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广西防城港市防城区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（2025七下·防城期中）的算术平方根是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·防城期中）下列实数中是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．3.14
3．（2025七下·防城期中）下列现象中，属于平移的是（　　）
A．滚动的足球 B．转动的电风扇叶片
C．正在上升的电梯 D．正在行驶的汽车后轮
4．（2025七下·防城期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．相等的角是对顶角
C．有理数和数轴上的点一一对应
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
5．（2025七下·防城期中）如图，已知直线，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·防城期中）如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在（　　）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
7．（2025七下·防城期中）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图，其中能说明的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·防城期中）将点按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后与点重合，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·防城期中）如果点在平面直角坐标系的第一象限，那么的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025七下·防城期中）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（　　）
A． B． C． D．
11．（2025七下·防城期中）如图，在方格纸中，点的坐标分别记为，．若，则点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025七下·防城期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接向运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025七下·防城期中）若点的坐标是，则它到轴的距离是　 　．
14．（2025七下·防城期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是　 　．
15．（2025七下·防城期中）如图，将半径为2的圆从点A沿数轴向左滚动一周到达点B，若点A对应的数值为2，则点B对应的数值为　 　．
16．（2025七下·防城期中）生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于A，平行于地面，则　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025七下·防城期中）（1）计算：
（2）求的值：
18．（2025七下·防城期中）已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是．
（1）求a，b的值；
（2）求的立方根．
19．（2025七下·防城期中）补全下面的证明：
已知：如图，，平分、平分．求证：．
证明：∵（已知），
∴______（______）．
∵平分，平分（已知），
∴，______（角平分线的定义）．
∴______．
∴（______）．
20．（2025七下·防城期中）四边形各个顶点的坐标分别为．
（1）如下图，在平面直角坐标系中画出四边形；
（2）求这个四边形的面积．
21．（2025七下·防城期中）如图，直线，相交于点O，，平分．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
22．（2025七下·防城期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下：
解：．
，
．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小：
（1）和；
（2）和
23．（2025七下·防城期中）如图1，在同一个平面上，已知点O为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与O重合，点P在线段上，设．
（1）【问题探究】已知：且，，通过计算说明：平分；
（2）【类比探究】当三角板按图2放置时，平分，求的度数（结果用含α的代数式表示）；
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】利用算术平方根的定义及计算方法求解即可.
2．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意得0，，3.14为有理数，为无理数，
故答案为：C
【分析】根据无理数的定义（无限不循环的小数）结合题意对选项逐一判断即可求解。
3．【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】A、滚动的足球是旋转，不符合题意；
B、转动的电风扇叶片是旋转，不符合题意；
C、正在上升的电梯是平移，符合题意；
D、正在行驶的汽车后轮是旋转，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平移的定义判断即可.
4．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A、只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，此选项为假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，此选项为假命题，不符合题意；
C、数轴上有的点表示有理数，有的点表示无理数，故只有实数与数轴上的点一一对应，此选项为假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，此选项是真命题，符合题意．
故选：D．
【分析】根据平行线的判定定理可判断选项A；根据“相等的角不一定是对顶角”可判断选项B；根据“实数与数轴是一一对应关系”可判断选项C；根据“平行线的判定定理”可判断选项D．
5．【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵直线，，
∴，
故选：A ．
【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
6．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：从村庄向小河作垂线，村庄到垂足得距离最短，即码头应建在点处，
故选：C．
【分析】根据垂线段最短以及题意，即可求解．
7．【答案】D
【知识点】同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、∵，且与不是同位角、内错角、同旁内角这类关系，∴不能说明，故该选项是错误的；
B、∵，且与是同旁内角，不互补，且不是之间的同旁内角，∴不能说明，故该选项是错误的；
C、∵，且与是同旁内角，不互补，且不是之间的同旁内角，∴不能说明，故该选项是错误的；
D、∵，且与是同旁内角，，∴能说明，故该选项是正确的；
故答案为：D．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、内错角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
8．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将点按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后与点重合，
∴点B的坐标为，即，
故答案为：B．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
9．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系的第一象限内，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：D．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））可得，再求解即可.
10．【答案】A
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
故答案为：A．
【分析】先利用角的运算求出∠AOB的度数，再利用“入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角”可得，再结合利用角的运算求出，最后利用对顶角的性质求解即可.
11．【答案】C
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，，
∴点为坐标原点，则，
过点作，如上图所示，
∴的坐标可能是，
故答案为：．
【分析】先作出过点作，再结合平面直角坐标系直接求出点N的坐标即可.
12．【答案】B
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据题意得：第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
……，
由此发现，第n次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是四个数一循环，
∵，
∴经过第2025次运动后，动点的坐标是．
故答案为：B.
【分析】先求出点坐标可得规律第n次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是四个数一循环，再结合，最后可得动点的坐标是．
13．【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点到轴的距离是，
故答案为：．
【分析】
平面直角坐标系上一点到x轴的距离是纵坐标的绝对值．
14．【答案】
【知识点】无理数的概念；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：输入x的值是64时，
则，
那么，
因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值，
故答案为：．
【分析】将x=64代入流程图计算，再利用算术平方根和立方根的定义及计算方法求解即可.
