）连结OF，若， ，求OF的长。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD， AB∥CD.
∵DF=CE，
∴DF+DE=CE+ED，
即：FE=CD.
∵点F、E在直线CD上
∴AB=FE， AB∥FE.
∴四边形ABEF是平行四边形
又∵BE⊥CD， 垂足是E，
∴∠BEF=90°.
∴四边形ABEF是矩形
（2）解：∵四边形ABEF是矩形O，
∴∠AFC=90°， AB=FE.
∵AB=6， DE=2，
∴FD=4.
∵FD=CE，
∴CE=4.
∴FC=10.
在Rt△AFD中， ∠AFD=90°.
∵∠ADF=45°，
∴AF=FD=4.
在Rt△AFC中， ∠AFC=90°.
∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴O为AC中点
在Rt△AFC中， ∠AFC=90°. O为AC中点.
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据矩形的性质求出FC=10，利用勾股定理计算AC的长，根据直角三角形斜边中线可得 可得结论.
2．如图，四边形 BCD是平行四边形，AE⊥BC， F⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．
（1）求证：四边形 BCD是菱形；
（2）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE=2，求EC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，且BE=DF，∠B=∠D
∴△EBE=△AFD（AAS）
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形：
（2）解：如图，∵AD//BC，
∴∠CEG=∠G=30°，
∵AE⊥BC，AD//BC，
∴∠EAG=90°，且∠G=30°，
∴EC=2AE=4．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠B=∠D，进而根据垂直结合题意得到∠AEB=∠AFD=90°，且BE=DF，∠B=∠D，根据三角形全等的判定与性质证明△EBE=△AFD（AAS）得到AB=AD，再根据菱形的判定即可求解；
（2）根据平行线的性质得到∠CEG=∠G=30°，∠EAG=90°，且∠G=30°，进而根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。
3．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB，交 AB 于点 D，过点 D 分别作 DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
（1）求证：四边形 DECF 为正方形；
（2）若 AC=6 cm，BC=8 cm，则四边形DECF 的边长为　 　.
【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DEC=∠DFC=90°.
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF为矩形.
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴四边形DECF为正方形.
（2） cm
【解析】【解答】解： (2) ∵四边形DECF为正方形，
∴DF=FC=CE=DE.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB===10(cm).
∵==，
∴==，解得AD=(cm)，
则BD=AB-AD=10-=(cm).
在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF2=AD2-AF2；
在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2=BD2-BE2.
设DF=FC=CE=DE=x cm，
则x2=()2-(6-x)2，x2=()2-(8-x)2，
∴()2-(6-x)2=()2-(8-x)2，
解得x=，
则四边形DECF的边长为 cm.
【分析】 (1) 先通过“三个角是直角”判定矩形；再结合“角平分线的性质”得到邻边相等，依据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，即可得出结论；
(2) 利用“三角形面积的和差关系”建立方程，结合正方形的边长相等这一性质，即可求出边长.
4．直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标依次为A（﹣1，0），B（a，b），C（﹣1，5），D（c，d）
（1）当四边形ABCD是菱形时，求a，b，c，d应满足的条件；
（2）四边形ABCD是正方形时，求a，c的值；
（3）当点D在y轴上，且四边形ABCD是矩形时，求点D的坐标．
【答案】解：（1）∵A（﹣1，0），C（﹣1，5），∴AC=5，OA=1，∵四边形ABCD是菱形∴对角线AC、BD互相垂直平分，∴b=d=，a+c=﹣2；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，∴c﹣a=5，又∵a+c=﹣2，∴c=，a=﹣；（3）如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°∵∠ECD+∠EDC=∠ADO+∠EDC=90°，∴∠ECD=∠ADO，又∵∠CED=∠DOA∴△CED∽△DOA，∴=，即=，解得：OD=即点D的坐标为（，0）或（，0）．
【解析】【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分，容易得出结果；
（2）根据正方形的性质得出a、c的关系式，再由（1）的结果即可得出a、c的值；
（3）证明三角形相似得出比例式即可得出结果．
5．如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，，求这个矩形对角线的长．
【答案】解：∵四边形是矩形，
∴（矩形的对角线相等），
（矩形的对角线互相平分）．
∴．
∴，
∴．
又∵（矩形的四个角都是直角），
∴．
【解析】【分析】先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得。
6．已知求代数式的值.
【答案】解：
【解析】【分析】利用因式分解法将原式转化为xy（x+y），然后代入求值.
7．四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠DAB，AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E点．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC=8，BD=6，求DE的长度．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BCA=∠BAC，
∴AB=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD为菱形。
（2）解：在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，∴AO=4，BO=3，AC⊥BD，∴AB=5，
2S△ABD=AB·DE= AC·BD，
∴5DE= ×8×6，
∴DE=
【解析】【分析】（1）一组边相等的平行四边形是菱形，以此来判定此平行四边形为菱形。
（2）根据菱形的性质求出AB的值，再根据菱形面积的算法得出AB·DE=AC·BD，进而求得DE的值。
8．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)四边形AFCD是什么特殊的四边形 请说明理由.
(2)填空：
①若AB=AC，则四边形AFCD是_______形.
