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贵州省铜仁市碧江区九年级2025年初中学业水平模拟考试数学试卷
一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分）
1．（2025·碧江模拟）下列各数是的绝对值的是（　　）
A． B． C．2025 D．
2．（2025·碧江模拟）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（　　）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体
3．（2025·碧江模拟）2025年3月下旬，贵州百里杜鹃景区盛大开园．贵州百里杜鹃风景名胜区是全球最大的原始杜鹃林带，据生态普查，景区内共41个杜鹃花品种，涵盖世界杜鹃5个亚属的全部种类，被誉为“高原上的天然大花园”．已知核心景区内约有杜鹃花1800000株，数据1800000用科学记数法表示为，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．
4．（2025·碧江模拟）如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用表示，目标E用表示，那么表示的是（　　）
A．目标B B．目标C C．目标D D．目标F
5．（2025·碧江模拟）贵州是全国唯一一个没有平原的省份，青山绿水造就了风景如画的壮丽风景．小敏家计划今年暑假来贵州游玩，在网上搜索了贵州5座名山，为了更清楚地展示它们的海拔高度（如表），下列的统计图中，最合适的是（　　）
山名 梵净山 韭菜坪 雷公山 黔灵山 丹霞山
海拔（m） 2572 2901 2179 1396 1896
A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．以上都可以
6．（2025·碧江模拟）如图，如果绕点C逆时针旋转后能与重合，那么旋转角的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·碧江模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·碧江模拟）木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·碧江模拟）若，则在下列式子中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·碧江模拟）如图，在中，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·碧江模拟）如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8
12．（2025·碧江模拟）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形……按这样的规律下去，第6幅图中正方形的个数为（　　）
A．140 B．91 C．76 D．55
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．（2025·碧江模拟）因式分解2x2﹣4x的结果是 　 　．
14．（2025·碧江模拟）年是农历乙巳年，1月5日，中国邮政《乙巳年》特种邮票全国首发，贵州贵阳因有“蛇场”命名地，特同步在贵阳黔灵山公园举行首发活动，为庆贺蛇年新春拉开了序幕．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的）经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，若一张邮票的面积是，则邮票上蛇形图案的面积约为　 　．
15．（2025·碧江模拟）已知抛物线的图象如图所示，有下列结论：
①；
②二次函数图象的对称轴是直线；
③当时，y随x的增大而减小；
④方程的解为，．
其中正确的结论有　 　．
16．（2025·碧江模拟）如图，在边长为4的正方形中E是对角线上一动点，连接，将正方形沿所在直线折叠，点D的对应点为（不与正方形的顶点重合），连接，当平行于的边时，的长为　 　．
三、解答题（本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形）
17．（2025·碧江模拟）（1）已知a、b是有理数，定义一种新运算“”满足，求的值；
（2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程．
①； ②； ③．
18．（2025·碧江模拟）如图，菱形的对角线相交于点O，．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求四边形的周长．
19．（2025·碧江模拟）在初二物理的学习中，我们知道压强，压力，受力面积满足公式．
（1）当F为定值时，如图所示的图象能够正确反映p与S之间函数关系的图象是______（填序号）；
（2）已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为．
①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？
②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？
20．（2025·碧江模拟）为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、人年级学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩：（单位：分）
进行统计、整理如下：
七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87．
八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84．
七、八年级测试成绩频数统计表
　
七年级 3 4 3
八年级 1 7 a
七、八年级测试成绩分析统计表
　 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 b 90
八年级 84 84 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______，______；
（2）如果把分数不低于85分记为“优秀”，现七、八年级共有1200名学生，该估计七八年级在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数；
（3）你认为哪个年级的学生学提防溺水知识的总体水平较好？请说明理由．
21．（2025·碧江模拟）一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”n的各个数位上的数字之和记为F（n）．例如：时，．
（1）对于“相异数”n，若，请你写出一个n的值；
（2）若a、b都是“相异数”，其中，（，x、y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值．
22．（2025·碧江模拟）这个周末，小敏来到了贵阳市观山湖区的裂变广场，这里有全球最高的人工瀑布，已成为贵阳市的标志性建筑（如图1）．站在高楼下，能够感受到“飞流直下三千尺”的壮阔，阳光照射时，还可以看见美丽的彩虹，极具观赏性．如图2，小敏来到瀑布的顶端A处，测得对面高楼楼顶仰角，楼底俯角，已知对面高楼楼高米（参考数据：，，，，，）
（1）站在对面高楼楼底，此时看瀑布顶端的仰角度数为______；
（2）求瀑布的高度．（精确到米）
23．（2025·碧江模拟）如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦，点P是的中点，过点P作，交所对的于点Q，，台灯支架与底座垂直，，底座放在水平面上．（参考数据：）
（1）写出图1中与相等的线段：______；
（2）如图1，当时，求所在圆的半径；
（3）若将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与相切，如图2，求点M经过的路径的长．
24．（2025·碧江模拟）“骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？
（3）该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？
25．（2025·碧江模拟）如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连接．过点C作，交边于点D，交线段于点F．
（1）求的长；
（2）当时，求的长；
（3）连接，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值的是2025，
故选：C．
【分析】根据绝对值定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据题意，得这是圆柱的三视图，
故选：B．
【分析】根据简单结合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
则n的值为6
故选B．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数.
