资源简介

2026年初中学业质量第一次模拟监测
（数学）
总分：150分 时间：120分钟
一、选择题（每题3分，共36分）
1.大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（　　）
A．1 B． C． D．3
2.据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是（　　）
A．3.5×106 B．3.5×107 C．35×106 D．35×107
3.若（a-b）2=9，a2-b2=15，且a＜b,则ab的值为（　　）
A．4 B．-4 C．6 D．-6
4.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．正方形 B．长边形 C．等边三角形 D．圆
5.f（x）=ex是一个数学函数，它表示自然数e的指数次幂．其中自然数e是一个无理数（e=2.718281828459045 ）则在下列实数中，（　　）也是无理数．
A． B． C．3.14 D．
6.如图，下列说法错误的是（　　）
A．图②与图③的主视图形状不同
B．图①与图③的俯视图形状相同
C．图②与图③的左视图形状相同
D．图②、图③各自的三视图相同
7．某校九年级二班45名同学在学校举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如下表所示：
捐款数（元） 10 20 30 40 50
捐款人数（人） 8 17 16 2 2
则对全班捐款的45个数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是20 B．平均数是24 C．中位数是30 D．方差是
8.1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（　　）
A．676 B．675 C．674 D．1350
9.一个扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的面积为（　　）
A．6π B．12π C．18π D．36π
10如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AD=8，CD=4，那么tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
11．已知y关于x的二次函数y=2mx2+（1-m）x-1-m,下列结论中：①当m=-1时，函数图象的顶点坐标为（，）；②当m≠0时，函数图象总过定点；③当m＞0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
12.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（-3，0）、B（1，0）．下列结论：①2a-b=0；②2c=3b；③当a＜0时，无论m取何值都有a-b≥am2+bm；④若a＜0时，抛物线交y轴于点C，且△ABC是等腰三角形，c=或；⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点E（x1，y1）、F（x2，y2）且x1＜x2，
x1+x2＞-2，则y1＞y2；则其中正确的是（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每题4分，共24分）
13． 因式分解：（y2-8）2-64= ．
14.一副直角三角板（一个含有30°角，一个含有45°角）按如图所示摆放，若直线a∥b,则∠1的度数为 ．
15.已知关于x的分式方程 +2= 的解是非负数，则k的取值范围是 ．
16.某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元．
17.已知二次函数y=ax2-4ax+4的图象开口向下，与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线CD交于点N，当点N在第一象限，且∠OMB=∠CNA时，a= ．
18.已知：如图，将长方形纸片沿着CE所在直线对折，B点落在点B′处，CD与EB′交于点F，如果AB=10cm,AD=6cm,AE=2cm,则EF的长为 ．
三、解答题（共90分）
19．(12分)计算：（1）(5分)(-1)3+ +30 -20260；
（2）(7分)先化简，再求值：(1-) ，其中x=-1．
20. (12分)某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
（1）(4分)本次共调查了 名学生，请补全条形统计图；
（2）(2分)在扇形统计图中，m的值是 ，D对应的扇形圆心角的度数是 ；
（3）(2分)若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数；
（4）(4分)某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加知识竞赛．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
21. （12分）为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元．
（1）（4分）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）（8分）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
22． （12分）如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点D（0，-1），且与反比例函数y=的图象交于点A（2，1）．
（1）（8分）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）（4分）根据图象，求使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
23．（14分） 如图，△ABC中，∠B=90°，AM是角平分线，O是AC上一点，经过点A、点M的⊙O分别交AB，AC于点E，点F．
（1）（6分）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）（6分）求证：CM2=CF CA；
（3）（2分）若CF=2 sinC=，求AE的长．
24. （14分）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在直线AB上，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，点F是线段DE的中点，连接AF．
（1）（6分）如图1，当点D在BA的延长线上时，连接AE．
①AE与BD之间的位置关系是 ，数量关系是 ；
②若CD=3，则线段AF= ；
（2）（4分）如图2，当点D在AB的延长线上时，若点G是线段AD的中点，连接FG，试探究BD与FG的数量与位置关系并证明；
（3）（4分）如图3，连接CF和BE，若BC=2，当线段CF取最小值时，请求出△BCE的面积．
25．（14分）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，CE，BD交于点G．
（1）（4分）若BD⊥CE，BD=1，CE=，则四边形BCDE的面积为 ；
（2）（5分）若BD+CE=，△ABC的最大面积为S．设BD=x,求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）（5分）若（2）问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数y的图象．直线y=k1x-k1交该图象于点F，H（F点在H点左边），过点H的直线l：y=k2x+b交该图象于另一点Q，过点F，Q的直线与直线x=1交于点K．若S△HFK=S△HKQ，试问直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题3分，共36分）
1—5. BBACD 6—10. CCBAD 11—12. AC
二、填空题（每题4分，共24分）
13. y2（y+4）（y-4） 14. 150 15. k≤2且k≠-1
16. 54 17. 18.
