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贵州省铜仁市沿河土家族自治县2025年初中学业水平考试适应性监测九年级数学试题
一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用 2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．）
1．（2025·沿河模拟）负数的概念最早出现在我国东汉早期，若收入10元，记着+10元；则支出5元，记着（　　）
A．-10元 B．-5元 C．+5元 D．15元
2．（2025·沿河模拟）五一假期，小红和爸爸妈妈开车去黄果树瀑布景区旅游，途中看到以下交通标志，其中，属于中心对称图形的交通标志是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·沿河模拟）如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中最大的数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·沿河模拟）计算（a3）2的结果是（　　）
A．a B．a5 C．a6 D．a9
5．（2025·沿河模拟）如图1，两根木条分别与木条钉在一起，三根木条在同一平面内，固定木条和，顺时针转动木条，使（如图2），图1中．木条至少转动的角度为（　　）
A．20° B． C．30° D．69°
6．（2025·沿河模拟）小星计划暑假读一部名著，他把想读的名著制作成了卡片，其中《红楼梦》4张、《西游记》3张、《三国演义》2张和《水浒传》1张，从中任抽取一张卡片作为暑假读的名著，则小星所读名著可能性为是哪一部名著（　　）
A．《红楼梦》 B．《西游记》
C．《三国演义》 D．《水浒传》
7．（2025·沿河模拟）若，则的值是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．8
8．（2025·沿河模拟）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·沿河模拟）定义新运算：例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·沿河模拟）如图，用尺规作出，作图痕迹是（　　）
A．以点B为圆心，为半径的圆 B．以点B为圆心，为半径的圆
C．以点E为圆心，为半径的圆 D．以点E为圆心，为半径的圆
11．（2025·沿河模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025·沿河模拟）如图，在直角三角形中，，，．动点以每秒1个单位从点出发沿运动；动点以每秒1个单位从点出发沿运动．若点、同时出发，当其中一动点运动到点时另一点停止运动，则的面积S与运动时间之间的函数图形大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（2025·沿河模拟）计算　 　．
14．（2025·沿河模拟）贵州省部分主要城市在地图中的位置如图所示，若遵义位置的坐标为，安顺位置的坐标为，则毕节位置的坐标是　 　；
15．（2025·沿河模拟）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸到的小球都是红球的概率是　 　．
16．（2025·沿河模拟）如图，在边长为4的正方形中，点为边的中点，连接度数为，在上取一点，连接，使度数为，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·沿河模拟）解答题
（1）计算：；
（2）已知代数式①；②；③．请从其中任意选择2个代数式用减号“-”连接，并将连接的式子进行因式分解．
18．（2025·沿河模拟）为了贯彻落实《关于进一步规范义务教育课后服务有关工作的通知》，我省各中小学已全面实行学校课后延时服务．某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，在七、八年级中各随机抽取10名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据．请根据以上调查报告，解答下列问题：
调查主题：七、八年级家长对课后延时服务评分调查报告
【设计调查方式】 在七、八年级中各随机抽取了10名学生家长对课后延时服务的评分．
【收集、整理、描述数据】 家长对课后延时服务的评分统计图（满分10分）： 数据分析 　中位数众数方差七年级7.5b1.2八年级a81.8
（1）上述表格中：___________，___________；
（2）在两个年级中，如果某个年级评分的10个数据的波动越小，则认为家长的评价越一致．
据此推断：在七、八两个年级中，___________年级家长的评价更一致（填“七”或“八”）；
（3）结合上表中的统计量，现要给某个年级的老师颁奖，你认为获奖老师应该来自哪个年级？请说明理由．
19．（2025·沿河模拟）如图，在平行四边形中，，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点与交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若平行四边形的面积是18，求的长．
20．（2025·沿河模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的横坐标与点B的纵坐标都是3．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
21．（2025·沿河模拟）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务．
问题背景 贵州省遵义市湄潭县是“中国名茶之乡”，湄潭茶叶形如眉、色如翠、香如兰、味甘醇，富含茶多酚、氨基酸、维生素等营养成分，品质卓越．近年来，湄潭县积极拓展茶产品深加工，生产绿茶、红茶等成品茶．
素材1 小红家茶行用5850元进购绿茶，用4800元进购红茶．
素材2 绿茶的总重量是红茶总重量的倍，每千克绿茶的进价比每千克红茶的进价少30元．
素材3 每千克绿茶的售价比每千克红茶的售价少40元，全部售出后，小红家茶行获利不少于7425元．
问题解决
