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广西贵港市港南区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025八下·港南期中）在一个直角三角形中，若一个锐角是，则另一个锐角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在一个直角三角形中，若一个锐角是，则另一个锐角，
故答案为：B ．
【分析】利用三角形的内角和列出算式求解即可.
2．（2025八下·港南期中）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
3．（2025八下·港南期中）在下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意.
B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意.
C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意.
D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时满足两较小边的平方和是否等于最长边的平方.
4．（2025八下·港南期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则ABC≌DCB的依据是（　　）
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故选：A．
【分析】
已知∠A=∠D=90°，题中隐含BC=BC，根据HL即可推出△ABC≌△DCB．
5．（2025八下·港南期中）如图，在中，过点C的直线，垂足为点E，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，再结合，，利用角的运算求出，从而得解.
6．（2025八下·港南期中）如图是一个跷跷板的示意图，O是的中点，立柱与地面垂直（即于点C），若，则当跷跷板的一头A着地时，另一头B到地面的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
O是的中点，
O也是的中点，且，
，
，
，
，即C是的中点，
，
，
，且，
B到地面的距离为，
故答案为：D．
【分析】连接，先证出点C是的中点，再结合点O是的中点，利用中位线的性质可得，求出，从而得解.
7．（2025八下·港南期中）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（　　）
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
【答案】B
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：菱形，理由为：
如图所示，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=AC，
同理HG∥AC，HG=AC，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵EH=BD，AC=BD，
∴EF=EH，
则四边形EFGH为菱形，
故选B
【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．
8．（2025八下·港南期中）如图，在中，，平分，于D．如果，那么的值（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵平分，，
∴，
∵，
∴，
即．
故答案为：B．
【分析】先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求出即可.
9．（2025八下·港南期中）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为米，点B到路灯杆的水平距离为米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：∵米，米，
∴米，
∵点到地面的竖直距离为2米，
∴米，
∴起重臂顶端离地面的高度为米．
故答案为：B．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出起重臂顶端离地面的高度为米即可．
10．（2025八下·港南期中）如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（　　）
A．平分 B．
C．是等边三角形 D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；故选项B正确；
∴，故选项D正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴平分；故选项A正确；
∵，
∴是等腰三角形，无法得到是等边三角形，故选项C错误；
故选C．
【分析】由四边形是矩形 得到，，进而得到，根据平分得到，进而得到，得到，得到，即可求解．
11．（2025八下·港南期中）如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知，则的长为（　　）
A．5 B． C．6 D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵正方形纸片的边长为6，
∴，，
根据折叠的性质得：，，
设，
则，，，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】设，利用线段的和差求出，，，利用勾股定理可得，将数据代入可得，求出x的值，最后求出EF的长即可.
12．（2025八下·港南期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点B在y轴上，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是边长为2的菱形，，
∴，，
∴，
由旋转得，
∴，
∵点B在y轴上，
∴点在x轴上，
∴旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上，
作轴于点E，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点在第三象限，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，先求出旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上，再作轴于点E，则，再利用角的运算求出，利用含30°角的直角三角形的性质求出OE的长，再利用勾股定理求出C4E的长，从而可得点C4的坐标.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上，）
13．（2025八下·港南期中）如果一个边形过一个顶点有条对角线，那么　 　.
【答案】
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵一个n边形过一个顶点有8条对角线，
∴n 3＝8，
解得n＝11．
故答案为11．
【分析】根据多边形对角线的数量与边数的关系列出方程n 3＝8，再求出n的值即可。
14．（2025八下·港南期中）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有　 　个．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个．
故满足条件的格点C有3个．
故答案为：3．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC的腰，分别求解即可．
15．（2025八下·港南期中）如图，在中，，的平分线交于，交的延长线于点，则　 　．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4 ．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，再利用角平分线的定义及等量代换可得，再利用等角对等边的性质可得，再利用线段的和差求出AE的长，从而可得AB的长.
16．（2025八下·港南期中）如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，如图所示；
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
当取得最小值时，取得最小值，此时；
∵，，，
∴由勾股定理得：；
∵，
∴，
即的最小值为，
∴的最小值为；
故答案为：．
【分析】连接AD，先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再证出当取得最小值时，取得最小值，利用勾股定理求出AC的长，再利用等积法求出AD的长即可.
