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海南中学2025-2026学年度第二学期月考测试高一
数学试卷
一、单选题
1．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（ ）
A． B． C． D．且
2．已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ）
A．或 B． C． D．
3．已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足：，则一定为的
A．重心 B．边中线的三等分点（非重心）
C．边中线的中点 D．边的中点
6．已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，海南中学校园内有一块圆形草坪，其内接锐角区域内种植花卉（阴影部分），已知，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧上找一点，使得新的种植区域锐角的面积S（单位：）最大，则S的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（ ）
A．4 B． C． D．1
二、多选题
9．已知，设向量，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则与的夹角为钝角
B．若，则或
C．的最小值为2
D．与共线的单位向量只有一个为
10．中，内角，，的对边分别为，，，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则的最小值为
11．在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若的周长为6，内切圆半径为，则为正三角形
C．若，则有一解
D．在C选项的条件下，
三、填空题
12．已知非零向量不共线，且，若则__________.
13．已知中，点在边上，的最小值为__________.
14．如图，在中，的内角平分线交于点，过作于点，则的值是____.
四、解答题
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
16．已知直角梯形的三个顶点分别为，，，且．
(1)求顶点的坐标；
(2)若为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点，求．
17．的内角的对边分别为，，，满足.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
18．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.
(1)若在该坐标系下，计算的大小.
(2)若在该坐标系下，已知
①化简出的表达式.
②求的最大值.
19．已知，角、、的对边分别为、、，、均在线段上，为中线，为的平分线．
(1)若，求证；
(2)在（1）的条件下，若，求；
(3)若，求的取值范围．
参考答案
1．C
2．D
3．D
4．A
5．B
6．B
7．C
8．D
9．AC
10．ACD
11．ABD
12．
13．
14．
15．（1）因为，
由正弦定理得，
因为角A，B，C为的内角，即，
则，，可得，所以.
（2）因为，则，所以，
由余弦定理得：，解得，
所以的周长为．
16．（1）设，因为，，，
则，，，
在直角梯形中，，且，
所以A，为直角，则，即，
解得，，所以顶点的坐标为；
（2）

因为为线段上靠近点的三等分点，则，
设，则，
所以，，所以，
又因为为线段的中点，则，
所以，，
则，
所以
17．（1）证明：由，可得且，
所以，
因为为三角形的内角，可得，即，得证.
（2）解：由（1）知，且，
所以
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为
18．（1）依题意，
由，得，
所以，
所以，
即；
（2）①由题意可知，，
所以，
，
所以，
②令，又因为，且，
，所以，即，
所以，
又因为函数在上单调递增，
即时，函数取到最大值3，即，则有，
所以当时，的最大值为.
19．（1）设边上的高为．
因为，即，所以，
又因为为的平分线，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
又，所以，
所以，即，即.
（2）因为，为的中点，所以，
又，
所以，即，
又，
故；
（3）在中，，
在中，，
又，所以，
两式相加得，
因为，，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
又，则，
所以，则，
又，即，所以，
所以，
由，
因为，所以，，
设，则，即，
解得或，
所以或
所以或，
所以或，
所以．

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