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2026届高三下学期 3月阶段检测数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在
答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合 ，则 M∩N＝（ ）
A． B．
C． D．
2．设复数 ，则 （ ）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
3．已知双曲线 C： 的离心率为 2，且与椭圆 1有
公共焦点，则双曲线 C的方程为（ ）
A．x2 1 B． 1
C．x2 1 D． 1
4．已知向量 ，若（ ）⊥（ ），则 x＝（ ）
A． B． C．1 D．2
5．若函数 f（x）＝xe2x+1的极值点为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
6．设函数 f（x）＝e|x﹣1|+1，则使得 f（x﹣1）＜f（﹣x）成立的 x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种
制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为 30cm，高为 10cm，
在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为 3cm的枯土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割
成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的 4片瓦．若需要制作 400片这种
瓦片，则所需粘土的体积为（ ）
A．45πdm3 B．99πdm3 C．135πdm3 D．198πdm3
8．已知点 P是圆 M：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2上的动点，线段 AB是圆 C：（x+1）2+（y+1）
2＝4的一条动弦，且 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个
选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部
分分，有选错的得 0分）
9．在世界无烟日，小华所在的学习小组为了解本地区大约有多少成年人在吸烟，随机调查
了 50个成年人，结果其中有 15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，
下列说法正确的是（ ）
A．调查的方式是抽样调查
B．本地区只有 35个成年人不吸烟
C．样本是 15个吸烟的成年人
D．样本容量是 50
10．已知抛物线 y2＝4x的焦点为 F，动点 P在抛物线上，点 A（4，3），B（1，3），则下列
说法正确的是（ ）
A．|PA|+|PB|的最小值为 2
B．|PA|+|PF|有最小值无最大值，且最小值为 5
C．|PA|﹣|PF|有最大值和最小值，若在点 P1处，|PA|﹣|PF|取到最大值，在点 P2处，|
PA|﹣|PF|取到最小值，则 P1P2的中点为（3，2）
D．|PB|﹣|PF|有最大值，且此时 P的坐标为（1，2）
11．已知△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，a＝bcosA， ，则
下列判断正确的是（ ）
A． B． C．a＜c D．
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12．已知α为锐角，且 ，则 ．
13．若函数（f x）＝x3+a（x2﹣x+1）在区间 单调递增，则a的取值范围是 ．
14．口袋中有编号分别为 1，2，3，…，10的 10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．从
口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为X，则P（X＝2）＝ ，
期望 E（X）＝ ．
四．解答题：共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（13分）据市场调查，某厂生长的某种产品的广告费用支出 x（万元）与销售额 y（万
元）之间有如下的对应数据，由散点图知，销售额 y（万元）与广告费用支出 x（万元）
呈线性相关．
x 2 4 5 6 8
y 10 20 40 30 50
（1）求销售额 y（万元）与广告费用支出 x（万元）的线性回归方程；
（2）据（1）的结果，如果厂家准备投入广告费用为 10万元时，预测销售额是多少万元？
（3）据（1）的结果，如果该厂的广告费用每增加投入 2万元，销售额估计能平均增加
多少万元？
附：参考公式： ，
参考数据： ，
16．（15分）如图，已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝3，AD＝2，AA1＝2， ，
．
（1）求异面直线 C1E与 BF所成角的余弦值；
（2）求平面 ADF与平面 B1EF所成角的余弦值．
17．（15分）已知离心率为 的椭圆 过点 ．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）过点 T（1，2）引出两条相交直线 MN和 PQ，分别交椭圆于 M，N，P，Q四点，
若两条直线斜率互为相反数，判断 是否为定值？如果是定值，求出
其定值．
18．（17分）已知数列{an}，{bn}，其前 n项和分别为 Sn，Tn．
（1）若 a1＝1，an+1＝2an+n﹣1，求证{an+n}是等比数列并求 Sn；
（2）若数列{bn}满足 b1＝1，b2＝1，bn＝bn﹣1+b （n≥3，n∈N*n﹣2 ），则{bn}称为斐波那
契数列．
①求 是数列{bn}中的第几项；
②证明：Tn＝bn+2﹣1．
