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广西壮族自治区南宁市江南区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）
1．（2025八下·江南期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·江南期中）下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，12 D．，，
3．（2025八下·江南期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·江南期中）如图，在 ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
5．（2025八下·江南期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·江南期中）如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（　　）
A． B． C． D．平分
7．（2025八下·江南期中）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，若，，则菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·江南期中）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2025八下·江南期中）如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C，则爬行的最短路程是(　　)
A．2 B． C．2 D．14
10．（2025八下·江南期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（　　）
A．12 B．18 C．24 D．48
11．（2025八下·江南期中）如图，已知矩形中，分别是上的点，、分别是、的中点，当在上从向移动而不动时，那么下列结论成立的是（　　）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不改变 D．线段的长不能确定
12．（2025八下·江南期中）如图，正方形中，点E、F、H分别是、、的中点，、交于G，连接、．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）
13．（2025八下·江南期中）使 有意义的x的取值范围是　 　．
14．（2025八下·江南期中）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为5m，宽为12m，对角线为13m，则这个桌面　 　(填“合格”或“不合格”)
15．（2025八下·江南期中）已知矩形中，对角线、相交于点，，垂足为，，则　 　.
16．（2025八下·江南期中）如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．（2025八下·江南期中）计算：
（1）；
（2）
18．（2025八下·江南期中）如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：．
19．（2025八下·江南期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．
20．（2025八下·江南期中）小红同学要测量、两地的距离，但、之间有一水池，不能直接测量，于是她在、同一水平面上选取了一点，点可直接到达、两地．她测量得到米，米，，请你帮助小红同学求出、两点之间的距离．（参考数据，）
21．（2025八下·江南期中）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，且．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
22．（2025八下·江南期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿CA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是秒（）．过点作于点F，连接DE，EF．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
23．（2025八下·江南期中）【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________；
（2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个自形的面积，你能发现什么？说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 是最简二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．满足上述两个条件的二次根式就是最简二次根式。根据定义即可判断求解。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、42+32=52，故是直角三角形，故此选项正确；
C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误；
D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选B．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
3．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）、二次根式的减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）、二次根式的乘法的计算方法及步骤和二次根式的除法的计算方法及步骤分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，
∵平分，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC=5cm，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3cm，
∴EC=BC-BE=5-3=2cm．
故选B．
【分析】根据角平分线的定义得到，由平行四边形的性质得到，AD=BC=5cm，从而得到∠BAE=∠AEB，等腰三角形的性质得到AB=BE=3cm，即可求解．
5．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故答案为：B．
【分析】先根据勾股定理求出BD，则，故点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，在根据数轴上两点间的距离即可求解。
6．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：当平分时，四边形是菱形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形．
故选：D．
【分析】根据题意可得，明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定方法，当时，四边形是菱形，结合选项，即可求解．
7．【答案】A
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：菱形中，，且、互相平分，
，，
中，，
∴菱形的边长是．
故答案为：．
【分析】先利用菱形的性质求出OA和OD的长，再利用勾股定理求出AD的长，从而得解.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：设，则
根据折叠的性质，得
∵
∴
∴
设
在直角三角形中，根据勾股定理，得
解得
故选：C.
【分析】本题考查矩形折叠问题，涉及矩形性质，平行线性质，等腰三角形判定及勾股定理.利用折叠性质得角相等，结合矩形对边平行推出等腰三角形，设未知数后在直角三角形中用勾股定理列方程求解，关键是梳理折叠前后角与边的关系，构建直角三角形模型.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：底面周长为20cm，半圆弧长为10cm，
画展开图形如下：
由题意得：AD＝10cm，CD＝4cm，
根据勾股定理得：AB＝＝＝2（cm）．
故选A．
【分析】将圆柱展开，得到一个长方形，确定出长和宽，然后利用勾股定理求解即可．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵S1=3，S3=9，
∴AB=，CD=3，
过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD，AE=CD=3，
∵∠ABC+∠DCB=90°，
∴∠AEB+∠ABC=90°，
∴∠BAE=90°，
∴BE= =2，
∵BC=2AD，
∴BC=2BE=4，
∴S2=（4）2=48，
故选D．
【分析】
由于已知 ∠ABC+∠DCB=90°， 则过点A作AE、DC交BC于点E可得为 直角三角形，且，则BE2=S1+S2=12，由于AD//BC，则四边形ADCE是平行四边形，所以AD=CE=BE，则S2=（2BE）2=48.