②当△ABC满足条件______时，四边形AFCD是正方形.
【答案】解：(1) 四边形AFCD是平行四边形，理由如下：
∵ 点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在ΔAFE与△DBE中
∴ΔAFE≌ΔDBE(AAS)
∴AF=BD，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD
∴AF=CD
又∵AF∥CD
∴四边形AFCD是平行四边形；
(2)①矩形；②AB=AC，∠BAC=90．
【解析】【解答】解：（2）①∵AB=AC，AD是BC边上的中线
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
又∵四边形AFCD是平行四边形，
∴四边形AFCD是矩形；
②当△ABC满足AB=AC，∠BAC=90°条件时，四边形AFCD是正方形．
理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线
∴AD=CD=BD，AD⊥BC
∵四边形AFCD是平行四边形，AD⊥BC
∴四边形AFCD是矩形，
又∵AD=CD，
∴四边形AFCD是正方形．
故答案为：①矩形，②AB=AC，∠BAC=90．
【分析】（1）利用“AAS”可证△AEF≌△DEB，可得AF=BD=CD，由平行四边形的判定可得四边形AFCD是平行四边形；
（2）①由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可证平行四边形AFCD是矩形；
②由等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，AD⊥BC，可证平行四边形AFCD是正方形．
9．如图所示，在四边形 ABCD 中，∠B= 90°， AB=3， BC=4， CD=12， AD=13，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：如图所示，连接AC.
∵∠B=90°，∴ΔABC是直角三角形.
依据勾股定理得AC2=AB2+BC2=32+42=25=52，
∴AC=5.
在ΔACD中，AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=169，
∴AD2=AC2+CD2.
∴ΔACD是直角三角形，∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SΔABC+SΔACD
= AB BC+ AC CD
= ×4×3+ ×5×12
=6+30=36.
∴四边形ABCD的面积为36.
【解析】【分析】考查勾股定理及逆定理的运用，连接AC，先在三△ABC中根据 ∠B= 90°， AB=3， BC=4， 计算出AC=5，再在△ACD中，根据勾股定理逆定理确定△ACD为直角三角形，然后分别计算出两个三角形的面积并相加。
10．如图，在中，，D，E分别是AB，BC的中点，，.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接DF交BC于点M，连接CD，若，，求DM，CD的长.
【答案】（1）证明：∵，
∴四边形BDEF为平行四边形
∵，D，E分别是AB，BC的中点
∴
∴DE=BD
∴四边形是菱形
（2）解：如图
∵四边形BDEF是菱形，BE=4
∴BE⊥DF，BM=ME=2
∵D，E分别是AB，BC的中点
∴
∴
∵BE=CE=4
∴MC=6
∴
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形BDEF为平行四边形，再跟据三角形中位线定理及线段中点可得，则DE=BD，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得BE⊥DF，BM=ME=2，再根据三角形中位线定理可得，根据勾股定理即可求出答案.
11．在解决问题“已知．求的值”时．聪聪是这样分析与解答的：
解：．
．
请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题：
（1）化简；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：．
（2）解：，
，
，即，
，
．
【解析】【分析】（1）根据题意，进行分母有理化即可求出答案.
（2）对a进行分母有理数可得，两边平方可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（1）解：．
（2）解：，
，
，即，
，
．
12．如图，在六边形ABCDEF中，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=120°，∠E=80°，求∠F的度数。
【答案】解：连结 AD，
在四边形 ABCD 中 ，∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°
∵∠C=120°，
∴∠BAD+∠ADC=150°
∵CD∥AF，
∴∠CDA=∠DAF
又∵∠CDE=∠BAF，
∴∠EDA=∠BAD
在四边形ADEF中，∠DAF+∠EDA+∠F+∠E=360°，
∴∠F+∠E=360°-(∠ADC+∠BAD)=210°
又∵∠E=80°，
∴∠F=130°
【解析】【分析】连结AD，将六边形分割为两个四边形，利用四边形内角和为360°求出相关角度和，再结合平行线性质和已知角的关系，最终求出∠F的度数.
13．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BE=CF，AE与BF交于点G.
（1）求证：△ABE≌△BCF.
（2）连结AF，若点E是BC的中点，求tan∠AFG的值.
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD=BC，∠ABE=∠BCD=90°，
∵BE=CF，
∴△BAE △CBF(SAS)
（2）解：在正方形ABCD中，设AB=AD=CD=BC=2m，
∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=m，
∴，
∵△ABE △BCF，BE=CF=m，
∴∠BAE=∠CBF，DF=2m-m=m，
∴∠BAE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，，
∴∠AGB=90°=∠AGF，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】(1)先证明AB=AD=CD=BC，∠ABE=∠BCD=90°，结合BE=CF，可得结论；
(2)设AB=AD=CD=BC=2m，求解，证明∠BAE=∠CBF，求解DF=2m-m=m，，证明∠AGB=90°=∠AGF，再进一步求解即可.
