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成
李
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浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷 解：（2026年 4月）
（2）法一：
数学参考答案及评分标准 因为 AD B1D， E为 AB1中点，所以DE AB1，
又因为平面 AB1D 平面 ABB1A1，
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分） 平面 AB1D 平面 ABB1A1 =AB1，
1．D 2．A 3．C 4．C 5．A 6．B 7．D 8．B 所以DE 平面 ABB1A1，
二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分。全部选对的得 6 分，部分选对的
所以 A1C 平面 ABB1A1， ………9分
得 3分，有选错的得 0分）
所以直线 AC与平面 ABB1A1所成角即为 CAA1．………12分
9．ABC 10．ACD 11．AC
又因为 A1C 2DE 2，所以 AC 6．
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
AC 6
7 所以 sin CAA 1 ． ………15分
12． 21 13．1 14 1． AC 3
4
四、解答题（本大题共 5小题，共 77分）
15．(本题满分 13分)
法二：
解：
因为 AD B1D AB DE AB
1 f ( π ) sin π 2(cos π) 2 2 3 2( 3) 2 2 3 1
， E为 1中点，所以 1，
（ ） ． ………5分
6 3 6 2 2 2 又因为平面 AB1D 平面 ABB1A1，
（2）因为 f (x) sin 2x cos2x 1 ………7分
平面 AB1D π 平面 ABB1A1 =AB1，
2 sin(2x ) 1， ………8分
4 所以 DE 平面 ABB1A1，又 AB1 A1B，

所以 f (x)的值域为 [1 2，1 2]， ………10分 所以以 E为坐标原点， EA为 x轴正方向，
π π 3π 建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz． ………9分
因为 2kπ 2x 2kπ， k Z， ………12分
2 4 2
因为 AD B1D 2 ，所以 A(1，0，0)，C(0，1，2)，3π
解得 kπ x 7π kπ， k Z，
8 8 所以 AC ( 1，1，2)， ………11分
所以 f (x) 3π 7π的单调递减区间为 [ kπ, kπ]， k Z． ………13分 ABB A n (0，0，1)
8 8 设平面 1 1的法向量为 ， ………13分
设直线 AC与平面 ABB1A1所成角为 ，
16．(本题满分 15分)
所以 sin | cos AC n |
| A C n | 2 6， ． ………15分
证明： | AC | | n | 6 3
（1）连接 A1B交 AB1于 E，则 A1C//DE， ………4分
又DE 平面 AB1D， A1C 平面 AB1D，所以 A1C//平面 AB1D．………6分
数学答案 第 1页（共 8页） 数学答案 第 2页（共 8页）
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17．(本题满分 15分)
法二：
解： 15
y y 0C C 4
（1）设C(xC，yC )，由题意知 1x 5 x 5 ， ………2分
因为 k3 325 ． ………9分C C 5
4
x2 y2
得 C C 1，
25 25
y y
15
C y
15
C y
x2 y2 因为 k k k k k k k k
C 4 4 C
y 0 1 2 2 3 1 3 1 2
3(k2 k1 ) 3( )
所以 E的方程是 E : 1 ( x 5， ) ． ………4分 xC 5 25 25 xC 5
25 25 xC x4 C

4
（2）（i）设D(x ，y )，则 x2 2D D D yD 25， ………5分 ………11分

所以DA DB xD 5 x 2D 5 yD
yC (y
15
C ) (y
15 25 2 25 225
225 4 C
)(x
4 C
5) yC (xC ) yC x4 4 C

x 2 25 y 2 ， ………6分 3
4
D D 8 (xC 5)(x
25
C ) (x
25
C )(xC 5) (xC 5)(x
25
C )4 4 4
x 25 15解得 D= ， yD ，4 4 x 2 25 25 x 225C C ………13分
25 4 4
所以 D ,
15
． ………8分
4 4 (x 5)(x
25
C C )4
证明：
(xC 5)(x
25
C )4
（ii）法一： 125 为定值． ………15分(xC 5)(x15 C
)
0 4
k 4因为 3 3， ………9分 18．(本题满分 17分)25
5
4
解：
又因为 k1k2 k2k3 k1k3 k1k2 3k1 3k2 k1 3 k2 3 9
（1）设总得分不超过15分为事件M ，
15
yC
yC
3 4 3 9 ………11分x 5 易知事件M 包含两种情形， 4个题均得 3分，或3个题得 3分，1个题得 6分． C x
25
C 4 1 4 3P(M ) C1 1 2 1所以 ． ………4分
3 xC 5 yC 4 yC 3 xC 5 2
2
y 9 x 5 3
4
3 3 9
9 4 C C 9
xC 5 4xC 25 xC 5 4xC 25
（2）法一：
x2C 9 9 xC 5
2
4 9 ………13分
xC 5 4xC 25 设李华选择“几何”题的数量为随机变量 X ，则
k 2
4x2 45x 125 P X k C1 1 2
2 4 k 1
8 C C 9 1为定值． ………15分

k 1 6 k 9 ，
xC 5 4xC 25 3 3 3
k
9 8
P X 1 10 C1
1 2 19
9
3 3 3 39
， ………9分
数学答案 第 3页（共 8页） 数学答案 第 4页（共 8页）
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3
所以李华做的“几何”题数量多于“代数”题的概率 又因为 ci 1 2ai ci ，所以 9a 3a
3
i 2 i 1 2ai 9ai 1 3a ，4 4 i
9
P X 6 4(k 1) 19 11 k 9 ． ………10分 整理得12 ai 2 ai 1 a3 3 243 i 1 ai ，k 6
a a 1 2因为 2 1 a1 d1 a1 ，3 9
法二： 2 i 1 1
所以 ai 1 ai ，
1
4
2
2
20 1
5
2
2
8 9

