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数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知命题 ,那么 为
A. B.
C. D.
2. 双曲线 的实轴长为
A. 1 B. C. 2 D.
3.若 ,则 的值为
A. 0 B. 16 C. 32 D. 64
4.已知函数 在区间 内恰有一个极值点,则 可能的取值为
A. B. C. 2 D. 4
5.已知正项等比数列 中, ,则
A. B. C. 2 D. 4
6.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的 5 个名次. 甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说:“很遗撼，你和乙都未拿到冠军. ” 对乙说:“你当然不会是最差的. ”从组织者的回答分析, 这五名同学的名次排列的种数为
A. 24 B. 54 C. 72 D. 120
7.已知圆台的上下底面的半径分别为 1 和 3，圆台的侧面积为 16π，若圆台内接于球 0,则球 的半径为
A. B. C. D.
8.已知 为坐标原点,直线 与 轴交于 点,与抛物线 交于 两点, 且 ,则
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据 ,且 ,平均数为 ,中位数为 ,现对这组数据做如下变换: ,得到一组新数据 , 则下列说法正确的是
A. 新数据的极差等于原数据的极差 B. 新数据的平均数等于
C. 新数据的方差大于原数据的方差 D. 新数据的中位数等于
10.已知函数 的极大值点和极小值点分别记为 和 ,过点 分别作 轴的平行线交 的图象于点 ,过点 构造矩形 ,如图所示,则下列说法正确的是
A.
B. 点 为线段 的三等分点
C. 当 时，四边形 为正方形
D. 当 时，四边形 为菱形
11.若曲线 满足条件: 存在正数 和点 ,对于任意点 ,总存在点 , 使得 ,则称该曲线是 “ 封闭曲线”,则下列曲线是 “ 封闭曲线” 的是
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 表示有限集合 中元素的个数,已知 , ，则 ________.
13.若 为虚数单位,则 _______.
14.已知圆 与圆 ,则圆 的公切线最多有_____条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在 轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图所示，三棱锥 中， ， ，且 分别为 和 的中点.
(1)证明: 上存在点 ，使得 面 ；
(2)当 时，求二面角 的正弦值 .
16.已知函数 .
(1)当 时，若 的值域为 ，求 的值；
(2)若 为 的极小值点，求实数 的取值范围.
17.在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准. 工程师设计了一套算法: “向正方向姿态修正一次” 记为 +1 个单位, 向 “负方向姿态修正一次” 记为 -1 个单位.
(1)求6次姿态修正后达到 +2 个单位的概率;
(2)以下三种情况将导致校准流程终止:
情况 1:累计姿态偏移达到 +2 个单位(校准到位)；
情况 2:累计姿态偏移达到 -2 个单位(需紧急千预)；
情况3:完成6次姿态修正(能源耗尽).
(i) 求在能源耗尽的条件下校准到位的概率;
(ii) 设随机变量 表示终止时姿态修正的次数,求 .
18.已知 的内角 所对的边分别为 ，且
(1)求 ；
(2)若 ，点 在 上，直线 上一点 满足 ，在点 和点 的变化过程中，
(i) 求 的最小值;
(ii) 当 最小时,求 的值.
19.已知曲线 与点 为原点, 动点 ,且 的最大值为 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知有 个点 按逆时针顺序依次在 上，且 ， .
(i) 当 关于 轴对称,且 的面积为 1 时,求直线 的斜率;
(ii) 当 的面积都相等时,记多边形 的周长为 . 若对于 ,都有 ,求整数 的最小值.
1. 【答案】A
【解析】.
2. 【答案】D
【解析】 可化为 实轴长 .
3. 【答案】C
【解析】令 , 则 .
4. 【答案】C
【解析】 ,
极值点满足 .
由 得 . 区间内恰有一个极值点,故仅有 满足, . 四个选项中只有 满足.
5. 【答案】D
【解析】设公比为 ,则 ,且 ,
或 .
又 ,且 ,故 ,
.