14．如图，矩形的对角线相交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形．
∵四边形是矩形，
∴，，．
∴．
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图，连接，
由（1）知四边形是菱形，
∴．
∵，
∴，．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴．
∴菱形的面积是4．
【解析】【分析】
（1）由于BE∥AC，AE∥BD，根据平行四边形的定义可得四边形AOBE是平行四边形，在矩形ABCD中，对角线AC和BD在点O相交。由于矩形的对角线相等，且在点O处平分，即OA=AC，OB=BD，且AC=BD，因此OA=OB。在平行四边形AOBE中，对角线OA和OB相等，即可得出平行四边形AOBE是菱形；
（2） 连接，根据菱形的性质可得，，进而证明四边形是平行四边形，进而得到， 根据菱形AOBE的面积等于两个△AOB的面积之和，即可求解。
15．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.
【答案】解：如图，连接BE.因为AE2=12＋32=10，AB2=12＋32=10，BE2=22＋42=20，所以AE2＋AB2=BE2，所以△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AE.
【解析】【分析】由勾股定理分别求得AE、AB、BE的值，再证明AE2+AB2=BE2，即可证明AB⊥EA.
16．已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简 .
【答案】解：由数轴可得：
， ， ，
则原式 .
【解析】【分析】先根据数轴确定a、a+b、c-a、b+c的正负，然后根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，最后计算即可.
17．在中，．回答下列问题：
（1）由勾股定理，易知______；
（2）如图，用尺规作图的方法作射线n交边于P，求线段的长．
【答案】（1）10
（2）解：由作图可知，平分，过点作于点，
，
∵，
∴，
∴，
解得
【解析】【解答】（1）解：，，，
，
故答案为：10.
【分析】（1）利用勾股定理进行计算可求出AB的长.
（2）利用尺规作图可知，平分，因此过点作于点，利用角平分线的性质可证得，再利用的面积求解即可．
（1）解：，，，
，
故答案为：10；
（2）解：由作图可知，平分，
过点作于点，
，
∵，
∴，
∴，
解得．
18．已知实数a、b、c在数轴上的位置如下，化简|a|+|b|+|a+b|﹣﹣2．
【答案】解：由数轴得出：a＞0，c＜b＜0，c﹣a＜0，a+b＞0，∴|a|+|b|+|a+b|﹣﹣2=a﹣b+a+b+c﹣a+2c=a+3c．
【解析】【分析】直接利用数轴上a，b，c的位置进而得出a＞0，c＜b＜0，c﹣a＜0，a+b＞0，进而化简求出即可．
19．已知实数a 满足 求 的值.
【答案】解：∵实数a 满足
∴a-2025≥0，解得a≥2025，
∴2024-a<0，
【解析】【分析】利用代数式有意义的条件来确定a的取值范围，进而化简求值.
20．如图，等腰中，，，E点是的中点，分别过D，E作，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴点D是的中点．
∵E点是的中点，
∴是的中位线．
∴
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形为矩形.
（2）解：∵交于D点，E点是的中点，
∴，
由（1）知，四边形为矩形．
在直角中，，
由勾股定理得：．
∵，
∴．

【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形为矩形；
（2）先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用勾股定理求出，最后利用线段的和差求出即可．
21．已知+（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，求ab﹣c的值.
【答案】解：∵+（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：a＝﹣1，b＝2，c＝3，
故ab﹣c＝﹣1×2﹣3
＝﹣2﹣3
＝﹣5.
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件、偶次幂的非负性以及绝对值的非负性可得a+1=0，b-2=0，c-3＝0，求出a、b、c的值，然后代入ab-c中进行计算.
22．如图，在四边形ABCD中，∠B=50°，∠C=110°，∠D=90°，AE⊥BC，AF是∠BAD的平分线，与边BC交于点F．
（1）求∠DAE的度数；
（2）∠EAF=　 　度．
【答案】（1）解：∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∵∠C=110°，∠D=90°
∴∠DAE=360°-∠D-∠C-∠AEC=70°．
（2）15
【解析】【解答】解：（2）∵∠B=50°，AE⊥BC
∴
∵AF是∠BAD的平分线
∴
∴
解得：
【分析】（1）根据四边形的内角和定理即可求出答案.
（2）根据三角形内角定理可得，再根据角平分线性质即可求出答案.
23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？
【答案】解：答案：BE∥DF．∵∠A=∠C=90°，∴∠A+∠C=180°．∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°．∵∠ABE= ∠ABC，∠ADF= ∠ADC，∴∠ABE+∠ADF= （∠ABC+∠ADC）= ×180°=90°．又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠ADF，∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
【解析】【分析】根据四边形的内角和是360°和角平分线定义，得到∠ABE+∠ADF=90°，由三角形内角和定理得到∠ABE+∠AEB=90°，得到∠AEB=∠ADF，再根据同位角相等，两直线平行，得到BE∥DF.