任务1 确定产品重量 请运用所学知识，求出小红家茶行绿茶和红茶各自采购多少千克．
任务2 探究限定售价 按素材要求确定每千克绿茶的售价至少为多少元？
22．（2025·沿河模拟）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为30cm，图2是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且．
（1）求下管BC的长；
（2）若后下叉BD与地面平行，座管AE伸长到18cm，求座垫E离地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据，，）
23．（2025·沿河模拟）如图，已知四边形内接于是的直径，过点作的切线交的延长线于点，弦交于点，且，连接、．
（1）写出图中一个与相等的角；___________；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
24．（2025·沿河模拟）赵州桥的历史距今已有1400多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，建立平面直角坐标，此时水面的宽为36米，水面离桥拱顶点的高度18米．
（1）请你求出二次函数的表达式．
（2）春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明．
（3）若桥拱经过两点，桥拱在之间的部分为图象（包括两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，当时，求的值．
25．（2025·沿河模拟）综合与实践：折纸中的数学
折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．
（1）折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2）
问题1：重叠部分的的形状______（是、不是）等腰三角形．
问题2：若，，则重叠部分的面积为______
（2）折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）折纸3：如图4，矩形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵收入10元记着+10元，
∴支出5元记着-5元，
故选：B.
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】如果把一个图形绕着某一点旋转，若能够与原图形重合，则这个图形为中心对称图形.
3．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：∵数轴上的数右边的数比左边的数大，
∴数轴上的点大小关系为：
∴最大的是d.
【分析】根据数轴比较法比较大小即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】（a3）2=a3×2=a6．
故答案为：C．
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：若，则，
∵固定木条和，顺时针转动木条，
即当时，；
此时木条顺时针转动．
故选：A．
【分析】根据直线平行性质，结合旋转性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵《红楼梦》4张、《西游记》3张、《三国演义》2张和《水浒传》1张，
∴一共有张卡片，
∵，
则小星所读名著可能性为是《红楼梦》，
故选：A．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：C．
【分析】化简代数式，再整体代入即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在与中，
∵，
∴．
故选：C
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得原方程为：，
∵该方程有两个实数根，
∴，
解得：．
故答案为：D
【分析】根据新定义原方程可化为，再根据一元二次方程有两个实数根， 可得出根的判别式≥0得出不等式解答，解不等式即可．
10．【答案】D
【知识点】确定圆的条件；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：作的作法，由图可知，
①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线于点C，D；
②以点B为圆心，以为半径画圆，分别交射线于点E；
③以点E为圆心，以为半径画弧，交前弧于点F，作射线即可得出，则．
故答案为：D．
【分析】本题考查的是基本作图：作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可．
11．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设绳子长x尺，木长y尺，根据题意 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， 可得：，
故选：C
【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意，根据题意找到等量关系，正确列出方程组．
12．【答案】A
【知识点】三角形的面积；解直角三角形；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在直角三角形中，，，，
∴，
当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P，
∵根据题意得，，
∴，即，
∴，
∴的面积；
当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P，
∵根据题意得，，，
∴，即，
∴，
∴的面积；
综上所述，，
故选：A．
【分析】根据勾股定理可得AB，分情况讨论：当点Q在线段上时，即时，过点Q作交于点P，根据正切定义建立方程，解方程可得QH，再根据三角形面积，结合二次函数图象即可求出答案；当点Q在线段上时，即时，过点Q作交于点P，根据题意得，，，根据正弦定义建立方程，解方程可得QH，再根据三角形面积，结合二次函数图象即可求出答案.