6. 【答案】B
【解析】 甲最后一名有 个结果;
甲不是最后一名有 个结果; .
7. 【答案】C
【解析】设圆台母线长为 ,高为 ,则 .
又 .
作圆台的轴截面，得一等腰梯形，其上、下底长分别为 2,6，高为 .
在截面内建系: 下底端点为 ,上底端点为 ,
设外接圆圆心为 ,半径为 ,则 .
代入 ,
.
8. 【答案】D
【解析】 ,设
非定值
.
9. 【答案】BCD
【解析】原极差 ,后来极差 , A 错.
原平均数 ,后平均数 , B 对.
现离散程度比之前离散程度大, 即现方差比原方差大, C 对.
原中位数为 ,现中位数 , 对.
方法二: 由 ,得 .
对 错.
对 对.
对
,故新数据的方差大于原
数据的方差, 对.
对 , D对.
10. 【答案】AC
【解析】 , ,故 ,则 , A 对.
. 由 ,得
; 由 ,得 .
故 . 对 ,
错.
对 ,当 时, ,故四边形 为正方形, 对.
对 ,当 时, , ,四边形 不是菱形, D 错.
11. 【答案】AC
【解析】方法一: 对于 ,取 ,
令 ,由 ,对 ,此时
符合, 正确.
对于 ,显然 ,作出该函数图象, 该图象是无界的, 当 时,但对给定的 而言, 是一个具体的正数, ,矛盾, B 错.
对于 ,它关于 轴, 轴及坐标原点均对称且 该曲线 上的点均在 的内部,图象是有界的,取 ,设 ,取 ,由 ,对 , ,此时 正确.
对于 ,当 时, , 曲线 图象无界,当 时,对给定的 而言, 是一个具体的正数,此时 ,这与 为有限数矛盾, 错.
12. 【答案】17
【解析】 .
13. 【答案】
【解析】设 ,
则 .
.
14. 【答案】
【解析】公切线最多有四条,且 半径为 2 时, 与 的两条公切线一条为 轴 (记为 ),另一条为 (记为 ),另两条为 ,设两侧公切线满足 均在 轴,方程为 ,
直线
直线 ,
.
15. 【解析】(1)证明:取 中点 为 中点，
平面 平面 平面 .
(2)如图建系， ，设
而
设平面 与平面 的一个法向量分别为
设二面角 的平面角为 ,
.
16. 【解析】(1)当 时，
当 时, ; 当 时, ,
在 处取得最小值.
的值域为
(2)
为 的极小值点,
代入得
要使 为极小值点,则 附近应有
又
故 的取值范围为 .
17. 【解析】
(1)6 次姿态修正达到 +2，说明 4 次向正方向，2 次向负方向
.
(2)(i)记事件 为能源耗尽，事件 为校准到位
.
(ii) 的所有可能取值为 2,4,6
的分布列如下:
2 4 6
.
18. 【解析】(1)由正弦定理 ，
得 .
又 ,故
于是 .
.
.
(2)取坐标系: .
设 .
由 ,得 .
又 ,故 .
于是 .
记 ,则 .
又 ,
由积化和差, .
由积化和差, ,
故 .
. 取等当且仅当 .
(3)当 取最小时， . 故 .
直线 方程为 . 直线 方程为 .
联立得 .
于是 .
.
19. 【解析】(1) 设过点 的切线为 .
联立 .
切线
.
又 取最大值时, 为切线,且 .
.
(2)由(1)知椭圆为 .
(i) 设 ,
又 .
.
直线 的斜率为 .
(ii) 设 ,
则 .
题目条件为各面积相等, .
当 时,设 .
记 .
则 ,
设 ,则 ,
. 又 ,
.
当 时,若存在 ,由 得 .
又 ,其余各 ,这与 矛
盾. .
记 . 则
故 .
又 ,
.
由柯西不等式, .
又 .
又 .
取 ,则满足面积相等,
且 .
又对一切满足条件的 ,都有 .

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