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重庆复旦中学教育集团 2025-2026 学年度下期第一次段考 参考答案
I 卷 客观题
一、选择题（共 40分，每题 4分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C B C B C B A A
二、填空题（共 24分，每题 4分）
11． ； 12．43°； 13．5；
14．20； 15． ； ； 16．189；711．
Ⅱ卷 主观题
三、解答题（共 86分，17、18题每题 8分，19-25题每题 10分）
17．解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为： ，
则它的正整数解为 1．
18．（1）解：如下图所示，
以点 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交 、 于点 、 ，
以点 为圆心，相同的长度为半径画弧，交 于点 ，
以点 为圆心， 为半径，交前弧于点 ，
连接 交 于点 ，
即为所求；
（2）证明：由 知 ，
(同位角相等，两直线平行)，
，
四边形 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，
是 斜边 上的中线，
，
平行四边形 是菱形；
若 ，
则 ,
，
点 是 的中点，
，
，
四边形 是正方形．
故答案为： (同位角相等，两直线平行)， 两组对边分别平行的四边形是平行
四边形， ， 正方形．
19．解：（1）依题意，
对 A款的评分数据中， 分频数最高，因此众数 ；
对 B款的评分数据中，“满意”的人数为 7人，占比为：
，
因此
因此 .
中位数是第 10位 86与第 11位 87的平均数，为 86.5，因此 b=86.5
（2） 款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎，
理由如下:
款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数为 ，高于 4款人工智能学习辅导软
件使用满意度评分的中位数 ，
所以 款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎
（3）依题意，20份数据中，对 款满意的数据为 6份，而对 款满意的数据占比为 ，
所以： ，
因此估算满意的用户人数为 人.
20. 解：
．
又 ．
当 时，
原式
．
21．解：（1）设一个鸟形尊纸艺书签的售价为 元，
∵一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高 16元，
∴一个鸟形尊冰箱贴的售价为 元，
∴ ，
解得 ，
∴ （元），
∴一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价分别是 和 元；
（2）解：由（1）得一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价分别是 和 元；
则五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个 元，鸟形尊纸艺书签每个 元，
依题意，
整理得
∴ ，
经检验： 是原分式方程的解，
∴ ．
22．解：（1）由题意可得，
，
当 时， ，
当 时， ，
即 ， ；
（2）解： ， 函数图象如图所示：
当 时， 随 x的增大而减小；
当 时， 随 x的增大而增大；当 时， 随 x的增大而减小．（答案不唯一，
合理即可）
（3）解：由图象可得，当 时，x的取值范围是 2＜x＜6.5（ ）．
23．解：（1）如图所示，过点 C作 CF⊥DE于点 F，过点 D作 DE⊥AB于点 E，
∵∠A=60°，
∴ ，
，
∴BE=AB-AE=7-3=4，
∵CF⊥DE，AB⊥BC，DE⊥AB，∴四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE=4，
∵CF⊥DE，∠FCD=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF=FC=4，
∴BC=EF=ED-FD= ≈1.2千米．
（2）如图所示，设甲，乙两人在点 G处相遇，
∵甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发，∴甲的路程是乙的路程的1.5倍，
∴DG=1.5AG，
设AG=x，则DG=1.5AG=1.5x，
由（1）得，DE= ，AE=3，∴GE=AG-AE=x-3，
∵DE⊥AB，
∴EG2+DE =GD ，
，解得x≈3.5(负值舍去)．
∴当两人相遇时，乙一共跑了 3.5千米．
24．解：（1）∵A（-4，0）在抛物线 y=ax +bx-8且抛物线对称轴为直线=-1，
∴ ，解得 ．
∴抛物线的解析式为 y=x +2x-8．
（2）令 y=0，得 x1=-4，x2=2，∴B（2，0），AB=6，
∵PD∥x轴，PE∥CB，
∴△PDE∽△BAC．
∴ ，
∴当PD最大时，S△PED最大．
∵A（-4，0），C（0，-8），∴AC：y=-2x-8．
设 P（m，m +2m-8），则 D ，
∴ ，
∵a=-1＜0，开口向上，且-4＜m＜-2，
∴m=-2时，PD最大，即S△PED最大，此时P（-2，-8）．
将点P沿射线CB方向平移 个单位长度，得P1（-1，-4），
∴ ．
∴P（-2，-8）， 的最大值为5 ．B（2，0）
（3）满足条件的Q点坐标为平移后 平移后的抛物线解析式为y=x2-5,
∵P（-2，-8），∴tan∠AOP=2，
∵B（2，0），C（0，-8），∴tan∠ABC=2，
∴∠AOP=∠ABC，
∴OP∥BC，
∴∠PFC=∠ACB，
∵∠PFC+∠QGB=90°+∠BCO，
∴∠PFC-∠BCO=90°-∠QGB，
∵∠PFC-∠BCO=∠ACB-∠BCO=∠ACO，
∴90°-∠QGB=∠ACO，
∴∠QGB=90°-∠ACO=∠OAC，
∵在△AOC中，tan∠OAC= =2，
∴tan∠QCB=2，
设Q（n，n2-5）,当Q在x轴上方时，
tan∠QCB= ，
解得 （舍去），
∴Q ．
25．解：（1）∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ；
（2）证明：延长 至 ,使 连 ，
∵E为 中点，
∴
又∵
∴
∴ ，
∵ 在 中垂线上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵
∴
∵
∴
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ；
（3）作 的外心 连 、 ，
∴ ，
∴
∴
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 为定值 又 为定点， 为定点，
