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新人教版八年级数学下册期中压轴解答题汇编
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
1．(1)
(2)
(3)
（1）依据题意，先分母有理化，再合并同类二次根式，然后化简二次根式后进行有理数的运算；
（2）先计算出，再利用分母有理化得到，接着利用得到，然后解一次方程即可；
（3）先设，，则，，根据完全平方公式变形公式求出即可．
（1）解：原式
．
（2），，
，，
，
，
．
（3）解：设，，则．
，
，
，
，
．
，
（负值已舍去），
．
本题主要考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键．
2．(1)
(2)
(3)
本题主要考查了有理数的混合运算、分母有理化、分子有理化，解决本题的关键是根据题干中提供的思路，利用平方差公式把二次根式的分子或分母转化成有理数．
（1）根据题干中提供的分母有理化的方法，把二次根式的分母转化为有理数，再进行计算；
（2）根据题干中提供的分子有理化的方法，把两个二次根式转化为分子为的形式，再根据分子相同，分母越大的则分数的值越小比较两个无理数的大小；
（3）首先把算式中各部分的分母有理化，再合并同类二次根式．
（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
，
；
（3）解：
．
3．(1)3
(2)4
(3)是，理由见解析
（1）如图：连接，由与在边上的高相等，可知当点P为中点时，与面积相等，再说明此时与不全等，即与是偏等积三角形，则；
（2）先由与是偏等积三角形，且与在边上的高相等，得，再证明得，，由三角形的三边关系得，则，而AD是正整数，则，进而求得的长；
（3）先证明，再由，，说明与不全等，如图3：作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，从而证明与是偏等积三角形．
（1）解：如图1，连接，
与在边上的高相等，
当，与面积相等，
，
，
，
，，，
与不全等，
此时与是偏等积三角形，
故答案为：
（2）解：如图2，与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，
，
∵，
，
在和中，
，
，
，，
，且，，
，
，
线段AD的长度为正整数，
，
（3）解：与是偏等积三角形，理由如下：
如图3，
，
，
，
，
，，
与不全等，
如图3：作于点F，交DC的延长线于点G，则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
与面积相等，
与是偏等积三角形．
4．(1)
(2)（1）中的猜想还成立．证明见解析
(3)或10
（1）取的中点H，连接，由边的关系得出，再根据角的关系得出，，利用证明，由全等三角形的性质即可得出．
（2）在上取一点M，使，连接，同（1）证明，利用全等三角形的性质得出．
（3）分两种情况，当F点在E点左侧时和当F点在E点右侧时，画出图形，分别求解即可．
（1）解∶取的中点H，连接，
∵，E是中点
∴，
∵F是中点，H是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴．
（2）解：成立，
证明如下∶在上取一点M，使，连接，
∵，E是中点，
∴，
∵，
∴， ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴；
（3）解：①当F点在E点左侧时，
由(2)知，，
∵，，
∴，
∴，即．
当点F在E点右侧时，延长至N使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，．
∴，
∵，，
∴，
∴；
综上：的值为或10．
5．(1)图形见解析，
(2)
(3)，理由见解析
（1）根据题意补全图形即可；根据正方形的性质，结合为边中点得出，利用勾股定理求出，利用轴对称的性质得出是的垂直平分线，，再利用面积法求出，进而可得答案；
（2）根据轴对称得性质得出，再利用正方形的性质得出，求出两个等腰三角形的底角的度数，即可得答案；
（3）过点作，交于，设交于，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，，即可证明，得出，，结合（2）可得，根据平行线的判定定理即可得结论．
（1）解：补全图形如图所示：、交于点，
∵正方形中，，为边中点，
∴，，
∴，
∵点关于直线的对称点为点，
∴是的垂直平分线，，
∵，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：如图所示：
∵点关于直线的对称点为点，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
如图，过点作，交于，设交于，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴．
6．(1)
(2)3
(3)6
(4)，见解析
本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键．
（1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和，
（2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y，
（3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算，
（4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小．
（1）解：根据定义：，，
故答案为：；
（2）解：数对的衍生数对：，，
数对的衍生数对：，，
由衍生数对相同得 且，解得，
故答案为：3；
（3）解：由，得，故，
由，得，
；
（4）解：由定义得，，作差：
，
，且，，故分子，
7．(1)①；②；③
(2)
(3)
本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是掌握分母有理化．
（1）利用分母有理化的方法进行求解即可；
（2）先化简，根据，求得的值，进而代入代数式求解即可；
（3）分析所给的式子的特点，逆用积的乘方运算法则，结合平方差公式，进行求解即可．
（1）解：①；
②；
③．
故答案为：①；②；③．
（2）解：∵，，
的整数部分是，的小数部分是，
∵，，
∴，
