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北师大版数学八年级下册第五单元分式与分式方程单元检测培优卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·乐山期末）代数式的值一定不为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2025·揭西期末）关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．3 B．2 C．－3 D．－2
3．（2025八下·宝安期末）粤港澳大湾区拥有密集的交通网络，如港珠澳大桥、深中通道、虎门大桥等.一辆跨境货车从珠海前往香港，通过港珠澳大桥（全长约55公里），若货车的平均速度提高10km/h，则通行时间可减少0.1小时.设货车原来的平均速度为xkm/h，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知正实数a，b，c 满足 ，，，则 的值为(　　).
A．1 B． C．2 D．3
5．（2024八下·济南期中） 已知y1＝，且y2＝，y3＝，y4＝ yn＝，则y2024为（　　）
A． B．2﹣x C． D．
6．（2025八下·深圳期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（　　）
姓名：李明班级：八(2)班得分：____
判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”.
①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A．40 B．60 C．80 D．100
7．（2025八下·渠县月考）若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．或
8．（2024八下·威远期中） 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2022八下·溧阳期末）若 ，则 ＝　 　.
10．（2017八下·南京期中）若分式 的值为0，则x=　 　．
11．（2024八下·淮阳月考）已知，则分式为　 　．
12．（2025八下·成华期末）将分式和分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第二步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第三步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；...继续操作下去，则　 　.若，则的值是　 　.
13．（2024八下·丰都县期末）如果关于的分式方程有非负整数解，一次函数的图象过一、三、四象限，则所有符合条件的整数的和是　 　．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025八下·成都期末） 先化简，再求值：，请从、、0、1、2中选择一个合适的值代入求值．
15．（2024八上·东莞期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚．
（1）他把“”猜成，请你解方程：；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？
16．已知 ，，求a+b+c的值.
17．（2025八下·竞赛）已知，，且，求的最大值。
18．（2025八下·深圳期末）下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题.
题目，某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同，问甲、乙两种图书的单价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设.……，等量关系：甲图书数量=乙图书数量
解法二 设……，等量关系：甲图书单价-乙图书单价=20
（1）解法一所列方程中的x表示　 　，解法二所列方程中的x表示　 　.（填序号）
①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量，
（2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价。
（3）若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本且进行销售，甲种图书的售价为65元一本，乙种图书的售价为40元一本，那么甲乙两种图书各购进多少本时获利最多？最大利润是多少元
19．（2026八上·番禺期末）【阅读材料】对于两个不等的非零实数，，若关于的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于的方程的解为，．例如：方程的解为，．
（1）【理解应用】方程的解为______，______．
（2）【知识迁移】若方程的解为，，求的值；
（3）【拓展提升】若关于的方程的解为，，求的值．
20．（2025八上·祁阳期末）项目学习方案：
项目情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务．
素材一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍．
任务一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程： ① ；小组成员乙设 ② ，由题意得方程：．
素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同．
任务二 求的值
素材三 摆放盆栽时，设计小组成员丁为使校园更加美丽，计划利用已经插好的480盆小盆栽和360盆大盆栽搭配，两种园艺造型，共30个，已知搭配一个造型需小盆栽12盆，大盆栽15盆，搭配一个造型需小盆栽18盆，大盆栽10盆．
任务三 求符合题意的搭配方案有几种？请你设计出来；
（1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______．
（2）完成任务二．
（3）完成任务三．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的混合运算；解分式方程
【解析】【解答】解：
，
∵m+1≠0，且m≠0，即m≠-1且m≠0.
A、当时，，解得：，成立，故选项A不符合题意；
B、当时，，解得：，成立，故选项B不符合题意；
C、当时，，无解，故选项C符合题意；
D、当时，，解得：，故选项D不符合题意；
综上，代数式的值一定不为1.
故答案为：C.
【分析】将代数式化简得到，根据分式的性质可求得m≠-1且m≠0. 再分析各选项的可能性，确定无法取到的值即可.
2．【答案】C
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解： ，
∵ 关于x的分式方程无解，
当x=3时，原方程无解。
把原方程去分母，得：2x=-mx-3，
移向，合并同类项，得：（m+2）x=-3
把x=3代入原方程，得：3（m+2)=-3，
∴m=-3.
