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高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题，则命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知幂函数的定义域为，则（ ）
A. B. 2 C. D. 4
3. 甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（　　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 放射性元素特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（ ）
A. 贝克 B. 贝克 C. 贝克 D. 贝克
6. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小项的系数为（ ）
A. -126 B. -70 C. -56 D. -28
7. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若函数恰有三个零点时，关于的函数的零点个数为（参考数据：）（ ）
A 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为8
11. 已知（且），若，且（e为自然对数底数），则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，且，则的取值范围是________．
13. 在三棱锥中，，都是等边三角形，且，则三棱锥表面积的最大值为________．
14. 某文件被切分成n个独立分片上传云端，每个分片上传成功的概率为，且相互独立.当成功上传了m个分片时，文件可被成功恢复的概率为．为使文件最终成功恢复的概率不小于，正整数n的最小值为________.（参考数据：，）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）若，，，求的值；
（2）若偶函数与的图象关于直线对称，且在上单调递增，求的值．
16. 在平面四边形ABCD中，为边长为2的正三角形，为等腰三角形且，将沿向上翻折至，其中P为动点．
（1）若，证明：平面；
（2）当直线与平面所成角的正弦值取到最大值时，求点到平面的距离．
17. 已知椭圆左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于两点，若，的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线与椭圆C交于两点，为坐标原点，且，的斜率之积为，试判断的面积是否为定值，并说明理由．
18. 已知函数的定义域为，区间，当时，如果，则称函数是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递增．
（1）证明：函数是凹函数；
（2）若函数是上凹函数，证明：对于任意的和任意的，总有；
（3）求证：，其中，均为正数．
19. 已知数列，满足是公差为2的等差数列，是首项为4的等比数列，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，求数列的前项和；
（3）是否存在两个不同的正整数，，使得可以按某种顺序构成一个新的等差数列？如果存在，求出所有的，；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1. C
2. D
3. B
4. D
5. C
6. C
7. A
8. C
9. BD
10. ACD
11. ACD
12.
13.
14. 13
15. （1）由题意得
，
当时，，而，则，
即，因为，所以，
此时，由同角三角函数的基本关系得，
而，
由两角和的正弦公式得
，故.
（2）因为与的图象关于直线对称，
所以，
因为是偶函数，所以当时，取得最值，
此时，解得，
因为，所以，
因为在上单调递增，所以，解得，
则当时，，此时符合题意.
16.（1）为边长为2的正三角形，，
为等腰三角形且，，
，，
，，
在中，，，为等腰三角形，
取中点，连接，,
，平面，平面，，平面.
（2），平面，以为原点，分别以为轴，
过作平面的垂线作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
为边长为2的正三角形，为等腰三角形且，
，，，设，
为边长为2的正三角形，，，
，设，则，
，
平面的法向量为，
设直线AP与平面ABD所成的角为，
则，
设，
设，，，
，，，
转化为，
，，
当且仅当时，即时，等号成立，
此时，，，，
即时，，则，
则，即，即，
则直线AP与平面ABD所成角的正弦值取到最大值为时，，
，则，
设点A到平面BPD的距离为，
点到平面ABD的距离为，
，，
，
，
，
点到平面的距离为.
17. （1）由题意可知的周长为，
即，则，
又，则，
所以，
所以椭圆C标准方程是：.
（2）定值，理由如下
设，
由题意，即，
由，两式相乘可得，
即，
配方可得：，
所以，
则，
又直线的方程为，
点到直线的距离，
所以的面积，
即的面积为定值.
18. （1），定义域为，
，
设，则，
，，，
在上是单调递增函数，即在上是单调递增函数，
根据题中凹函数的充要条件，可知函数是凹函数.
（2）设，，不妨设，
，，
，
，
，
，，
由凹函数的定义，，
，，
，，
转化为，
转化为，
，，
转化为，
，
，
，
，
.
（3）
要证明，即证明，
即证明，
即，
即，
即，
即，
当时，，；
当时，，；
综上可得，，其中，均为正数.
19. （1）设，.
由题意，是公差为2的等差数列，因此；
是首项为4的等比数列，设公比为，因此.
由数列和差关系，可得：
代入已知条件、列方程：
，，代入，得；
，，代入，得.
联立方程解得，，因此：
，，
于是，.
（2）已知，，因此：
.
设数列的前项和为，则：
(1)-(2)错位相减：
，
令：
，
两式相减：
，
故，因此：
，
于是，，
即.
（3）对：，因此是单调递增的正项数列，
即对任意正整数成立；
对：，因此是单调递减数列，
且，时，即.
若四个数按某种顺序成等差数列，因此必有：
，即，
，
为正整数，且，因此是2的正整数次幂，
仅当时，，此时，解得.
验证该解：四个数为，，，，
按从小到大排列为，相邻项的差不相等，无法构成等差数列.
其余正整数均无法使方程成立，因此不存在符合条件的正整数.

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