∴ 为定长，
由两点之间线段最短知
即 ，当 在一条直线时 有最小值，
设 交 于 由折叠知 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
又 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．重庆复旦中学教育集团 2025-2026 学年度下期第一次段考
初 2026 届数学试题
尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，
共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩
序井然，人人洁身自爱。
本试卷分为 I卷和Ⅱ卷，考试时间 120分钟，满分 150分。请将答案工整地
书写在答题卡上。
命题人：
I 卷 客观题
一、选择题（共 40分，每题 4分）
1．（改编）3的相反数是（ ）．
A． B． C． D．
2．2025年 9月，中国新能源汽车累计销售量已突破 400万辆，产销量连续 10年位居全球
第一．下列新能源汽车图标中是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（原创）以下调查中，适合进行普查的是（ ）．
A．调查市场上某种品牌手机电池的使用寿命
B．调查中央广播电视总台春节联欢晚会的收视率
C．调查九年级某班全体学生的视力情况
D．调查某市居民垃圾分类的情况
4．（改编）如图，点 A，B，C在 上，若 ，则
的度数为（ ）．
A． B． C． D．
5. 用圆圈按如图所示的规律平移得到新的图形，其中第①个图案中有 5个圆圈，第②个图
案中有 11个圆圈，第③个图案中有 17个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中圆
圈的个数为（ ）．
第 1页，共 2页
A. 35 B. 41 C. 47 D. 53
第 5题图 第 9题图
6．（原创）将直线 向右平移 2个单位所得直线的表达式为（ ）．
A． B． C． D．
7．（原创）下列四个数中，最大的是（ ）．
A．3.24×106 B．3.14×106 C．3.24×107 D．3.14×107
8．（改编）某农机厂一月份生产零件 50万个，第一季度生产零件 182万个．设该厂生产零
件平均每月的增长率为 x，那么 x满足的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
9．如图，△ABC为等腰直角三角形， ，D是 AC上一点， 交
直线 BD于点 E，且 ， ，点 F为 BC的中点，连接 EF，则 EF
的长为（ ）．
A． B． C． D．
10．已知整式 ，其中 n为正整数， 为自然数，
且 ．下列说法：
①当 时，满足 的整式 Q共有 5个；
②当 时，满足条件的所有整式 Q的所有项的系数总和为 120；
③满足条件的所有二次三项式中，当 x取任意数时，其值一定为非负数的整式 Q共有 3个．
其中正确的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（共 24分，每题 4分）
11．（原创）高速收费站推行 ETC（电子不停车收费系统）可有效节约人工成本，提高道路
通行效率．某高速收费站出口有通道 1，通道 2，通道 3，通道 4共四个 ETC通道，所有车
第 1页，共 2页
辆均可从四个通道中随机通过．甲车经过该收费站时，选择从通道 2通过的概率是
．
12．（改编）如图，直线 AB，CD相交于点 ，则 的度数为 ．
第 12题图 第 15题图
13．（原创）若 n为正整数，且满足 ，则 n= ．
14．（改编）若 ，则 ．
15．如图，AB是 的直径，点 C，D在 上，连接 CD交 AB于点 M，点 A是劣
弧 CD的中点，点 E为 过点 B的切线上一点，连接CE，交 于点 F，点C恰为劣弧
AF的中点，连接 BD，若 的直径为 10，CD＝ 8，则 BD＝ ，BE＝
．
16．若一个三位正整数 （各个数位上的数字均不为 0）满足 ，则称这个
三位正整数为“天长数”．对于一个“天长数”m，将它的十位数字作为百位，百位数字作
为个位，个位数字作为十位后得到新数 n，记 ．例如： 满足
，则 126为“天长数”，那么 ，所以 ．则 =
；对于任意一个“天长数”m，若 能被 11整除，则满足条件的 m的最大值是
．
Ⅱ卷 主观题
三、解答题（共 86分，17、18题每题 8分，19-25题每题 10分）
17．（原创）解不等式组： ，并写出它的正整数解．
18．如图，在 中，CD是斜边 AB上的中线， 交 AC的延长线于点 E．
第 1页，共 2页
（1）用尺规完成以下基本作图：作 ，使 ，且射线 CM交 BE于点 F（保
留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
（2）求证：四边形 CDBF是菱形．
证明：由（1）知 ，
．
，
四边形 CDBF是平行四边形（② ）．
CD是 斜边 AB上的中线，
③ ．
平行四边形 CDBF是菱形．
请进一步思考：若 ，则四边形 CDBF是④ ．
19．（改编）某教育平台推出 A，B两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了 A，B两款
人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取 20份，对数据进行整理、描述
和分析（评分分数用 x表示，分为以下四个等级：不满意（ ），比较满意
（ ），满意（ ），非常满意（ ），下面给出了部分信息：
抽取的对 A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，
85，85，85，86，89，90，94，95，98，98，99，100．
抽取的对 B款人工智能学习辅导软件的评分中“满意”的数据：86，86，87，88，88，
89，90．
A，B款人工智能学习辅导软件的所有评分统计表
软件 平均数 中位数 众数 方差
A 86 85.5 a 96.6
B 86 b 88 69.8
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（1）填空： ， ， ．
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出
一条即可）
（3）本次调查中，有 800名用户对 A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有 1000名名
用户对 B款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对 A，B两款人工智能学习辅导软
件非常满意的用户总人数．
20.（改编）先化简，再求值： ，其中
.