4．【答案】B
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：∵目标A用表示，目标E用表示，
∴表示的是目标C，
故选：B．
【分析】根据有序数对表示位置，结合题意即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：根据条形统计图能清楚地表示每一个项目的具体数目，
所以，为了更清楚地展示它们的海拔高度，最合适的是条形统计图，
故选：A．
【分析】根据各统计图的意义即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：根据题意，得，
根据旋转角的定义，得，
故选：C．
【分析】根据题意，根据直角三角形两锐角互余可得∠ACB，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【分析】根据二次根式四则运算逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：、∵，∴，A错误；
、∵，∴，B错误；
、∵，∴，C错误；
、∵，∴，
∴，D正确；
故答案为：．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同乘以或除以正数，不等号方向不变可判断A；根据不等式两边同乘以或除以负数，方向改变可判断B；根据不等式两边同加减相同数，不等号方向不变可判断C；根据不等式两边同乘以或除以负数，方向改变和不等式两边同加减相同数，不等号方向不变可判断D..
10．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据基本作图，得到，故，
根据三角形外角性质得，
故选：C．
【分析】根据基本作图，得到，根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，设与y轴交于点D，连接，
∵轴，
∴，
∵点A在上，点B在上，
∴，
∴；
故选：A.
【分析】设与y轴交于点D，连接，根据反比例函数k的几何意义可得，再根据即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1幅图中有个正方形，
第2幅图中有个正方形，
第3幅图中有个正方形，
第4幅图中有个正方形，
……，
以此类推可得，第n幅图有个正方形，
∴第6幅图中正方形的个数为个正方形，
故选；B．
【分析】根据前4个图形中正方形的个数，总结规律，结合有理数的混合运算即可求出答案.
13．【答案】2x（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式＝2x（x﹣2），
故答案为：2x（x﹣2）．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为，
所以邮票上蛇形图案的面积约为，
故答案为：．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
15．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据函数的图象可得：
抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点，
∴，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，结论②④正确；
∴，当时，y随x的增大而增大，结论③错误；
∴，
∴，结论①正确；
故答案为：①②④.
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
16．【答案】或4
【知识点】菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：根据题意，得
当时，延长交于点M，
∵边长为4的正方形，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵正方形沿所在直线折叠，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当时，
∵边长为4的正方形，
∴，，
∵正方形沿所在直线折叠，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴；
故答案为：或4．
【分析】根据题意，分和两种情况，当，设，根据折叠的性质以及勾股定理得到，求解即可；当时，利用正方形的性质以及折叠的性质，可得四边形是菱形，即可求解．
17．【答案】（1）解：．
（2）解：选①
解得，．
选②，
，
或，
解得，．
选③，
，
或 ，
解得，．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据新定义列式计算，结合有理数的混合运算即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
证明：，，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
，则．
∴四边形是矩形；
（2）解∵四边形是菱形，
．．
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形的周长为．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，根据菱形性质可得，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，根据矩形性质可得，再根据四边形周长即可求出答案.
（1）解：四边形是矩形，理由如下：
证明：，，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
，则．
∴四边形是矩形；
（2）解∵四边形是菱形，
．．
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形的周长为．
19．【答案】（1）①
（2）解：①把，代入，
得，，
∵，
∴小明不能安全地站在这块冰面上；
把，代入得，，
解得，
∴这块薄木板的面积至少．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确；
故答案为：①
【分析】（1）根据反比例函数的定义即可求出答案.