13．【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据同分母分式的加法即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系如图，
∴毕节位置的坐标是．
故答案为：
【分析】根据遵义，安顺位置的坐标建立直角坐标系，再根据点的位置求出毕节位置的坐标即可.
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有4种等可能性，其中两次摸球摸到的小球都是红球的可能性有1种，
∴两次摸球摸到一个红球一个绿球的概率是，
故答案为：．
【分析】根据题意，画出树状图，根据树状图求出试验的结果总数以及摸到一个红球一个绿球的个数，再根据概率公式即可求解．
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；解直角三角形；已知正切值求边长；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴作的角平分线交于点G，连接，延长交的延长线于点H，过点F作，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
解得： ，
即，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得，，作的角平分线交于点G，连接，延长交的延长线于点H，过点F作，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得 ，则CH=AD=4，再根据勾股定理可得AE，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，根据正切定义可得，则，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得y值，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：选①和②时：
选①和③时：
选②和③时：.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；零指数幂；求特殊角的三角函数值；求有理数的绝对值的方法；求正切值
【解析】【分析】（1）根据绝对值，特殊角的三角函数值，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）选①和②时：根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
选①和③时：提公因式进行因式分解即可求出答案.
选②和③时：提公因式进行因式分解即可求出答案.
（1）解：原式
（2）选①和②时：
选①和③时：
选②和③时：.
18．【答案】（1）8；7；
（2）七
（3）解：应该给八年级的老师颁奖．理由如下：
综合上表中的统计量，七年级的中位数、众数都比八年级低，说明八年级家长对课后延时服务较为满意，因此，应该给八年级的老师颁奖．
【知识点】折线统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：将八年级得数据从小到大排序为：，
第个和第个数据分别是8和，故中位数；
七年级的数据中7分出现的次数最多，为4次，
故众数；
（2）解：∵，
∴七年级评分的10个数据的波动越小，七年级家长的评价更一致；
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：将八年级得数据从小到大排序为：，
第个和第个数据分别是8和，故中位数；
七年级的数据中7分出现的次数最多，为4次，
故众数；
（2）解：∵，
∴七年级评分的10个数据的波动越小，七年级家长的评价更一致；
（3）解：应该给八年级的老师颁奖．理由如下：
综合上表中的统计量，七年级的中位数、众数都比八年级低，说明八年级家长对课后延时服务较为满意，因此，应该给八年级的老师颁奖．
19．【答案】（1）证明：四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴的长为．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，则，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形面积可得AC，根据等腰三角形判定定理及性质可得，，根据勾股定理可得CF，根据直线平行性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）证明：四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴的长为．
20．【答案】解：（1）把x＝3代入，得y＝4，
故A（3，4），
把y＝3代入，得x＝4，
故B（4，3），
把A，B点代入y＝kx+b得：，
解得：，
故直线解析式为：y＝x1；
（2）由（1）知：当y＝0时，x＝1，
故C点坐标为：（1，0），
则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得，，进而利用待定系数法得出一次函数解析式；
（2）求出一次函数与x轴交点的坐标，进而利用三角形面积公式即可求解．
21．【答案】解：任务1：设小红家茶行红茶采购x千克，则绿茶采购千克，根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：小红家茶行红茶采购30千克，绿茶采购45千克；
任务2：由任务1得：每千克绿茶的进价为（元），每千克红茶的进价为（元），
设每千克绿茶的售价为m元，则每千克红茶的售价为元，根据题意得：
，
解得：，
答：每千克绿茶的售价至少为231元．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设小红家茶行红茶采购x千克，则绿茶采购千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设每千克绿茶的售价为m元，则每千克红茶的售价为元，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
22．【答案】（1）解：在Rt△ACD中，AB=27cm，AC=36cm，
∴BC=
∴BC=45cm，
答：下管BC长45cm．
（2）解：过点E作EF⊥DB，垂足为F，
∵BE=AB+AE=27+18=45(cm)，
∴EF=BEsin75°=45sin75°≈44cm
44+30=74(cm)，
答：座垫E离地面的距离是74cm．
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）过点E作EF⊥DB，垂足为F，根据边之间的关系可得BE，再解直角三角形即可求出答案.
