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2026届重庆市高三下学期二模考试
数学
一、选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，若 ，则
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
2.已知向量 与 满足 ，且 ，则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.已知 ,则
A. B.
C. D.
4.树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁
不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有
A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 14种
5.已知 中, ,则 的面积为
A. B. C. D.
6.已知等比数列 的首项 ，公比 .若 是数列 的前 项
积，则 取得最大值时 的值为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7.若经过点 的直线 既与曲线 相切,也与曲线 相
切,则
A. B. 1 C. 2 D. e
8.球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的
直径被截得的线段长叫做球缺的高 (如图).若球缺的底面半径为 ,高为 ,则球缺的
体积 .已知棱长为 2的正方体 的各个顶点都在
球 上,平面 将球 截成两部分,那么较小部分的体积为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对得 6分,部分选对得部分分,有选错得 0分。
9.已知随机变量 服从二项分布 ，随机变量 服从正态分布 ，则
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中,经过点 的直线交坐标轴于点 ,若
点 满足 ,记 的轨迹为曲线 ,则
A.曲线 的方程是 B.直线 是曲线 的切线
C.曲线 关于直线 对称
D.曲线 关于点 对称
11.已知数列 满足 ,则
A.存在 ,使得 是常数列
B.存在 ,使得 是递减的等比数列
C.不存在 ,使得 是递增的等差数列
D.存在 ,使得 ,且
三、填空题:本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知复数 ，则 _____.
13.已知 是偶函数，对任意 ， ， ；当
时， .则 的表达式可以为_____. (写出满足条件的一个即
可)
14.已知抛物线 ，直线 与 交于 两点，则以
为邻边的平行四边形面积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、(13分)
已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)若曲线 关于直线 对称，求 以及 的值域.
16. (15分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2的菱形， .
(1)若 是棱 的中点，证明: 面 ；
(2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (15分)
已知函数 .
(1)讨论 在其定义域上的单调性；
(2)当 时，若 ，求实数 的取值范围.
18. (17分)
小明拥有 1个电动玩具,厂家配备了一个装电池的盒子,内装满原装 4块电池,其中
2块为可充电电池, 2块为一次性电池、为了保证随时可玩耍，小明又购买了 2块可
充电电池备用，他每次玩玩具时就随机从装满电池的盒子中取出 1块使用，若为一
次性电池，则使用完毕后丢弃，并补充 1块可充电电池装入盒中；若为可充电电池,
则使用完毕后充电,并放入盒中以备下次使用。
(1)记第 次使用后一次性电池剩余的块数为 ，求 的数学期望；
(2)记第 次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为 .
(i)求 ;
(ii)分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大.
19. (17分)
已知 为坐标原点，椭圆 的右焦点为 ，短轴长为
2 .
(1)求 的离心率；
(2)已知 是以 为直径的圆上一点， 是射线 上一点，满足 .
(i)求点 的轨迹方程;
(ii)当点 在 轴上方时,过点 作 轴的垂线 ,若 与椭圆 在第一象限内有一个
交点 ,直线 与 轴相交于点 ，求证: 的外接圆经过异于 的一个定点.凹Wz2
数学参考答案
一、选择题：
1
2
3
6
B
D
A
C
A
1题解析：AUB=B→A∈B,B={0,a},所以a=-1:
2题解析：|a-b=√a2+b2-2ab=3:
3题解析：由a4题解析：分丁跑第一棒和乙或丙同学跑第一棒，A+CC2A=14:
5题解析：因为sinA=
2v2
=cosB,所以A+B=T,△ABC为直角三角形，所以AC=1,BC=2√2，
3
S=√2；
6题解折：an=527(兮)-1，由Tn=a4…aa,要满足T1Tn1,则an>1>a1,因为3<527<3，
所以当n=6时满足要求；
7题解折：设曲线y=lnx的切点为(G,ln,则由y=上，切线方程为y=上(x-)+lnx=上x-1+n5,
故-1+血X=-2,解得5=，所以切线方程为y=cx-2,设曲线y=e-a的切点为
(x,e-a),由y'=e,得e=e,即为=1，切线方程为y-(e-a)=e(x-l),化简得
y=ex-a→-a=-2→a=2:
8题解析：设外接球圆心为O,平面ABCD截外接球所得圆圆心为O,由题意正方体外接球的半径R=√5，
平面ABCD截外接球所得圆的半径为r=√2，O到O,的距离为√3-2=1，则球缺的高h=V√3-1，
所以v-含5-8r+5-9)-6N5-8x
二、选择题：
9
10
11
BC
ACD
ACD
9题架折：X-B8分：则防PX≤2)=PX≥0，E(X)=8x4,DX)=8
1×1=2,Y~N(4,,
22
则有P(Y≤3)=P(Y≥5)，E(Y)=4,D(Y)=1,所以选BC.
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巴wz:z
10题解析：当A,B不重合时，设A(a,0),B(0,b),则过A,B的直线满足+Y=1,点L,1)在直线上，则
+1=1,由A应M丽，所以M点坐标为(C ),则有M点的轨迹方程满足
11=1,即
a b
2x 2y
x+y=2y,当A,B重合时，(0，O)也满足方程，A正确：当且仅当AB:x+y-2=0时，AB与C
相切，B错误；若点(x,y》o)满足方程x+y=2y,则(y%,x,)也满足方程x+y=2xy,所以曲线C
关于直线x-y=0对称，C正确：若点(x,y)满足方程x+y=2xy,则(1-x,1-%)也满足方程
11
x+y=2,所以曲线C关于点（兮2对称，D正确。
1题解析：当4=1或4=号时，{a,}是常数列，A正确：若a,}是等比数列，则马=及，即
2a2-1_2a-1
2
aa,
1
1
2aa,(a-4,)=(a,-a),因为{a}是递减数列，所以4≠a,则aa,=2同理，a,4=2
从而41=a3,矛盾，B错误；若{an}是递增等差数列，则a2-a1=a3-a2,
1
2a2-4-1=242-4,-1→2a2-242=4-4,因为44+a=之所以4=a,矛盾，c正确：当0<4<1时，令4=c0s4,其中0<8<行则
a,=cos2-'8,马=cos20,4=c0s49,4=c0s88,令88=8+2m,8=27，则
a cos640 =cos-
os128r-cos25=4,4=c0s1288=cos72
7
7
0s256=c0s4≠a,D正确
7
三、填空题：
12
13
14
5
e(任意满足条件的即可)
4W3
9
12题解析：2z=(2-i)(2+i)=5:
13题解析：x,y∈(0，+oo),f(x)f(y)=f(x+y),则f(x)在(0，+o)上满足指数函数性质，又0f(x)0),因为f(x)是偶函数，所以
可取f(x)=e.(任意满足条件的即可)
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