15．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵圆的半径为2，
∴．
∵点A对应的数是2，
∴点B对应的数是．
故答案为：．
【分析】利用圆的周长公式求出AB的长，再结合点A表示的数直接求出点B表示的数即可.
16．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，过点B作，由，得到，根据两直线平行，同旁内角互补，得到，再由，得到，即可得到结论．
17．【答案】解：（1）
原式
．
（2）解：
移项得 ，
系数化为1得 ，
∴ ．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；利用开平方求未知数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用平方根的定义及计算方法求解即可.
18．【答案】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别为和，
∴，
∴；
∵的立方根是
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∴的立方根为3．
【知识点】平方根的概念与表示；立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可以得到，解得；再根据立方根的定义可得，解得，即可求解；
（2）由（1）可得，求得，再根据立方根的定义即可求解．
19．【答案】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵平分，平分（已知），
∴，（角平分线的定义）．
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠BED；两直线平行，同位角相等；∠BED；∠2；同位角相等，两直线平行.
【知识点】推理与论证；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法以及推理方法分析求解即可.
20．【答案】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点，
由图可知，，
．
【知识点】点的坐标；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C、D的坐标作出图形即可；
（2）过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点，先求出DE和BF的长，再利用割补法求出四边形的面积即可.
（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点，
由图可知，，
．
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用对顶角的性质可得，再利用角平分线的定义求出即可；
（2）先利用角的运算求出∠BOF的度数，再结合图形求出即可．
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：
．
，
，
．
（2）解：
．
，
，
，
．
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法利用作差法求出，再判断出，从而可得；
（2）参照题干中的定义及计算方法利用作差法求出，再判断出，从而可得．
（1）解：
．
，
，
．
（2）解：
．
，
，
，
．
23．【答案】（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：，
，
，
，
平分，
，
即，
；
（3）
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：与存在的数量关系为：．
由（2）得：，
，
又，，
，
，
与存在的数量关系为：．
【分析】（1）根据平行线的判定，得出，再根据平行线的性质，得出∠AOOP=， 进而得出，进一步根据直角∠COD=90°，即可得出平分；
（2）首先更聚焦之间的关系分别表示出∠AOP=α+ ∠COP ，∠DOP=90°-∠COP，再根据角平分线的定义，得出α+ ∠COP =90°-∠COP，即可得出；
（3）由（2）知，再由，可得出∠BOD=90°-α，进而得出和存在的数量关系．
（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：，
，
，
，
平分，
，
即，
；
（3）解：与存在的数量关系为：．
由（2）得：，
，
，
又，，
，
，
与存在的数量关系为：．
1 / 1广西防城港市防城区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（2025七下·防城期中）的算术平方根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】利用算术平方根的定义及计算方法求解即可.
2．（2025七下·防城期中）下列实数中是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．3.14
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意得0，，3.14为有理数，为无理数，
故答案为：C
【分析】根据无理数的定义（无限不循环的小数）结合题意对选项逐一判断即可求解。
3．（2025七下·防城期中）下列现象中，属于平移的是（　　）
A．滚动的足球 B．转动的电风扇叶片
C．正在上升的电梯 D．正在行驶的汽车后轮
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】A、滚动的足球是旋转，不符合题意；
B、转动的电风扇叶片是旋转，不符合题意；
C、正在上升的电梯是平移，符合题意；
D、正在行驶的汽车后轮是旋转，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平移的定义判断即可.
4．（2025七下·防城期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．相等的角是对顶角
C．有理数和数轴上的点一一对应
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A、只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，此选项为假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，此选项为假命题，不符合题意；
C、数轴上有的点表示有理数，有的点表示无理数，故只有实数与数轴上的点一一对应，此选项为假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，此选项是真命题，符合题意．
故选：D．
【分析】根据平行线的判定定理可判断选项A；根据“相等的角不一定是对顶角”可判断选项B；根据“实数与数轴是一一对应关系”可判断选项C；根据“平行线的判定定理”可判断选项D．
5．（2025七下·防城期中）如图，已知直线，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵直线，，
∴，
故选：A ．
【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
6．（2025七下·防城期中）如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在（　　）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：从村庄向小河作垂线，村庄到垂足得距离最短，即码头应建在点处，
故选：C．
【分析】根据垂线段最短以及题意，即可求解．
7．（2025七下·防城期中）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图，其中能说明的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、∵，且与不是同位角、内错角、同旁内角这类关系，∴不能说明，故该选项是错误的；
B、∵，且与是同旁内角，不互补，且不是之间的同旁内角，∴不能说明，故该选项是错误的；
C、∵，且与是同旁内角，不互补，且不是之间的同旁内角，∴不能说明，故该选项是错误的；
D、∵，且与是同旁内角，，∴能说明，故该选项是正确的；
故答案为：D．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、内错角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
8．（2025七下·防城期中）将点按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后与点重合，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将点按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后与点重合，
∴点B的坐标为，即，
故答案为：B．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
9．（2025七下·防城期中）如果点在平面直角坐标系的第一象限，那么的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系的第一象限内，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：D．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））可得，再求解即可.