24．（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理；
（2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积．
【答案】解：（1），
即
则；
（2）
设
依题意有
解得
．
故该飞镖状图案的面积是24．
【解析】【分析】（1）根据，，进行推理验证即可；
（2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求．
25．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为．
（1）边的长度为______，的取值范围为______．
（2）从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？
（3）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10，
（2）解：如图所示，当ABQP是矩形时，AP=BQ，
，，
，
解得：；
∴当t=6时，四边形ABQP是矩形；
（3）解：不存在，理由如下：
当四边形PQCD是菱形时，有CQ=CD，
即，
，
此时，
，
四边形PQCD不可能是菱形．
【解析】【解答】（1）解：如图1，过点作于，则，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
由勾股定理得：；
点从点出发，以的速度向点运动，，
点运动到的时间为：，
同理得：点运动到点的时间为：，
；
故答案为：10，；
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，则∠DEB=∠DEC=90°，由二直线平行，同旁内角互补可求出∠A=90°，从而根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABED是矩形，由矩形的对边相等可求出DE、BE的长，进而根据勾股定理算出CD；根据两动点P，Q运动路程和速度可得的取值范围；
（2）根据矩形的对边相等可得AP=BQ，列方程即可求解；
（3）当四边形PQCD是菱形时，有CQ=CD，根据计算发现DP≠CD，所以四边形PQCD不可能是菱形.
（1）解：如图1，过点作于，则，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
由勾股定理得：；
点从点出发，以的速度向点运动，，
点运动到的时间为：，
同理得：点运动到点的时间为：，
；
故答案为：10，；
（2）解：如图所示，当是矩形时，，
，，
，
解得：；
（3）解：不存在，理由：
当四边形是菱形时，有，
即，
，
此时，
，
四边形不可能是菱形．
26．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，该n边形的周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．
【答案】解：由n-3=4得n=7，设边长为x-3，x-2，x-1，x，x+1，x+2，x+3，则7x=56，解得x=8．
各边之长为5，6，7，8，9，10，11
【解析】【分析】由从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，得到n-3=4，求出该多边形的边数；由多边形的周长为56，和各边长是连续的自然数，列出方程，求出 这个多边形的各边长．
27．已知：如图，四边形是平行四边形，上的一点，且分别平分，交于点．
（1）求证：；
（2）如果，那么 的面积是多少？
【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
和分别平分和，
，，
，
，
；
（2）解：四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为平行四边形，
，平分，
，，
，
，
平行四边形为菱形，
，
同理：四边形为菱形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质可得∠DAB+∠CBA=180°，结合角平分线的定义可推出，再利用三角形内角和定理求出∠APB的度数，即可得解；
（2）先证四边形AQPD，BCPQ为平行四边形，可得AQ=AD=5，BQ=BC=5，可求AB=10，利用勾股定理求出BP的长，可得，继而得出.
28．如图， 在四边形 中， 为边 上一点， 连结 ， 相交于点 ， 且 ， 连结 ．
（1）求证： 四边形 是平行四边形．
（2） 取 的中点 ， 连结 ， 若 ， ， 求四边形 的面积．
【答案】（1）证明： ，
．
在 和 中，
，
四边形 是平行四边形
（2）解：由 (1) 可知， 四边形 是平行四边形，
．
是 的中点， 是 的中位线，
．
．
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据，得到，所以，即可证明，所以CD=BE，即可得到四边形 是平行四边形．
（2）利用平行四边形的性质得到DF=BF，所以GF是 的中位线，即可求出DE=4，利用，得到∠AED=30°，利用勾股定理可得到AD，即可得到．
29．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，　 　（填写序号）．
求证：四边形DEBF是平行四边形．
【答案】解：可以选择①或③．证明如下：如图，连接BE、DF，若选择①，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∵∴即∴四边形DEBF是平行四边形若选择③，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∵∴，在和中，，∴，∴，∴四边形DEBF是平行四边形．
【解析】【分析】 若选择① ：由平行四边形的性质可得，，由AE=CF可推出OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即证；
若选择③ ：由平行四边形的性质可得OD=OB，由平行线的性质可得，根据AAS可证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即证.
30．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，AD＝3，CD＝5，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线．求EF的长.
【答案】解：∵平行四边形ABCD
∴AB // CD，AD = BC
∵ AF ，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线
【解析】【分析】由平行四边形性质可得AB∥CD，AD = BC，从而得∠DFA＝∠FAB，∠CEB=∠EBA，再由角平分线定义得∠DAF＝∠FAB，∠CBE=∠EBA，从而得出∠DAF＝∠DFA，∠CEB=∠CBE，即DA＝DF=3，CE＝CB=3，最后由EF＝DF+EC﹣DC，代入数据计算EF的值即可．
31．如图，在中，平分，于，为的中点，若，，求的值．
【答案】解：延长交于点，
平分，，
，．
又，
≌．
，
，即是中点．
为的中点，
为的中位线，
．
【解析】【分析】 延长交于点，根据角平分线性质可得，，再根据全等三角形判断定理可得≌，再根据全等三角形性质，三角形中位线性质即可求出答案。
32． 如图， 线段 过平行四边形 对角线的交点 ， 交 于点 ， 交 于点 ． 若平行四边形 的周长为 ， 求四边形 的周长．
【答案】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF.
又∵∠AOE=∠COF.
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，OE=OF=1.5.
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形 EFCD 的周长为
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，OA=OC，从而可证明△AOE≌△COF，于是有AE=CF，OE=OF=1.5.故四边形EFCD的周长可表示为：EF+FC+CF+DE=EF+AD+CD，代入EF长和平行四边形ABCD的周长即可得到结论.
