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贵州遵义市南白中学2025-2026学年第二学期第一次测试高三
数学试卷
一、单选题
1．复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（ ）
A． B．1 C． D．
2．已知向量，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．命题：，，则它的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．如图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列结论中正确的是（　　）
A．这一星期内乙的每日步数的中位数为12970
B．甲的每日步数星期三比星期二增加了1倍以上
C．这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙
D．这一星期内甲的每日步数的极差小于乙
5．已知函数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．3
6．若是第一象限角，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．已知是函数的极小值点，则（ ）
A． B．0 C． D．或
二、多选题
9．已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，则（ ）．
A． B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递减 D．是奇函数
10．已知分别为椭圆的左、右焦点，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．椭圆C的长轴长为2
C．若A， B为左右顶点，则直线PA， PB斜率乘积为
D．的面积的最大值为
11．设函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，在点处的切线方程为
B．当时，有三个零点
C．若有两个极值点，则
D．若，则正实数的取值范围为
三、填空题
12．在篮球比赛中，罚球命中一次得1分，不中得0分．若篮球运动员甲罚球命中的概率为0.73，则篮球运动员甲罚球一次得分的均值是______．
13．在数列中，，，若，则______．
14．已知正方体，正方体所有顶点都在平面的同一侧，正方体的8个顶点到平面的距离恰好为1，2，3，4，5，6，7，8，则正方体的棱长为______.
四、解答题
15．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.
(1)求两点间的距离；
(2)求大楼的高度.
16．已知数列的首项，且满足（）．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，并证明．
17．如图，在四棱锥中，平面ABCD，ADBC，，，．
(1)证明：．
(2)若，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
18．已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)记函数的最小零点为，证明：
（i）且；
（ii）.
19．已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上．
(1)求的方程．
(2)过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为．
（i）求证：．
（ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
2．A
3．A
4．C
5．C
6．C
7．B
8．A
9．ACD
10．ACD
11．ABD
12．0.73
13．506
14．
15．（1）因为，
在中，由正弦定理得，
即，所以m，
即AC两点的距离为m；
（2）在中，因为，，
所以，
又，
所以m，
即大楼的高度为m.
16．（1）由得，
又，所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，，所以
所以，
当时，单调递增，故．
17．（1）连接AC，
因为，，，，
所以在梯形ABCD中，可得，，
所以，可得，
因为平面，平面，所以，
因为，平面PAC，平面PAC，
所以平面PAC，因为平面PAC，所以．
（2）因为平面ABCD，，
所以以为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，
所以平面PCD的一个法向量为，
显然是平面PAB的一个法向量，
设平面PAB与平面PCD的夹角为，
则，
所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为.
18．（1），则.
，，则切线方程为.
（2）（i）由（1）知.
当时，，所以在上单调递减.
当时，，所以在上单调递增.
所以.
又，.
为增函数；又.
当时，函数即为.
时，函数的最小零点即为的零点.
则存在，使得.
，.则.
（ii）由题知.
先证恒成立，单调递增且存在唯一零点.
当为偶数时，函数为.
由（i）知，为增函数，零点为，.
又在上单调递减，在上单调递增.
则.
又，则单调递增，.
.
则存在唯一零点，以此递推，……，
.
则单调递增，又.
则存在唯一零点，命题成立.
又单调递增，且，所以.
由上述讨论知，在单调递减，在单调递增，且.
当为奇数时，函数为，
又时，，则存在另一零点，由题意知另一零点为，且.
现证明若存在使得，则.
即证，即证.
令，则.
，.
，.
.
.
……
，.
.
反推可得到，命题得证.
又，则，即.
综上所述：.
19．（1）设的半焦距为．
因为在上，所以，
因为的离心率，即，
所以．
故的方程为．
（2）（i）由的方程知，
设．
由
得，
因为与的左支交于两点，且的渐近线方程为，可得，
即，
所以．
直线的方程为，
令，得，
所以，同理得．
所以
即．
当时，直线与轴垂直，与都在轴上，满足；
当时，有，也满足．
综上，．
（ii）
所以，即存在，符合条件．

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