（1）在Rt△ACD中，AB=27cm，AC=36cm，
∴BC=
∴BC=45cm，
答：下管BC长45cm．
（2）过点E作EF⊥DB，垂足为F，
∵BE=AB+AE=27+18=45(cm)，
∴EF=BEsin75°=45sin75°≈44cm
44+30=74(cm)，
答：座垫E离地面的距离是74cm．
23．【答案】（1）
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
即．
（3）解：由（2）知，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，，，．
∵，
∴．
∴．
∴．
【知识点】切线的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）证明：如图，连接．
∵是的直径，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵是的切线，
∴．
∴．
∴．
∴，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
【分析】（1）连接，根据圆周角定理的推论可得，则，根据等边对等角可得，根据切线性质可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）根据相似三角形性质可得，根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，根据正切定义可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：如图，连接．
∵是的直径，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵是的切线，
∴．
∴．
∴．
∴，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
即．
（3）解：由（2）知，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，，，．
∵，
∴．
∴．
∴．
24．【答案】（1）解：根据题意得，水面离桥拱顶点的高度18，
∴，
∴设抛物线的解析式为，
将点A代入得：，
解得，
∴；
（2）解：∵水面离桥拱顶点的高度7米，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴游船能顺利通过赵州桥；
（3）解：∵抛物线经过两点，，
∴，，
∵图象 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，有以下四种情况：
如图，当即时，
即，
解得：；
当即时，如图所示，
即，
解得：或（均不符合题意，舍去）
当即时，如图所示，
如图所示，
∴
即，
解得：或（均不符合题意，舍去）
④当时，如图所示，
∴
∴，
解得：
综上所述，或．
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将y=-4.5代入解析式求出x值，作差，再比较大小即可求出答案.
（3）将点E，F坐标代入抛物线解析式可得，，分情况讨论：当即时，当即时，当即时，当时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：根据题意得，水面离桥拱顶点的高度18，
∴，
∴设抛物线的解析式为，
将点A代入得：，
解得，
∴；
（2）∵水面离桥拱顶点的高度7米，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴游船能顺利通过赵州桥；
（3）解：∵抛物线经过两点，，
∴，，
∵图象 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，有以下四种情况：
如图，当即时，
即，
解得：；
当即时，如图所示，
即，
解得：或（均不符合题意，舍去）
当即时，如图所示，
如图所示，
∴
即，
解得：或（均不符合题意，舍去）
④当时，如图所示，
∴
∴，
解得：
综上所述，或．
25．【答案】（1）是；
（2）解：以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点，作图过程如下：
（3）解：当点落在矩形内部时，如图，过点作于点，交于点N
由题意得：，
点恰好落在的垂直平分线上，故，
在中，，
，，则，则，
则，
，，
，
在中，，
解得：，．
当点落在矩形外部时，如图，
，，则，则，
则，
，，
，
在中，，
解得：，则．
故的长为或．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：问题1：如图②，设点M是纸片下边上的点，
∵纸片为矩形，则，
∴，
由折叠的性质知，，
∴，
∴的形状为等腰三角形，
故答案为：是；
问题2：过点作于点，
则，
则，
则的面积，
故答案为：；
【分析】（1）①设纸片右下角的点为点M，根据题意可得，得到，再根据折叠的性质可得，从而得到，即可求解；②过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可得，，根据勾股定理可得，再由三角形的面积公式计算，即可；
（2）以点B为圆心，以长度为半径作圆交于点F，作的角平分线，交于点E，即可；
（3）分点落在长方形纸片的外部和点落在长方形纸片的内部两种情况讨论，过点作于点，交于点N，利用锐角三角函数的定义，在不同的直角三角形中求出对应线段的长度，即可求解．
1 / 1贵州省铜仁市沿河土家族自治县2025年初中学业水平考试适应性监测九年级数学试题
一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用 2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．）
1．（2025·沿河模拟）负数的概念最早出现在我国东汉早期，若收入10元，记着+10元；则支出5元，记着（　　）
A．-10元 B．-5元 C．+5元 D．15元
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵收入10元记着+10元，
∴支出5元记着-5元，
故选：B.
