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北师大版数学八年级下册第五单元分式与分式方程单元检测提升卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·恩阳月考）给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④
2．（2025八下·龙港月考）若在实数范围内有意义，则（　　）
A．且 B．
C． D．且
3．（2025八下·恩阳月考）下列各式中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·项城期末）樱桃西红柿，也被称为圣女果，是番茄的一个品种，因其口感清甜，营养价值高而受到人们的喜爱．某超市用200元购进樱桃西红柿，面市后供不应求，该超市又用300元购进第二批这种西红柿，所购质量是第一批质量的2倍，但每千克的进货价降了0.8元．设第一批樱桃西红柿每千克的进货价为元，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·威宁期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
6．（2023八下·万源期末）若关于的方程无解，则的值为（　　）
A．1 B．-1 C．0 D．
7．（2026八上·越秀期末）物理学中的电路包含串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻分别为，并联电路的总电阻为，三者之间的关系为，则用表示，结果正确的是（　　）．
A． B． C． D．
8．（2025八下·温江期末）古代建筑中，榫（sǚn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动.工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克、已知用35千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同，设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024八下·郸城月考）对于非零实数、，规定，若，则的值为　 　．
10．（2025八下·乐山期末）若分式方程有增根，则增根为　 　．
11．（2024八下·重庆市期末）若，则　 　．
12．（2025八下·象山竞赛）已知a是方程的一个根，则的值为　 　.
13．（2024八下·江都期中）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若，（为正整数），则n的值为　 　.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025八下·深圳期中）（1）计算：
（2）解方程：
15．（2025八下·雨花月考）先化简，再求值：，其中．
16．（2024八下·武侯期中）已知；
（1）化简W；
（2）若a，2，3恰好是的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值．
17．（2024八下·金沙期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.2万元，且用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的个数相等
（1）A，B两种型号的充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买A，B两种型号的充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的个数不少于A型充电桩个数的．该停车场有哪几种购买方案？
18．（2025八下·普宁月考）已知A为整式，计算结果为．
（1）求整式A；
（2）嘉嘉说：“因为，所以原式的计算结果不可能为．”
淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，原式还应有其他无法取得的结果”．
请对淇淇的说法进行说理．
19．（2024八下·揭阳月考）阅读下列资料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：．
（1）分式是　 　（填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式分别化为带分式；
（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值．
20．（2025八下·深圳期中）为落实《健康中国行动（2019－2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
素材1 某体育器材店每个足球的价格比排球的价格多20元，用320元购买的排球数量与400元购买的足球数量相等．
素材2 该学校决定购买排球和足球共50个，排球数量不少于22个，且购买足球的数量不少于排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠．
问题解决
任务1 探求商品单价 （1）请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格．
任务2 确定购买方案 （2）运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球共有几种购买方案，其中最少费用是多少元？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：下列式子：①；②；③；④，分式有①；③．
故答案为：C．
【分析】形如（其中、都是整式，且中含有字母），这样的式子叫做分式，根据分式的定义，逐一判断即可．
2．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，且，
解得：且，故答案为：D．
【分析】根据二次根式，分式有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为零，据此即可求解.
3．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据分式的基本性质逐项进行分析判断即可．
4．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一批樱桃西红柿每千克的进货价为元， 则西红柿的进货单价是元 ，
根据题意可列方程为.
故答案为：C．
【分析】设第一批西红柿的进货单价为x元，则西红柿的进货单价是元，根据总价除以单价等于数量及第二批所购数量是第一批购进数量的倍，列出方程即可．
5．【答案】C
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，据此进行计算即可．
6．【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
两边同乘（x+1），得：x-a=a（x+1）
整理得：（1-a）x=2a
∴ x=
∵ 分式方程无解
∴ 当分式方程有增根时，x=-1，代入 x=，得a=-1；当分母1-a=0时，a=1
∴ a的值为
故答案为：D.
【分析】本题考查分式方程无解的两种情况：分式方程有增根，方程无解；当等式不成立时，方程无解。
7．【答案】B
【知识点】有理数的倒数；解分式方程；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式的加法运算，对通分计算，根据倒数的定义即可得答案.
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：A.
【分析】设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为(x-0.5)千克，结合35千克木材制作的数量与用30千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可.
9．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
解得
检验：当时，，
∴是分式方程的解，
故答案为．
【分析】根据新定义建立方程，再解方程即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
去分母得：，
即：
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
故答案为：．
【分析】把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
11．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先对分式进行变形，然后整体代入题目所给的数值进行计算，即可求解.
12．【答案】1
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1.
