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2026年初中毕业教学质量监测
数 学
（总分：150 时间：120分钟）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1． 下列运算结果正确的是（　　）
A．5ab-2a=3b B．a3+a2=a5 C．（-a2）3=a6 D．a2
2.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．3.24×108
3.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞-2 B．x≥-2 C．x≤-2 D．x＜-2
4.如图所示的几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
5.窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现几何之美．下列窗棂图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
6.已知关于x的一元二次方程（c-2）x2+2x+1=0有实数根，则c的取值范围是（　　）
A．c≥-3且c≠2 B．c≠2 C．c≤3 D．c≤3且c≠2
7.国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．学生可以报名参加书法、围棋、象棋三个社团，活动组织者为参加社团的同学们购买了毛笔、围棋、象棋（三种都购买），共花费500元．其中毛笔每支20元，围棋每副25元，象棋每副30元，若象棋至少买5副，最多买6副，则购买方案有（　　）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
8.如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点B处前行5m到达斜坡CD的底部点C处，然后沿着斜坡前行8m到达最佳测量点E处，在点E处测得实验楼顶端点A的仰角为45°，已知斜坡与水平地面的夹角为30°，且点A，B，C，D，E，F在同一平面内，则该实验楼的高度为（　　）m.
A．9+4 B．9+5 C．10+4 D．17
9.如图，等边△ABC的边长为2．以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△DFE，BC与DE相交于点G，连接OG，下列判断不正确的是（　　）
A．点E的坐标是 ( , 0)
B．△BGE是等腰三角形
C．CG的长是3-
D．∠OGB=60°
10.如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC=5，CE=，则AC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．2
11.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF=60°，点E从点A向点D运动过程中，AE+CF的长度（　　）
A．逐渐增加 B．先减小再增加
C．恒等于 D．恒等于4
12.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=-2，则下列说法：①4a+2b+c＞0；②9a-3b+c＞0；③c-3a＞0；④4a2-2ab≥at（at+b）（t为任意实数）；⑤若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1=y2后，则m的取值范围为-5＜m＜-2．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分
13．因式分解2x2-8y2 = ．
14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=45°，∠1=52°，则∠2= 度．
15. 不等式5（x-2）+8＜7x+7的最小整数解为 ．
16.一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，则2次都摸到白球的概率是 ．
17.如图所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，点E是AB边上不与端点重合的一个动点，作ED⊥BC交BC于点D，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为F，当△ACF为等腰三角形时，则BD的长为 ．
18.如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19.（16分）（1）(8分)计算： - – (- ) -2 +sin600；
（2）(8分)先化简，再求值：( –x -1 ) ，其中x=3．
20. （12分）某校九年级组织的一次数学核心素养测评中，有一道满分为10分的数学小作文题，其评分标准如下：
A．未清楚表达，只有一个观点或结论，评为1分； B．略有错误，基本满足要求，评为3分； C．正确阐明观点，且有结构，评为5分； D．能简明地表达原理或进行推理说明，评为8分； E．完整、清晰、精准地概括和表达出立意，评为满分10分．
为了解数学小作文的写作情况，该校对九年级学生以20人为一组进行了随机分组，并从中抽取了两个小组学生的答卷进行统计分析，结果如下：
（1）（4分）请补全第1小组得分条形统计图；
（2）（4分）在第2小组得分扇形统计图中，D所对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）（2分）填空：
平均数/分 众数/分 中位数/分
第1小组 7.5 8
第2小组 3.35 1
（4）（2分）结合你的分析，请给第2小组的同学提供一条有关数学小作文的学习建议．
21. （10分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于A（1，2），B（n,-1）两点，与x轴交于点C．
（1）（4分）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）（3分）求△AOB的面积；
（3）（3分）直接写出不等式kx+b＞的解集．
22. （12分）如图，在△ABC中，点O是AC上一点，以点O为圆心OC长为半径的圆与AB相切于点D，且∠B=2∠ACD．
（1）（6分）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）（6分）若sinA=，AC=9，求⊙O的半径长．
23. （12分）“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a（x-h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）（6分）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 2.5 3 3.5 4
竖直高度y/m 0 0.8 0.875 0.9 0.875 0.8
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a（x-h）2+k（a＜0）；
（2）（6分）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.25（x-2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l2，请比较l1，l2的大小．
24. （14分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，过点E作EF⊥BE交AD于点F．
（1）（4分）若CD=4，BC=3，求DF的长；
（2）（5分）求证：EF平分∠DFB；
（3）（5分）在BC上截取CG，使AF=2CG，求 的值．
25. （14分）已知：抛物线y=- （x+k）（x-7）交x轴于A、B（A左B右），交y轴正半轴于点C，且OB=OC．
（1）（4分）如图1，求抛物线的解析式；
（2）（4分）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接AP，AP交y轴于点D，设P的横坐标为m,CD的长为d,求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）（6分）如图3，在（2）的条件下，过点P作PE⊥y轴于点E，延长EP至点G，使得PG=3CE，连接CG交AP于点F，且∠AFC=45°，连接AG交抛物线于T，求点T的坐标．
数学参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分
1—5. DCBBC 6—10. DBADB 11—12. DB
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分
13. 2（x+2y）（x-2y） 14. 97 15. -4 16. 17. -1 或 18.
三、解答题：本大题共7个小题，共90分
19.