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025八下·港南期中）作图：
（1）如图1，已知四边形，作出四边形，使四边形与四边形关于点B成中心对称．
（2）如图2，求作一点P，使，并且点P到的两边距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）解：如图1，四边形即为所求．
（2）解：如图2，先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点，则点即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；中心对称及中心对称图形；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用中心对称图形的性质找出点A、B、C、D关于点B对称点，再连接即可；
（2）先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点，则点即为所求．
（1）解：如图1，四边形即为所求．
（2）解：如图2，先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点，则点即为所求．
18．（2025八下·港南期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
（1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程；
（2）如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
∴三角形的面积为：.
（2）解：如图，过点A作于D，
设，则，
在中，
在中，，
∴，即，
解得：，
由勾股定理得：（m），
∴，
∴该实验基地的面积为．
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出这个三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）过点A作于D，设，则，利用勾股定理列出方程，即，再求出x的值，再求出AD的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
（1）解：∵，
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
∴三角形的面积为：；
（2）如图，过点A作于D，
设，则，
在中，
在中，，
∴，即，
解得：，
由勾股定理得：（m），
∴，
∴该实验基地的面积为．
19．（2025八下·港南期中）如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且；
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
在与中，
，
∴
.
（2）解：，，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
即的度数为．
【知识点】角的运算；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先利用角的运算求出∠BAE的度数，再结合利用角的运算求出∠ACF的度数即可.
（1）证明：，
，
在与中，
，
∴
；
（2）解：，，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
即的度数为．
20．（2025八下·港南期中）教材呈现：直角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你用不同于教材的方法去证明这个命题成立．
已知：如图1，在中，，是斜边上的中线．求证：．（证法提示：延长至点E，使，连接，则……）
（1）请根据提示，结合图1，写出完整的证明过程．
（2）结论运用：
①如图2，一根长度固定的木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，B端随之沿地面向右滑行，在此滑动过程中，点P到点O的距离______．（填变大，变小或不变）
②如图3，点O为菱形的对角线的交点，过点C作于点E，连接．若，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：延长到点E，使，连接，则，
是斜边上的中线，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形，
，
.
（2）解：①不变；
②四边形是菱形，
，且，
，
又，
是斜边上的中线，
，
，
，
菱形的面积．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（2）解：①根据题意，，是中点，结合（1）的证明，，
∵在移动过程中的值保持不变，
∴点P到点O的距离也不变，
故答案为：不变.
【分析】（1）延长到点E，使，连接，则，先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再利用等量代换可得；
（2）①利用（1）的证明过程可得，从而可得点P到点O的距离也不变；
②先证出是斜边上的中线，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，最后利用菱形的面积公式求解即可.
（1）证明：延长到点E，使，连接，则，
是斜边上的中线，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形，
，
；
（2）解：①根据题意，，是中点，结合（1）的证明，，
∵在移动过程中的值保持不变，
∴点P到点O的距离也不变，
故答案为：不变；
②四边形是菱形，
，且，
，
又，
是斜边上的中线，
，
，
，
菱形的面积．
21．（2025八下·港南期中）如图，在中，．延长至D，使得，过点A，D分别作，与相交于点E．下面是小红、小星这两位同学的对话：
（1）请你根据题中的条件和小红同学的说法，证明：；
（2）你认为小星同学的说法是否正确？如果正确，试说明理由．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，·
，即，
四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形，
，
.
（2）解：小星说法正确，理由如下：
如图，连接，交于点F， ·
四边形是矩形，
，
，
是的中位线，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接BE，先证出四边形是平行四边形，再结合，证出四边形是矩形，最后利用矩形的性质可得；
（2）连接，交于点F，先证出BF是的中位线，再利用中位线的性质可得．
（1）证明：如图，连接，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，·
，即，
四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形，
，
；
（2）解：小星说法正确，理由如下：
如图，连接，交于点F， ·
四边形是矩形，
，
，
是的中位线，
．
22．（2025八下·港南期中）综合与实践：在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作步骤：小明利用一张矩形纸操作如下：
步骤①：把矩形对折，得折痕；（如图1）
步骤②：把A折向，得；（如图2）
步骤③：沿线段折叠，得到另一条折痕，展开后可得到．（如图3）
（1）基础探究：根据以上操作，图3中与的数量关系是：　 　．（直接写出结论）
（2）深入探究：在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由．
（3）拓展探究：在（2）的条件下，如图4，过点E作于点H，交于点Q．求证：．
【答案】（1）
（2）解：是等边三角形，
理由如下，如图所示，根据折叠得到，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形.
