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郑州四中上街校区九年级月考试卷（三月）
数学
一、选择题(每小题 3分，共 30分)
1. 在实数 ， ，0， 中，最大的数是（ ）
A. B. C. 0 D.
2. 2025年河南省居民人均可支配收入累计为 33215元．将“33215”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3.如图是由 7个相同的小正方体组成的几何体，将小正方体①去掉后，关于新几何体的三视图，下列说法
正确的是（ ）
A. 主视图保持不变 B. 俯视图保持不变
C. 左视图保持不变 D. 三种视图都变化
4. 将一个含 角的三角尺和直尺如图放置，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.2026年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小明、
小亮选择的影片相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于 x的不等式组 的解集为 ，则 a的值不可能是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
8.如图，在 中， ，将 折叠，使点 C与点 A重合，折痕为 ，且 ，则
的边 上的高是（ ）
A. B. C. 5 D. 4
9.在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进 所
用的时间，即“配速”（单位： ）．小华参加 的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下
列说法中错误的是（ ）
A. 第 所用的时间最长
B. 第 的平均速度最大
C. 第 和第 的平均速度相同
D. 前 的平均速度大于最后 的平均速度
10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的中心位于原点 O处， 轴于点 E，F为
的中点，射线 l的端点为 O，将射线 l从与 重合的位置开始绕点 O逆时针旋转，每次旋转 ，则
第 2025次旋转结束时，射线 l与正方形 的边的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(每小题 3分，共 15分)
11. 请给 赋一个实际意义：______．（答案不唯一）
12.若关于 x的一元二次方程 x2﹣2x+k=0无实数根，则实数 k的取值范围是________．
13. 在一个不透明的袋子中放有 a个球，其中有 4个白球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅
匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在 0.2 左右，
则 a的值约为 ．
14. 如图，在 中， ， ，点 在边 上， ，以 为圆心， 长为
半径作半圆，恰好与 相切于点 ，交 于点 ，则阴影部分的面积为 ____________________．
15. 如图，在平行四边形 中， 是对角线，且 ，将 沿 方向向右
平移得到 ，D、B对应点分别是 A、E．点 F是线段 上（不含端点） 一个动点，连接 ，将线
段 绕点 A逆时针旋转至线段 ，使得旋转角 ，连接 ．当 是等腰三角形
时， 的长为______．
三、解答题（本大题共 8个小题，共 75 分）
16. （1）计算： ；
（2）化简： ．
17. 为提升学生体质健康水平，某校开展了丰富多彩的课外社团活动．在八年级组织的课外体育社团中，
甲、乙两位同学参加了立定跳远社团的选拔，这两位同学的 10次跳远成绩的折线统计图如图所示（规定：
立定跳远的测试成绩满分为 10分，其中成绩是 8分及以上的为优秀）．
分析甲、乙的成绩，得到如下数据：
平均数/分 中位数/分 方差 优秀率
甲 7 b 5.4
乙 a 7 2.8
根据以上信息，回答下列问题．
（1）填空： ______， ______， ______．
（2）这 10次测试成绩中，发挥较稳定的是______同学（填“甲”或“乙”）．
（3）请你从这两位同学中选出一位，对其跳远成绩作出评价，并提出合理化建议．
18. 如图，在△ABC中，D是 中点．
（1）求作： 的垂直平分线 l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若 l交 于点 E，连接 并延长至点 F，使 ，连接 ．补全图形，并证明四边
形 是平行四边形．
19.中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期(河
南安阳殷城)．小明在殷墟游玩时，见到了如图 1的马车车厢模型，他绘制了如图 2的车轮侧面图．如图 2，
当过圆心 O的车架 的一端 A落在地面上时， 与 的另一个交点为点 D，水平地面 切 于
点 B．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的直径．
20.某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学
初三数学兴趣小组进行了如下实地测量．如图，三片风叶 ， ， 两两所成的角为 ．小组成
员在离塔底O水平距离为 48米的点 E处，测得塔顶 A的仰角 ， 是风叶 的视角．已
知三片风叶的长度均为 40米．
（1）当点 D在 上时，求点 C到地面 的距离；(结果精确到 1米)