（2）将，代入解析式可得p，再比较大小即可求出答案.
②将，代入解析式即可求出答案.
（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确；
（2）解：把，代入，
得，，
∵，
∴小明不能安全地站在这块冰面上；
把，代入得，，
解得，
∴这块薄木板的面积至少．
20．【答案】（1），，
（2）解：七年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为，
八年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为
七、八年级在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数，
（3）解：由于七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
故八年级的学生学提防溺水知识的总体水平较好．
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：八年级中随机抽取10名学生的测试成绩有名学生的成绩低于分，
，
根据众数的定义可知，
把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为，
根据中位数的定义得：，
故答案为：，，；
【分析】（1）根据总人数减去其他范围人数可得a值，再根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据1200乘以对应人数的占比即可求出答案.
（3）方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
（1）解：八年级中随机抽取10名学生的测试成绩有名学生的成绩低于分，
，
根据众数的定义可知，
把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为，
根据中位数的定义得：，
故答案为：，，；
（2）解：七年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为，
八年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为
七、八年级在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数，
（3）解：由于七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
故八年级的学生学提防溺水知识的总体水平较好．
21．【答案】（1）解：∵“相异数”n，且，
∴这个三位数可以是或等答案不唯一，
∴1、2、5或者1、3、4组合的三位数即可
故这个数为．
（2）解：由a、b都是“相异数”，且，，
故，，
由，
．
．
，，
或或或或或
是“相异数”，
．
是“相异数”，
．
或或
或或
或或．
故的最小值为．
【知识点】二元一次方程（组）的新定义问题；枚举法
【解析】【分析】（1）根据“相异数”的定义即可求出答案.
（2）根据“相异数”的定义可得，，根据题意可得，则，求出整数解，即可求出答案.
（1）解：∵“相异数”n，且，
∴这个三位数可以是或等答案不唯一，
∴1、2、5或者1、3、4组合的三位数即可
故这个数为．
（2）解：由a、b都是“相异数”，且，，
故，，
由，
．
．
，，
或或或或或
是“相异数”，
．
是“相异数”，
．
或或
或或
或或．
故的最小值为．
22．【答案】（1）
（2）解：由题意可知：和都是直角三角形，
在中，，，
．
同理可得：．
由题意，得．即，解得．
．
答：瀑布的高度约为109米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：∵在瀑布顶端看楼底的俯角与在楼底看瀑布顶端的仰角是内错角，根据两直线平行，内错角相等的性质，
已知俯角，
∴站在对面高楼楼底，看瀑布顶端的仰角度数为．
故答案为：68°
【分析】（1）根据直线平行性质即可求出答案.
（2）由题意可知和是直角三角形，解直角三角形可得CE，DE，根据边之间的关系建立方程，解方程可得AE，再解方程即可求出答案.
（1）解：∵在瀑布顶端看楼底的俯角与在楼底看瀑布顶端的仰角是内错角，根据两直线平行，内错角相等的性质，已知俯角，
∴站在对面高楼楼底，看瀑布顶端的仰角度数为．
（2）解：由题意可知：和都是直角三角形，
在中，，，
．
同理可得：．
由题意，得．即，解得．
．
答：瀑布的高度约为109米．
23．【答案】（1）
（2）解：设所在圆的圆心为点O，连接、，如答图1所示．
∵点P是的中点，
，．
，
∴O、P、Q三点共线．
设所在圆的半径为r．
．
在中，
，
．
解得．
∴所在圆的半径为13cm．
（3）解：点即为此时所在圆的圆心的位置，如答图2所示．
根据所在的圆与相切，
故，
，
．
又，
∴点M经过的路径的长为．
答：点M经过的路径的长为．
【知识点】垂径定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：∵点P是的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据线段中点即可求出答案.
（2）设所在圆的圆心为点O，连接、，根据垂径定理可得，，则O、P、Q三点共线，设所在圆的半径为r，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）点即为此时所在圆的圆心的位置，根据切线性质可得，解直角三角形可得，再根据弧长公式即可求出答案.