∴
（3）解：
．
8．(1)3，
(2)，
(3)，，
本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值．
（1）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最大值，同时确定等号成立时x的值；
（2）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，同时确定等号成立时x的值；
（3）先对M进行变形，将分子凑成含有的形式，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，当且仅当，，且，此时确定等号成立时x的值．
（1）解：由题意知，，
解得，
∵，
∴，
故答案为：3，．
（2）解：，
当且仅当，即，解得，
∵，
∴时，的最小值为．
（3）解：
,
当时，．
当且仅当，，且，
∴，．
9．(1)的长为
(2)见解析
(3)的长为或
本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识点，关键是折叠的性质的应用；
（1）由折叠得到，再利用勾股定理即可求得；
（2）利用折叠及判定三角形全等即可得证结论；
（3）利用勾股定理分情况讨论即可．
（1）解：设，则，
由折叠的性质可知，
在中，，
，
解得，
的长为；
（2）证明：由折叠的性质可知，，
在和中，
，
≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
（3）解：①当在的延长线上时，如图①，
由，设，则，
，
，
，
，
，，
设，则，
在中，，
，
解得，
；
②当在线段上时，如图②，
设，则，
由折叠的性质可知，
，，
，
在中，，
，
解得，
，
综上，的长为或．
10．(1)是
(2)，
(3)
本题主要考查了勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据勾股逆定理即可判断出是等腰直角三角形，进而由三线合一可知，再根据是等腰直角三角形，即可得解；
（2）由（1）思路过A作于点L，易得，再证，即可得，，据此求解；
（3）由（2）思路可构造手拉手全等，并利用等腰直角三角形斜边的高等于斜边的一半得解．
（1）解：，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，是等腰直角三角形，
；
故答案为：是，；
（2），
，
过A作于点L，
则，
在中，，
，
由题可知，
，
在和中，
，
∴，
，，
记交点为O，
则，
，
；
（3）在中，，
当点P在下方时，如图，
连接，将逆时针旋转得到线段，连接，
则，
，
在和中，
，
，
，，
在四边形中，，
，
，
、C、G三点共线，
为等腰直角三角形，
过A作于点H，则，
即h的值为；
当点P在上方时，如图，
同理可得，
，
；
综上，h的值为
11．（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3）
本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可．
解：（1）由题意得，
故答案为：；
（2）将圆柱体展开，由题意得
，
蚂蚁爬行的最短距离为；
（3）如图，
从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点，
，，
，
，
，
蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是．
故答案为：．
12．(1)见解析；
(2)
(3)
本题主要考查了证明勾股定理、勾股定理的应用等知识点，灵活利用面积法证明勾股定理是解题的关键．
（1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论；
（2）利用割补法求解即可；
（3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可；
（1）证明：∵，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设边上的高为x，
∵，
∴．
（3）解：在中，由勾股定理得：
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
∴，解得：．
13．(1)
(2)
(3)
(4)
本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键．
（1）根据分母有理化即可求解；
（2）利用二次根式的性质得到，，再比较两者的大小即可得出结论；
（3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可；
（4）仿照题目的方法进行求解即可．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）解：，
∴
；
（4）解：，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
14．（1）；（2）；（3）<，>
本题考查二次根式的运用，熟练掌握二次根式的计算和完全平方公式是解题的关键，
（1）利用完全平方公式展开，再利用二次根式计算即可得到答案：
（2）利用分母有理化计算即可得到答案；
（3）先计算各个数的平方，再利用平方比较大小即可得到答案．
解：（1）由题可得：，
故答案为：；
（2）由题可得：，
整理得：，
移项得：，
解得：，
故答案为：；
（3）由题可得：令，，
∴，，
∴，
∴；
令，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：<，>．
15．（），；（）；（）
（）仿照小明的方法解答即可；
（）仿照小明的方法解答即可；
（）根据规律计算即可；
本题考查了二次根式的性质与化简，数字的规律，熟练掌握题中给出的方法是解题的关键．
解：（），
∴，
∴，
故答案为：，；
（）
；
（）原式
．
16．(1)
(2)
(3)9
本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解；
（2）先利用分母有理化的方法对各式子进行整理，再代入式子化简求解即可；
（3）先求出，再计算出，结合，，即可求解．
（1）解：原式
（2），，
．
．
．
，
，
，
解得：；
（3），
，
，
，
，
，
．
故答案为：9．
17．(1)10；
(2)；
(3)18