（3）证明：∵是等边三角形，，
∴，，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵把矩形对折，得折痕，
∴，
∴点是中点，点是的中点，，
如图所示，
把A折向，得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）把A折向，得，再利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得；
（2）根据折叠得到，，再利用等角对等边的性质可得，再证出，即可证出是等边三角形；
（3）先证出，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用等量代换可得．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵把矩形对折，得折痕，
∴，
∴点是中点，点是的中点，，
如图所示，
把A折向，得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：是等边三角形，理由如下，
如图所示，根据折叠得到，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（3）证明：∵是等边三角形，，
∴，，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
23．（2025八下·港南期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由．
（2）性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：；
（3）解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______．
【答案】（1）解：四边形是垂美四边形；理由如下：连接、，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
即四边形是垂美四边形.
（2）证明：∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∴.
（3）
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：如图所示：
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为垂美四边形，
∴，
∵，，
∴根据勾股定理得：，
∵，
∴根据勾股定理得：，，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）利用垂直平分线的性质和“垂美四边形”的定义分析求解即可；
（2）利用勾股定理可得，，，，再利用等量代换可得；
（3）先证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，证出四边形为垂美四边形，再利用勾股定理可得，，求出，最后求出即可．
（1）解：四边形是垂美四边形；理由如下：
连接、，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
即四边形是垂美四边形；
（2）证明：∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为垂美四边形，
∴，
∵，，
∴根据勾股定理得：，
∵，
∴根据勾股定理得：，，
∴，
∴．
1 / 1广西贵港市港南区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025八下·港南期中）在一个直角三角形中，若一个锐角是，则另一个锐角是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·港南期中）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·港南期中）在下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
4．（2025八下·港南期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则ABC≌DCB的依据是（　　）
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
5．（2025八下·港南期中）如图，在中，过点C的直线，垂足为点E，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·港南期中）如图是一个跷跷板的示意图，O是的中点，立柱与地面垂直（即于点C），若，则当跷跷板的一头A着地时，另一头B到地面的距离为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·港南期中）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（　　）
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
8．（2025八下·港南期中）如图，在中，，平分，于D．如果，那么的值（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·港南期中）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为米，点B到路灯杆的水平距离为米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．（2025八下·港南期中）如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（　　）
A．平分 B．
C．是等边三角形 D．
11．（2025八下·港南期中）如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知，则的长为（　　）
A．5 B． C．6 D．
12．（2025八下·港南期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点B在y轴上，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上，）
13．（2025八下·港南期中）如果一个边形过一个顶点有条对角线，那么　 　.
14．（2025八下·港南期中）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有　 　个．
15．（2025八下·港南期中）如图，在中，，的平分线交于，交的延长线于点，则　 　．
16．（2025八下·港南期中）如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025八下·港南期中）作图：
（1）如图1，已知四边形，作出四边形，使四边形与四边形关于点B成中心对称．
（2）如图2，求作一点P，使，并且点P到的两边距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
18．（2025八下·港南期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
（1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程；
（2）如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积．
19．（2025八下·港南期中）如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且；
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
20．（2025八下·港南期中）教材呈现：直角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你用不同于教材的方法去证明这个命题成立．
已知：如图1，在中，，是斜边上的中线．求证：．（证法提示：延长至点E，使，连接，则……）
（1）请根据提示，结合图1，写出完整的证明过程．
（2）结论运用：
①如图2，一根长度固定的木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，B端随之沿地面向右滑行，在此滑动过程中，点P到点O的距离______．（填变大，变小或不变）
②如图3，点O为菱形的对角线的交点，过点C作于点E，连接．若，求菱形的面积．
21．（2025八下·港南期中）如图，在中，．延长至D，使得，过点A，D分别作，与相交于点E．下面是小红、小星这两位同学的对话：
（1）请你根据题中的条件和小红同学的说法，证明：；
（2）你认为小星同学的说法是否正确？如果正确，试说明理由．
22．（2025八下·港南期中）综合与实践：在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作步骤：小明利用一张矩形纸操作如下：
步骤①：把矩形对折，得折痕；（如图1）
步骤②：把A折向，得；（如图2）
步骤③：沿线段折叠，得到另一条折痕，展开后可得到．（如图3）
（1）基础探究：根据以上操作，图3中与的数量关系是：　 　．（直接写出结论）
（2）深入探究：在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由．
（3）拓展探究：在（2）的条件下，如图4，过点E作于点H，交于点Q．求证：．
23．（2025八下·港南期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由．
（2）性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：；
（3）解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在一个直角三角形中，若一个锐角是，则另一个锐角，
故答案为：B ．
【分析】利用三角形的内角和列出算式求解即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
3．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意.