（1）解：∵点P是的中点，
∴，
故答案为：．
（2）解：设所在圆的圆心为点O，连接、，如答图1所示．
∵点P是的中点，
，．
，
∴O、P、Q三点共线．
设所在圆的半径为r．
．
在中，
，
．
解得．
∴所在圆的半径为13cm．
（3）解：点即为此时所在圆的圆心的位置，如答图2所示．
根据所在的圆与相切，
故，
，
．
又，
∴点M经过的路径的长为．
答：点M经过的路径的长为．
24．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
由题意得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：设该品牌头盔每个应涨价元．
由题意，得，
整理得，
解得，．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
．
答：该品牌的每个头盔应涨价5元；
（3）解：设该品牌头盔每个涨价元，利润为元．
由题意得
，
，
∴当.时，月销售利润最大，最大值为6125．
答：该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该品牌头盔每个应涨价元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设该品牌头盔每个涨价元，利润为元，根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
由题意得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：设该品牌头盔每个应涨价元．
由题意，得，
整理得，
解得，．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
．
答：该品牌的每个头盔应涨价5元；
（3）解：设该品牌头盔每个涨价元，利润为元．
由题意得，
，
∴当.时，月销售利润最大，最大值为6125．
答：该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元．
25．【答案】（1）解：在中，，，，
．
（2）解：，
当时，
．
，，
，．
，
∴，
∴．
．
（3）或．
【知识点】轴对称的性质；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】（3）解：当四边形为轴对称图形时，
情况一：如答图1，以为对称轴时，则，
．
情况二：如答图2，以为对称轴时，则，
∴点D到、的距离相等．
设点D到、的距离为h，点C到的距离为m，
．
，，，
，即．
综上，的长为或．
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，根据角之间的关系可得∠ACF=∠BAC，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：以为对称轴时，则，根据边之间的关系即可求出答案；以为对称轴时，则，则点D到、的距离相等，设点D到、的距离为h，点C到的距离为m，根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：在中，，，，
．
（2）解：，
当时，
．
，，
，．
，
∴，
∴．
．
（3）解：当四边形为轴对称图形时，
情况一：如答图1，以为对称轴时，则，
．
情况二：如答图2，以为对称轴时，则，
∴点D到、的距离相等．
设点D到、的距离为h，点C到的距离为m，
．
，，，
，即．
综上，的长为或．
1 / 1贵州省铜仁市碧江区九年级2025年初中学业水平模拟考试数学试卷
一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分）
1．（2025·碧江模拟）下列各数是的绝对值的是（　　）
A． B． C．2025 D．
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值的是2025，
故选：C．
【分析】根据绝对值定义即可求出答案.
2．（2025·碧江模拟）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（　　）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据题意，得这是圆柱的三视图，
故选：B．
【分析】根据简单结合体的三视图即可求出答案.
3．（2025·碧江模拟）2025年3月下旬，贵州百里杜鹃景区盛大开园．贵州百里杜鹃风景名胜区是全球最大的原始杜鹃林带，据生态普查，景区内共41个杜鹃花品种，涵盖世界杜鹃5个亚属的全部种类，被誉为“高原上的天然大花园”．已知核心景区内约有杜鹃花1800000株，数据1800000用科学记数法表示为，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
则n的值为6
故选B．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数.
4．（2025·碧江模拟）如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用表示，目标E用表示，那么表示的是（　　）
A．目标B B．目标C C．目标D D．目标F
【答案】B
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：∵目标A用表示，目标E用表示，
∴表示的是目标C，
故选：B．
【分析】根据有序数对表示位置，结合题意即可求出答案.
5．（2025·碧江模拟）贵州是全国唯一一个没有平原的省份，青山绿水造就了风景如画的壮丽风景．小敏家计划今年暑假来贵州游玩，在网上搜索了贵州5座名山，为了更清楚地展示它们的海拔高度（如表），下列的统计图中，最合适的是（　　）
山名 梵净山 韭菜坪 雷公山 黔灵山 丹霞山
海拔（m） 2572 2901 2179 1396 1896
A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．以上都可以
【答案】A
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：根据条形统计图能清楚地表示每一个项目的具体数目，
所以，为了更清楚地展示它们的海拔高度，最合适的是条形统计图，
故选：A．
【分析】根据各统计图的意义即可求出答案.
6．（2025·碧江模拟）如图，如果绕点C逆时针旋转后能与重合，那么旋转角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：根据题意，得，
根据旋转角的定义，得，
故选：C．
【分析】根据题意，根据直角三角形两锐角互余可得∠ACB，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．（2025·碧江模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【分析】根据二次根式四则运算逐项进行判断即可求出答案.