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．（2025·沿河模拟）五一假期，小红和爸爸妈妈开车去黄果树瀑布景区旅游，途中看到以下交通标志，其中，属于中心对称图形的交通标志是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】如果把一个图形绕着某一点旋转，若能够与原图形重合，则这个图形为中心对称图形.
3．（2025·沿河模拟）如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中最大的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：∵数轴上的数右边的数比左边的数大，
∴数轴上的点大小关系为：
∴最大的是d.
【分析】根据数轴比较法比较大小即可求出答案.
4．（2025·沿河模拟）计算（a3）2的结果是（　　）
A．a B．a5 C．a6 D．a9
【答案】C
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】（a3）2=a3×2=a6．
故答案为：C．
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即可求解.
5．（2025·沿河模拟）如图1，两根木条分别与木条钉在一起，三根木条在同一平面内，固定木条和，顺时针转动木条，使（如图2），图1中．木条至少转动的角度为（　　）
A．20° B． C．30° D．69°
【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：若，则，
∵固定木条和，顺时针转动木条，
即当时，；
此时木条顺时针转动．
故选：A．
【分析】根据直线平行性质，结合旋转性质即可求出答案.
6．（2025·沿河模拟）小星计划暑假读一部名著，他把想读的名著制作成了卡片，其中《红楼梦》4张、《西游记》3张、《三国演义》2张和《水浒传》1张，从中任抽取一张卡片作为暑假读的名著，则小星所读名著可能性为是哪一部名著（　　）
A．《红楼梦》 B．《西游记》
C．《三国演义》 D．《水浒传》
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵《红楼梦》4张、《西游记》3张、《三国演义》2张和《水浒传》1张，
∴一共有张卡片，
∵，
则小星所读名著可能性为是《红楼梦》，
故选：A．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
7．（2025·沿河模拟）若，则的值是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：C．
【分析】化简代数式，再整体代入即可求出答案.
8．（2025·沿河模拟）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在与中，
∵，
∴．
故选：C
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
9．（2025·沿河模拟）定义新运算：例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得原方程为：，
∵该方程有两个实数根，
∴，
解得：．
故答案为：D
【分析】根据新定义原方程可化为，再根据一元二次方程有两个实数根， 可得出根的判别式≥0得出不等式解答，解不等式即可．
10．（2025·沿河模拟）如图，用尺规作出，作图痕迹是（　　）
A．以点B为圆心，为半径的圆 B．以点B为圆心，为半径的圆
C．以点E为圆心，为半径的圆 D．以点E为圆心，为半径的圆
【答案】D
【知识点】确定圆的条件；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：作的作法，由图可知，
①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线于点C，D；
②以点B为圆心，以为半径画圆，分别交射线于点E；
③以点E为圆心，以为半径画弧，交前弧于点F，作射线即可得出，则．
故答案为：D．
【分析】本题考查的是基本作图：作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可．
11．（2025·沿河模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设绳子长x尺，木长y尺，根据题意 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， 可得：，
故选：C
【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意，根据题意找到等量关系，正确列出方程组．
12．（2025·沿河模拟）如图，在直角三角形中，，，．动点以每秒1个单位从点出发沿运动；动点以每秒1个单位从点出发沿运动．若点、同时出发，当其中一动点运动到点时另一点停止运动，则的面积S与运动时间之间的函数图形大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；解直角三角形；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在直角三角形中，，，，
∴，
当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P，
∵根据题意得，，
∴，即，
∴，
∴的面积；
当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P，
∵根据题意得，，，
∴，即，
∴，
∴的面积；
综上所述，，
故选：A．
【分析】根据勾股定理可得AB，分情况讨论：当点Q在线段上时，即时，过点Q作交于点P，根据正切定义建立方程，解方程可得QH，再根据三角形面积，结合二次函数图象即可求出答案；当点Q在线段上时，即时，过点Q作交于点P，根据题意得，，，根据正弦定义建立方程，解方程可得QH，再根据三角形面积，结合二次函数图象即可求出答案.