故答案为：C。
【分析】根据原分式方程无解，可得出分母为0时的x的值x=3，然后 x=3 代入去分母之后的整式方程中，即可求得m的值。
3．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设货车原来的平均速度为xkm/h，
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设货车原来的平均速度为xkm/h，根据题意建立方程即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】解：∵，，
∴ ，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
故答案为： A
【分析】先取倒数，再等号两边加1，化简，再取倒数，再整体代入代数式即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】分式的混合运算；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：∵y1=，
∴y2==＝，
y3==＝2 x，
y4==＝=y1，
y5=＝＝y2，
y6=＝＝y3，
由此类推，2024=674×3+2，
得y2024=y2=，
故答案为：C．
【分析】分别用式子表示出y1、y2、y3、y4、y5、y6……的结果，再根据规律得到结果。
6．【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：①代数式不是分式，答对
②当时，分式有意义，答对
③若分式的值为0，则|x|-3=0，且x-3≠0，解得：x=-3，答错
④式子从左到右变形错误，答错
⑤分式是最简分式，答对
∴答对三道，得分为20×3=60
故答案为：B
【分析】根据分式的定义，分式值为0及有意义的条件，分式的性质，最简分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：C．
【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟知分式的化简方法是解题关键.根据已知条件得到，再将整体代入所求式子中计算，再计算到时，需对分母进行分母有理化，分子分母同时乘以，再根据实数的乘法运算法则计算即可得到答案．
8．【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为 8， 6， 4，
∴ 4∴0综上所述当m=2或时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故答案为：B．
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，据此求解。
9．【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设a=3k，b=2k，
将a=3k，b=2k代入 ，得 ，
故答案为： .
【分析】由已知条件可设a=3k，b=2k，然后代入中化简即可.
10．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】∵分式 的值为零，
∴ ，
解得x=-3．
故答案为：-3
【分析】根据分式值为0的条件：分母不等于0，且分子为0，建立方程和不等式求解即可。
11．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
，即，
，
故答案为：．
【分析】根据等式变形可得，然后整体代入计算解答即可．
12．【答案】；48
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，，
，，
，，
，，
由此总结规律，当n为偶数时，有
；
若，则x=，
∴=，
故答案为：，48.
【分析】依照步骤操作，得到规律：当n为偶数时，有代入规律计算得解.
13．【答案】-4
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵ 的图象过一、三、四象限，
∴
∴-4解 ，
去分母，得x-(m+1)=2(x-2)，
解得x=3-m.
∵原分式方程有非负整数解，
∴x=3-m≠2，即m≠1，
综上所述，-4∴m=-3时，x=3-(-3)=6，符合题意；
m=-2时，x=3-(-2)=5，符合题意；
m=-1时，x=3-(-1)=4，符合题意；
m=0时，x=3-0=3，符合题意；，
m=2时，x=3-2=1，符合题意.
∴符合题意的整数m有：-3，-2，-1，0，2，
和是-3-2-1+0+2=-4.
故答案为：-4.
【分析】整数m要符合的条件有：使分式方程有解（非增根，隐含条件），且解为非负整数，使一次函数的图象过一、三、四象限；首先用m表示出分式方程的解，求出使分式方程的解非增根时，m的取值范围，再根据一次函数的图象求出m的求值范围，取两者的公共部分；最后验证这个部分哪些整数m使分式方程的解是非负整数.
14．【答案】解：原式
，
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对原式进行化简，包括处理括号内的分式加法、将除法转化为乘法、因式分解和约分，再根据分式有意义的条件选择合适的x值代入求值.
15．【答案】（1）解：方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
（2）解：设原题中“”是，方程变形得：，
去分母得：，
由分式方程无解，得到，
把代入整式方程得：．
答：原题中“”是．
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）去分母，化分式方程为整式方程，再解整式方程，并进行检验即可得出方程的解；
（2）设原题中“”是，化分式方程为整式方程，根据分式方程无解，可得出x=3，把x=3代入原方程，即可求得a=3.
（1）解：方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
（2）解：设原题中“”是，
方程变形得：，
去分母得：，
由分式方程无解，得到，
把代入整式方程得：．
答：原题中“”是．
16．【答案】解：∵
∴
∴
∴a+b+c=0或
若 即
则 ab+ bc+ ca=0，
∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ bc+ ca)=1
∴a+b+c=±1
综上所述，a+b+c=0或±1.