本题考查了勾股定理，数式变换规律，二次根式的化简，关键是归纳总结出数式变换规律，有关二次根式的运算．
（1）认真阅读题目，根据勾股定理写出答案即可；
（2）认真分析数式，总结归纳出规律即可；
（3）化简整理后求值即可．
（1）解：由题意可得，，，
故答案为：10，；
（2）解：由题意可得，，
故答案为：，；
（3）解：
..
．
18．(1)；
(2)
(3)的值为或
(4)
本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
（1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可；
（4）先计算，再利用完全平方公式，变形化简即可．
（1）解：∵，
∴，，
故答案为：；；
（2）解：∵，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，，即，
∵、、均为正整数，
∴，或，，
∴当，时，；
当，时，；
∴的值为或；
（4）解：∵
，
∴．
19．(1)，，；
(2)；
(3)．
本题主要考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，仿照材料中提供的思路进行解答．
仿照材料中提供的解题思路进行分母有理化即可；
仿照材料中提供的解题思路把每一个二次根式分别进行分母有理化，再合并同类二次根式即可；
首先把，分别进行分母有理化，再把分母有理化后的值代入代数式中计算求值即可．
（1）解：；
；
；
故答案为：，，；
（2）解：
；
（3）解：，，
，
，
，
．
20．(1)
(2)
(3)当t的值为5或11时，能使
本题考查了勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，一元一次方程，等腰三角形的定义，分类思想，三角形面积的性质，熟练掌握勾股定理和三角形全等的判定是解题的关键．
（1）根据题意，，由平分的面积，得结合，解答即可；
（2）当是以为底的等腰三角形，，然后对运用勾股定理建立方程求解；
（3）根据勾股定理，得，分点P在上和在的延长线上，两种情况解答即可．
（1）解：根据题意，，，，
由平分的面积，
得，
∴，
∵，
∴，
解得；
（2）解：当是以为底的等腰三角形，，
根据题意得，
，
，
∵，
∴，
，
解得；
（3）解：连接，
∵，，，，，
∴，
根据勾股定理，得，
当点P在上时，
∵
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得．
当点P在的延长线上，
∵
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得．
∴，
解得．
故当或时，．
21．(1)，
(2)见详解
(3)
（1）先整理得出，再根据，即可证明，可得结论；
（2）如图，作于G，于H．想办法证明，即可解决问题；
（3）作于G，由直角三角形的性质得出设，则，，求出，由（1）得：，，求出，得出，求出，即可得出的面积．
（1）解：∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴
故答案为：，；
（2）证明：作于G，于H，如图所示：
∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴
∴
∵，
∴
即
∵
∴，
∵于G，于H，
∴平分，
即是的平分线
（3）解：作于G，如图所示：
∵，，
∴
∴，
设，则，
∵
∴
∴
由（2）得，
∴，
∵，
则，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积公式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）6
（1）证明即可得到，延长交于点，根据互余关系求证即可；
（2）过C作；证明，则；由已知易得，；由勾股定理得，进而得；
（3）设，则，由(1)可得，则，导角证明，过点E作交延长线于点H，则，在中，，则，由勾股定理得，在中，，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得 ，再由即可求解．
（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
延长交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过C作，
则；
∵O为的中点，
∴；
在和中，
，
∴，
∴；
由（1）知，，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∴；
由勾股定理得，
∴；
（3）解：设，则，
由(1)可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
过点E作交延长线于点H，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴由勾股定理得：，
在中，，
∴由勾股定理得：，
在中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识；有一定的综合性，证明三角形全等是解题的关键．
23．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)的长为
（1）利用证明，可得，再利用直角三角形的性质即可解决问题；
（2）延长交于，证明，可得，，进而证明是等腰三角形，由等腰三角形的性质可证明；
（3）由（2）可知，，证明，求出，，过点G作于点N，求出，进而求出，即可解答．
（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴为斜边上的中线，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，延长交于点H，
∵是的中点，
∴，
∵四边形和四边形是菱形，点，，在同一条直线上，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
（3）解：由（2）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
过点G作于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)
（1）取，连接，说明是等腰直角三角形，再证明，可得答案；
（2）在延长线上截取，连接，证明,得出，作于点，证明，得到，再利用勾股定理计算，即可解决问题．