【分析】求出 把分式通分，后得出 代入求出即可.
13．【答案】4047
【知识点】解分式方程；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由所给图形可知，
，，，，，为正整数），
所以，，，，．
因为，
所以，
，
，
解得或4047，
因为为正整数，
所以．
故答案为：4047．
【分析】观察各幅图中小平行四边形的个数就会得出第n幅图中小平行四边形的个数为：an=1+2+3+4+……+n=，则，据此可将题干已知方程左边拆分为，中间相抵消可得，从而将原方程变形为，求解并结合n为正整数即可得出答案.
14．【答案】解：（1），
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
检验：当时，，所以原分式方程的解为．
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算，结合平方差公式即可求出答案.
（2）去分母转换为整式方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】解：原式
；
当时，
原式
【知识点】二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数可将除法变为乘法，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简；然后将a的值代入化简后的代数式计算即可求解．
16．【答案】（1）解：
；

（2）解：∵a，2，3恰好是的三边长，∴，
∵，
∴，
当时，
原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）先把括号里的分式通分，然后把除法化为乘法，再将分子、分母分解因式约分化简；
（2）先根据三角形三边关系确定a的取值范围，然后选取一个使原分式有意义的值代入解题即可．
（1）解：
；
（2）∵a，2，3恰好是的三边长，
∴，
∵，
∴，
当时，
原式．
17．【答案】（1）解：设A型充电桩的单价是万元/个，则B型充电桩的单价是万元/个．根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴万元/个．
答：A型充电桩的单价是1万元/个，B型充电桩的单价是万元/个
（2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个．根据题意，得，
解得．
∵为整数，
∴，
∴该停车场有以下3种购买方案：
①购买16个A型充电桩、10个B型充电桩；
②购买17个A型充电桩、9个B型充电桩；
③购买18个A型充电桩、8个B型充电桩
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设A型充电桩的单价是万元/个，根据 B型充电桩比A型充电桩的单价多0.2万元可表示出B型充电桩的单价；然后利用用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的个数相等，列出方程求解即可.
（2）设购买A型充电桩个，可表示出购买B型充电桩的数量，再根据购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的个数不少于A型充电桩个数的，列出不等式组，再求出求出m的取值范围，可得到整数m的值，可得到具体的购买方案.
（1）解：设A型充电桩的单价是万元/个，则B型充电桩的单价是万元/个．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴万元/个．
答：A型充电桩的单价是1万元/个，B型充电桩的单价是万元/个．
（2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个．
根据题意，得，
解得．
∵为整数，
∴，
∴该停车场有以下3种购买方案：
①购买16个A型充电桩、10个B型充电桩；
②购买17个A型充电桩、9个B型充电桩；
③购买18个A型充电桩、8个B型充电桩．
18．【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：要使分式有意义，且除式不为0，
且，
当时，原式的结果无意义；
当时，原式；
当时，原式；
又，
原式的计算结果无法取得、0和．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算，结合平方差公式即可求出答案.
（2） 结合分式有意义的条件即可求出答案.
（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：要使分式有意义，且除式不为0，
且，
当时，原式的结果无意义；
当时，原式；
当时，原式；
又，
原式的计算结果无法取得、0和．
19．【答案】解：（1）分式是假分式故答案为：假分式（2）＝3；＝x﹣2（3）＝2x﹣3当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
（1）假分式
（2）解：
＝3；
＝x﹣2
（3）解：
＝2x﹣3
当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
【知识点】分式的加减法
【解析】解：（1）分式是假分式
故答案为：假分式
【分析】（1）按“真分式”的定义直接判断即可；
（2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则把假分式化为带分式；
（3）先把分式化为带分式，然后再找出满足条件的整数x即可．
20．【答案】解：任务（1）：设每个排球的价格是元，则每个足球的价格是元．
由题得，
解得，
经经验，是所列分式方程的解，
（元），
每个排球的价格是80元，每个足球的价格是100元．
任务（2）：设购买排球个，则购买足球个．
由题得，
解得；
m为正整数
m=22，23，24，25
共有4种购买方案，
设该学校本次购买排球和足球所需费用是元，则，
，
随的增大而减小，
当时，值最小，（个），
排球和足球各购买25个所需费用最少，最少费用是3500元．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用；解一元一次不等式组；一次函数的性质；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
【任务1】设未知数：排球原价为x元，则足球原价为(x+20)元； 建立分式方程即可求解原价；
【任务2】设购买排球m个，则足球为(50-m)个。根据题意：排球数量不少于22个得 m ≥ 22；足球数量不少于排球数量得 50 m ≥ m 得 m ≤ 25，根据m为正整数，即可求出方案；建立费用关于m的一次函数模型，再用一次函数的性质即可求得w的最小值.