33．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO是等边三角形， ，求 ABCD的面积．
【答案】解：∵△ABO是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD＝8，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝4 ，
∴矩形ABCD的面积＝4×8 ＝16 ．
【解析】【分析】根据矩形的性质得出四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，由勾股定理得出BC的值，即可得出矩形ABCD的面积。
34．如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．
（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．
【答案】解：（1）①BF=AD，BF⊥AD；
②BF=AD，BF⊥AD仍然成立，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=CF，∠FCD=90°，
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，
即∠BCF=∠ACD，
在△BCF和△ACD中
∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴BF=AD，∠CBF=∠CAD，
又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BF⊥AD；
（2）证明：连接DF，
∵四边形CDEF是矩形，
∴∠FCD=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠FCD
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，
即∠BCF=∠ACD，
∵AC=4，BC=3，CD=，CF=1，
∴，
∴△BCF∽△ACD，
∴∠CBF=∠CAD，
又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°
∴∠CAD+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BF⊥AD，
∴∠BOD=∠AOB=90°，
∴BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，
∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB2=AC2+BC2=32+42=25，
∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=，CF=1，
∴DF2=CD2+CF2=，
∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+．
【解析】【分析】（1）①证△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出结论；②证△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出结论；
（2）连接FD，根据（1）得出BO⊥AD，根据勾股定理得出BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，推出BD2+AF2=AB2+DF2，即可求出答案．
35．如图， ， 平分 ， ， ，求 的面积．
【答案】解：过 点作 交 于点 ，∵ 平分 ，∴ ，在 与 中， ，∴ ≌ ，∴ ， ．∵ ， ，∴ ，在 中， ，设 ，则 ，在 中， ， ， ．则 ．
【解析】【分析】过 D 点作 DE⊥AB 交 AB 于点 E ，首先利用 AAS判断出△ACD ≌ △AED，根据全等三角形的对应边相等得出AE=AC ， CD=DE ，根据勾股定理算出BE的长，设 AC=AE=x ，则 AB=AE+BE=x+1 ，根据勾股定理建立方程，求解得出x的值，即可算出三角形的面积。
36．如图所示，求 的度数.
【答案】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，
又∵∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
【解析】【分析】 根据三角形外角的性质可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F， 由于三角形外角和等于360°可得 ∠1+∠2+∠3=360°，据此即可求解.
37．已知，在正方形ABCD中，E是CB延长线上一点，且EB=BC，F是AB的中点，请你将F点与图中某一标明字母的点连接成线段，使连成的线段与AE相等．并证明这种相等关系．
【答案】解：如图，连接DF、CF均可得出与AE相等．
证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠ABE，
∵F为中点，BE=BC，
∴AF=BE，
∴△ADF≌△BAF，
∴DF=AE．
同理可得CF=AE．
【解析】【分析】根据题意可以知道连接CF、DF均可，可以根据三角形全等证明．
38．如图，在平行四边形 中， 分别为边长 的中点，连结 ．若 ，则四边形 是什么特殊四边形？请证明你的结论．
【答案】解：四边形 是菱形．
证明：∵四边形 是平行四边形，
；
∵点 是 的中点， ；
，
∴四边形 是平行四边形；
又 ；
∴平行四边形 是菱形．
【解析】【分析】根据平行四边形性质得出DC=AB，DC//AB，推出BE=DF，得出平行四边形BFDE，根据直角三角形斜边上中线得出DE=BE，根据菱形的判定推出即可．
39．如图1，在△ABC中，∠CAB的角平分线交边BC于点D，甲、乙两人想作菱形AEDF，使得E、F两点分别在边AB和边AC上，他们的作法如下：甲：作AD的中垂线分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF，则四边形AEDF即为所求；乙：分别作DE//AC交边AB于点E，DF//AB交AC于点F，则四边形AEDF即为所求；
（1）对于两人的作法，你认为： ▲
(A)甲、乙都对；(B)甲、乙都错；(C)甲正确，乙错误；(D)甲错误、乙正确；
请你选择一种甲或乙中你认为正确的作法进行证明(作图无须用尺规)；
（2）如图2，菱形AEDF中，过点F作FG⊥AB，垂足为点G，若点G是AE的中点，AF=4，求AD的长．
【答案】（1）解：A；
选择甲的证明方法如下：
证明：∵EF是AD的中垂线，
∴∠FOA=∠EOA=90°，AF=FD，AE=ED
又∵AD平分∠FAE，
∴∠FAO=∠EAO
在△FAO和△EAO中
∴△FAO≌△EAO
∴AF=AE
∴AF=AE=ED=FD
于是，四边形AEDF是菱形
（2）解：连接EF交AD于点O，如图所示：
由(1)得：四边形AEDF是菱形，
∴EF⊥AD，AE=AF，AO=DO，
∵FG⊥AB，点G是AE的中点，
∴AG=GE，
∴AF=EF=AE
∴∠FAE=60°，∠FAO=∠FAE=30°，
∴OF=AF=2，
∴OA=
∴AD=2OA=
【解析】【分析】（1）因为EF是AD的中垂线，AD又平分∠FAE，可以得到 △FAO≌△EAO （ASA），从而得到AF=AE=ED=FD，所以四边形AEDF是菱形 ，甲的作法正确；由 DE//AC ，DF∥AB，可知四边形AEDF是平行四边形，又因为 AD平分∠FAE，所以四边形AEDF是菱形，乙的作法也正确；
（2）在△AEF中，通过三线合一和菱形的性质可知△AEF是等边三角形，所以∠FAE=60°，从而∠FAO=∠FAE=30°，则OF=AF=2，AO=，故AD=2AO=．
40．已知长方形的长是 ，宽是 ，求长方形的周长.
