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北师大版数学八年级下册第五单元分式与分式方程单元检测基础卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列各式从左到右变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．若分式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．将分式方程去分母后得到的整式方程，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
7．若分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的9倍 D．不变
8．关于x的分式方程的解是正数，则字母m的取值范围是（　　）
A．m＜-3 B．m＜3
C．m＞3，且m≠-2 D．m＞-3，且m≠2
二、填空题（每题3分，共15分）
9． 使式子 有意义的x的取值范围是 　 　 ．
10．已知，则的值为　 　 .
11．化简：　 　．
12．若关于x的分式方程=1的解为x=2，则m的值为　 　.
13．若 则x的值是　 　.
三、解答题（共7题，共61分）
14．已知分式，求：
（1）当x为何值时，分式有意义．
（2）当x为何值时，分式的值为0．
（3）当x=0，1，2时，分式的值．
15．先化简，再求值：，其中x是从-1，0，1，2中选取的一个合适的数.
16．（1）解分式方程：．
（2）解分式方程：．
17．下面是一位同学化简代数式的解答过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
（1）这位同学的解答，在第 步出现错误．
（2）请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值．
18．某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球的单价2倍少30元，用1200元购买的足球数量是用900元购买篮球数量的2倍．求足球和篮球的单价各是多少元？
19．老师所留的作业中有这样一个分式计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下．
甲同学： 第一步 第二步 ．第三步 乙同学： 第一步 第二步 ．第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误．
（1）请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析从第几步开始出错，并写出错误的原因；
（2）请重新写出此题完整的正确解答过程．
20．某自行车行经营A，B两种型号的自行车．
（1）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，求A型车最少进货多少辆？
（2）若该车行经营的A型自行车去年销售总额为6万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低300元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少20%，求A型自行车今年每辆售价多少元？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
解：
A、不是同乘，同除关系，故A错误，不符合题意；
B、分子乘以a，分母乘以b得到，非同乘，故B错误，不符合题意；
C、，分子分母同时除以2得到，变形正确，故C符合题意；
D、，故D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式，分式的值不变，逐一判断即可解答.
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴分母，
∴.
故选：A．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式
；
故选A．
【分析】本题考查分式的加减运算，分式加减运算的核心是通分，将异分母分式转化为同分母分式后再进行计算。首先对分母进行因式分解， 可分解为 ，由此确定两个分式的最简公分母为 ；将第二个分式 的分子分母同时乘以 ，化为 ；再将两个同分母分式的分子相减，得到 ，化简分子后，与分母约分，最终得到结果。
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查分式的化简求值与完全平方公式的应用，先对分式进行通分化简，再利用完全平方公式变形代入已知条件计算。首先对进行通分，根据分式加法法则，通分后得到；接着利用完全平方公式，变形得到；将，代入变形公式，计算出；最后将和代入通分后的分式，得到。
5．【答案】B
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边乘以最简公分母得：
．
故选：B．
【分析】去分母转换为整式方程即可.
6．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵第二次比第一次增加6人，且第二次分钱的人数为x人，
∴第一次分钱的人数为人，
根据题意得：，
故选：D．
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找到题目中的等量关系并表示出两次每人分得的钱数。设第二次分钱的人数为人，根据第二次比第一次增加6人，可得第一次分钱的人数为人，再根据“总钱数÷人数=每人分得的钱数”，分别表示出第一次和第二次每人分得的钱数，结合两次每人分得的钱数相等这一等量关系列出方程。
7．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式中的x、y分别用替换后得到的分式为，
∴分式中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值扩大到原来的3倍，
故选：A．
【分析】x，y都扩大3倍，就用代入分式，约分后即可得到答案．
8．【答案】A
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x+1得：2x m=3(x+1)，
解得：x= m 3，
∵x+1≠0，
∴x≠ 1
即 m 3≠ 1，
解得：m≠ 2，
又∵方程的解是正数，
∴ m 3＞0，
解不等式得：m＜ 3，
综上可知：m＜ 3，
故选：A.
【分析】解分式方程得到方程的解，根据题意和分式方程的分母不等于零，求出m的取值范围解答即可．
9．【答案】x≠1且x≠-2
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴x-1≠0且2+x≠0.
∴x≠1且x≠-2.
故答案为：x≠1且x≠-2.
【分析】根据零次幂和分式有意义的条件列出不等式求解即可.
10．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴b-a=3ab
∴a-b=-3ab
∴
=
=
故答案为：
【分析】去分母可得a-b=-3ab，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，然后约分化简即可.
12．【答案】3
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入=1
∴
解得：m=3
故答案为：3
【分析】将x=2代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘最简公分母，得，
展开右边，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
检验：当时，，
因此是原分式方程的解．
故答案为：2.
【分析】根据两边同时乘以化为整式方程，求出x的值并检验解答即可．
14．【答案】（1）解：由题意得x-5≠0，解得x≠5，
∴当x≠5时，分式有意义；
（2）解：由题意得x+1=0，且x-5≠0，解得x=-1，∴当x=-1时，分式的值为0；
（3）解：当x=0时， ；
当x=1时，；
当x=2时，.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，据此列出不等式，求解即可；
（2）分式值为0的条件是分子等于0且分母不为0，据此列出混合组，求解即可；
（3）分别将x=0、1、2代入分式计算可得答案.