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（2025·沿河模拟）计算　 　．
【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据同分母分式的加法即可求出答案.
14．（2025·沿河模拟）贵州省部分主要城市在地图中的位置如图所示，若遵义位置的坐标为，安顺位置的坐标为，则毕节位置的坐标是　 　；
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系如图，
∴毕节位置的坐标是．
故答案为：
【分析】根据遵义，安顺位置的坐标建立直角坐标系，再根据点的位置求出毕节位置的坐标即可.
15．（2025·沿河模拟）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸到的小球都是红球的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有4种等可能性，其中两次摸球摸到的小球都是红球的可能性有1种，
∴两次摸球摸到一个红球一个绿球的概率是，
故答案为：．
【分析】根据题意，画出树状图，根据树状图求出试验的结果总数以及摸到一个红球一个绿球的个数，再根据概率公式即可求解．
16．（2025·沿河模拟）如图，在边长为4的正方形中，点为边的中点，连接度数为，在上取一点，连接，使度数为，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；解直角三角形；已知正切值求边长；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴作的角平分线交于点G，连接，延长交的延长线于点H，过点F作，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
解得： ，
即，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得，，作的角平分线交于点G，连接，延长交的延长线于点H，过点F作，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得 ，则CH=AD=4，再根据勾股定理可得AE，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，根据正切定义可得，则，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得y值，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·沿河模拟）解答题
（1）计算：；
（2）已知代数式①；②；③．请从其中任意选择2个代数式用减号“-”连接，并将连接的式子进行因式分解．
【答案】（1）解：原式
（2）解：选①和②时：
选①和③时：
选②和③时：.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；零指数幂；求特殊角的三角函数值；求有理数的绝对值的方法；求正切值
【解析】【分析】（1）根据绝对值，特殊角的三角函数值，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）选①和②时：根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
选①和③时：提公因式进行因式分解即可求出答案.
选②和③时：提公因式进行因式分解即可求出答案.
（1）解：原式
（2）选①和②时：
选①和③时：
选②和③时：.
18．（2025·沿河模拟）为了贯彻落实《关于进一步规范义务教育课后服务有关工作的通知》，我省各中小学已全面实行学校课后延时服务．某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，在七、八年级中各随机抽取10名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据．请根据以上调查报告，解答下列问题：
调查主题：七、八年级家长对课后延时服务评分调查报告
【设计调查方式】 在七、八年级中各随机抽取了10名学生家长对课后延时服务的评分．
【收集、整理、描述数据】 家长对课后延时服务的评分统计图（满分10分）： 数据分析 　中位数众数方差七年级7.5b1.2八年级a81.8
（1）上述表格中：___________，___________；
（2）在两个年级中，如果某个年级评分的10个数据的波动越小，则认为家长的评价越一致．
据此推断：在七、八两个年级中，___________年级家长的评价更一致（填“七”或“八”）；
（3）结合上表中的统计量，现要给某个年级的老师颁奖，你认为获奖老师应该来自哪个年级？请说明理由．
【答案】（1）8；7；
（2）七
（3）解：应该给八年级的老师颁奖．理由如下：
综合上表中的统计量，七年级的中位数、众数都比八年级低，说明八年级家长对课后延时服务较为满意，因此，应该给八年级的老师颁奖．
【知识点】折线统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：将八年级得数据从小到大排序为：，
第个和第个数据分别是8和，故中位数；
七年级的数据中7分出现的次数最多，为4次，
故众数；
（2）解：∵，
∴七年级评分的10个数据的波动越小，七年级家长的评价更一致；