11．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵、分别是、的中点，
∴为的中位线，
∴．
∵不动，
∴线段的长不改变．
故选：C．
【分析】连接，由三角形中位线定理得出，由题意可得AR为定值，即可求解．
12．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
点E、F、H分别是、、的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
在中，H是边的中点，
，故④正确；
如图，连接，
同理可得：，
，
，
垂直平分，
，故②正确；
，
同理：，
，
，
，
，
，故③正确．
故答案为：D．
【分析】根据正方形性质可得，，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可判断①；根据直角三角形斜边上的中点是斜边的一半可判断④；连接，同理可得：，根据边之间的关系可得，根据垂直平分线判定定理及性质可判断②；再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可判断③
13．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
【分析】当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
14．【答案】合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
∵52＋122＝169＝132，
∴AD2＋DC2＝AC2，
∴∠D＝90°，
同理：∠B＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴这个桌面合格．
故答案为：合格．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出∠B＝∠BCD＝90°，再证出四边形ABCD是矩形，从而得解.
15．【答案】
【知识点】角的运算；矩形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由题意可得：，再由，可得，再根据直角三角形的性质可得，又，得到进而可求的大小．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，过A作于M，在上截取，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴F、G、K共线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】连接，过A作于M，在上截取，连接，根据菱形的性质，得到，即可得到，进而期初，得到是等边三角形，当F、G、K共线，且时，由菱形的性质得到，即可得到，根据解答即可．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵相交于点，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接，由平行四边形的性质可得，，再根据AE=CF可得，从而得到四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证．
19．【答案】证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC，
∴AE=AF，
∴平行四边形AEDF是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先证出四边形AEDF是平行四边形，再结合AE=AF，即可证出平行四边形AEDF是菱形．
20．【答案】解：过作交延长线于点，
，
，
在中，，
（米），
（米），
米，
在中，（米），
答：、两点之间的距离为米．
【知识点】二次根式的性质与化简；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】过作交延长线于点，由可得，由直角三角形的性质可得米，由勾股定理可得米，再利用勾股定理计算出长即可．
21．【答案】（1）解：∵，，，∴平分，
∴，
∵的垂直平分，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，，∴，
在中，根据勾股定理得，
∵，
∴，
解得．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的判定可得出平分，再根据线段垂直平分线的性质得出，根据直角三角形两锐角互余，即可得出 ；
（2）由（1）的结论知：=30°，进而得出BE=2CE，再根据勾股定理，即可得出CE的长。
（1）解：∵，，，
∴平分，
∴，
∵的垂直平分，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∵，
∴，
解得．
22．【答案】（1）证明：由题意可知CD=4tcm，AE=2tcm，
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴DF=DC=2t cm．
∵AE=2t cm，DF=2t cm，
∴AE=DF．
（2）解：∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴．
∵AE=DF，，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，
即2t=60-4t，
解得：t=10，
∴当t=10时，四边形AEFD为菱形.
（3）解：①当∠EDF=90°时，如图①，
∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴，
∴四边形DFBE为矩形．
∴
∴AD=2AE，即60-4t=2t×2，
解得：t=，
②当∠DEF=90°时，如图②，
∵，
∴DE⊥AC，
∴．
∴AE=2AD，即2t=2×（60-4t），
解得：t=12，
综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用含30°角的直角三角形的性质可得DF=DC=2t cm，再结合AE=2t cm，DF=2t cm，即可证出AE=DF；
（2）利用菱形的判定和性质可得AE=AD，列出方程2t=60-4t，求出t的值即可；
（3）分类讨论：①当∠EDF=90°时，②当∠DEF=90°时，先分别画出图形并利用矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质列出方程求解即可.