（1）解：成立，理由如下，
取，连接．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵四边形是正方形，
∴．
∵是正方形外角的平分线，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，在延长线上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，为正方形外角平分线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
又，，
∴，
∴，
作于点，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
25．（1）等边三角形；（2）；（3）．
（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，根据即可得是等边三角形；
（2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系；
（3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解．
解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，则
由折叠可知：，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2），理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵E，F为边的三等分点，
∴，
由折叠可知：，，
则，
∴，
由三角形外角可知：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，则，
∴；
（3）由折叠可知：，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
延长交于，则
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，即，
∴
∵的面积为24，，即：，
∴，
则，
∴．
本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
26．(1)见解析
(2)①；②
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）由可得，可得，可得结论；
（2）①由等腰三角形的性质可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解；
②如图，过点H作于点M，证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论．
（1）证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点，
∴，
∴，且，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①如图2，过点D作于点N，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②，
理由如下：如图，过点H作于点M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
27．(1)见解析
(2)
(3)
（1）根据平分，可得，利用四边形是平行四边形，求证即可;
（2）连接、，根据平分，四边形是矩形，可得和都是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一，可得，，，证明，即可得是等腰直角三角形，即可求解；
（3）延长、交于点，连接，求证四边形是菱形，证明可得结论．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
，．
，．
平分，
．
．
，
．
．
（2）如图，连接、，
∵四边形是矩形，
，．
．
平分，
．
．
，，．
．
又是的中点，
，，．
．
在和中，
，
．
，．
，
．
．
．
（3）如图，延长、交于点，连接，
∵四边形是平行四边形，
，．
，
．
∴四边形为平行四边形．
，平分，
，．
．
．
，
．
∴平行四边形为菱形．
，．
、为等边三角形．
．
， ，
∴四边形为平行四边形．
，．
，，
．
在和中，
，
．
．
，
．
．
28．(1)为等边三角形，理由见解析
(2)
(3)或
本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）根据平行四边形的性质，得到，，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边推出，即可得出结论；
（2）如图②中，由四边形是平行四边形，推出，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题；
（3）分和，两种情况进行讨论求解即可；
（1）解：为等边三角形，理由如下：
∵平行四边形，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形；
（2）解：如图中，过作于点，
由（1）可知，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
（3）∵平行四边形，
∴，
∴，
∴当时，四边形为平行四边形，
点的运动时间为，点从点运动到点所用时间为，
①当时，，故，
∴，解得；
②当时，，
∴，解得；
综上：或．
29．(1)；
(2)见解析
(3)与能垂直，
(4)或时，是直角三角形
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的动点问题，掌握在直角三角形中所对的边是斜边的一半和平行四边形的判定及菱形和矩形的性质运用是解题的关键．
（1）根据题意，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，得，，再由，求解即可；
（2）根据，得，再根据（1）得即可证明；
（3）根据（2）所证四边形是平行四边形，利用时，四边形是菱形，菱形对角线垂直，可得，建立方程求解即可；
（4）分别从与两种情况讨论即可求解．
（1）解：四边形是矩形，
，
，
，
点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；；
（2）证明：四边形是矩形，
，