8．（2025·碧江模拟）木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
9．（2025·碧江模拟）若，则在下列式子中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：、∵，∴，A错误；
、∵，∴，B错误；
、∵，∴，C错误；
、∵，∴，
∴，D正确；
故答案为：．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同乘以或除以正数，不等号方向不变可判断A；根据不等式两边同乘以或除以负数，方向改变可判断B；根据不等式两边同加减相同数，不等号方向不变可判断C；根据不等式两边同乘以或除以负数，方向改变和不等式两边同加减相同数，不等号方向不变可判断D..
10．（2025·碧江模拟）如图，在中，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据基本作图，得到，故，
根据三角形外角性质得，
故选：C．
【分析】根据基本作图，得到，根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
11．（2025·碧江模拟）如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，设与y轴交于点D，连接，
∵轴，
∴，
∵点A在上，点B在上，
∴，
∴；
故选：A.
【分析】设与y轴交于点D，连接，根据反比例函数k的几何意义可得，再根据即可求出答案.
12．（2025·碧江模拟）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形……按这样的规律下去，第6幅图中正方形的个数为（　　）
A．140 B．91 C．76 D．55
【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1幅图中有个正方形，
第2幅图中有个正方形，
第3幅图中有个正方形，
第4幅图中有个正方形，
……，
以此类推可得，第n幅图有个正方形，
∴第6幅图中正方形的个数为个正方形，
故选；B．
【分析】根据前4个图形中正方形的个数，总结规律，结合有理数的混合运算即可求出答案.
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．（2025·碧江模拟）因式分解2x2﹣4x的结果是 　 　．
【答案】2x（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式＝2x（x﹣2），
故答案为：2x（x﹣2）．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
14．（2025·碧江模拟）年是农历乙巳年，1月5日，中国邮政《乙巳年》特种邮票全国首发，贵州贵阳因有“蛇场”命名地，特同步在贵阳黔灵山公园举行首发活动，为庆贺蛇年新春拉开了序幕．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的）经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，若一张邮票的面积是，则邮票上蛇形图案的面积约为　 　．
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为，
所以邮票上蛇形图案的面积约为，
故答案为：．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
15．（2025·碧江模拟）已知抛物线的图象如图所示，有下列结论：
①；
②二次函数图象的对称轴是直线；
③当时，y随x的增大而减小；
④方程的解为，．
其中正确的结论有　 　．
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据函数的图象可得：
抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点，
∴，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，结论②④正确；
∴，当时，y随x的增大而增大，结论③错误；
∴，
∴，结论①正确；
故答案为：①②④.
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
16．（2025·碧江模拟）如图，在边长为4的正方形中E是对角线上一动点，连接，将正方形沿所在直线折叠，点D的对应点为（不与正方形的顶点重合），连接，当平行于的边时，的长为　 　．
【答案】或4
【知识点】菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：根据题意，得
当时，延长交于点M，
∵边长为4的正方形，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵正方形沿所在直线折叠，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当时，
∵边长为4的正方形，
∴，，
∵正方形沿所在直线折叠，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴；
故答案为：或4．
【分析】根据题意，分和两种情况，当，设，根据折叠的性质以及勾股定理得到，求解即可；当时，利用正方形的性质以及折叠的性质，可得四边形是菱形，即可求解．
三、解答题（本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形）
17．（2025·碧江模拟）（1）已知a、b是有理数，定义一种新运算“”满足，求的值；
（2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程．
①； ②； ③．
【答案】（1）解：．
（2）解：选①
解得，．
选②，
，
或，
解得，．
选③，
，
或 ，
解得，．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据新定义列式计算，结合有理数的混合运算即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
18．（2025·碧江模拟）如图，菱形的对角线相交于点O，．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求四边形的周长．
【答案】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
证明：，，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
，则．
∴四边形是矩形；
（2）解∵四边形是菱形，
．．
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形的周长为．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，根据菱形性质可得，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，根据矩形性质可得，再根据四边形周长即可求出答案.