（2）在风叶旋转的过程中，求视角 的最大值．(参考数据∶ ， ，
)
21. 随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加
快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电
桩的单价多 万元，用 万元购买甲型充电桩与用 万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共 个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购
买数量的 倍，则如何购买所需总费用最少？
22.消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度 y（单位：m）与离高楼的水平距离 x
（单位：m）之间具有二次函数关系．从地面离高楼水平距离 的点 A处，水枪喷出的水流在与高楼的水
平距离为 处达到最高，高度为 ，水流落到高楼的点 B处．
（1）求水流抛物线的解析式；
（2）已知高楼的点 C处，离地面的高度是 ．
①若在地面点 A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点 C处，求水枪竖直升高的高
度；
②若在地面点 A处水平移动水枪的位置，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点 C处，直接写出水枪水平移
动的方法．
23. 已知△ABC和 为两个全等的等腰直角三角形， ，D为 的中
点，以点 D为旋转中心，旋转 ， 交 于点 J， 分别交 于 G，H两点．
（1）如图 1，当 时，写出除△ABC和 全等外的其他全等三角形： ．
（2）如图 2，当点 E恰好落在边 上时，连接 ，求 的度数．
（3）旋转过程中，当 所在的直线与边 垂直时，请直接写出 的值．
九年级月考试卷
数学参考答案及解析
一、选择题(每小题 3分，共 30分)
1.【答案】A
【详解】解：因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
那么最大的数是 ，
故选：A．
2.【答案】C
【详解】解： ，
故选：C．
3. 【答案】C
【详解】解：若小正方体①去掉后，其左视图不变，即左视图依然还是两层，底层有 3个正方形，上层有 1
个正方形．
故选：C．
4. 【答案】B
【详解】解：如图所示，
由题意得 ， ， ，
∴ ，
故选：B．
5. 【答案】B
【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项符合题意；
C、 ，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项不符合题意；
故选：B．
6. 【答案】D
【详解】解：将这三部春节档影片分别记为 A，B，C，列表如下：
共有 9种等可能的结果，其中小明和小亮选择的影片相同的结果有 3种，
∴小明、小亮选择的影片相同的概率为 ，
故答案为：D．
7.【答案】A
【详解】解：由关于 x的不等式组 的解集为 ，可知： ，
∴a的值不可能是 ，
故选 A．
8.【答案】A
【详解】解：连接 ， ，设 的边 上的高为 h， 与 于点 O，
∵ 折叠，使点 C与点 A重合，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形，
又 ，
∴平行四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的边 上的高是 ，
故选：A．
9.【答案】D
【详解】解：“配速”是每行进 所用的时间，故从图中可知，第 所用的时间最长，故选项 A不符合
题意；
平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程 时间，由图可知，配速最小，故第 所用时间最
短，故第 的平均速度最大，故选项 B不符合题意；
第 所用的时间与第 所用的时间一致，故第 的和第 的平均速度相同，故选项 C不符合题
意；
由于前 的时间大于最后 的时间，故前 的平均速度小于最后 的平均速度，故选项 D符合
题意；
故选 D．
10. 【答案】D
【详解】解：把 绕 顺时针旋转 得到线段 ，连接 交 于 ，过 作 交 延
长线与 ，
∵正方形 的中心位于原点 O处， 轴于点 E，F为 的中点，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∵把 绕 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴正比例函数 解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
∵射线 l的端点为 O，将射线 l从与 重合的位置开始绕点 O逆时针旋转，每次旋转 ，
∴第一次旋转结束时射线 l与正方形 的边的交点 ，
∵ ，
∴每 8次一个循环，
∵ ，
∴第 2025次旋转结束时，射线 l与正方形 的边的交点与第一次旋转结束时射线 l与正方形 的
边的交点是同一个点，即 ，
故选：D．
二、填空题(每小题 3分，共 15分)
11.【答案】每本笔记本 元，购买 本 钱数为 元（答案不唯一）
【详解】解：每本笔记本 元，购买 本的钱数为 元，
故答案为：每本笔记本 元，购买 本的钱数为 元．
12.【答案】k＞1.
【详解】解：∵关于 x的一元二次方程 x2﹣2x+k=0无实数根，∴ =（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得 k＞1.