12
P X 6 C15 6 ， P X 7 C16 3 3 3 3 3 ， 36
6 2 7 2 i 1 i 1
P X 8 C1 1 2 28 1 1 2 32
1 8 1 6 6 1
， P X 9 C ， 由累加法可知， ai ，所以 ci 9ai 1 3ai ，7
3 3 38 8 3 3 39 11 33 12 11 11 12
9 8
P X 10 1 1 2 19 C1 9 9 ， ………9分3 3 3 3 ………15分
所以李华做的“几何”题数量多于“代数”题的概率 所以做第 i个题目时，
P(X 6) 11 ． ………10分 i 1
243 51 4 1 得分的期望 Ei 3ai 6bi 4ci 6di ，11 11 12
（3）法一：
E 51 4 1 n 1所以 n 3an 6bn 4cn 6dn ( ) ． ………17分11 11 12
设做第 i个题时，李华选择的是“几何”题且得3分的概率为 ai ，得 6分的概率为 bi，
法二：
李华选择的是“代数”题且得 4分的概率为 ci，得 6分的概率为 di，
设 pi表示第 i题选择几何题的概率，且 p1 1，则选代数题的概率为1 pi ，
a 1 2则 1 ,b1 ,c1 d1 0，3 3 1 1由题意可知 pi 1 pi (1 pi )， ………12分3 4
a 1 i 1 ai di 3 所以 p
3 1 3
i 1 (pi )， 11 12 11

b
2
i 1 a d 3 i i 3 3 1 i 1 3 8 1 i 1
12 所以
p (p )( ) ，即 p ( ) ， ………15分
由题意可知， ， ……… 分 i
3 11
1 11 12 i 11 11 12
ci 1 bi ci 4 所以做第 i个题目时，

d 1
i 1
b
4 i
ci 得分期望 Ei (6
2 1 1 3
3 )pi (6 4 )(1 pi )3 3 4 4
b 2a b 2a 1 p 9i 1 i 1 1 1 i 所以
c
，又 ，
i 1 3d
2 2
i 1 c1 3d1
51 4 ( 1 )i 1，
b 11 11 12i 2ai i N 所以
c 3d
，
E 51 4 1i i 所以 n ( )
n 1
． ………17分
11 11 12
所以 a
1 1
i 1 ai ci ，即 c 9a 3a ，3 3 i i 1 i
数学答案 第 5页（共 8页） 数学答案 第 6页（共 8页）
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19．(本题满分 17分) 故此时 f (x)有唯一零点且在 x0 ,2a 2 内， ………14分
解： a 1 1②当 时，此时 x0 1， f (x)在 (0, )上单调递增，e
（1）因为 f (x)
1 x a
x x (a 1) , f (1)
1 1
a , f (1) 0，
e x e 2 又 f (1) 0， f (2a 2) 0，
1 1
故所求切线方程为 y a ． ………4分 故此时 f (x)有唯一零点且在 1,2a 2 内， ………15分
e 2
1
（2）由 f (1) 0，得 a
1 1
， ………5分 ③当 0 a 1 时，此时 0 x0 1，
e 2 e
因为 f (x) (x 1)
1 a
1 ， ………6分 f (x)在 0, xx 0 单调递增， x0 ,1 单调递减， 1, 单调递增， e x
x0 1 2 1 2
此时 f x0 x (a 1)x a ln x x a ln x x 1 ex 0 0 0 0 0 00 2 2
a 1 1 a
又 a 0, x 0，故 0,1 x 0，所以1 x 0， 1 x2 x x e e x 0 0 1
1
x ln x0 x0 1 ，由 ln x0 x0 1可知2 e 0
所以 f (x)与 x 1同号， x
f x 1 x2 2x 1 1 0 x 40 0 0 x 0 x 4

，又由 ex0 x0 1可知0 0
所以 f (x)在 (0,1]单调递减， [1, ) 2 e 2 e单调递增，
1 1 x 4 所以 f (x)在 x 1处取到最小值 f (1) a 0 0 ， ………8分 f x0 x0 1 5 ，再由1 x0 1 2可知 f x0 0，又 f (2a 2) 0，
e 2 2 x0 1
a 1 1所以 的取值范围是 a ． ………9分
e 2 故此时 f (x)有唯一零点且在 1,2a 2 内，
证明：
综上可知，当 a 0时， f (x)有且仅有一个零点． ………17分
1 a
（3）当 a 0时，令 g(x) 1 x ， g(x)在 (0, )单调递增，e x
1 1 a 1 a
又 g(a) a 0， g(2a ln 2) 1 2a ln 2 1 0 ，e e 2a ln 2 eln 2 2a
由零点存在定理知，存在唯一的 x0 (a, 2a ln 2)，使得 g(x0 ) 0，
………12分
因为
f (2a 2) 2a 2 1 2a 2 (2a 2)
2 (a 1)(2a 2) a ln(2a 2) 1 (2a 2) 2 (a 1)(2a 2) 0
e 2 2
①当 a 1
1
时，
e
此时 x0 1， f (x)在 (0,1]上单调递增， 1, x0 上单调递减， x0 , 上单调递增，
1 1
注意到极大值 f (1) a 0， f (2a 2) 0，
e 2
数学答案 第 7页（共 8页） 数学答案 第 8页（共 8页）
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