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：将八年级得数据从小到大排序为：，
第个和第个数据分别是8和，故中位数；
七年级的数据中7分出现的次数最多，为4次，
故众数；
（2）解：∵，
∴七年级评分的10个数据的波动越小，七年级家长的评价更一致；
（3）解：应该给八年级的老师颁奖．理由如下：
综合上表中的统计量，七年级的中位数、众数都比八年级低，说明八年级家长对课后延时服务较为满意，因此，应该给八年级的老师颁奖．
19．（2025·沿河模拟）如图，在平行四边形中，，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点与交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若平行四边形的面积是18，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴的长为．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，则，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形面积可得AC，根据等腰三角形判定定理及性质可得，，根据勾股定理可得CF，根据直线平行性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）证明：四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴的长为．
20．（2025·沿河模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的横坐标与点B的纵坐标都是3．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【答案】解：（1）把x＝3代入，得y＝4，
故A（3，4），
把y＝3代入，得x＝4，
故B（4，3），
把A，B点代入y＝kx+b得：，
解得：，
故直线解析式为：y＝x1；
（2）由（1）知：当y＝0时，x＝1，
故C点坐标为：（1，0），
则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得，，进而利用待定系数法得出一次函数解析式；
（2）求出一次函数与x轴交点的坐标，进而利用三角形面积公式即可求解．
21．（2025·沿河模拟）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务．
问题背景 贵州省遵义市湄潭县是“中国名茶之乡”，湄潭茶叶形如眉、色如翠、香如兰、味甘醇，富含茶多酚、氨基酸、维生素等营养成分，品质卓越．近年来，湄潭县积极拓展茶产品深加工，生产绿茶、红茶等成品茶．
素材1 小红家茶行用5850元进购绿茶，用4800元进购红茶．
素材2 绿茶的总重量是红茶总重量的倍，每千克绿茶的进价比每千克红茶的进价少30元．
素材3 每千克绿茶的售价比每千克红茶的售价少40元，全部售出后，小红家茶行获利不少于7425元．
问题解决
任务1 确定产品重量 请运用所学知识，求出小红家茶行绿茶和红茶各自采购多少千克．
任务2 探究限定售价 按素材要求确定每千克绿茶的售价至少为多少元？
【答案】解：任务1：设小红家茶行红茶采购x千克，则绿茶采购千克，根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：小红家茶行红茶采购30千克，绿茶采购45千克；
任务2：由任务1得：每千克绿茶的进价为（元），每千克红茶的进价为（元），
设每千克绿茶的售价为m元，则每千克红茶的售价为元，根据题意得：
，
解得：，
答：每千克绿茶的售价至少为231元．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设小红家茶行红茶采购x千克，则绿茶采购千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设每千克绿茶的售价为m元，则每千克红茶的售价为元，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
22．（2025·沿河模拟）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为30cm，图2是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且．
（1）求下管BC的长；
（2）若后下叉BD与地面平行，座管AE伸长到18cm，求座垫E离地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据，，）
【答案】（1）解：在Rt△ACD中，AB=27cm，AC=36cm，
∴BC=
∴BC=45cm，
答：下管BC长45cm．
（2）解：过点E作EF⊥DB，垂足为F，
∵BE=AB+AE=27+18=45(cm)，
∴EF=BEsin75°=45sin75°≈44cm
44+30=74(cm)，
答：座垫E离地面的距离是74cm．
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）过点E作EF⊥DB，垂足为F，根据边之间的关系可得BE，再解直角三角形即可求出答案.