B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意.
C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意.
D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时满足两较小边的平方和是否等于最长边的平方.
4．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故选：A．
【分析】
已知∠A=∠D=90°，题中隐含BC=BC，根据HL即可推出△ABC≌△DCB．
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，再结合，，利用角的运算求出，从而得解.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
O是的中点，
O也是的中点，且，
，
，
，
，即C是的中点，
，
，
，且，
B到地面的距离为，
故答案为：D．
【分析】连接，先证出点C是的中点，再结合点O是的中点，利用中位线的性质可得，求出，从而得解.
7．【答案】B
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：菱形，理由为：
如图所示，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=AC，
同理HG∥AC，HG=AC，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵EH=BD，AC=BD，
∴EF=EH，
则四边形EFGH为菱形，
故选B
【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵平分，，
∴，
∵，
∴，
即．
故答案为：B．
【分析】先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求出即可.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：∵米，米，
∴米，
∵点到地面的竖直距离为2米，
∴米，
∴起重臂顶端离地面的高度为米．
故答案为：B．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出起重臂顶端离地面的高度为米即可．
10．【答案】C
【知识点】矩形的性质；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；故选项B正确；
∴，故选项D正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴平分；故选项A正确；
∵，
∴是等腰三角形，无法得到是等边三角形，故选项C错误；
故选C．
【分析】由四边形是矩形 得到，，进而得到，根据平分得到，进而得到，得到，得到，即可求解．
11．【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵正方形纸片的边长为6，
∴，，
根据折叠的性质得：，，
设，
则，，，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】设，利用线段的和差求出，，，利用勾股定理可得，将数据代入可得，求出x的值，最后求出EF的长即可.
12．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是边长为2的菱形，，
∴，，
∴，
由旋转得，
∴，
∵点B在y轴上，
∴点在x轴上，
∴旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上，
作轴于点E，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点在第三象限，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，先求出旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上，再作轴于点E，则，再利用角的运算求出，利用含30°角的直角三角形的性质求出OE的长，再利用勾股定理求出C4E的长，从而可得点C4的坐标.
13．【答案】
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵一个n边形过一个顶点有8条对角线，
∴n 3＝8，
解得n＝11．
故答案为11．
【分析】根据多边形对角线的数量与边数的关系列出方程n 3＝8，再求出n的值即可。
14．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个．
故满足条件的格点C有3个．
故答案为：3．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC的腰，分别求解即可．
15．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4 ．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，再利用角平分线的定义及等量代换可得，再利用等角对等边的性质可得，再利用线段的和差求出AE的长，从而可得AB的长.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，如图所示；
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
当取得最小值时，取得最小值，此时；
∵，，，
∴由勾股定理得：；
∵，
∴，
即的最小值为，
∴的最小值为；
故答案为：．
【分析】连接AD，先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再证出当取得最小值时，取得最小值，利用勾股定理求出AC的长，再利用等积法求出AD的长即可.
17．【答案】（1）解：如图1，四边形即为所求．
（2）解：如图2，先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点，则点即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；中心对称及中心对称图形；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用中心对称图形的性质找出点A、B、C、D关于点B对称点，再连接即可；
（2）先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点，则点即为所求．
（1）解：如图1，四边形即为所求．
（2）解：如图2，先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点，则点即为所求．
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
∴三角形的面积为：.