【答案】解：
.
即长方形的周长是 .
【解析】【分析】根据长方形周长的公式列式，再进行二次根式的混合运算，即可求得结果.
41．在学习了《特殊平行四边形》这一章后，老师布置了一项课后作业：利用所学知识在一张长8cm，宽6cm的矩形纸片ABCD上作出一个菱形.
①小明的方案，如图1：1.连接BD；2.作BD的垂直平分线，交AD，BC，BD于点E，F，0；3.连接BE，DF；4.四边形BFDE即为所作的菱形. ②小彤的方案，如图2：1.利用刻度尺找到四条边的中点E，F，G，H；2.顺次连接E，F，G，H；3.四边形EFGH即为所作的菱形.
（1）【解答问题】
方案设计正确的是 　 　(写出序号即可)；
（2）请选择一种正确的方案进行证明；
（3）直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少.
【答案】（1）①②
（2）方案①：
四边形BEDF为菱形，理由如下：
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EF⊥BD，OB=OD，EB=ED，FB=FD.
∴∠BEO=∠DEO.
∵四边形ABCD是一张矩形纸片，
∴AD//BC，
∴∠BFO=∠DEO.
∴∠BFO=∠BEO.
∴BF=BE
∴BF-BE-ED=DF.
∴四边形BEDF为菱形。
方案②：
四边形EFGH为菱形，理由如下：
连接ACBD，
∵矩形ABCD四条边的中点分别为E，F，G，H，
∴AC=BD，EH，FG，EF，HG都是三角形的中位线.
∴EH=BD=FG，EF=AC=HG.
∴EH=FG=EF=HG
∴四边形EFGH为菱形。
（3）方案①面积最大.最大面积为37.5cm2.
【解析】【解答】解：（1）根据作图，四条边相等的四边形是菱形，可以判定，两种方案都是中正确的；
故答案：①②；
（3）方案1：∵四边形是矩形，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得：，
即，
∴菱形的面积为；
方案2：如图，连接，
∵矩形四条边的中点E，F、G、H，
∴四边形都矩形，
∴，
∴菱形的面积为，
∴方案①面积最大，最大面积为．
【分析】(1) 判断方案是否正确，关键是看作出的四边形是否满足菱形的定义（四边相等）。方案①中，垂直平分线的性质保证 、，再结合矩形对边平行可证明 ，故四边相等；方案②中，三角形中位线定理保证四条边均等于矩形对角线的一半，矩形对角线相等，故四边相等，因此两种方案均正确。
(2) 以方案①为例，根据垂直平分线的性质，得 、、、；由矩形 中 ，得 ，结合 ，推出 ，故 ；因此 ，四边形 是菱形。
(3) 分别计算两种方案的面积。方案①中，设 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ，解得 ，面积为 ；方案②中，菱形面积为对角线乘积的一半，对角线分别等于矩形的长和宽，面积为 ，因此方案①面积更大，最大面积为 。
42．如图，矩形中，点是边上的动点，连接、，以、为边向上作平行四边形，
（1）填空： ______（填“，，”）；
（2）当点运动到什么位置时，平行四边形是菱形，为什么？
（3）若要使得平行四边形为正方形，则与之间应该满足什么样的数量关系？请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）=
（2）解：当点运动到中点时，平行四边形是菱形，理由如下：
如图，为的中点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
据此，当点运动到中点时，平行四边形是菱形；
（3）解：
【解析】【(解答】（1）解：∵，，
∴，
∵，
，
故答案为：=；
（3）解：若要使得平行四边形为正方形，由当点运动到中点时，平行四边形是菱形知必须有，
∴，
由（）得，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴．
【分析】（）由矩形和三角形面积公式得S矩形ABCD=2S△ADE，由平行四边形和三角形面积公式得S平行四边形AEDF=2S△ADE，据此可得结论；
（）当E为BC的中点时，平行四边形AEDF是菱形，由矩形的性质得∠B=∠C=90°，AB=CD，从而由SAS判断出△ABE≌△DCE，由全等三角形的对应边相等得AE=DE，从而根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形AEDF是菱形；
（）由平行四边形AEDF为正方形，得∠AED=90°，从而利用勾股定理得，由（）得，，于是有，再利用勾股定理即可得解．
43．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）中，是的中点，是射线上的点，设．若，则称为勾股比．
（1）如图（1），过、分别作中线的垂线，垂足为、．求证：．
（2）①如图（2），当，且时， （填一个恰当的数）．
②如图（1），当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由．
【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①，是的中点，
，，
，
，
，
∴，
，
故答案为：；
②成立，证明如下：
，是的中点，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
∴，，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先求出，，然后由全等三角形的判定“”证明，即可得；
（2）①根据等腰三角形“三线合一”以及直角三角形斜边上的中线性质得，，由，得，从而得，然后利用勾股定理得，进而得；
②先证明，由（1）的三角形全等可设，，则，，利用勾股定理得到，的值，于是求出，即可证明.
