资源简介

2025-2026学年高三下学期第五周自主测试数学试题 乙：该函数图象可以由 的图象向右平移 个单位长度得到；
丙：该函数在区间 上单调递增；
一．选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
丁：该函数满足 ．
符合题目要求的。
如果只有一个假命题，那么该命题是（ ）
1．若复数 z满足（2﹣2i）z＝5+i，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知 A（﹣2，3），B（1，﹣2），C（1，﹣1），则 （ ） 8．已知函数 f（x） ，若函数 g（x）＝f（x）﹣| |恰有 3个零点，则实数 k
A． B． C．5 D． 的取值范围是（ ）
3．已知等差数列{a A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）n}的前 n项和为 Sn， ，则数列{an}的公差为（ ）
C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知圆柱的母线长比底面半径长多 2cm，表面积为 24πcm2，则该圆柱的体积为（ ）
二．多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
A．12πcm3 B．14πcm3 C．16πcm3 D．18πcm3
题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
5．已知动点 P到定点（1，0）和定直线 x＝3的距离之和为 4，则点 P的轨迹方程为（ ）
2 （多选）9．记 Sn为等差数列{an}的前 n项和，公差为 d，若 S5＝a10+6，a6＝2a3+1，则下列结A．y ＝4x
论正确的是（ ）
B．y2＝﹣12（x﹣4）
A．d＝2
C．若 x≥3，则 y2＝4x；若 x＜3，则 y2＝﹣12（x﹣4）
D．若 x≤3，则 y2＝4x；若 x＞3，则 y2
B．an＝2n﹣1
＝﹣12（x﹣4）
C．S 没有最小值
6 n．四本大小相同的语文、数学、英语、物理练习册随机堆叠成一座四层小“书山”，记事件 A
为“语文练习册不在最底层”，事件 B为“数学练习册在语文练习册上层（可以不相邻）”， D．
则在事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率为（ ） （多选）10．已知随机变量 X～N（8，4），若 P（X≤6）＝a，P（8＜X＜10）＝b，则（ ）
A． B． C． D． A．P（X≥10）＝a B．
7．已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ ），现有如下四个命题： C．E（2X﹣1）＝13 D．D（2X﹣2）＝14
甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ； （多选）11．已知点 F（c，0）是椭圆 的右焦点，点 A，B分别是椭圆
第 1页 共 2页 ◎ 第 2页 共 2页
的左、右顶点，过点 F的直线 l与椭圆交于 P，Q两点，点 P在第一象限，用 kAP，kAQ，kBP （2）若 AB＝2，直线 AA1与平面 A1BC1所成角的正弦值为 ，求 AD的长度．
分别表示直线 AP，AQ，BP的斜率， ，则（ ）
A．
B．
C．a＝3
D．△AFP面积的最大值为
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 17．（15分）已知双曲线 C： 的左右焦点分别为点 F1、F2，右顶
12．若曲线 y＝lnx+ax在 x＝1处的切线经过点 P（3，0），则实数 a＝ ．
点 B（2，0），且 ．
13．已知 ，则 cos2α＝ ．
（1）求双曲线 C的方程；
14．已知数列 {an}中 a1＝ 1， an+1﹣ an ，则数列通项公式 an＝ （2）过左焦点 F1的直线 l与双曲线 C的左支交于 E、F两点，若 ，求直线 l的方程；
．
（3）若直线 l1与双曲线 C的右支相切，切点为 P，直线 l1与直线 l2： 交于点 Q，
试探究以线段 PQ为直径的圆是否过 x轴上的定点，若存在，求出定点坐标；若不存在，请
四．解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
说明理由．
15．（13分）记△ABC内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）求 C；
（2）若△ABC为锐角三角形，且外接圆直径为 ，求 的取值范围．
16．（15分）如图，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1中，底面 ABCD是矩形， ，