20. 解：（1）第1小组得分条形统计图中，“得分为8分”
这一项的人数为20-1-2-3-8=6（人），
所以补全的条形统计图如右图：
（2）在第2小组得分扇形统计图中，D所对应的扇形圆心角的度数为360°×（1-40%-30%-15%-5%）=36°，
（3）第1小组得分出现次数最多的是10分，共出现8次，因此众数为10，
第2小组得分的中位数为=3；
（4）平时多思考，用数学的眼光观察实际生活，用规范的数学符号及图形语言，勤于动笔．
21.解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于A（1，2），B（n,-1）两点，
∴m=1×2=n×（-1），
∴n=-2，m=2，
∴反比例函数解析式为：y= ，
∵A（1，2），B（-2，-1）在一次函数y=kx+b的图象上，
∴一次函数解析式为：y=x+1．
（2）在一次函数y=x+1中，令y=0，则x=-1，
∴OC=1，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC= +=
（3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式kx+b＞的解集为：-2＜x＜0或x＞1．
22. 解：（1）直线BC与⊙O相切，
理由：连接OD，则∠AOD=2∠ACD，
∵∠B=2∠ACD，
∴∠B=∠AOD，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD于点D，
∴∠ADO=90°，
∴∠B+∠A=∠AOD+∠A=90°，
∴∠OCB=180°-（∠B+∠A）=90°，
∵OC是⊙O的半径，且BC⊥OC，
∴直线BC与⊙O相切．
（2）∵sinA= =，OD=OC，
∴OA=2OD=2OC，
∵OA+OC=AC=9，
∴2OC+OC=9，
∴OC=3，
∴⊙O的半径长为3．
23. 解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为：（3，0.9）．
∴该运动员竖直高度的最大值为0.9米．
设函数关系式为：y=a（x-3）2+0.9．
∵经过点（0，0），
∴9a+0.9=0，
解得：a=-0.1．
∴函数解析式为：y=-0.1（x-3）2+0.9．
（2）取y=0．
第一次训练时，0=-0.1（x-3）2+0.9．
解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=6．
∴l1=6．
第二次训练时，0=-0.25（x-2.2）2+1.21．
解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=4.4．
∴l2=4.4．
∵6＞4.4，
∴l1＞l2．
24.（1）解：∵E为CD的中点，CD=4，
∴DE=CE=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DEF+∠DFE=90°，
∵EF⊥BE，BC=3，
∴∠DEF+∠CEB=90°，
∴∠CEB=∠DFE，
∴△CEB∽△DFE，
解得 DF=（经检验，是分式方程的解，且符合题意）；
（2）证明：如图1，四边形ABCD是矩形，E为CD的中点，过点E作EH⊥AB交BF于点K，
∴∠D=∠A=90°，DC=AB，DE=CE，
∴四边形ADEH是矩形，
∴DE=AH，
∴DE=AH=CE=BH，
∵EH⊥AB，∠A=90°，
∴EH∥AD，
∴∠DFE=∠FEH， ==1，
∵∠BEF=90°，
∴EK=FK= BF，
∴∠BFE=∠FEH，
∴∠DFE=∠BFE，
∴EF平分∠DFB；
（3）解：如图2，EF平分∠DFB，过点E作EP⊥BF，
∴DE=EP，
∵DE=CE，
∴DE=CE=EP，
设CG=x,AD=BC=a,则BG=a-x,DF=a-2x,
∵∠D=∠EPF=90°，
∴△DEF和△PEF是直角三角形，
在Rt△DEF和Rt△PEF中，
∴Rt△DEF≌Rt△PEF（HL），
∴DF=PF=a-2x,
∵∠C=∠EPB=90°，
∴△CEB和△PEB是直角三角形，
在△CEB和△PEB中，
∴△CEB≌△PEB（HL），
∴BC=BP=a,
∴BF=PF+BP=a-2x+a=2a-2x,
∴ = = ．
25. 解：（1）当y=0时，-（x+k）（x-7）=0，
解得：x=-k或7，
∴点B的坐标为（7，0），A（-k,0），
∵OB=OC，
∴OC=OB=7，
∴点C的坐标为（0，7），
将点C的坐标代入抛物线表达式得：-（0+k）（0-7）=7，
解得：k=2，
∴y=-（x+2）（x-7）=-x2+x+7，
故抛物线的表达式为y=-x2+x+7
（2）过点P作PK⊥AB与点K，PE⊥y轴于点E，如图1，
∵y=-（x+2）（x-7），
∴P（m,-（m+2）（m-7）），A（-2，0），
∴AK=m+2，
∴DO=AO tan∠PAB=2（）=7-m,
∴CD=7-（7-m）=m,
∴d=m.
（3）过点C作WC⊥ED使得WD=PD，TL⊥AB，连接WD，WP，
设EC=k,则PG=3k,
∵∠WCD=∠DEP，CD=EP，WD=PD，
∴△WCD≌△DEP，
则△PWD为等腰直角三角形，
∴∠WPD=45°=∠CFD，
∴WP∥CG，
∴四边形CGPW为平行四边形，
∴CW=PG=3k=ED，
∴CD=2k=PE，
∴tan∠APE==，
由（2）可得tan∠PAB=
∴
∴m=4，k=2，
∴EO=7+2=9，EG=10，
∴G（10，9），A（-2，0），

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