15．【答案】解：原式=
=
=，
∵x2-1≠0，x+1≠0，x-1≠0，x-2≠0
解得：x≠±1且x≠2
∴x=0，原式的值为
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再根据分式有意义的条件择值计算即可求出答案.
16．【答案】（1）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得2x-x=3+2，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为；
（2）解：
去分母，得
去括号，得
移项，得3x+12x=8+12-3，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）（2）都是分式方程，因此按照解分式方程的步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出x的值后，代入进行检验即可。
17．【答案】（1）二
（2）解：
，
∵（为整数），且，，，
∴当时，原式；
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：这位同学的解答，在第二步出现错误，去括号没有变号，
故答案为：二.
【分析】（1）利用去括号的计算方法分析求解即可；
（2）先利用分式的混合运算的计算方法化简可得，再将x的值代入计算即可.
（1）解：这位同学的解答，在第二步出现错误，去括号没有变号，
故答案为：二；
（2）解：
，
∵（为整数），且，，，
∴当时，原式；
当时，原式．
18．【答案】解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元
，解得：，
经检验：是原方程的解，符合题意．
所以．
答：足球单价为60元，篮球单价为90元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题、理解题意建立等量关系、解分式方程及检验根的实际意义，重点考查学生将文字语言转化为数学模型的能力。设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，然后根据“用1200元购买的足球数量是用900元购买篮球数量的2倍”列分式方程求解即可．
19．【答案】（1）解：选择甲同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是在通分时，第一个分式没有按分式的基本性质运算；
或选择乙同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是在计算过程把分式的分母丢了．
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则进行判断即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简即可求出答案.
（1）解：选择甲同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是在通分时，第一个分式没有按分式的基本性质运算；
或选择乙同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是在计算过程把分式的分母丢了．
（2）解：
．
20．【答案】（1）解：设A型车最少进货x辆，
60-x≤2x，
∴x≥20，
答：A型车最少进货20辆．
（2）解：设A型自行车去年每辆售价y元，则今年售价每辆为(y-300)元，
解得y=1500，
经检验，y=1500是分式方程的根，
∴1500-300=1200 （元）．
答：A型自行车今年每辆售价为1200元
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设A型车进货x辆，根据B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，列出不等式，解之即可；
(2)设去年A型车每辆售价y元，则今年售价每辆为(y-300)元，由该型车的销售数量与去年相同可得方程，解之即可求出结果.
1 / 1北师大版数学八年级下册第五单元分式与分式方程单元检测基础卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列各式从左到右变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
解：
A、不是同乘，同除关系，故A错误，不符合题意；
B、分子乘以a，分母乘以b得到，非同乘，故B错误，不符合题意；
C、，分子分母同时除以2得到，变形正确，故C符合题意；
D、，故D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式，分式的值不变，逐一判断即可解答.
2．若分式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴分母，
∴.
故选：A．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
3．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式
；
故选A．
【分析】本题考查分式的加减运算，分式加减运算的核心是通分，将异分母分式转化为同分母分式后再进行计算。首先对分母进行因式分解， 可分解为 ，由此确定两个分式的最简公分母为 ；将第二个分式 的分子分母同时乘以 ，化为 ；再将两个同分母分式的分子相减，得到 ，化简分子后，与分母约分，最终得到结果。
4．已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查分式的化简求值与完全平方公式的应用，先对分式进行通分化简，再利用完全平方公式变形代入已知条件计算。首先对进行通分，根据分式加法法则，通分后得到；接着利用完全平方公式，变形得到；将，代入变形公式，计算出；最后将和代入通分后的分式，得到。
5．将分式方程去分母后得到的整式方程，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边乘以最简公分母得：
．
故选：B．
【分析】去分母转换为整式方程即可.
6．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵第二次比第一次增加6人，且第二次分钱的人数为x人，
∴第一次分钱的人数为人，
根据题意得：，
故选：D．
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找到题目中的等量关系并表示出两次每人分得的钱数。设第二次分钱的人数为人，根据第二次比第一次增加6人，可得第一次分钱的人数为人，再根据“总钱数÷人数=每人分得的钱数”，分别表示出第一次和第二次每人分得的钱数，结合两次每人分得的钱数相等这一等量关系列出方程。
7．若分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的9倍 D．不变
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式中的x、y分别用替换后得到的分式为，
∴分式中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值扩大到原来的3倍，
故选：A．
【分析】x，y都扩大3倍，就用代入分式，约分后即可得到答案．
8．关于x的分式方程的解是正数，则字母m的取值范围是（　　）
A．m＜-3 B．m＜3
C．m＞3，且m≠-2 D．m＞-3，且m≠2
【答案】A
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x+1得：2x m=3(x+1)，
解得：x= m 3，
∵x+1≠0，
∴x≠ 1
即 m 3≠ 1，
解得：m≠ 2，
又∵方程的解是正数，
∴ m 3＞0，
解不等式得：m＜ 3，
综上可知：m＜ 3，
故选：A.