，点 E，F分别为 AB，CC1的中点，且 ．
（1）证明：平面 A1EF⊥平面 ABCD；
第 1页 共 2页 ◎ 第 2页 共 2页
18．（17分）已知 f（x）＝xlnx+asin（x﹣1），a∈R
（1）当 a＝0时，证明：f（x）≤x（x﹣1）；
（2）设 g（x）＝f（x+1），若对任意的 x∈（0，π），g（x）＞0恒成立，求 a的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数 n，总有 ．
19．（17分）在生态研究中，观察两种昆虫的信息传递，这两种昆虫的信息素中均含某种特殊化
学物质 A，A的浓度代表环境是否安全，但种群甲与种群乙的响应恰好相反，种群甲接收到
含高浓度 A的信息素后，认为“安全”，传递含高浓度 A的信息素，反之认为“危险”，传递
含低浓度 A的信息素；种群乙接收到含高浓度 A的信息素后，认为“危险”，传递含低浓度 A
的信息素，反之认为“安全”，传递含高浓度 A的信息素，初始时，第 1只昆虫属于种群甲，
其接受到了“安全”的环境信息并开始传递．每只昆虫传递信息时，有 p（0＜p＜1）的概率
将信息素传递给同种群的昆虫，1﹣p的概率将信息素传递给另一种群的昆虫，每次传递仅传
递给一只昆虫，且每只昆虫传递信息的准确性与传递给的对象无关．
（1）设 Pn为第 n只昆虫属于种群甲的概率，当 p 时，求 P4；
（2）求第 n只昆虫传递含高浓度化学物质的信息素的概率 hn；
（3）证明：当 p 时，|2 | ，并阐述若要使这两种昆虫种群更加适应
环境，p应该满足的要求及原因．
第 1页 共 2页 ◎ 第 2页 共 2页
参考答案 即 ，
一．选择题 又∵C∈（0，π），
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 ∴ ，
答案 D C B C D D C A ∴ ，
解得 ；
二．多选题 （2）因外接圆直径为 ，
题号 9 10 11
则由正弦定理可知 ，
答案 AB AB BCD
故 ， ，
∵△ABC是锐角三角形，
三．填空题
12． ．
∴ ，
13． ．
得 ， ，
14． ．
则 ，
∴ ， ，
四．解答题
15 由对勾函数的性质可知， 在 上单调递减，．解：（1）易得 ，
故 的取值范围为 ．
由正弦定理得 ，
而 sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA，
16．（1）证明：设 AB＝2a，则 ，
故 ，
易知 sinA≠0， 因为 ，
故 ， 所以
第 1页 共 2页 ◎ 第 2页 共 2页
5a2，
所以 ，即 AA1＝A1B，
因为 E为 AB的中点，
所以 AB⊥A1E，且 ，
17．解：（1）因为双曲线右顶点 B（2，0），所以 a＝2，设点 F1（﹣c，0）、F2（c，0），
所以 ，即 ，
则 ，
又 AB∩AD＝A，AB，AD 平面 ABCD，
所以 c2＝5，所以 b2＝c2﹣a2＝1，
所以 A1E⊥平面 ABCD，
因为 A E 平面 A 故双曲线 C的方程为： ．1 1EF，
所以平面 A1EF⊥平面 ABCD． （2）设直线 ，
（2）解：由 AB＝2，可得 ，则 ，
联立 ，消去 x得 ，
以点 E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设 AD＝b（b＞0），
由韦达定理得 ，
则 E（0，0，0），A1（0，0，2），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，b，0），
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
设平面 A1BC1的法向量为 ，则 ， 故直线 l的方程为 或 ，
令 z＝b，则 x＝2b，y＝﹣4，所以 ， 即直线 l的方程为 或 ．
设直线 AA1与平面 A1BC1所成角为θ， （3）当直线 l1的斜率不存在时，l1∥l2，不符合题意．
sinθ |cos | 当直线 l1的斜率存在时，设 l1：y＝kx+m，则 ＝ ， ，
解得 b＝±2（舍负）， 联立 ，消去 y得（4k2﹣1）x2+8kmx+4m2+4＝0，
所以 AD的长度为 2． Δ＝（8km）2﹣4（4k2﹣1）（4m2+4）＝﹣16（4k2﹣m2﹣1）＝0，所以 m2＝4k2﹣1，m≠0，
设切点 P（x3，y3），交点 Q（x4，y4），
第 1页 共 2页 ◎ 第 2页 共 2页
则 ， 设 h（x）＝g′（x），则 ，且有 g（0）＝0，g′（0）＝1
+a，
， ，
（i）当 a＜﹣1，x∈（0，π）时，h′（x）＞0，则 g′（x）单调递增，g′（0）＝1+a＜0，
假设存在 x轴上点 M（x0，0）满足条件，则 MP⊥MQ恒成立，
