资源简介

2025-2026学年高三下学期 3月素质检测数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在
答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集 U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合 A＝{x∈U|x2＞1}，则 UA＝（ ）
A．{﹣3，﹣2，2，3} B．{﹣1，0，1}
C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．复数 的实部为（ ）
A． B． C．1 D．
3．设 F1，F2分别为双曲线 C： （a＞0，b＞0）的上，下焦点，过点 F2的直
线 l与 C的一条渐近线交于点 P，若 PF1⊥y轴，且点 F1到 l的距离为 ，则 C的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
4．设随机变量 X N（4，9），若 P（X＞b﹣1）＝P（X＜8﹣4b），则 b＝（ ）
A．1 B．0 C． D．﹣1
5．已知圆 F： ，一动圆 P与直线 相切且与圆 F外切，动圆圆心
P的轨迹为 T．M为 T上一动点，E（3，1）为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线 l的方程是 x＝﹣2
B．|ME|+|MF|的最小值为 3
C．A，B为曲线 T上的两点，点 E为线段 AB的中点，则 AB所在的直线方程为 x﹣2y﹣10
＝0
D．以线段 MF为直径的圆与 y轴相切
6．自然界元素的相对原子质量的计算需要知道丰度，计算公式为：A1 a1%+A2 a2%+…+An
an%，小丁同学发现，a1%+a2%+…+an%＝1，他根据这一科学事实，构造出严格增数列
{an}，其中 an均为正整数且{an}中所有项的和为 100，则关于数列{an}说法正确的是（ ）
A．可能为等差数列，不可能为等比数列
B．可能为等比数列，不可能为等差数列
C．既可能是等差数列，也可能为等比数列
D．既不可能为等差数列，又不可能为等比数列
7．已知函数 f（x） ，k≠0，若 f（2﹣k）＝f（2+k），则 k＝（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（x∈R，ω＞0）的部分图象如图所示，M，N为 y＝f
（x）图象与 x轴交点且满足 为等边三角形，则ω＝（ ）
A．1 B． C． D．2
二．多项选择题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的
四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的
得部分分，有选错的得 0分）
9．已知 a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 a＜b＜0，则 ab＞b2
B．若 a＞b，则 ac2＞bc2
C．若 a＜b＜0，则
D．若 c＞b＞a，则
10．已知平面内动点 P（x，y）到定点 F（0，2）的距离与到定直线 l：y＝4的距离之和等
于 6，其轨迹为曲线 C，则下列结论正确的是（ ）
A．若 y≤4，则点 P的轨迹是以 F（0，2）为焦点的抛物线的一部分
B．P点横坐标的取值范围是
C．若过点 F的直线与曲线 C的 y≥4部分图象和 y＜4部分图象分别交于 A，D，则 AF
＝2DF
D．对给定的点 T（﹣2，t）（t∈R），用 m（t）表示|PF|+|PT|的最小值，则 m（t）的最小
值为
11．如图，已知正三棱台 ABC﹣A1B1C1的上、下底面边长分别为 2和 6，侧棱长为 4，点 P
在侧面 BCC1B1内运动（包含边界），且 AP与平面 BCC1B1所成角的正切值为 为
CC1上一点，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A．正三棱台 ABC﹣A1B1C1的高为
B．点 P的轨迹长度为
C．高为 ，底面半径为 的圆柱可以放进该棱台内
D．过点 A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
三．填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12．已知向量 （4，y），若 ∥（ ），则| |的最小值
为 ．
13．中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文
化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，
其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产 500件、300件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品
率 依 次 为 2%， 4%， 4%． 现 从 这 批 瓷 器 中 任 取 一 件 ， 取 到 次 品 的 概 率