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质；分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【分析】由题意可得，则a+b+c=0或 ，当 即时，根据分式值为0的条件可得ab+ bc+ ca=0，再将a+b+c平方化简即可求出答案.
17．【答案】解：设，，，
则，
令，
则，
当且仅当时取等号，
所以，
当且仅当时取等号
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】可以通过将b用2-a表示，转化为单变量函数求极值问题，再利用导数法确定最大值的位置.
18．【答案】（1）①；③
（2）解：解法一：，
方程两边同乘x(x-20)，得2000(x-20)=1200x
解得x=50，·
经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，··
∴x-20=50-20=30，
答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元：
解法二：，
方程两边同乘x，得2000-1200=20x，
解得x=40，
经检验：x=40是原方程的解，且符合题意，
，，
答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元；
（3）解：设甲种图书购买的数量为m本，则乙种图书购买的数量为(60-m)本，
根据题意得50m+30(60-m)≤2500，
解得m≤35
设总获利为w元，
则w=(65-50)m+(40-30)(60-m)=5m+600
∵5>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=35时，w最大为775元，
此时60-m=25，
答：购买甲种图书种35本，购买乙种图书25本时，最大利润为775元.·
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系中代数式的含义即可求出答案.
（2）解分式方程即可求出答案.
（3）设甲种图书购买的数量为m本，则乙种图书购买的数量为(60-m)本，根据题意建立不等式，解不等式可得m≤35，设总获利为w元，求出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
19．【答案】（1）3，
（2）解：方程的解为，，
，，
；
（3）解：关于的方程的解为，，
的解为，，
，，
，，
，
整理得：
将代入，得
，
【知识点】完全平方公式及运用；分式方程的解及检验
【解析】【解答】（1）解：的解为，，
，即，的解为，，
故答案为：3，；
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）根据题意可得，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）由题意可得的解为，，则由方程的解得到，，则有，整理得，再将代入整理即可求出答案.
（1）解：的解为，，
，即，的解为，，
故答案为：3，；
（2）方程的解为，，
，，
；
（3）关于的方程的解为，，
的解为，，
，，
，，
，
整理得：
将代入，得
，
20．【答案】（1）；每枝种花卉单价为元
（2）解：单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，
完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，
完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，
，解得，
经检验，是原分式方程的解，
．
（3）解：设搭配一个造型需要个，则造型需要个
由题意得，
解得：，
故方案有三种：
①搭配造型为10棵小盆栽，则搭配造型为20棵大盆栽，
②搭配造型为11棵小盆栽，则搭配造型为19棵大盆栽，
③搭配造型为12棵小盆栽，则搭配造型为18棵大盆栽；
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元，每枝种花卉单价为元，
根据题意得；
，
表示用320元购买的种花卉数量，
表示用800元购买的种花卉数量，
即小组成员乙设每枝种花卉单价为元；
故答案为：；每枝种花卉单价为元；
【分析】（1）设用320元购买的A种花卉的数量为x，则每枝A种花卉单价为元，每枝种花卉单价为元，根据"用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍"，即可列方程结合，可知表示用320元购买的A种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量；
（2）由题意得完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，再由"完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同"，可得方程，解分式方程即可；
（3）设搭配一个造型需要个，则造型需要个，则由题意得，，解得，进而可得到三种方案.
（1）设用320元购买的种花卉的数量为，
则每枝种花卉单价为元，
每枝种花卉单价为元，
根据题意得；
，
表示用320元购买的种花卉数量，
表示用800元购买的种花卉数量，
即小组成员乙设每枝种花卉单价为元；
故答案为：；每枝种花卉单价为元；
（2）单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或
完成盆大盆栽的插花任务，
完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，
完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，
，解得，
经检验，是原分式方程的解，
．
（3）可设搭配一个造型需要个，则造型需要个
由题意得，
解得：，
故方案有三种：
①搭配造型为10棵小盆栽，则搭配造型为20棵大盆栽，
②搭配造型为11棵小盆栽，则搭配造型为19棵大盆栽，
③搭配造型为12棵小盆栽，则搭配造型为18棵大盆栽；
1 / 1北师大版数学八年级下册第五单元分式与分式方程单元检测培优卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·乐山期末）代数式的值一定不为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】分式的混合运算；解分式方程
【解析】【解答】解：
，
∵m+1≠0，且m≠0，即m≠-1且m≠0.