13.【答案】20
【详解】解：a的值约为
故答案为：20
14.【答案】
【详解】解：连接 ，过 于 点，如图，
， ，
，
，
与 相切于点 ，
，
，
，
∴阴影部分的面积 ．
故答案为： ．
15. 【答案】2或 5
【详解】解：∵平行四边形 ， ，
∴ ，
∵将 沿 方向向右平移得到 ，
∴ ，
如图，过 点作 交于 点，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图，过点 作 交于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过点 作 交于 ，
则四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，此时 ，则 点与 点重合，不符合题意，舍去；
综上所述： 的长为 2或 5．
故答案为：2或 5．
三、解答题（本大题共 8个小题，共 75 分）
16.【答案】（1） ； （2）
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17.【答案】（1）7；7.5；
（2）乙
（3）选甲同学．甲同学中位数、优秀率比乙同学高，成绩较好，但方差比乙同学高，说明了成绩发挥不稳
定，应加强成绩稳定性训练．（选乙同学．乙同学方差比甲同学低，说明了成绩发挥稳定，但从中位数、优
秀率比甲同学低，应加强训练，提高成绩．）
【详解】解：（1）由折线统计图可知：乙同学成绩为：9分，6分，7分，6分，3分，7分，7分，8分，8
分，9分，
乙同学成绩的平均数 ，
由折线统计图可知：甲同学成绩为：2分，4分，6分，8分，7分，7分，8分，9分，9分，10分，
成绩按从小到大排列为：2分，4分，6分， 7分，7分，8分，8分，9分，9分，10分，
第五与第六的成绩为：7分，8分，
∴甲同学成绩的中位数为 ，
∵甲同学成绩是 8分及以上的有 5次，
∴甲同学成绩的优秀率 ；
（2）∵ ， ，
∴
∴发挥较稳定的是乙同学，
（3）选甲同学．甲同学中位数、优秀率比乙同学高，成绩较好，但方差比乙同学高，说明了成绩发挥不稳
定，应加强成绩稳定性训练．
选乙同学．乙同学方差比甲同学低，说明了成绩发挥稳定，但从中位数、优秀率比甲同学低，应加强训练，
提高成绩．
18. 【答案】（1）见解析 （2）见解析
【详解】解：（1）直线 l如图所示，
；
（2）证明：补全图形，如图，
由（1）作图知，E为 的中点，
∵D，E分别为 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ ，即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 四边形 是平行四边形．
19.【答案】（1）见解析 （2）
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵水平地面 切 于点 B，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ；
（2）设 的半径为 ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的半径为 ．
20.【答案】（1）84米 （2）
【详解】
解：（1）在 中， ，
．
如图(1)，过点 C作 于点 F，过点 A作 于点 G，
，
则四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
故点 C到地面 的距离约为 84米．
（2）作 于 ，
在 中， ，
是定值，
随着 的增大而增大，当 两点重合， 与 相切于点 B时， ， 最大，
此时 最大，此时 ，
如图(2)．
在 中， ．
，
，
故视角 的最大值为 ．
21.【答案】（1）甲型充电桩的单价为 元，乙型充电桩的单价为 元；
（2）购买甲型充电桩 个，乙型充电桩 个，所需费用最少．
【详解】解：（1）设乙型充电桩的单价是 元，则甲型充电桩的单价是 元，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：甲型充电桩的单价为 元，乙型充电桩的单价为 元；
（2）设购买甲型充电桩的数量为 个，则购买乙型充电桩的数量为 个，
由题意得， ，
解得 ，
设所需费用为 元，由题意得， ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 取得最小值，
此时， ，
答：购买甲型充电桩 个，乙型充电桩 个，所需费用最少．
22.【答案】（1） ；
（2）①水枪竖直升高的高度为 ；② 或
【详解】解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为 ， ，
∴设抛物线的解析式为： ，
∵抛物线经过点 ，
，
解得： ，
∴水流抛物线的解析式为： ；
（2）①设水枪竖直升高的高度为 ，
∴向上平移后抛物线的解析式为： ，
∵过点 ，
，
解得： ，
答：水枪竖直升高的高度为 ；
②设水枪水平向左移动 ，
∴向左平移后抛物线的解析式为： ，
∵过点 ，
，
解得： ， ，
答：水枪水平向左移动 或 ．
23.【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3） 的值为 或 ．
【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDF 为两个全等的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴点 四点共线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）如图，分别过点 作 于点 ， 交 的延长线于点 .
∵△ABC 和△EDF 为两个全等的等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∵D为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
（3）①当点 在 上方时，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴△CHD 为等腰直角三角形，
∴ ，
中， ，
∴ ，
在 中， ，
②当点 在 下方时，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
综上， 的值为 或 ．

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