（1）解：四边形是矩形，理由如下：
证明：，，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
，则．
∴四边形是矩形；
（2）解∵四边形是菱形，
．．
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形的周长为．
19．（2025·碧江模拟）在初二物理的学习中，我们知道压强，压力，受力面积满足公式．
（1）当F为定值时，如图所示的图象能够正确反映p与S之间函数关系的图象是______（填序号）；
（2）已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为．
①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？
②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？
【答案】（1）①
（2）解：①把，代入，
得，，
∵，
∴小明不能安全地站在这块冰面上；
把，代入得，，
解得，
∴这块薄木板的面积至少．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确；
故答案为：①
【分析】（1）根据反比例函数的定义即可求出答案.
（2）将，代入解析式可得p，再比较大小即可求出答案.
②将，代入解析式即可求出答案.
（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确；
（2）解：把，代入，
得，，
∵，
∴小明不能安全地站在这块冰面上；
把，代入得，，
解得，
∴这块薄木板的面积至少．
20．（2025·碧江模拟）为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、人年级学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩：（单位：分）
进行统计、整理如下：
七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87．
八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84．
七、八年级测试成绩频数统计表
　
七年级 3 4 3
八年级 1 7 a
七、八年级测试成绩分析统计表
　 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 b 90
八年级 84 84 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______，______；
（2）如果把分数不低于85分记为“优秀”，现七、八年级共有1200名学生，该估计七八年级在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数；
（3）你认为哪个年级的学生学提防溺水知识的总体水平较好？请说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：七年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为，
八年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为
七、八年级在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数，
（3）解：由于七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
故八年级的学生学提防溺水知识的总体水平较好．
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：八年级中随机抽取10名学生的测试成绩有名学生的成绩低于分，
，
根据众数的定义可知，
把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为，
根据中位数的定义得：，
故答案为：，，；
【分析】（1）根据总人数减去其他范围人数可得a值，再根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据1200乘以对应人数的占比即可求出答案.
（3）方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
（1）解：八年级中随机抽取10名学生的测试成绩有名学生的成绩低于分，
，
根据众数的定义可知，
把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为，
根据中位数的定义得：，
故答案为：，，；
（2）解：七年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为，
八年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为
七、八年级在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数，
（3）解：由于七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
故八年级的学生学提防溺水知识的总体水平较好．
21．（2025·碧江模拟）一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”n的各个数位上的数字之和记为F（n）．例如：时，．
（1）对于“相异数”n，若，请你写出一个n的值；
（2）若a、b都是“相异数”，其中，（，x、y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值．
【答案】（1）解：∵“相异数”n，且，
∴这个三位数可以是或等答案不唯一，
∴1、2、5或者1、3、4组合的三位数即可
故这个数为．
（2）解：由a、b都是“相异数”，且，，
故，，
由，
．
．
，，
或或或或或
是“相异数”，
．
是“相异数”，
．
或或
或或
或或．
故的最小值为．
【知识点】二元一次方程（组）的新定义问题；枚举法
【解析】【分析】（1）根据“相异数”的定义即可求出答案.
（2）根据“相异数”的定义可得，，根据题意可得，则，求出整数解，即可求出答案.
（1）解：∵“相异数”n，且，
∴这个三位数可以是或等答案不唯一，
∴1、2、5或者1、3、4组合的三位数即可
故这个数为．
（2）解：由a、b都是“相异数”，且，，
故，，
由，
．
．
，，
或或或或或
是“相异数”，
．
是“相异数”，
．
或或
或或
或或．
故的最小值为．
22．（2025·碧江模拟）这个周末，小敏来到了贵阳市观山湖区的裂变广场，这里有全球最高的人工瀑布，已成为贵阳市的标志性建筑（如图1）．站在高楼下，能够感受到“飞流直下三千尺”的壮阔，阳光照射时，还可以看见美丽的彩虹，极具观赏性．如图2，小敏来到瀑布的顶端A处，测得对面高楼楼顶仰角，楼底俯角，已知对面高楼楼高米（参考数据：，，，，，）
（1）站在对面高楼楼底，此时看瀑布顶端的仰角度数为______；
（2）求瀑布的高度．（精确到米）
【答案】（1）
（2）解：由题意可知：和都是直角三角形，
在中，，，
．
同理可得：．
由题意，得．即，解得．
．
答：瀑布的高度约为109米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：∵在瀑布顶端看楼底的俯角与在楼底看瀑布顶端的仰角是内错角，根据两直线平行，内错角相等的性质，
已知俯角，
∴站在对面高楼楼底，看瀑布顶端的仰角度数为．
故答案为：68°
【分析】（1）根据直线平行性质即可求出答案.