【分析】解分式方程得到方程的解，根据题意和分式方程的分母不等于零，求出m的取值范围解答即可．
二、填空题（每题3分，共15分）
9． 使式子 有意义的x的取值范围是 　 　 ．
【答案】x≠1且x≠-2
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴x-1≠0且2+x≠0.
∴x≠1且x≠-2.
故答案为：x≠1且x≠-2.
【分析】根据零次幂和分式有意义的条件列出不等式求解即可.
10．已知，则的值为　 　 .
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴b-a=3ab
∴a-b=-3ab
∴
=
=
故答案为：
【分析】去分母可得a-b=-3ab，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
11．化简：　 　．
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，然后约分化简即可.
12．若关于x的分式方程=1的解为x=2，则m的值为　 　.
【答案】3
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入=1
∴
解得：m=3
故答案为：3
【分析】将x=2代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
13．若 则x的值是　 　.
【答案】2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘最简公分母，得，
展开右边，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
检验：当时，，
因此是原分式方程的解．
故答案为：2.
【分析】根据两边同时乘以化为整式方程，求出x的值并检验解答即可．
三、解答题（共7题，共61分）
14．已知分式，求：
（1）当x为何值时，分式有意义．
（2）当x为何值时，分式的值为0．
（3）当x=0，1，2时，分式的值．
【答案】（1）解：由题意得x-5≠0，解得x≠5，
∴当x≠5时，分式有意义；
（2）解：由题意得x+1=0，且x-5≠0，解得x=-1，∴当x=-1时，分式的值为0；
（3）解：当x=0时， ；
当x=1时，；
当x=2时，.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，据此列出不等式，求解即可；
（2）分式值为0的条件是分子等于0且分母不为0，据此列出混合组，求解即可；
（3）分别将x=0、1、2代入分式计算可得答案.
15．先化简，再求值：，其中x是从-1，0，1，2中选取的一个合适的数.
【答案】解：原式=
=
=，
∵x2-1≠0，x+1≠0，x-1≠0，x-2≠0
解得：x≠±1且x≠2
∴x=0，原式的值为
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再根据分式有意义的条件择值计算即可求出答案.
16．（1）解分式方程：．
（2）解分式方程：．
【答案】（1）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得2x-x=3+2，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为；
（2）解：
去分母，得
去括号，得
移项，得3x+12x=8+12-3，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）（2）都是分式方程，因此按照解分式方程的步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出x的值后，代入进行检验即可。
17．下面是一位同学化简代数式的解答过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
（1）这位同学的解答，在第 步出现错误．
（2）请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值．
【答案】（1）二
（2）解：
，
∵（为整数），且，，，
∴当时，原式；
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：这位同学的解答，在第二步出现错误，去括号没有变号，
故答案为：二.
【分析】（1）利用去括号的计算方法分析求解即可；
（2）先利用分式的混合运算的计算方法化简可得，再将x的值代入计算即可.
（1）解：这位同学的解答，在第二步出现错误，去括号没有变号，
故答案为：二；
（2）解：
，
∵（为整数），且，，，
∴当时，原式；
当时，原式．
18．某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球的单价2倍少30元，用1200元购买的足球数量是用900元购买篮球数量的2倍．求足球和篮球的单价各是多少元？
【答案】解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元
，解得：，
经检验：是原方程的解，符合题意．
所以．
答：足球单价为60元，篮球单价为90元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题、理解题意建立等量关系、解分式方程及检验根的实际意义，重点考查学生将文字语言转化为数学模型的能力。设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，然后根据“用1200元购买的足球数量是用900元购买篮球数量的2倍”列分式方程求解即可．
19．老师所留的作业中有这样一个分式计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下．
甲同学： 第一步 第二步 ．第三步 乙同学： 第一步 第二步 ．第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误．
（1）请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析从第几步开始出错，并写出错误的原因；
（2）请重新写出此题完整的正确解答过程．
【答案】（1）解：选择甲同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是在通分时，第一个分式没有按分式的基本性质运算；
或选择乙同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是在计算过程把分式的分母丢了．
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则进行判断即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简即可求出答案.
（1）解：选择甲同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是在通分时，第一个分式没有按分式的基本性质运算；
或选择乙同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是在计算过程把分式的分母丢了．
（2）解：
．
20．某自行车行经营A，B两种型号的自行车．
（1）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，求A型车最少进货多少辆？
（2）若该车行经营的A型自行车去年销售总额为6万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低300元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少20%，求A型自行车今年每辆售价多少元？
【答案】（1）解：设A型车最少进货x辆，
60-x≤2x，
∴x≥20，
答：A型车最少进货20辆．
（2）解：设A型自行车去年每辆售价y元，则今年售价每辆为(y-300)元，
解得y=1500，
经检验，y=1500是分式方程的根，
∴1500-300=1200 （元）．
答：A型自行车今年每辆售价为1200元
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设A型车进货x辆，根据B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，列出不等式，解之即可；
(2)设去年A型车每辆售价y元，则今年售价每辆为(y-300)元，由该型车的销售数量与去年相同可得方程，解之即可求出结果.
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