三、解答题（共90分）
19. 解：（1）(5分)原式=-3+3+9-1=8；
(7分)
20. 解：（1）(4分)根据题意得：20÷40%=50（名），
50-（20+15+10）=5（名），
补全条形统计图，如图所示：
故答案为：50；
（2）(2分)根据题意得：15÷50×100%=30%，即m=30，10÷50×360°=72°，
则在扇形统计图中，m的值是30，D对应的扇形圆心角的度数是72°；
故答案为：30，72°；
（3）(2分)根据题意得：2000×=400（名），
则估计该校不合格的学生人数约为400名；
（4）(4分)根据题意，列表如下：
所有等可能的情况数有12种，其中和为奇数的有（1，2），（1，4），（2，1），（2，3）， （3，2），（3，4），（4，1），（4，3），共8种，
∴P（小明参加）==，P（小亮参加）=1-=，
∵≠，
∴这个游戏规则不公平．
21.解：（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，
（4分）
答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元；
（2）设购进m件A种农产品，则购进（40-m）件B种农产品，
根据题意得：，
解得：20≤m≤30，（4分）
设购进的两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w=（160-120）m+（200-150）（40-m），
即w=-10m+2000，
∵-10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=20时，w取得最大值，此时40-m=40-20=20（件）．
答：购进20件A种农产品，20件B种农产品时，获利最多．（4分）
22.解：（1）把D（0，-1），A（2，1）代入y=kx+b,得：
∴y=x-1；（4分）
把A（2，1）代入，得：m=1×2=2；
∴B（-1，-2），（4分）
由图象可知：（4分）
反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围为：x＜-1或0＜x＜2．
23.（1）（6分）解：BC与⊙O的位置关系为BC与⊙O相切，理由：
连接OM，如图，
∵AM是角平分线，∴∠BAM=∠CAM，
∵OA=OM，∴∠CAM=∠OMA，
∴∠OMA=∠BAM，
∴AB∥OM，∴∠B+∠OMB=180°，
∵∠B=90°，∴∠OMB=90°，
∴OM⊥BC，
∵OM为⊙O的半径，∴BC与⊙O相切；
（2）（6分）证明：连接OM，MF，如图，
由（1）知：OM⊥BC，
∴∠OMC=90°，
∴∠CMA=∠OMC+∠OMA=90°+∠OMA．
∵AF为⊙O的直径，∴∠AMF=90°，
∴∠CFM=∠AMF+∠OAM=90°+∠OAM．
∵OA=OM，
∴∠OAM=∠OMA，
∴∠CFM=∠CMA，
∵∠C=∠C，
∴△CFM∽△CMA，
（2分）
24.解：（1）①如图1中，设AE交CD于点O．
∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CEA=∠CDB，AE=BD，
∵∠COE=∠AOD，
∴∠ECO=∠DAO=90°，
∴AE⊥BD，故答案为：AE⊥BD，AE=BD；（4分）
②∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴CE=CE，∠DCE=90°，
∴DE=CD=6，
∵∠DAO=90°，EF=FD，
∴AF=DE=3，故答案为：3；（2分）
（2）BD=2FG，BD⊥FG，
证明：如图2中，连接AE．
∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD=180°-45°=135°，
∴∠DAE=135°-45°=90°，
∵AG=GD，EF=FD，
∴GF=AE=BD，FG∥AE，
∴BD=2GF，∠DGF=∠DAE=90°，
∴BD⊥FG；（4分）
（3）如图3中，
∵CF是等腰直角△CDE斜边上的高，
∴当CD最小时，CF的值最小，
根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD的值最小（如图4中），
此时四边形AECD是正方形，DE∥CB，
（4分）
25.解：（1）∵BD⊥CE，BD=1，CE=，
∴四边形BCDE的面积=S△BCE+S△DCE
（2）∵△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则BM≤BG，DN≤DG，
∵四边形BCDE的面积=S△BCE+S△DCE

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