，
，
．
由（1）可知，．
，
，
四边形是平行四边形．
无论为何值，四边形总是平行四边形；
（3）解：与能垂直，理由如下：
由（2）可知，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
根据菱形的对角线互相垂直，可得，
．
解得，
当时，；
（4）解：当时，．如图1，
，
，
，，
，
解得：；
当时，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
解得：，
综上所述，当或时，是直角三角形．
30．（1）；（2）见解析；（3）；（4）6
本题主要考查全等三角形的判定和性质和正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定，即“字”模型或“一线三等角”模型．
（1）根据全等三角形的性质即可得到答案；
（2）分别过点和点作于点，于点，利用模型即可得到，有，同理可知，进一步利用模型证明，得，即可证明点是的中点；
（3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于，结合正方形的性质和模型即可证明，则和，同理可以证明，则有和，即，要基本证明，得，结合和，得到即可得到答案；
（4）过点作于点，即可求得，由（3）可知，，，即可知三个阴影三角形的面积和为．
（1）解：，
，，
故答案为：；
（2）证明：分别过点和点作于点，于点，如图
，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
，
，
同理可知，
，
，，
，
，
，
，
即点是的中点；
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于，
四边形与四边形都是正方形，
，，，
，，
，，，
又，
，
，
，，
同理可以证明，
，，
，
，，，
，
．
，，
，
，
即，
故答案为：．
（4）解：过点作于点，
，，
，
，
，
由（3）可知，，，
图中的三个阴影三角形的面积和为，
故答案为：6；(共5张PPT)
新人教版八年级数学下册期中压轴解答题汇编
试卷分析
二、知识点分布
一、解答题
1 0.4 通过对完全平方公式变形求值；二次根式的混合运算；分母有理化
2 0.4 二次根式的混合运算；分母有理化；比较二次根式的大小
3 0.3 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；三角形三边关系的应用；根据三角形中线求面积；用勾股定理解三角形
4 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据矩形的性质求线段长；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
5 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据成轴对称图形的特征进行求解；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
6 0.4 二次根式的乘除混合运算
7 0.4 无理数整数部分的有关计算；二次根式的混合运算；分母有理化
8 0.4 二次根式的应用；求一元一次不等式解的最值；通过对完全平方公式变形求值
9 0.4 勾股定理与折叠问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
10 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；判断三边能否构成直角三角形；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
11 0.4 几何体展开图的认识；根据成轴对称图形的特征进行求解；求最短路径(勾股定理的应用)
12 0.4 勾股定理与网格问题；勾股定理的证明方法；以弦图为背景的计算题；用勾股定理解三角形
13 0.4 分母有理化；比较二次根式的大小；已知条件式，化简求值
14 0.4 运用完全平方公式进行运算；二次根式的混合运算；分母有理化；实数的大小比较
15 0.4 利用二次根式的性质化简
16 0.4 通过对完全平方公式变形求值；利用二次根式的性质化简；分母有理化；已知条件式，化简求值
17 0.4 二次根式的混合运算；数字类规律探索；用勾股定理解三角形
18 0.4 运用完全平方公式进行运算；二次根式的混合运算
19 0.4 异分母分式加减法；二次根式的混合运算；分母有理化
20 0.4 全等的性质和HL综合（HL）；等腰三角形的定义；几何问题(一元一次方程的应用)；根据三角形中线求面积；用勾股定理解三角形
二、知识点分布

21 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的定义；角平分线的判定定理；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
22 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
23 0.4 斜边的中线等于斜边的一半；利用菱形的性质求线段长；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
24 0.46 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
25 0.4 折叠问题；利用平行四边形的性质求解；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
26 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
27 0.4 利用矩形的性质证明；根据菱形的性质与判定求角度；根据菱形的性质与判定求线段长；利用平行四边形性质和判定证明
28 0.4 利用平行四边形的性质求解；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
29 0.4 利用菱形的性质证明；含30度角的直角三角形；根据矩形的性质求线段长；列代数式；证明四边形是平行四边形
30 0.4 全等三角形综合问题；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形新人教版八年级数学下册期中压轴解答题汇编