A、当时，，解得：，成立，故选项A不符合题意；
B、当时，，解得：，成立，故选项B不符合题意；
C、当时，，无解，故选项C符合题意；
D、当时，，解得：，故选项D不符合题意；
综上，代数式的值一定不为1.
故答案为：C.
【分析】将代数式化简得到，根据分式的性质可求得m≠-1且m≠0. 再分析各选项的可能性，确定无法取到的值即可.
2．（2025·揭西期末）关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．3 B．2 C．－3 D．－2
【答案】C
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解： ，
∵ 关于x的分式方程无解，
当x=3时，原方程无解。
把原方程去分母，得：2x=-mx-3，
移向，合并同类项，得：（m+2）x=-3
把x=3代入原方程，得：3（m+2)=-3，
∴m=-3.
故答案为：C。
【分析】根据原分式方程无解，可得出分母为0时的x的值x=3，然后 x=3 代入去分母之后的整式方程中，即可求得m的值。
3．（2025八下·宝安期末）粤港澳大湾区拥有密集的交通网络，如港珠澳大桥、深中通道、虎门大桥等.一辆跨境货车从珠海前往香港，通过港珠澳大桥（全长约55公里），若货车的平均速度提高10km/h，则通行时间可减少0.1小时.设货车原来的平均速度为xkm/h，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设货车原来的平均速度为xkm/h，
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设货车原来的平均速度为xkm/h，根据题意建立方程即可求出答案.
4．已知正实数a，b，c 满足 ，，，则 的值为(　　).
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】解：∵，，
∴ ，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
故答案为： A
【分析】先取倒数，再等号两边加1，化简，再取倒数，再整体代入代数式即可求出答案.
5．（2024八下·济南期中） 已知y1＝，且y2＝，y3＝，y4＝ yn＝，则y2024为（　　）
A． B．2﹣x C． D．
【答案】C
【知识点】分式的混合运算；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：∵y1=，
∴y2==＝，
y3==＝2 x，
y4==＝=y1，
y5=＝＝y2，
y6=＝＝y3，
由此类推，2024=674×3+2，
得y2024=y2=，
故答案为：C．
【分析】分别用式子表示出y1、y2、y3、y4、y5、y6……的结果，再根据规律得到结果。
6．（2025八下·深圳期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（　　）
姓名：李明班级：八(2)班得分：____
判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”.
①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A．40 B．60 C．80 D．100
【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：①代数式不是分式，答对
②当时，分式有意义，答对
③若分式的值为0，则|x|-3=0，且x-3≠0，解得：x=-3，答错
④式子从左到右变形错误，答错
⑤分式是最简分式，答对
∴答对三道，得分为20×3=60
故答案为：B
【分析】根据分式的定义，分式值为0及有意义的条件，分式的性质，最简分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025八下·渠县月考）若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．或
【答案】C
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：C．
【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟知分式的化简方法是解题关键.根据已知条件得到，再将整体代入所求式子中计算，再计算到时，需对分母进行分母有理化，分子分母同时乘以，再根据实数的乘法运算法则计算即可得到答案．
8．（2024八下·威远期中） 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为 8， 6， 4，
∴ 4∴0综上所述当m=2或时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故答案为：B．
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，据此求解。
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2022八下·溧阳期末）若 ，则 ＝　 　.
【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设a=3k，b=2k，
将a=3k，b=2k代入 ，得 ，
故答案为： .
【分析】由已知条件可设a=3k，b=2k，然后代入中化简即可.
10．（2017八下·南京期中）若分式 的值为0，则x=　 　．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】∵分式 的值为零，
∴ ，
解得x=-3．
故答案为：-3
【分析】根据分式值为0的条件：分母不等于0，且分子为0，建立方程和不等式求解即可。
11．（2024八下·淮阳月考）已知，则分式为　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
，即，
，
故答案为：．
【分析】根据等式变形可得，然后整体代入计算解答即可．
12．（2025八下·成华期末）将分式和分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第二步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第三步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；...继续操作下去，则　 　.若，则的值是　 　.