是 ．
14．已知函数 f（x）＝e2x﹣e﹣2x，若 f（a）+f（a2﹣12）＜0，则实数 a的取值范围
是 ．
四．解答题（共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）在△ABC中，内角 A，B，C满足 ．
（1）求 tanA；
（2）若 AB边上的高等于 ，求 sinC．
16．（15分）甲有 50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择：
项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的 20%；如果投资失败，
一年后将丧失本金的 30%，这两种状况发生的概率分别为 ， ．
项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的 12%，可能丧失本金的 20%，也可
能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为 ， ， ．
（1）设随机变量 X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求 X，Y的分布列；
（2）针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由．
17．（15分）如图，在四棱锥 M﹣ABCD中，底面 ABCD是菱形，∠BAD＝∠MAD ，
AD＝AM＝2，MC ．
（1）求证：平面 MAD⊥平面 ABCD；
（2）求平面 MAB与平面 MCD夹角的正弦值．
18．（ 17分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 抛 物 线 C： y2＝ 2x， 直 线
，且 l与 C交于 P，Q两点．构造点列{An}如下：设 A1
的坐标为（1，0），直线 PAn，QAn与 C的另一个交点分别为 Pn（xpn，ypn），Qn（xqn，yqn），
直线 PnQn与 x轴的交点为 An+1．设点 An的坐标为 ．
（1）若△POQ的面积为 ，求 l的斜率；
（2）用 ypn，yqn表示直线 PnQn的方程；
（3）设△PnOQn的面积为 Spqn，求 Spq11的最大值．
19．（17分）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体
做法如下：如图，设 r是 f（x）＝0的根，首先选取 x0作为 r的初始近似值，若 f（x）
在点（x0，f（x0））处的切线与 x轴相交于点（x1，0），称 x1是 r的一次近似值；用 x1
替代 x0重复上面的过程，得到 x2，称 x2是 r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：
x0，x1，x2，…，xn，…．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当 近
似值相等时，该值即作为函数 f（x）的一个零点 r．
（1）若 f（x）＝x3+3x2+x﹣3，当 x0＝0时，求方程 f（x）＝0的二次近似值（保留到小
数点后一位）；
（2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函
数 g（x）＝ex﹣3在点（2，g（2））处的切线，并证明： ；
（3）若 h（x）＝x（1﹣lnx），若关于 x的方程 h（x）＝a的两个根分别为 x1，x2（x1
＜x2），证明：x2﹣x1＞e﹣ea．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B C D A A C
二．多选题
题号 9 10 11
答案 AD ACD BCD
三．填空题
12． ．
13． ．
14．（﹣4，3）．
四．解答题
15．解：（1）设△ABC的内角 A，B，C所对边分别为 a，b，c，
根据 ，由正弦定理得 ，
结合余弦定理，可得 ．
又因为 0＜A＜π，所以 ，可得 tanA＝1．
（2）过点 C作 CH⊥AB于点 H，
在 Rt△ACH中，∠ACH＝∠A ，可得 CH＝AH．
因为 Rt△BCH中， ，所以 ，可得 ，
设∠HCB＝θ，则 ， ，
所以 sinC＝sin（ θ）＝sin cosθ+cos sinθ ．
16．解：（1）根据题意，X可取的值为：﹣15，10；
其分布列为
X ﹣15 10
P
Y可取的值为：﹣10，0，6，
其分布列为
Y ﹣10 0 6
P
（2）根据题意，E（X）＝（﹣15） 10 2.5（万元），
E（Y）＝6 （﹣10） 0 2.5（万元），
但项目一发生损失的概率较大，则甲应该选择项目二．
17．（1）证明：取 AD的中点 E，连接 CE，ME，AC，
因为底面 ABCD是菱形， ，AD＝2，
所以△ACD是边长为 2的等边三角形，
又 E为 AD的中点，所以 CE⊥AD，且 ，AE＝1，
在△MAE中，AE＝1，AM＝2， ，
由余弦定理得，ME2＝AE2+AM2﹣2AE AMcos∠EAM＝1+4﹣2 1 2 （ ）＝7，即
，