（2）由题意可知和是直角三角形，解直角三角形可得CE，DE，根据边之间的关系建立方程，解方程可得AE，再解方程即可求出答案.
（1）解：∵在瀑布顶端看楼底的俯角与在楼底看瀑布顶端的仰角是内错角，根据两直线平行，内错角相等的性质，已知俯角，
∴站在对面高楼楼底，看瀑布顶端的仰角度数为．
（2）解：由题意可知：和都是直角三角形，
在中，，，
．
同理可得：．
由题意，得．即，解得．
．
答：瀑布的高度约为109米．
23．（2025·碧江模拟）如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦，点P是的中点，过点P作，交所对的于点Q，，台灯支架与底座垂直，，底座放在水平面上．（参考数据：）
（1）写出图1中与相等的线段：______；
（2）如图1，当时，求所在圆的半径；
（3）若将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与相切，如图2，求点M经过的路径的长．
【答案】（1）
（2）解：设所在圆的圆心为点O，连接、，如答图1所示．
∵点P是的中点，
，．
，
∴O、P、Q三点共线．
设所在圆的半径为r．
．
在中，
，
．
解得．
∴所在圆的半径为13cm．
（3）解：点即为此时所在圆的圆心的位置，如答图2所示．
根据所在的圆与相切，
故，
，
．
又，
∴点M经过的路径的长为．
答：点M经过的路径的长为．
【知识点】垂径定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：∵点P是的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据线段中点即可求出答案.
（2）设所在圆的圆心为点O，连接、，根据垂径定理可得，，则O、P、Q三点共线，设所在圆的半径为r，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）点即为此时所在圆的圆心的位置，根据切线性质可得，解直角三角形可得，再根据弧长公式即可求出答案.
（1）解：∵点P是的中点，
∴，
故答案为：．
（2）解：设所在圆的圆心为点O，连接、，如答图1所示．
∵点P是的中点，
，．
，
∴O、P、Q三点共线．
设所在圆的半径为r．
．
在中，
，
．
解得．
∴所在圆的半径为13cm．
（3）解：点即为此时所在圆的圆心的位置，如答图2所示．
根据所在的圆与相切，
故，
，
．
又，
∴点M经过的路径的长为．
答：点M经过的路径的长为．
24．（2025·碧江模拟）“骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？
（3）该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
由题意得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：设该品牌头盔每个应涨价元．
由题意，得，
整理得，
解得，．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
．
答：该品牌的每个头盔应涨价5元；
（3）解：设该品牌头盔每个涨价元，利润为元．
由题意得
，
，
∴当.时，月销售利润最大，最大值为6125．
答：该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该品牌头盔每个应涨价元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设该品牌头盔每个涨价元，利润为元，根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
由题意得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：设该品牌头盔每个应涨价元．
由题意，得，
整理得，
解得，．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
．
答：该品牌的每个头盔应涨价5元；
（3）解：设该品牌头盔每个涨价元，利润为元．
由题意得，
，
∴当.时，月销售利润最大，最大值为6125．
答：该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元．
25．（2025·碧江模拟）如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连接．过点C作，交边于点D，交线段于点F．
（1）求的长；
（2）当时，求的长；
（3）连接，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长．
【答案】（1）解：在中，，，，
．
（2）解：，
当时，
．
，，
，．
，
∴，
∴．
．
（3）或．
【知识点】轴对称的性质；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】（3）解：当四边形为轴对称图形时，
情况一：如答图1，以为对称轴时，则，
．
情况二：如答图2，以为对称轴时，则，
∴点D到、的距离相等．
设点D到、的距离为h，点C到的距离为m，
．
，，，
，即．
综上，的长为或．
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，根据角之间的关系可得∠ACF=∠BAC，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：以为对称轴时，则，根据边之间的关系即可求出答案；以为对称轴时，则，则点D到、的距离相等，设点D到、的距离为h，点C到的距离为m，根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：在中，，，，
．
（2）解：，
当时，
．
，，
，．
，
∴，
∴．
．
（3）解：当四边形为轴对称图形时，
情况一：如答图1，以为对称轴时，则，
．
情况二：如答图2，以为对称轴时，则，
∴点D到、的距离相等．
设点D到、的距离为h，点C到的距离为m，
．
，，，
，即．
综上，的长为或．
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