（1）在Rt△ACD中，AB=27cm，AC=36cm，
∴BC=
∴BC=45cm，
答：下管BC长45cm．
（2）过点E作EF⊥DB，垂足为F，
∵BE=AB+AE=27+18=45(cm)，
∴EF=BEsin75°=45sin75°≈44cm
44+30=74(cm)，
答：座垫E离地面的距离是74cm．
23．（2025·沿河模拟）如图，已知四边形内接于是的直径，过点作的切线交的延长线于点，弦交于点，且，连接、．
（1）写出图中一个与相等的角；___________；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
即．
（3）解：由（2）知，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，，，．
∵，
∴．
∴．
∴．
【知识点】切线的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）证明：如图，连接．
∵是的直径，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵是的切线，
∴．
∴．
∴．
∴，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
【分析】（1）连接，根据圆周角定理的推论可得，则，根据等边对等角可得，根据切线性质可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）根据相似三角形性质可得，根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，根据正切定义可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：如图，连接．
∵是的直径，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵是的切线，
∴．
∴．
∴．
∴，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
即．
（3）解：由（2）知，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，，，．
∵，
∴．
∴．
∴．
24．（2025·沿河模拟）赵州桥的历史距今已有1400多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，建立平面直角坐标，此时水面的宽为36米，水面离桥拱顶点的高度18米．
（1）请你求出二次函数的表达式．
（2）春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明．
（3）若桥拱经过两点，桥拱在之间的部分为图象（包括两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，当时，求的值．
【答案】（1）解：根据题意得，水面离桥拱顶点的高度18，
∴，
∴设抛物线的解析式为，
将点A代入得：，
解得，
∴；
（2）解：∵水面离桥拱顶点的高度7米，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴游船能顺利通过赵州桥；
（3）解：∵抛物线经过两点，，
∴，，
∵图象 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，有以下四种情况：
如图，当即时，
即，
解得：；
当即时，如图所示，
即，
解得：或（均不符合题意，舍去）
当即时，如图所示，
如图所示，
∴
即，
解得：或（均不符合题意，舍去）
④当时，如图所示，
∴
∴，
解得：
综上所述，或．
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将y=-4.5代入解析式求出x值，作差，再比较大小即可求出答案.
（3）将点E，F坐标代入抛物线解析式可得，，分情况讨论：当即时，当即时，当即时，当时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：根据题意得，水面离桥拱顶点的高度18，
∴，
∴设抛物线的解析式为，
将点A代入得：，
解得，
∴；
（2）∵水面离桥拱顶点的高度7米，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴游船能顺利通过赵州桥；
（3）解：∵抛物线经过两点，，
∴，，
∵图象 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，有以下四种情况：
如图，当即时，
即，
解得：；
当即时，如图所示，
即，
解得：或（均不符合题意，舍去）
当即时，如图所示，
如图所示，
∴
即，
解得：或（均不符合题意，舍去）
④当时，如图所示，
∴
∴，
解得：
综上所述，或．
25．（2025·沿河模拟）综合与实践：折纸中的数学
折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．
（1）折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2）
问题1：重叠部分的的形状______（是、不是）等腰三角形．
问题2：若，，则重叠部分的面积为______
（2）折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）折纸3：如图4，矩形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长．
【答案】（1）是；
（2）解：以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点，作图过程如下：
（3）解：当点落在矩形内部时，如图，过点作于点，交于点N
由题意得：，
点恰好落在的垂直平分线上，故，
在中，，
，，则，则，
则，
，，
，
在中，，
解得：，．
当点落在矩形外部时，如图，
，，则，则，
则，
，，
，
在中，，
解得：，则．
故的长为或．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：问题1：如图②，设点M是纸片下边上的点，
∵纸片为矩形，则，
∴，
由折叠的性质知，，
∴，
∴的形状为等腰三角形，
故答案为：是；
问题2：过点作于点，
则，
则，
则的面积，
故答案为：；
【分析】（1）①设纸片右下角的点为点M，根据题意可得，得到，再根据折叠的性质可得，从而得到，即可求解；②过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可得，，根据勾股定理可得，再由三角形的面积公式计算，即可；
（2）以点B为圆心，以长度为半径作圆交于点F，作的角平分线，交于点E，即可；
（3）分点落在长方形纸片的外部和点落在长方形纸片的内部两种情况讨论，过点作于点，交于点N，利用锐角三角函数的定义，在不同的直角三角形中求出对应线段的长度，即可求解．
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