1 / 1北师大版数学八年级下册第五单元分式与分式方程单元检测提升卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·恩阳月考）给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：下列式子：①；②；③；④，分式有①；③．
故答案为：C．
【分析】形如（其中、都是整式，且中含有字母），这样的式子叫做分式，根据分式的定义，逐一判断即可．
2．（2025八下·龙港月考）若在实数范围内有意义，则（　　）
A．且 B．
C． D．且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，且，
解得：且，故答案为：D．
【分析】根据二次根式，分式有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为零，据此即可求解.
3．（2025八下·恩阳月考）下列各式中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据分式的基本性质逐项进行分析判断即可．
4．（2024八下·项城期末）樱桃西红柿，也被称为圣女果，是番茄的一个品种，因其口感清甜，营养价值高而受到人们的喜爱．某超市用200元购进樱桃西红柿，面市后供不应求，该超市又用300元购进第二批这种西红柿，所购质量是第一批质量的2倍，但每千克的进货价降了0.8元．设第一批樱桃西红柿每千克的进货价为元，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一批樱桃西红柿每千克的进货价为元， 则西红柿的进货单价是元 ，
根据题意可列方程为.
故答案为：C．
【分析】设第一批西红柿的进货单价为x元，则西红柿的进货单价是元，根据总价除以单价等于数量及第二批所购数量是第一批购进数量的倍，列出方程即可．
5．（2024八下·威宁期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，据此进行计算即可．
6．（2023八下·万源期末）若关于的方程无解，则的值为（　　）
A．1 B．-1 C．0 D．
【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
两边同乘（x+1），得：x-a=a（x+1）
整理得：（1-a）x=2a
∴ x=
∵ 分式方程无解
∴ 当分式方程有增根时，x=-1，代入 x=，得a=-1；当分母1-a=0时，a=1
∴ a的值为
故答案为：D.
【分析】本题考查分式方程无解的两种情况：分式方程有增根，方程无解；当等式不成立时，方程无解。
7．（2026八上·越秀期末）物理学中的电路包含串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻分别为，并联电路的总电阻为，三者之间的关系为，则用表示，结果正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数；解分式方程；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式的加法运算，对通分计算，根据倒数的定义即可得答案.
8．（2025八下·温江期末）古代建筑中，榫（sǚn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动.工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克、已知用35千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同，设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：A.
【分析】设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为(x-0.5)千克，结合35千克木材制作的数量与用30千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024八下·郸城月考）对于非零实数、，规定，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
解得
检验：当时，，
∴是分式方程的解，
故答案为．
【分析】根据新定义建立方程，再解方程即可求出答案.
10．（2025八下·乐山期末）若分式方程有增根，则增根为　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
去分母得：，
即：
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
故答案为：．
【分析】把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
11．（2024八下·重庆市期末）若，则　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先对分式进行变形，然后整体代入题目所给的数值进行计算，即可求解.
12．（2025八下·象山竞赛）已知a是方程的一个根，则的值为　 　.
【答案】1
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1.
【分析】求出 把分式通分，后得出 代入求出即可.
13．（2024八下·江都期中）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若，（为正整数），则n的值为　 　.
【答案】4047
【知识点】解分式方程；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由所给图形可知，
，，，，，为正整数），
所以，，，，．
因为，
所以，
，
，
解得或4047，
因为为正整数，
所以．
故答案为：4047．
【分析】观察各幅图中小平行四边形的个数就会得出第n幅图中小平行四边形的个数为：an=1+2+3+4+……+n=，则，据此可将题干已知方程左边拆分为，中间相抵消可得，从而将原方程变形为，求解并结合n为正整数即可得出答案.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025八下·深圳期中）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】解：（1），
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
检验：当时，，所以原分式方程的解为．
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算，结合平方差公式即可求出答案.
（2）去分母转换为整式方程，解方程即可求出答案.