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．阅读下列材料，解答下列问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中有一种数学思想叫作换元，它可以简化我们的计算．
(1)计算：．
(2)已知是正整数，，，，求的值．
(3)已知，求的值．
2．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，．
根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)运用分母有理化，化简：；
(2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由；
(3)计算：的值．
3．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，
初步尝试
(1)如图1，在中，，，P为上一点，当的长为______时，与为偏等积三角形；
理解运用
(2)如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作平行，交的延长线于点E，求的长；
综合应用
(3)如图3，已知四边形，、是等腰直角三角形，，则与是偏等积三角形吗？请说明理由．
4．在矩形中，，是中点，连接，，点是射线上一动点（不与点，重合），过点作交直线于点．
(1)如图1，若点是中点，猜想与的数量关系：______
(2)若是线段上任意一点，其他条件不变（1）中的猜想还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立请说明理由．
(3)若点是射线上一点，，，则______．（请直接写出的长）
5．如图，正方形中，，点在边上，点关于直线的对称点为点，连接，，．
(1)当为边中点时，根据题意补全图形，并求的长；
(2)当为边上一点，，求的度数；
(3)过作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由．
6．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为；
(1)数对的“衍生数对”是 ；
(2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ；
(3)若数对的“衍生数对”是，求的值；
(4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由．
7．观察下列等式：
；
；
；
…
(1)求下列各式的值：
①______；
②______；
③______（为正整数）．
(2)已知，，若的整数部分是，的小数部分是，则的值为______．
(3)计算．
8．阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得：
∴
∴，
当且仅当时，等号成立．
因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值．
例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2．
阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为．
例：若，则变形为，
∴该方程的解为，
化简后得：．
请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题：
(1)若，当_______时，式子的最大值为_______．
(2)若，求出的最小值及对应的x的值．
(3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值．
9．已知点，分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点落在处，点落在处．当，时，请解决下列问题：
(1)如图，若点恰好与点重合，与相交于点，连接、，求的长；
(2)如图，若点恰好在边上时，交于点，且满足，求证：；
(3)若点在边所在直线上，且满足，求的长．
10．如图，已知中，，
(1)______填“是”或“不是”直角三角形，如图1，过点A作于点H，则线段的长度为______；
(2)如图2，以A为直角顶点，作等腰直角，，点B，D，E在同一条直线上，连接，请求出线段长，并说明与的位置关系；
(3)在同一平面内有一点P，满足，且，设点A到直线的距离为h，请直接写出h的值．
11．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？
【探究】
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______．
【应用】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离．
【拓展】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计）
12．综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．
(1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得， 则边上的高为_______；
(3)如图4，在中，是边上的高，，求的长．
13．已知，求的值．
小明是这样解答的：
解：因为，所以
所以，即，所以
所以．
请根据小明的解答过程，解决下列问题：
(1)化简：________；
(2)比较大小：________（填“”，“”或“”）
(3)计算：；
(4)若，求的值．
14．按要求进行二次根式的有关计算：
（1）阅读：，反之，；
，反之，．
应用： ______．
（2）阅读：，；
应用：方程的解是______．
（3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法：
，，因，且x，y都是正数，故．
应用：比较大小：______，______．
15．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；；
【类比归纳】
（）小华仿照小明的方法将化成了，则______，______；
（）请运用小明的方法化简；
【拓展提升】
（）计算：．
16．阅读下列材料，然后回答问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)若是正整数，，，且，求的值；