19．（17分）已知函数 ．
（1）若 b＝e（e为自然对数的底数），求函数 f（x）的极值；
（2）若 b＝1，函数 有两个零点 x1，x2（x1＜x2）．
①求 a的取值范围；
②当不等式 恒成立时，求实数 m的取值范围．
参考答案
一．单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C A C B B D
二．多选题
题号 9 10 11
答案 AD BC ABD
三．填空题
12． ．
13．[﹣3，+∞）．
14． ； ．
四．解答题
15．解：（1）因为 ，
， ，
所以 ，
，
故回归方程为 ；
（2）由（1）知 ，所以当 x＝10时，代入得到 y＝10×6.5﹣2.5＝62.5，
即估计销售收入 y的值为 62.5万元．
（3）由回归方程为 可知，斜率 ，
表示该厂的广告费用每增加投入 1万元，销售额估计能平均增加 6.5万元，
所以该厂的广告费用每增加投入 2万元，销售额估计能平均增加 13万元．
16．解：（1）建立如图空间直角坐标系，
∵AB＝3，AD＝2，AA1＝2， ， ，
∴C1（0，3，2），E（2，1，0），B（2，3，0），F（0，3，1），A（2，0，0），B1（2，3，
2），D（0，0，0），
∴ （2，﹣2，﹣2）， （﹣2，0，1），
则异面直线 C1E与 BF所成角的余弦值为 ；
（2）由（1）知 （﹣2，0，0）， （0，3，1），
设平面 ADF的法向量为 （x，y，z），
则 ，
令 y＝1，则 z＝﹣3，
∴平面 ADF的法向量为 （0，1，﹣3），
（0，﹣2，﹣2）， （﹣2，2，1），
设平面 B1EF的法向量为 （a，b，c），
则 ，令 b＝1，则 c＝﹣1，a ，
∴平面 B1EF的法向量为 （ ，1，﹣1），
平面 ADF与平面 B1EF所成角的余弦值为 ．
17．解：（1）因为椭圆的离心率为 ，且过点 ，
所以 ，
解得 ，
则椭圆的标准方程为 ；
（2）易知直线 MN，PQ的斜率均存在，
设直线 MN的方程为 y﹣2＝k（x﹣1），
所以直线 PQ的方程为 y﹣2＝﹣k（x﹣1）．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q
（x4，y4），
此时 ， ，
联立 ，消去 y并整理得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣2）x+2（k﹣2）2﹣4
＝0，
此时Δ ＝3k21 +4k﹣2＞0，
解得 或 ，
由韦达定理得 ， ，
所以 （x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）＝（1+k2）[x1x2﹣（x1+x2）+1]
，
联立 ，消去 y并整理得（1+2k2）x2﹣4k（k+2）x+2（k+2）2﹣4
＝0，
此时Δ2＝3k2﹣4k﹣2＞0，
解得 或 ，
由韦达定理得 ， ，
所以 （x3﹣1）（x4﹣1）+（y3﹣2）（y4﹣2）＝（1+k2）[x3x4﹣（x3+x4）+1]
．
综上所胡， 或 ，
则 ，
所以 是定值，定值为 0．
18．解：（1）证明：若 a1＝1，an+1＝2an+n﹣1，可得 an+1+n+1＝2an+2n＝2（an+n），
则{an+n}是首项和公比均为 2的等比数列；
由等比数列的通项公式可得 an+n＝2n，可得 an＝2n﹣n，
则 Sn＝（2+4+...+2n）﹣（1+2+...+n） n（n+1）＝2n+1﹣2 （n2+n）；
（2）① 的分子为 ... b1b2 ...
＝b2b3 ... b3b4 ... ...＝b8b9，
则 b9，即为数列{bn}中的第 9项；
② 证 明 ： Tn＝ b1+b2+b3+...+bn＝ b2+b1+b2+b3+...+bn﹣ 1＝ b3+b2+b3+...+bn﹣ 1＝ b4
+b3+...+bn﹣1＝b5+...+bn﹣1＝...＝bn+2﹣1．
19． 解 ：（ 1） 由 题 设 ， 且 x∈（ 0， +∞ ）， 则
，
令 h（x）＝x2ex﹣e+elnx，则 ，
所以 h（x）在 x∈（0，+∞）上单调递增，且 h（1）＝0，
在 x∈（0，1）上，h（x）＜0，即 f′（x）＜0，f（x）单调递减；
在 x∈（1，+∞）上，h（x）＞0，即 f′（x）＞0，f（x）单调递增；
所以 f（x）极小值为 f（1）＝e﹣1，无极大值；
（2）由题设 ，且 x∈（0，+∞），
令 g（x）＝0 xex﹣lnx﹣x﹣a＝0有两个不同的正根 x1，x2，且 0＜x1＜x2，
①由上有 a＝xex﹣lnx﹣x，令φ（x）＝xex﹣lnx﹣x且 x∈（0，+∞），
所以 ，
令 y＝xex﹣1，则 y′＝（x+1）ex＞0，即 y＝xex﹣1在（0，+∞）上递增，
由 x趋向于 0，y趋向于﹣1，x＝1时 y＝e﹣1＞0，
所以 x0∈（0，1）使 ，即 x0＝﹣lnx0，
故 0＜x＜x0时 y＜0 φ′（x）＜0，即φ（x）在（0，x0）上递减，
当 x＞x0时 y＞0 φ′（x）＞0，即φ（x）在（x0，+∞）上递增，
又 x趋向于 0或+∞，φ（x）都趋向于+∞，且 ，
综上，a＞1，即 a的取值范围是（1，+∞）；
②令 t＝xex lnt＝lnx+x，等价于 t﹣lnt﹣a＝0有两个不同正根 ，
而 t′＝（x+1）ex＞0，即 t＝xex在（0，+∞）上递增，又 0＜x1＜x2，
所以 ，且 ，则 ，
令 ，可得 ，故 ，
所以，等价于μ＞1时， ，即（2μ+1）lnμ﹣m（μ﹣1）＞0恒成立，
令 F（μ）＝（2μ+1）lnμ﹣m（μ﹣1），则 ，
而 F（1）＝0，则 F′（1）＝3﹣m≥0，即 m≤3，
当 m≤3，令 （μ）＝F′（μ），则 ，
所以 （μ）＝F′（μ）在（1，+∞）上递增，则 （μ）＞ （1）＝3﹣m≥0，
即μ＞1时 F′（μ）≥0恒成立，故 F（μ）在（1，+∞）上递增，则 F（μ）＞F（1）＝
0，满足；
综上，m≤3，即 m的取值范围是（﹣∞，3]．

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