23．【答案】（1）；
解：（2）发现：，
理由：图2中图形的面积：，
，
，
．
（3）周长为2，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
长方形的面积为：
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
【分析】（1）运用两个小正方形的面积之和等于大正方形面积减去两个长方形面积即可；
（2）根据梯形的面积等于或，建立等式整理即可；
（3）根据题意表示出，在中，由勾股定理得，化简整理即可求出．
1 / 1广西壮族自治区南宁市江南区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）
1．（2025八下·江南期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 是最简二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．满足上述两个条件的二次根式就是最简二次根式。根据定义即可判断求解。
2．（2025八下·江南期中）下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，12 D．，，
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、42+32=52，故是直角三角形，故此选项正确；
C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误；
D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选B．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
3．（2025八下·江南期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）、二次根式的减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）、二次根式的乘法的计算方法及步骤和二次根式的除法的计算方法及步骤分析求解即可.
4．（2025八下·江南期中）如图，在 ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，
∵平分，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC=5cm，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3cm，
∴EC=BC-BE=5-3=2cm．
故选B．
【分析】根据角平分线的定义得到，由平行四边形的性质得到，AD=BC=5cm，从而得到∠BAE=∠AEB，等腰三角形的性质得到AB=BE=3cm，即可求解．
5．（2025八下·江南期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故答案为：B．
【分析】先根据勾股定理求出BD，则，故点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，在根据数轴上两点间的距离即可求解。
6．（2025八下·江南期中）如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（　　）
A． B． C． D．平分
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：当平分时，四边形是菱形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形．
故选：D．
【分析】根据题意可得，明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定方法，当时，四边形是菱形，结合选项，即可求解．
7．（2025八下·江南期中）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，若，，则菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：菱形中，，且、互相平分，
，，
中，，
∴菱形的边长是．
故答案为：．
【分析】先利用菱形的性质求出OA和OD的长，再利用勾股定理求出AD的长，从而得解.
8．（2025八下·江南期中）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：设，则
根据折叠的性质，得
∵
∴
∴
设
在直角三角形中，根据勾股定理，得
解得
故选：C.
【分析】本题考查矩形折叠问题，涉及矩形性质，平行线性质，等腰三角形判定及勾股定理.利用折叠性质得角相等，结合矩形对边平行推出等腰三角形，设未知数后在直角三角形中用勾股定理列方程求解，关键是梳理折叠前后角与边的关系，构建直角三角形模型.
9．（2025八下·江南期中）如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C，则爬行的最短路程是(　　)
A．2 B． C．2 D．14
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：底面周长为20cm，半圆弧长为10cm，
画展开图形如下：
由题意得：AD＝10cm，CD＝4cm，
根据勾股定理得：AB＝＝＝2（cm）．
故选A．
【分析】将圆柱展开，得到一个长方形，确定出长和宽，然后利用勾股定理求解即可．
10．（2025八下·江南期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（　　）
A．12 B．18 C．24 D．48
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵S1=3，S3=9，
∴AB=，CD=3，
过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD，AE=CD=3，
∵∠ABC+∠DCB=90°，
∴∠AEB+∠ABC=90°，
∴∠BAE=90°，
∴BE= =2，
∵BC=2AD，
∴BC=2BE=4，
∴S2=（4）2=48，
故选D．
【分析】
由于已知 ∠ABC+∠DCB=90°， 则过点A作AE、DC交BC于点E可得为 直角三角形，且，则BE2=S1+S2=12，由于AD//BC，则四边形ADCE是平行四边形，所以AD=CE=BE，则S2=（2BE）2=48.
11．（2025八下·江南期中）如图，已知矩形中，分别是上的点，、分别是、的中点，当在上从向移动而不动时，那么下列结论成立的是（　　）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不改变 D．线段的长不能确定
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵、分别是、的中点，
∴为的中位线，
∴．
∵不动，
∴线段的长不改变．
故选：C．
【分析】连接，由三角形中位线定理得出，由题意可得AR为定值，即可求解．
12．（2025八下·江南期中）如图，正方形中，点E、F、H分别是、、的中点，、交于G，连接、．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
点E、F、H分别是、、的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
在中，H是边的中点，
，故④正确；
如图，连接，
同理可得：，
，
，
垂直平分，
，故②正确；
，
同理：，
，
，
，
，
，故③正确．
故答案为：D．
【分析】根据正方形性质可得，，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可判断①；根据直角三角形斜边上的中点是斜边的一半可判断④；连接，同理可得：，根据边之间的关系可得，根据垂直平分线判定定理及性质可判断②；再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可判断③
二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）
13．（2025八下·江南期中）使 有意义的x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
【分析】当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
14．（2025八下·江南期中）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为5m，宽为12m，对角线为13m，则这个桌面　 　(填“合格”或“不合格”)
【答案】合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
∵52＋122＝169＝132，
∴AD2＋DC2＝AC2，
∴∠D＝90°，
同理：∠B＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴这个桌面合格．
故答案为：合格．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出∠B＝∠BCD＝90°，再证出四边形ABCD是矩形，从而得解.