【答案】；48
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，，
，，
，，
，，
由此总结规律，当n为偶数时，有
；
若，则x=，
∴=，
故答案为：，48.
【分析】依照步骤操作，得到规律：当n为偶数时，有代入规律计算得解.
13．（2024八下·丰都县期末）如果关于的分式方程有非负整数解，一次函数的图象过一、三、四象限，则所有符合条件的整数的和是　 　．
【答案】-4
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵ 的图象过一、三、四象限，
∴
∴-4解 ，
去分母，得x-(m+1)=2(x-2)，
解得x=3-m.
∵原分式方程有非负整数解，
∴x=3-m≠2，即m≠1，
综上所述，-4∴m=-3时，x=3-(-3)=6，符合题意；
m=-2时，x=3-(-2)=5，符合题意；
m=-1时，x=3-(-1)=4，符合题意；
m=0时，x=3-0=3，符合题意；，
m=2时，x=3-2=1，符合题意.
∴符合题意的整数m有：-3，-2，-1，0，2，
和是-3-2-1+0+2=-4.
故答案为：-4.
【分析】整数m要符合的条件有：使分式方程有解（非增根，隐含条件），且解为非负整数，使一次函数的图象过一、三、四象限；首先用m表示出分式方程的解，求出使分式方程的解非增根时，m的取值范围，再根据一次函数的图象求出m的求值范围，取两者的公共部分；最后验证这个部分哪些整数m使分式方程的解是非负整数.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025八下·成都期末） 先化简，再求值：，请从、、0、1、2中选择一个合适的值代入求值．
【答案】解：原式
，
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对原式进行化简，包括处理括号内的分式加法、将除法转化为乘法、因式分解和约分，再根据分式有意义的条件选择合适的x值代入求值.
15．（2024八上·东莞期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚．
（1）他把“”猜成，请你解方程：；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？
【答案】（1）解：方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
（2）解：设原题中“”是，方程变形得：，
去分母得：，
由分式方程无解，得到，
把代入整式方程得：．
答：原题中“”是．
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）去分母，化分式方程为整式方程，再解整式方程，并进行检验即可得出方程的解；
（2）设原题中“”是，化分式方程为整式方程，根据分式方程无解，可得出x=3，把x=3代入原方程，即可求得a=3.
（1）解：方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
（2）解：设原题中“”是，
方程变形得：，
去分母得：，
由分式方程无解，得到，
把代入整式方程得：．
答：原题中“”是．
16．已知 ，，求a+b+c的值.
【答案】解：∵
∴
∴
∴a+b+c=0或
若 即
则 ab+ bc+ ca=0，
∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ bc+ ca)=1
∴a+b+c=±1
综上所述，a+b+c=0或±1.
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质；分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【分析】由题意可得，则a+b+c=0或 ，当 即时，根据分式值为0的条件可得ab+ bc+ ca=0，再将a+b+c平方化简即可求出答案.
17．（2025八下·竞赛）已知，，且，求的最大值。
【答案】解：设，，，
则，
令，
则，
当且仅当时取等号，
所以，
当且仅当时取等号
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】可以通过将b用2-a表示，转化为单变量函数求极值问题，再利用导数法确定最大值的位置.
18．（2025八下·深圳期末）下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题.
题目，某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同，问甲、乙两种图书的单价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设.……，等量关系：甲图书数量=乙图书数量
解法二 设……，等量关系：甲图书单价-乙图书单价=20
（1）解法一所列方程中的x表示　 　，解法二所列方程中的x表示　 　.（填序号）
①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量，
（2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价。
（3）若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本且进行销售，甲种图书的售价为65元一本，乙种图书的售价为40元一本，那么甲乙两种图书各购进多少本时获利最多？最大利润是多少元
【答案】（1）①；③
（2）解：解法一：，
方程两边同乘x(x-20)，得2000(x-20)=1200x
解得x=50，·
经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，··
∴x-20=50-20=30，
答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元：
解法二：，
方程两边同乘x，得2000-1200=20x，
解得x=40，
经检验：x=40是原方程的解，且符合题意，
，，
答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元；
（3）解：设甲种图书购买的数量为m本，则乙种图书购买的数量为(60-m)本，
根据题意得50m+30(60-m)≤2500，
解得m≤35
设总获利为w元，
则w=(65-50)m+(40-30)(60-m)=5m+600
∵5>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=35时，w最大为775元，
此时60-m=25，
答：购买甲种图书种35本，购买乙种图书25本时，最大利润为775元.·
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系中代数式的含义即可求出答案.