（1）证明：是的中点，
，
于点，交的延长线于点，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：①，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
②成立，
证明：如图（1），，是的中点，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
则，，
，
，
，
，
，
，
．
44．乘风破浪，最近遥望
（1）在两条平行的航线上，两艘轮船以相同的速度航行，航行方向如图①所示．当两船所在直线与航线的夹角α为时，两船之间的距离，求航行过程中两船的最近距离．
（2）在两条笔直的航线上，两艘轮船以相同的速度航行，航行方向如图②所示．当两船的距离最近时，求作两船的位置．（尺规作图，保留痕迹，并说明理由）
【答案】（1）解：如图，过点B作，垂足为C．
在中，°，
，
则航行过程中两船的最近距离为
（2）如图②，设两条航线相交于点O，以点O为圆心，分别以为半径画弧，交两直线于点C，D，线段BC，AD的中点M，N即为所求作的两船位置．
理由如下：
如图，设两船航行到E，F处，则．
由作图可知：，
．
再分别过点F作交MN的延长线于点G，过点M作，则．
连接，则四边形是平行四边形，
四边形FGHM是菱形
．
∴ 当两船在M，N位置时，两船的距离最近
【解析】【分析】（1）两船之间的最短距离即两条平行线间的距离，如图，过点B作，垂足为C，再利用直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）设两条航线相交点于，以为圆心为半径画画圆，分别交于，利用尺规作图确定的中点，则即为两船的位置．此时可分别在取AN和BM上取点E、F，使AN等于BF，则由题意知EN等于FM，此时再分别过点F作交MN的延长线于点G，过点M作，连接，则可得四边形FGHM是菱形，则对角线互相垂直，即EH垂FH，再由垂线段最短即可得MN最短.
（1）解：如图，过点B作，垂足为C．
在中，°，
，
则航行过程中两船的最近距离为．
（2）如图①，设两条航线相交于点O，以点O为圆心，分别以为半径画弧，交两
直线于点C，D，线段BC，AD的中点M，N即为所求作的两船位置．
理由如下：
如图②，设两船航行到E，F处，则．
由作图可知：，
．
过点M作，则．
连接，则四边形是平行四边形，
．
，
．
，
．
，
．
．
．
∴ 当两船在M，N位置时，两船的距离最近．
45．
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF交于点O，．求证：．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，，．求GH的长．
（3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，，．直接写出下列两题的答案：
①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则　 　；
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则　 　（用n的代数式表示）．
【答案】（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴，，∴．
∵，∴，
∴，∴，∴；
（2）解：方法1：如图，过点A作交BC于M，
过点B作交CD于N，AM与BN交于点
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴，，
∵，，，∴，
故由（1）得，，∴，∴；
方法2：过点F作于M，过点G作于N，
得，由（1）得，，
得，得．
（3）8；4n
【解析】【解答】解：()过点作，，与交于点，与交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由正方形性质可得，
∵，，，
∴，
由全等三角形的性质可得：，
∵矩形由个全等的正方形组成，
∴，
∴，
∴为的中点，
∵，
∴为的中位线，
∴为的中点，
∴；
过点作， ，与交于点，与交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由正方形性质可得，
∵，，，
∴，
由全等三角形的性质可得：，
∵矩形由个全等的正方形组成，
∴为的等分线，
∴．
故答案为：8；4n
【分析】（）根据正方形的性质、全等三角形的判定定理可证，利用全等三角形的性质即可求证；
（）如图，过点作交于，过点作交于，与交于点，则四边形和四边形均为平行四边形，可得，同理（）可得，即可求解；
（）过点作，，与交于点，与交于点，根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明，得到，再根据三角形中位线的性质即可求解；过点作， ，与交于点，与交于点，根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明，得到，由题意为的等分线，可得．
46．综合实践
如图1，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，且，，延长交于点F，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明；
（3）如图1，若，，请求出的长．
【答案】（1）解：四边形是正方形，
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形.
（2）解：如图2，过D作于H，则，
∴，又，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，即.
（3）解：如图1，过D作于H，
在中，，，
∴，
由（2）知，，
∴，，
在中，，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质得到，，再求出，从而证出四边形是矩形，再结合，证出四边形是正方形即可；
（2）过D作于H，先利用“AAS”证明，再利用全等三角形的性质得到，再利用等腰三角形的三线合一性质得到，再结合正方形和全等三角形的性质得到，，最后利用等量代换可得答案；
（3）过D作于H，先利用勾股定理求得，再利用得到，，再利用线段的和差求出HE的长，最后利用勾股定理求出DE的长即可.