21．请列方程解决以下问题：
重庆中国三峡博物馆围绕馆藏的战国青铜鸟形尊文物，开发了多款兼具文化内涵与实用
性的文创商品．该系列文创商品将鸟形尊憨态可掬的形态进行卡通化复原，其造型可爱、颜
色醒目，深受年轻人喜爱．其中鸟形尊冰箱贴和鸟形尊纸艺书签销售火爆．已知一个鸟形尊
冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高 16元，且购买三个鸟形尊冰箱贴和两个鸟形尊
纸艺书签共需 108元．
（1）求一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价各是多少元？
（2）五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个降价 元，鸟形尊纸艺书签每个降价 m元，促
销后鸟形尊冰箱贴总销售额为 3300元，鸟形尊纸艺书签总销售额为 900元，且鸟形尊冰箱
贴的销量比纸艺书签多 ，求 m的值．
22．如图，如图，在 中， ， ， ，点 P从点 B出发，沿
折线 运动，当它到达点 A时停止，设点 P运动的路程为 x，点 Q是射线 CA上一点，
，连接 BQ，设 ， ．
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（1）求出 y1，y2与 x的函数关系式，并注明 x的取值范围；
（2）在直角坐标系内画出 y1，y2函数图象，结合 y1和 y2的函数图象，并描述出 y1，y2图
象的一条性质．
（3）当 时，求出 x的取值范围（精确到 0.1）．
23．某物流调度中心开展无人机配送航线巡检任务．如图，A处是调度中心，位于 B处正北
方向 7千米处；C处是配送枢纽，在 B处正东方向；D处是信号点，在 A处南偏东 60°方
向 6千米处，且在 C处的东北方向．（参考数据： ， ， ）
（1）求 B，C间的距离(结果保留根号)；
（2）甲，乙两架巡检无人机同时出发，甲从 D处沿某方向匀
速飞行，乙从 A处沿正南方向匀速飞行，甲的速度与乙的速度
之比为 3:2．两人在 AB上某处相遇，相遇时乙共飞行了多少千
米？（结果保留小数点后一位）
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 分别交 x轴于 A(－4，0)，B
两点（A在 B的左侧），交 y轴于点 C，连接 AC，BC，抛物线的对称轴是直线 x＝－1.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 P是线段 AC下方抛物线上的一动点，过点 P作 PD∥x轴交直线 AC于点 D，过点
P作 PE∥BC交直线 AC于点 E，点 M，N为直线 BC上的动点，点 M在点 N的右侧且
．当△PDE的面积取得最大值时，求 P的坐标及此时 的最大值；
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（3）在（2）中当△PDE的面积取得最大值时，将抛物线 沿射线 CB
方向平移 个单位长度得到抛物线 y，连接 OP，与线段 AC交于点 F，点 Q为抛物线 y
上的一动点.若 G(－1，0)且满足∠PFC+∠QGB=90°+∠BCO，请直接写出所有符合条件的
点 Q的坐标，并写出求解点 Q的坐标的其中一种情况的过程．
25．已知△ABC为等边三角形，P是平面内的一个动点．
（1）如图 1，点 P在△ABC内部，连接 AP并延长交 BC于点 D，连接 BP并延长交 AC于
点 E；若 ，求 的度数．
（2）如图 2，点 P在△ABC外部，连接 CP，点 D为线段 CP中垂线上一点，连接
，E为 BP中点，连接 ；若 ，求证
；
（3）如图 3，点 P在△ABC外部， ，将△ABC沿着 AC翻折，得到 ，
连接 ，M为线段 AP上一点，且 ，连接 ；若 ，当线段 的长
取最小值时，直接写出 的面积．
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