（2）解：如图，过点A作于D，
设，则，
在中，
在中，，
∴，即，
解得：，
由勾股定理得：（m），
∴，
∴该实验基地的面积为．
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出这个三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）过点A作于D，设，则，利用勾股定理列出方程，即，再求出x的值，再求出AD的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
（1）解：∵，
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
∴三角形的面积为：；
（2）如图，过点A作于D，
设，则，
在中，
在中，，
∴，即，
解得：，
由勾股定理得：（m），
∴，
∴该实验基地的面积为．
19．【答案】（1）证明：，
，
在与中，
，
∴
.
（2）解：，，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
即的度数为．
【知识点】角的运算；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先利用角的运算求出∠BAE的度数，再结合利用角的运算求出∠ACF的度数即可.
（1）证明：，
，
在与中，
，
∴
；
（2）解：，，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
即的度数为．
20．【答案】（1）证明：延长到点E，使，连接，则，
是斜边上的中线，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形，
，
.
（2）解：①不变；
②四边形是菱形，
，且，
，
又，
是斜边上的中线，
，
，
，
菱形的面积．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（2）解：①根据题意，，是中点，结合（1）的证明，，
∵在移动过程中的值保持不变，
∴点P到点O的距离也不变，
故答案为：不变.
【分析】（1）延长到点E，使，连接，则，先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再利用等量代换可得；
（2）①利用（1）的证明过程可得，从而可得点P到点O的距离也不变；
②先证出是斜边上的中线，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，最后利用菱形的面积公式求解即可.
（1）证明：延长到点E，使，连接，则，
是斜边上的中线，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形，
，
；
（2）解：①根据题意，，是中点，结合（1）的证明，，
∵在移动过程中的值保持不变，
∴点P到点O的距离也不变，
故答案为：不变；
②四边形是菱形，
，且，
，
又，
是斜边上的中线，
，
，
，
菱形的面积．
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，·
，即，
四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形，
，
.
（2）解：小星说法正确，理由如下：
如图，连接，交于点F， ·
四边形是矩形，
，
，
是的中位线，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接BE，先证出四边形是平行四边形，再结合，证出四边形是矩形，最后利用矩形的性质可得；
（2）连接，交于点F，先证出BF是的中位线，再利用中位线的性质可得．
（1）证明：如图，连接，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，·
，即，
四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形，
，
；
（2）解：小星说法正确，理由如下：
如图，连接，交于点F， ·
四边形是矩形，
，
，
是的中位线，
．
22．【答案】（1）
（2）解：是等边三角形，
理由如下，如图所示，根据折叠得到，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形.
（3）证明：∵是等边三角形，，
∴，，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵把矩形对折，得折痕，
∴，
∴点是中点，点是的中点，，
如图所示，
把A折向，得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）把A折向，得，再利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得；
（2）根据折叠得到，，再利用等角对等边的性质可得，再证出，即可证出是等边三角形；
（3）先证出，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用等量代换可得．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵把矩形对折，得折痕，
∴，
∴点是中点，点是的中点，，
如图所示，
把A折向，得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：是等边三角形，理由如下，
如图所示，根据折叠得到，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（3）证明：∵是等边三角形，，
∴，，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：四边形是垂美四边形；理由如下：连接、，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
即四边形是垂美四边形.
（2）证明：∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∴.
（3）
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：如图所示：
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为垂美四边形，
∴，
∵，，
∴根据勾股定理得：，
∵，
∴根据勾股定理得：，，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）利用垂直平分线的性质和“垂美四边形”的定义分析求解即可；
（2）利用勾股定理可得，，，，再利用等量代换可得；
（3）先证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，证出四边形为垂美四边形，再利用勾股定理可得，，求出，最后求出即可．
（1）解：四边形是垂美四边形；理由如下：
连接、，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
即四边形是垂美四边形；
（2）证明：∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为垂美四边形，
∴，
∵，，
∴根据勾股定理得：，
∵，
∴根据勾股定理得：，，
∴，
∴．
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