10．（2025七下·防城期中）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
故答案为：A．
【分析】先利用角的运算求出∠AOB的度数，再利用“入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角”可得，再结合利用角的运算求出，最后利用对顶角的性质求解即可.
11．（2025七下·防城期中）如图，在方格纸中，点的坐标分别记为，．若，则点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，，
∴点为坐标原点，则，
过点作，如上图所示，
∴的坐标可能是，
故答案为：．
【分析】先作出过点作，再结合平面直角坐标系直接求出点N的坐标即可.
12．（2025七下·防城期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接向运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据题意得：第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
……，
由此发现，第n次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是四个数一循环，
∵，
∴经过第2025次运动后，动点的坐标是．
故答案为：B.
【分析】先求出点坐标可得规律第n次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是四个数一循环，再结合，最后可得动点的坐标是．
二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025七下·防城期中）若点的坐标是，则它到轴的距离是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点到轴的距离是，
故答案为：．
【分析】
平面直角坐标系上一点到x轴的距离是纵坐标的绝对值．
14．（2025七下·防城期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是　 　．
【答案】
【知识点】无理数的概念；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：输入x的值是64时，
则，
那么，
因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值，
故答案为：．
【分析】将x=64代入流程图计算，再利用算术平方根和立方根的定义及计算方法求解即可.
15．（2025七下·防城期中）如图，将半径为2的圆从点A沿数轴向左滚动一周到达点B，若点A对应的数值为2，则点B对应的数值为　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵圆的半径为2，
∴．
∵点A对应的数是2，
∴点B对应的数是．
故答案为：．
【分析】利用圆的周长公式求出AB的长，再结合点A表示的数直接求出点B表示的数即可.
16．（2025七下·防城期中）生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于A，平行于地面，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，过点B作，由，得到，根据两直线平行，同旁内角互补，得到，再由，得到，即可得到结论．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025七下·防城期中）（1）计算：
（2）求的值：
【答案】解：（1）
原式
．
（2）解：
移项得 ，
系数化为1得 ，
∴ ．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；利用开平方求未知数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用平方根的定义及计算方法求解即可.
18．（2025七下·防城期中）已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是．
（1）求a，b的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别为和，
∴，
∴；
∵的立方根是
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∴的立方根为3．
【知识点】平方根的概念与表示；立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可以得到，解得；再根据立方根的定义可得，解得，即可求解；
（2）由（1）可得，求得，再根据立方根的定义即可求解．
19．（2025七下·防城期中）补全下面的证明：
已知：如图，，平分、平分．求证：．
证明：∵（已知），
∴______（______）．
∵平分，平分（已知），
∴，______（角平分线的定义）．
∴______．
∴（______）．
【答案】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵平分，平分（已知），
∴，（角平分线的定义）．
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠BED；两直线平行，同位角相等；∠BED；∠2；同位角相等，两直线平行.
【知识点】推理与论证；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法以及推理方法分析求解即可.
20．（2025七下·防城期中）四边形各个顶点的坐标分别为．
（1）如下图，在平面直角坐标系中画出四边形；
（2）求这个四边形的面积．
【答案】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点，
由图可知，，
．
【知识点】点的坐标；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C、D的坐标作出图形即可；
（2）过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点，先求出DE和BF的长，再利用割补法求出四边形的面积即可.
（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点，
由图可知，，
．
21．（2025七下·防城期中）如图，直线，相交于点O，，平分．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用对顶角的性质可得，再利用角平分线的定义求出即可；
（2）先利用角的运算求出∠BOF的度数，再结合图形求出即可．
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
22．（2025七下·防城期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下：
解：．
，
．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小：
（1）和；
（2）和
【答案】（1）解：
．
，
，
．
（2）解：
．
，
，
，
．
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法利用作差法求出，再判断出，从而可得；
（2）参照题干中的定义及计算方法利用作差法求出，再判断出，从而可得．
（1）解：
．
，
，
．
（2）解：
．
，
，
，
．
23．（2025七下·防城期中）如图1，在同一个平面上，已知点O为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与O重合，点P在线段上，设．
（1）【问题探究】已知：且，，通过计算说明：平分；
（2）【类比探究】当三角板按图2放置时，平分，求的度数（结果用含α的代数式表示）；
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系．
【答案】（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：，
，
，
，
平分，
，
即，
；
（3）
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：与存在的数量关系为：．
由（2）得：，
，
又，，
，
，
与存在的数量关系为：．
【分析】（1）根据平行线的判定，得出，再根据平行线的性质，得出∠AOOP=， 进而得出，进一步根据直角∠COD=90°，即可得出平分；
（2）首先更聚焦之间的关系分别表示出∠AOP=α+ ∠COP ，∠DOP=90°-∠COP，再根据角平分线的定义，得出α+ ∠COP =90°-∠COP，即可得出；
（3）由（2）知，再由，可得出∠BOD=90°-α，进而得出和存在的数量关系．
（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：，
，
，
，
平分，
，
即，
；
（3）解：与存在的数量关系为：．
由（2）得：，
，
，
又，，
，
，
与存在的数量关系为：．
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