（2）解分式方程即可求出答案.
（3）设甲种图书购买的数量为m本，则乙种图书购买的数量为(60-m)本，根据题意建立不等式，解不等式可得m≤35，设总获利为w元，求出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
19．（2026八上·番禺期末）【阅读材料】对于两个不等的非零实数，，若关于的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于的方程的解为，．例如：方程的解为，．
（1）【理解应用】方程的解为______，______．
（2）【知识迁移】若方程的解为，，求的值；
（3）【拓展提升】若关于的方程的解为，，求的值．
【答案】（1）3，
（2）解：方程的解为，，
，，
；
（3）解：关于的方程的解为，，
的解为，，
，，
，，
，
整理得：
将代入，得
，
【知识点】完全平方公式及运用；分式方程的解及检验
【解析】【解答】（1）解：的解为，，
，即，的解为，，
故答案为：3，；
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）根据题意可得，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）由题意可得的解为，，则由方程的解得到，，则有，整理得，再将代入整理即可求出答案.
（1）解：的解为，，
，即，的解为，，
故答案为：3，；
（2）方程的解为，，
，，
；
（3）关于的方程的解为，，
的解为，，
，，
，，
，
整理得：
将代入，得
，
20．（2025八上·祁阳期末）项目学习方案：
项目情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务．
素材一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍．
任务一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程： ① ；小组成员乙设 ② ，由题意得方程：．
素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同．
任务二 求的值
素材三 摆放盆栽时，设计小组成员丁为使校园更加美丽，计划利用已经插好的480盆小盆栽和360盆大盆栽搭配，两种园艺造型，共30个，已知搭配一个造型需小盆栽12盆，大盆栽15盆，搭配一个造型需小盆栽18盆，大盆栽10盆．
任务三 求符合题意的搭配方案有几种？请你设计出来；
（1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______．
（2）完成任务二．
（3）完成任务三．
【答案】（1）；每枝种花卉单价为元
（2）解：单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，
完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，
完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，
，解得，
经检验，是原分式方程的解，
．
（3）解：设搭配一个造型需要个，则造型需要个
由题意得，
解得：，
故方案有三种：
①搭配造型为10棵小盆栽，则搭配造型为20棵大盆栽，
②搭配造型为11棵小盆栽，则搭配造型为19棵大盆栽，
③搭配造型为12棵小盆栽，则搭配造型为18棵大盆栽；
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元，每枝种花卉单价为元，
根据题意得；
，
表示用320元购买的种花卉数量，
表示用800元购买的种花卉数量，
即小组成员乙设每枝种花卉单价为元；
故答案为：；每枝种花卉单价为元；
【分析】（1）设用320元购买的A种花卉的数量为x，则每枝A种花卉单价为元，每枝种花卉单价为元，根据"用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍"，即可列方程结合，可知表示用320元购买的A种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量；
（2）由题意得完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，再由"完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同"，可得方程，解分式方程即可；
（3）设搭配一个造型需要个，则造型需要个，则由题意得，，解得，进而可得到三种方案.
（1）设用320元购买的种花卉的数量为，
则每枝种花卉单价为元，
每枝种花卉单价为元，
根据题意得；
，
表示用320元购买的种花卉数量，
表示用800元购买的种花卉数量，
即小组成员乙设每枝种花卉单价为元；
故答案为：；每枝种花卉单价为元；
（2）单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或
完成盆大盆栽的插花任务，
完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，
完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，
，解得，
经检验，是原分式方程的解，
．
（3）可设搭配一个造型需要个，则造型需要个
由题意得，
解得：，
故方案有三种：
①搭配造型为10棵小盆栽，则搭配造型为20棵大盆栽，
②搭配造型为11棵小盆栽，则搭配造型为19棵大盆栽，
③搭配造型为12棵小盆栽，则搭配造型为18棵大盆栽；
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