（1）解：四边形是正方形，理由：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，又，
∴四边形是正方形；
（2）解：如图2，过D作于H，则，
∴，又，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，即；
（3）解：如图1，过D作于H，
在中，，，
∴，
由（2）知，，
∴，，
在中，，
∴．
47．如图，在矩形 中， ， ，若点M、N分别是线段 、 上的两个动点，则求 的最小值.
【答案】解：作点A关于 的对称点 ，连接 ， ，过 作 于H.
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中，∠ABD=30°，BC=8，
∴BD=16，AB= ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为12.
【解析】【分析】作点A关于 的对称点 ，连接 ， ，过 作 于H，则 ，求出 的长度即可解决问题.
48．如图1， △ABC是边长为4的等边三角形， O为BC中点.
（1）求AO的长.
（2）如图2， 点E在线段AC上， 连结BE并延长至点F， 使EF=BE， 连接AF， G为线段BC上一动点
①当AE=1 时， 求AF 的长；
②若AG=AF，且∠BAF=150°，求AE+BG 的最小值.
【答案】（1）解：因为点O为BC中点.
所以
因为△ABC为等边三角形
所以AO⊥BC
在 Rt△ABO中， AB=4
由勾股定理知：
所以
（2）解：①取AC中点 D， 连结BD， 则
由(1)同理可得：
因为AE=1
所以AE=ED
因为EF=BE， ∠BED=∠AEF
所以△BED≌△FEA
所以
②在AC上取点D， 使EH=AE
由 (2) 同理可得： △BEH≌△FEA
所以BH=AF
因为AG=AF
所以AG=BH
因为BD=AO
所以Rt△AOG≌Rt△BOH
所以DH=GO
所以BG=CH
所以AE+BG=CE
所以AC=CE+AE≤2CE
所以CE≥2
即AE+BG的最小值为2.
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质得，AO⊥BC，再利用勾股定理解答即可求解；
(2)①取AC中点D，连接BD，同理(1)可得，再证明ABEDAFEA(SAS)，得到AF-BD=2V3，即可求解；
②在AC上取点H，使EH=AE，同理(2)可得△BED≌△FEA，得到BH=AF，即得AG=BH，进而可得Rt△AOG≌Rt△BOH(HL)，得到GO=DH，即得到BG=CH，得到AE+BG=EH+CH=CE，再得到AO=CE+AE≤2CE，解得CE≥2，即可求解.
49．
（1）如图1，四边形是正方形，点G是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证：.
小明展示了一种正确的解题思路：取的中点M，连接，请你写出证明过程．
（2）如图2，如果把“点G是边的中点”改为“点G是边上（除A、B外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立．这个结论正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）若点G在边的延长线上的任意一点，其他条件不变，结论“.”仍然成立，你认为（1）的结论还正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.
【答案】（1）证明：如图（1），取的中点M，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵点M，G分别是，边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵为正方形外角的平分线，
∴，
∴，
故，
∵，，
∴，
∴，
∴.
（2）结论“”仍然成立．
证明如下：
如图（2），在上取一点M，使，连接，
∴，
∴，
∴，
∵为正方形外角的平分线，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）当点G在线段延长线上时，结论仍成立．理由如下：
如图3，延长到M，使，连接，
则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
故当点G在延长线上时，结论“”都成立．
【解析】【分析】（1）取AD的中点M，连接MG，利用正方形的性质可证得AD=AB，∠A=∠ABC=∠DGF=90°，利用已知可证得AM=AG=DM=BG，可推出∠AMG=∠DMG=135°，再证明∠MDG=∠BGF，利用ASA可证得△DMG≌△GBF，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）在AD上取点M使DM=GB，连接MG，易证∠AMG=∠DMG=135°，利用角平分线的定义去证明∠DMG=∠GBF，利用余角的性质可证得∠MDG=∠GBF，利用ASA可证得△DMG≌△GBF，利用全等三角形的性质可证得结论.
（3）延长AD，使DM=BG，连接MG，可证得AM=MG，利用等腰三角形的性质可证得∠AMG=∠GBF=∠FBE，利用平行线的性质可推出∠MDG=∠BGF，利用ASA证明△DMG≌△GBF，利用全等三角形的性质可证得结论.
50． 如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，且AD＝，BD＝，CD＝．
（1）求BE的长；
（2）求证：AF＝BC；
（3）如图2，在（2）的条件下，在ED的延长线上取一点G，使BG＝BE，请猜想DG与DE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：在直角△ADC中，
∵，
∴；
（2）证明：在直角△BCE中，，
∴，
∵∠BFD=∠AFE，∠AEF=∠BDF=90°，
∴∠EAF=∠EBC，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（ASA），
∴AF=BC；
（3）解：如图所示，过点B作BT⊥EG于T，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，
∵BE=BG，BT⊥GE，
∴GT=ET，
∵，
∴，
∴EM=EN，
∴DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠BDT=45°，
∴BT=DT，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
∴DG=2DE；
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC=15，然后利用面积法求解；
（2）先利用勾股定理求出CE=5，则AE=10=BE，然后证明△AEF≌△BEC即可得到AF=BC；
（3）过点B作BT⊥EG于T，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，则GT=ET，由，可以推出EM=EN，得到DE平分∠ADC，则∠CDE=∠BDT=45°，然后利用勾股定理求解．
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