又 ，所以 MC2＝ME2+CE2，即 CE⊥ME，
又 CE⊥AD，AD∩ME＝E，AD，ME 平面 MAD，所以 CE⊥平面 MAD，
因为 CE 平面 ABCD，
所以平面 MAD⊥平面 ABCD．
（2）解：在平面 MAD内，过 M作 MO⊥AD，MO与 DA的延长线交于点 O，连接 OB，
在 Rt△MAO中，AM＝2， ，所以 AO＝1， ，
因为 AM＝AB，∠MAO ，OA＝OA，所以△OAM≌△OAB，
所以∠AOB＝∠AOM ，即 OA⊥OB，
由（1）知平面 MAD⊥平面 ABCD，
因为平面 MAD∩平面 ABCD＝AD，MO⊥AD，MO 平面 MAD，
所以 MO⊥平面 ABCD，
又 OB 平面 ABCD，所以 MO⊥OB，即 OA，OB，OM两两垂直，
故以 O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A（0，1，0）， ， ，D（0，3，0）， ，
所 以 ， ， ，
，
设平面 MAB的法向量为 ，则 ，即 ，
令 x1＝1，则 ，z1＝1，所以 ，
设 平 面 MCD的 法 向 量 为 ， 则 ， 即
，
令 x2＝1，则 ，z2＝3，所以 ，
设平面 MAB与平面 MCD的夹角为θ，
则 cosθ＝|cos ， | ，
所以 sinθ ，
即平面 MAB与平面 MCD夹角的正弦值为 ．
18．解：（1）设 P（xp0，yp0），Q（xq0，yq0），
联立 ，得 y2﹣2ty﹣1＝0，则Δ＝4t2+4＞0，
所以 yp0+yq0＝2t，yp0yq0＝﹣1，
则
，
又点 O到直线 PQ的距离 ，
则 ，
解得：t ，
所以直线 l的斜率为 ；
（2）因 Pn（xpn，ypn），Qn（xqn，yqn）在抛物线 y2＝2x上，
则 ，设直线 PnQn上的任意一点为 M（x，y），
则 ， ，
则直线 PnQn的方程为（ypn﹣yqn）（x﹣xqn）＝（xpn﹣xqn）（y﹣yqn），
则 ，
则 ，
即 2x﹣（ypn+yqn）y+ypnyqn＝0，
故直线 PnQn的方程为 2x﹣（ypn+yqn）y+ypnyqn＝0；
（3）由题，直线 PAn的方程为 ，直线 QAn的方程为
，
联立 ，得 ，则 yp0ypn＝﹣2xn，
则 ，同理可得 ，
则 ， 4txn，
则由（2）可得，直线 PnQ的方程为 ，
，
又点 O到直线 PnQn的距离为 ，
则 ，
又直线 PnQn与 x轴的交点为 An+1，则 ，则 ，
因 x1＝1＞0及以上递推关系可知，xn＞0，则 ，
则 log2xn+1+1＝2（log2xn+1），
则数列{log2xn+1}是以 log2x1+1＝1为首项，2为公比的等比数列，
则 ，故 ，
则 ，
故 ，
因 ，
则当 时，Spq11有最大值 ．
19．（1）解：若 f（x）＝x3+3x2+x﹣3，则 f′（x）＝3x2+6x+1，
当 x0＝0时，f′（0）＝1，f（x）在点（0，﹣3）处的切线方程为 y+3＝x，
与 x轴的交点横坐标为（3，0），∴x1＝3，
f′（3）＝46，f（x）在点（3，54）处的切线方程为 y﹣54＝46（x﹣3），
与 x轴的交点为 ，∴方程 f（x）＝0的二次近似值为 1.8．
（2）解：g′（x）＝ex，g′（2）＝e2，又 g（2）＝e2﹣3，
∴g（x）在（2，g（2））处的切线方程为 y﹣（e2﹣3）＝e2（x﹣2），即 e2x﹣y﹣e2﹣3
＝0；
证明：设 ，x＞1，
则 ，显然 m′（x）单调递减，令 m′（x）＝0，解得 x＝e2，
∴当 x∈（1，e2）时，m′（x）＞0，当 x∈（e2，+∞）时，m′（x）＜0，
则 m（x）在（1，e2）单调递增，在（e2，+∞）单调递减，
∴ ，
∴m（3）＜m（e2），即 ．
（3）证明：由 h（x）＝x﹣xlnx，得 h′（x）＝﹣lnx，
当 0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当 x＞1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∴x＝1是 h（x）的极大值点，也是 h（x）的最大值点，即 h（x）max＝h（1）＝1，
又 0＜x＜e时，h（x）＞0，x＞e时，h（x）＜0，
∴当方程 h（x）＝a有两个根时，必满足 0＜x1＜1＜x2＜e；
曲线 y＝h（x）过点（1，1）和点（e，0）的割线方程为 ，
下面证明： ，
设 ，
则 ，
∴当 时，u′（x）＞0；当 时，u′（x）＜0，
∴u（x）在 上单调递增，u（x）≥u（1）＝0，
在 上 u（x）单调递减，u（x）≥u（e）＝0，
∴当 1≤x≤e时，u（x）≥0，即 （当且仅当 x＝1或 x＝e
时取等号），
由于 1＜x2＜e，∴ ，解得 x2＞a﹣ea+e①；
下面证明当 0＜x≤1时，h（x）≥x，
设 n（x）＝h（x）﹣x＝﹣xlnx，0＜x≤1，∵lnx≤0，
∴当 0＜x≤1时，h（x）≥x（当且仅当 x＝1时取等号），
由于 0＜x1＜1，∴a＝h（x1）＞x1，解得﹣x1＞﹣a②，
①+②，得 x2﹣x1＞e﹣ea．

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