(3)若，则的值是______．（直接写出答案结果）
17．如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
，；
，；
，．
(1)推算出__________；__________．
(2)请用含（是正整数）的式子填空：__________，__________．
(3)求出的值．
18．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中、、、均为整数），则有．
，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________；
(2)的算术平方根为_________________；
(3)若，且、、均为正整数，求的值；
(4)化简：．
19．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
；
；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)化简：______；______；______；
(2)化简：；
(3)已知，，求的值．
20．如图，已知在中，，，，点D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为连接．
(1)当平分的面积，求满足条件的t的值．
(2)当是以为底的等腰三角形，求满足条件的t的值．
(3)过点D作于点在点P的运动过程中，当t为何值时，能使
21．在学习全等三角形知识时数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，这个模型就是我们熟悉的“手拉手”模型．
(1)如图1，两个等腰三角形和中，，连接、，始终存在____________；
(2)如图2，在（1）的条件下，求证：是的平分线．
(3)如图3，与都是等腰直角三角形，其中，当时，求的面积．
22．20．综合与实践探究
【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且
【初步探究】（1）小鸣将绕点A在平面内自由旋转，连接后，发现他们之间存在着一定的关系，如图（1），请证明：且；
【深入探究】（2）若，O点为的中点，旋转过程中，当点D、点E和点O三点共线时，如图2，求证：．
【拓展探究】（3）如图3，当，，，则______．（直接写出结果）
23．问题引入：如图1，，，，是线段的中点．连接并延长交于点，连接．
(1)判断与之间的数量关系，并说明理由．
(2)问题延伸：如图2，在菱形和菱形中，点、、在同一条直线上，点在上，是线段的中点，连接、，且．判断与之间的位置关系，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，连接，若，，则的长为____________．
24．学完《正方形》后，老师布置了一道作业题：
如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．）
爱思考的小华做完这道题后，想到老师在课堂上经常通过变条件、变结论、条件结论互换、变图形等多种方式对例题进行变式，以锻炼同学们的思维能力．于是他把原题中的“点为边的中点”改为“点为直线上任意一点（两点除外）”，其他条件不变，问：结论是否还成立．聪明的你，请和小华一起解答这道题目吧．
(1)如图1，当点在边上时，结论是否还成立，并说明理由；
(2)如图2，当点为反向延长线上一点，交正方形外角的平分线所在直线于点．若时，则的长为_________．
25．综合与实践
问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．
分析探究：
（1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ．
问题解决：
（2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长．
26．平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接 ，如图1．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与 分别交于点G H R，如图2
①当，时，求的长．
②探究与的数量关系，直接写出答案．
27．在平行四边形中，的平分线交直线于E，交直线的延长线于点F．
(1)在图1中证明；
(2)若四边形是矩形，G是的中点（如图2），直接写出的度数；
(3)若，，，分别连接，（如图3），求的度数．
28．已知，在平行四边形中，一动点P在边上以的运动速度从点A向终点D运动．
(1)如图①，若，运动过程中，当平分时，判断的形状并说明理由；
(2)如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若长为，的面积为______；
(3)如图③，另一个动点Q在边上，以的速度从C点出发，在间进行往返运动，当点P运动停止时，点Q也随之停止．若长为，请直接写出t为何值时，以A、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形．
29．如图，在矩形中，，，点P从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间是t秒，过点P作于点E，连接，．
(1)______，______（用含t的代数式表示）；
(2)试说明：无论t为何值，四边形总是平行四边形；
(3)连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(4)直接写出当t为何值时，为直角三角形．
30．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到△．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
（2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．
【深入探究】
（3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为， 的面积为，则有 （填“、、” ；
（4）如图4，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为 ．

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