15．（2025八下·雨花月考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
当时，
原式
【知识点】二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数可将除法变为乘法，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简；然后将a的值代入化简后的代数式计算即可求解．
16．（2024八下·武侯期中）已知；
（1）化简W；
（2）若a，2，3恰好是的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值．
【答案】（1）解：
；

（2）解：∵a，2，3恰好是的三边长，∴，
∵，
∴，
当时，
原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）先把括号里的分式通分，然后把除法化为乘法，再将分子、分母分解因式约分化简；
（2）先根据三角形三边关系确定a的取值范围，然后选取一个使原分式有意义的值代入解题即可．
（1）解：
；
（2）∵a，2，3恰好是的三边长，
∴，
∵，
∴，
当时，
原式．
17．（2024八下·金沙期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.2万元，且用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的个数相等
（1）A，B两种型号的充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买A，B两种型号的充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的个数不少于A型充电桩个数的．该停车场有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设A型充电桩的单价是万元/个，则B型充电桩的单价是万元/个．根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴万元/个．
答：A型充电桩的单价是1万元/个，B型充电桩的单价是万元/个
（2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个．根据题意，得，
解得．
∵为整数，
∴，
∴该停车场有以下3种购买方案：
①购买16个A型充电桩、10个B型充电桩；
②购买17个A型充电桩、9个B型充电桩；
③购买18个A型充电桩、8个B型充电桩
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设A型充电桩的单价是万元/个，根据 B型充电桩比A型充电桩的单价多0.2万元可表示出B型充电桩的单价；然后利用用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的个数相等，列出方程求解即可.
（2）设购买A型充电桩个，可表示出购买B型充电桩的数量，再根据购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的个数不少于A型充电桩个数的，列出不等式组，再求出求出m的取值范围，可得到整数m的值，可得到具体的购买方案.
（1）解：设A型充电桩的单价是万元/个，则B型充电桩的单价是万元/个．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴万元/个．
答：A型充电桩的单价是1万元/个，B型充电桩的单价是万元/个．
（2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个．
根据题意，得，
解得．
∵为整数，
∴，
∴该停车场有以下3种购买方案：
①购买16个A型充电桩、10个B型充电桩；
②购买17个A型充电桩、9个B型充电桩；
③购买18个A型充电桩、8个B型充电桩．
18．（2025八下·普宁月考）已知A为整式，计算结果为．
（1）求整式A；
（2）嘉嘉说：“因为，所以原式的计算结果不可能为．”
淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，原式还应有其他无法取得的结果”．
请对淇淇的说法进行说理．
【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：要使分式有意义，且除式不为0，
且，
当时，原式的结果无意义；
当时，原式；
当时，原式；
又，
原式的计算结果无法取得、0和．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算，结合平方差公式即可求出答案.
（2） 结合分式有意义的条件即可求出答案.
（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：要使分式有意义，且除式不为0，
且，
当时，原式的结果无意义；
当时，原式；
当时，原式；
又，
原式的计算结果无法取得、0和．
19．（2024八下·揭阳月考）阅读下列资料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：．
（1）分式是　 　（填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式分别化为带分式；
（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值．
【答案】解：（1）分式是假分式故答案为：假分式（2）＝3；＝x﹣2（3）＝2x﹣3当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
（1）假分式
（2）解：
＝3；
＝x﹣2
（3）解：
＝2x﹣3
当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
【知识点】分式的加减法
【解析】解：（1）分式是假分式
故答案为：假分式
【分析】（1）按“真分式”的定义直接判断即可；
（2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则把假分式化为带分式；
（3）先把分式化为带分式，然后再找出满足条件的整数x即可．
20．（2025八下·深圳期中）为落实《健康中国行动（2019－2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
素材1 某体育器材店每个足球的价格比排球的价格多20元，用320元购买的排球数量与400元购买的足球数量相等．
素材2 该学校决定购买排球和足球共50个，排球数量不少于22个，且购买足球的数量不少于排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠．
问题解决
任务1 探求商品单价 （1）请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格．
任务2 确定购买方案 （2）运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球共有几种购买方案，其中最少费用是多少元？
【答案】解：任务（1）：设每个排球的价格是元，则每个足球的价格是元．
由题得，
解得，
经经验，是所列分式方程的解，
（元），
每个排球的价格是80元，每个足球的价格是100元．
任务（2）：设购买排球个，则购买足球个．
由题得，
解得；
m为正整数
m=22，23，24，25
共有4种购买方案，
设该学校本次购买排球和足球所需费用是元，则，
，
随的增大而减小，
当时，值最小，（个），
排球和足球各购买25个所需费用最少，最少费用是3500元．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用；解一元一次不等式组；一次函数的性质；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
【任务1】设未知数：排球原价为x元，则足球原价为(x+20)元； 建立分式方程即可求解原价；
【任务2】设购买排球m个，则足球为(50-m)个。根据题意：排球数量不少于22个得 m ≥ 22；足球数量不少于排球数量得 50 m ≥ m 得 m ≤ 25，根据m为正整数，即可求出方案；建立费用关于m的一次函数模型，再用一次函数的性质即可求得w的最小值.
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