又 ，则必然存在一个 ，使得 g′（x0）＝0，
（x3﹣x0）（x4﹣x0）+y3y4
且有 x∈（0，x0）时 g′（x）＜0，g（x）单调递减；x∈（x0，π）时，g′（x）＞0，g（x）
单调递增，
此时，g（x0）＜g（0）＝0不满足 g（x）＞0恒成立；
（ii）当﹣1≤a＜0，x∈（0，π）时，h′（x）＞0，则 g′（x）＝h（x）单调递增，g′（x）
＞g′（0）＝1+a≥0，
，
所以 g（x）在（0，π）单调递增，所以 g（x）＞g（0）＝0，所以 g（x）＞0恒成立；
所以 ．
（iii）当 a≥0，x∈（0，π）时，显然 g（x）中（x+1）ln（x+1）＞0，asinx≥0则 g（x）＞
故存在 ，使得 ，即 MP⊥MQ，此时 x轴上定点 ． 0恒成立；
综上所述，a的取值范围是[﹣1，+∞）；
18．解：（1）证明：由题意 f（x）＝xlnx+asin（x﹣1），a∈R， （3）证明：由（2）中结论，
当 a＝0，f（x）＝xlnx，则 f（x）﹣x（x﹣1）＝x[lnx﹣（x﹣1）]，定义域为（0，+∞）， 有当 a≥﹣1时，（x+1）ln（x+1）+asinx＞0，对任意的 x∈（0，π）恒成立，
令 t（x）＝lnx﹣（x﹣1），则 ， 取 a＝﹣1可得，（x+1）ln（x+1）﹣sinx＞0，对任意的 x∈（0，π）恒成立，
令 t′（x）＞0，得 x∈（0，1）；令 t′（x）＜0，得 x∈（1，+∞）， 即对任意的 x∈（0，π），（x+1）ln（x+1）＞sinx，变形可得 ，
所以 t（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 分别令 ， ， ..， ，可得 ， ，……，
所以 t（x）max＝t（1）＝0，所以当 x∈（0，+∞）时 t（x）≤0，
，
所以 f（x）≤x（x﹣1）得证；
累 加 可 得
（2）设 g（x）＝f（x+1）＝（x+1）ln（x+1）+asinx，
若对任意的 x∈（0，π），g（x）＞0恒成立，则（x+1）ln（x+1）+asinx＞0恒成立， ，证
又 g′（x）＝1+ln（x+1）+acosx， 毕．
第 1页 共 2页 ◎ 第 2页 共 2页
19．解：（1）由题意可知，当 n＝1时，由初始条件为第 1只昆虫是种群甲，所以 P1＝1， 代入 ，
当 n≥2时，第 n只昆虫属于种群甲可能有两种情况：
故 2 ．
第 n﹣1只是甲且第 n只与它同种群，或第 n﹣1只是乙且第 n只与它不同种群，
也即 Pn＝Pn﹣1 p+（1﹣Pn﹣1） （1﹣p），得 Pn＝（2p﹣1）Pn﹣1+1﹣p， 化简得 ，
当 时， ，解得 ， 则
即当 n≥2， 时，第 n只昆虫属于种群甲的概率恒为 ， ＝ [（ 2p﹣ 1）
n﹣ 1（ 2p﹣ 1） n﹣ 2…（ 2p﹣ 1） ] （ 2h ﹣ 1）＝（ 2p﹣ 1） 1+2+ +（ n﹣ 1）1 .
，
又 P1＝1．故第 n只昆虫属于种群甲的概率 ，则 ；
故 ．
（2）由题意可知，当 n＝1时，由初始条件为第 1只昆虫是种群甲，其传递高浓度信号，所
（3）易有 ，
以 h1＝1，
当 n≥2时，第 n只昆虫传递高浓度信号可能有两种情况： 由|a+b|≤|a|+|b|，则 ，
第 n只昆虫接收高浓度信号且是甲种群，或第 n只昆虫接收低浓度信号且是乙种群， 因为 p∈（0，1）且 ，则 0＜|2p﹣1|＜1，
则 hn＝hn﹣1 Pn+（1﹣hn﹣1） （1﹣Pn），
当 k≥1时， 恒成立，且|2p﹣1|＜1，
即 hn＝（2Pn﹣1）hn﹣1+1﹣Pn，
由（1 则 ，也即 ，）得：Pn＝（2p﹣1）Pn﹣1+1﹣p，P1＝1，则 ，
n
2p 1 又 ，0＜|2p﹣1| ＜1，则 1﹣|2p﹣1|
n＜1，
当 时， 是以 为首项， ﹣ 为公比的等比数列，
故 ，
故 ，则 ，
综上， ．
经检验，当 时也满足上述递推式，
若认为 p趋近于 1越好：保证信息传递的准确性和一致性，
故 ，
以便种群内部能快速对特定环境做出统一反应，可以在两个种群之间形成两个高效但隔离的
变形可得 ， 通信网络，
则 1 ， 若认为 p趋近于 越好：说明两个种群之间维持了系统的稳定性，且对错误信息有一定的抵
抗能力，
第 1页 共 2页 ◎ 第 2页 共 2页
以便在复杂多变的环境中不被单一信息源误导．（只需提出一个角度，言之有理即可，认为 p
趋近于其它值不给分．）
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2 0 2 6 /4 /5 11 :3 2 :1 7；用户：1 8 6 6 5 9 2 5 4 3 6；邮箱：1 8 6 6 5 9 2 5 4 3 6；学号：2 4 3 3 5 3 5 3
第 1页 共 2页 ◎ 第 2页 共 2页

展开更多......

收起↑