15．（2025八下·江南期中）已知矩形中，对角线、相交于点，，垂足为，，则　 　.
【答案】
【知识点】角的运算；矩形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由题意可得：，再由，可得，再根据直角三角形的性质可得，又，得到进而可求的大小．
16．（2025八下·江南期中）如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，过A作于M，在上截取，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴F、G、K共线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】连接，过A作于M，在上截取，连接，根据菱形的性质，得到，即可得到，进而期初，得到是等边三角形，当F、G、K共线，且时，由菱形的性质得到，即可得到，根据解答即可．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．（2025八下·江南期中）计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025八下·江南期中）如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：．
【答案】证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵相交于点，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接，由平行四边形的性质可得，，再根据AE=CF可得，从而得到四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证．
19．（2025八下·江南期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．
【答案】证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC，
∴AE=AF，
∴平行四边形AEDF是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先证出四边形AEDF是平行四边形，再结合AE=AF，即可证出平行四边形AEDF是菱形．
20．（2025八下·江南期中）小红同学要测量、两地的距离，但、之间有一水池，不能直接测量，于是她在、同一水平面上选取了一点，点可直接到达、两地．她测量得到米，米，，请你帮助小红同学求出、两点之间的距离．（参考数据，）
【答案】解：过作交延长线于点，
，
，
在中，，
（米），
（米），
米，
在中，（米），
答：、两点之间的距离为米．
【知识点】二次根式的性质与化简；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】过作交延长线于点，由可得，由直角三角形的性质可得米，由勾股定理可得米，再利用勾股定理计算出长即可．
21．（2025八下·江南期中）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，且．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵，，，∴平分，
∴，
∵的垂直平分，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，，∴，
在中，根据勾股定理得，
∵，
∴，
解得．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的判定可得出平分，再根据线段垂直平分线的性质得出，根据直角三角形两锐角互余，即可得出 ；
（2）由（1）的结论知：=30°，进而得出BE=2CE，再根据勾股定理，即可得出CE的长。
（1）解：∵，，，
∴平分，
∴，
∵的垂直平分，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∵，
∴，
解得．
22．（2025八下·江南期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿CA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是秒（）．过点作于点F，连接DE，EF．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明：由题意可知CD=4tcm，AE=2tcm，
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴DF=DC=2t cm．
∵AE=2t cm，DF=2t cm，
∴AE=DF．
（2）解：∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴．
∵AE=DF，，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，
即2t=60-4t，
解得：t=10，
∴当t=10时，四边形AEFD为菱形.
（3）解：①当∠EDF=90°时，如图①，
∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴，
∴四边形DFBE为矩形．
∴
∴AD=2AE，即60-4t=2t×2，
解得：t=，
②当∠DEF=90°时，如图②，
∵，
∴DE⊥AC，
∴．
∴AE=2AD，即2t=2×（60-4t），
解得：t=12，
综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用含30°角的直角三角形的性质可得DF=DC=2t cm，再结合AE=2t cm，DF=2t cm，即可证出AE=DF；
（2）利用菱形的判定和性质可得AE=AD，列出方程2t=60-4t，求出t的值即可；
（3）分类讨论：①当∠EDF=90°时，②当∠DEF=90°时，先分别画出图形并利用矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质列出方程求解即可.
23．（2025八下·江南期中）【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________；
（2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个自形的面积，你能发现什么？说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积．
【答案】（1）；
解：（2）发现：，
理由：图2中图形的面积：，
，
，
．
（3）周长为2，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
长方形的面积为：
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
【分析】（1）运用两个小正方形的面积之和等于大正方形面积减去两个长方形面积即可；
（2）根据梯形的面积等于或，建立等式整理即可；
（3）根据题意表示出，在中，由勾股定理得，化简整理即可求出．
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