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宁夏石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高一年级3月月考
数学试卷
一、单选题
1．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法错误的是（ ）
A．是第四象限角 B． C． D．
2．总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01
A．05 B．09 C．07 D．20
3．已知奇函数在上递减，为锐角三角形的两个内角，且，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中最小正周期为的是
A． B． C． D．
6．函数的单调增区间是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知函数是定义域为的奇函数，.当时，，则（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
8．将函数（）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平行移动个单位长度，得到函数的图象.若函数为偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中，正确的命题有（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．是，共线的充要条件
C．若，，，则与的方向相同或者相反
D．若，是两个单位向量，且，则
10．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件C是互斥事件
B．事件A与事件B是相互独立事件
C．
D．
11．现有以下结论
①函数的最小值是；
②若，且，则；
③的最小值是；
④函数的最小值为．
其中，不正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
三、填空题
12．已知函数，则________．
13．函数的零点是_________．
14．①某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体质健康测试，则应抽取男生6人；②某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6；③一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的75%分位数为4，上述结论正确的是__________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求的值；
(2)若函数的图象关于直线对称，且在区间上单调.
（i）求的最小正周期；
（ii）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若在区间上有最小值但没有最大值，求的取值范围.
16．过的重心任作一条直线分别交，于点、，设，．
(1)用，表示向量；
(2)若，，且，求的值．
17．已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为．
(1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值；
(2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值．
18．某电力公司需要了解用户的用电情况（单位：度）.现随机抽取了该片区100户进行调查，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图（用户的用电量均不超过600度）.
(1)求；
(2)若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量；
(3)每户用电量不超过度的电费是0.5元/度，超出度的部分按1元/度收取，若该公司为了保证至少的住户电费都不超过0.5元/度，则至少应为多少（为整数）？
19．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为
(1)求与的函数解析式；
(2)此盛水筒第一次进入水面到离开水面至少经过多长时间？
参考答案及解析
1．B
解析：因为，
又因为，易得
解得，所以点的坐标为，
所以是第四象限角，且，所以
故选：B
2．C
解析：根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次是，可知选出的第4个值为，故选C.
3．C
解析：奇函数在上单调递减，则在上单调递减，
即奇函数在上单调递减
由为锐角三角形的两个内角，且，
可得，，即
选项A：由，，，可得，,
则，无法比较两者大小，判断错误；
选项B：由，，，可得，,
则，无法比较两者大小，判断错误；
选项C：由可得，
即，且，则.判断正确；
选项D：由可得，
即，且，则.判断错误.
故选：C
4．B
解析：由
因为 所以当时
故选：B
5．C
解析：对A选项，令，则
，不满足，
所以不是以为周期的函数，其最小正周期不为；
对B选项，的最小正周期为：；
对D选项，的最小正周期为：；排除A、B、D
故选C
6．C
解析：的单调增区间，即函数的单调减区间.
令，求得，，
故函数函数的单调减区间为，，
故选：C
7．A
解析：由题意，
所以的周期是4，
所以.
故选：A.
8．D
解析：将函数（）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍可得，
再将所得图象向左平行移动个单位长度，得到函数，
因为函数为偶函数，所以，解得：，
由于，所以，，
故选：D
9．AC
解析：对于A，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，
因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关，所以选项A正确；
对于B，若，同向共线时，，，则，不相等，
所以不是，共线的充要条件，故B不正确；
对于C，，，，则与共线，故与的方向相同或者相反，C正确；
对于D，若，是两个单位向量，且，
则，
则，故D错误．
故选：AC.
10．BC
解析：对于A，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如，第一次和第二次都是数字4 ，故选项A错误；
对于B，对于事件与事件，,事件与事件是相互独立事件,故选项B正确；
对于C，,所以，故选项C正确；
对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D错误.
故选：BC．
11．ACD
解析：解：对于，当时, ,故错误；
对于，由知，，由基本不等式知，故正确；
对于，令，，在上是增函数，
故该函数的最小值是，故错误；
对于，取时，故错误；
故选：．
12．
解析：由已知可得：.
故答案为：
13．
解析：由已知可得，当时，；
当时，由，得，
故的零点是．
故答案为：.
14．①③
解析：对于①，男生应抽取人，故①正确；
对于②，某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的频率为0.6，
但是无论掷硬币多少次，硬币正面朝上的概率均为0.5，故②错误；
对于③，这组数据从小到大排列依次为：，因为，所以分位数为4，故③正确，
故答案为：①③.
15．(1)
(2)（i）；（ii）
解析：（1）因为，
所以.
（2）（i）因为
.
又函数的图象关于直线对称，
则，解得，
又因为在上单调，则，解得，
所以，则，
所以的最小正周期.
（ii）法一：由，
将函数的图象向左平移个单位得，
由
由与，
由在区间上有最小值但没有最大值得：.
即的取值范围为；
法二：是的图象向左平移个单位长度，
根据的图象
因为在区间上有最小值但没有最大值，所以，
即的取值范围为；
16．(1)
(2)
解析：（1）为的重心；
；
（2）根据条件，，
；
又，，三点共线；
；
．
17．(1)，最小值为；
(2)，最大值为．
解析：（1），
则．
由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立．
此时．
当时，最小，最小值为．
（2），．
．
当，即时，．
当时，最大，最大值为．
18．(1)
(2)
(3)
解析：（1）由频率分布直方图中各组概率之和为1得，
，
解得.
（2）根据频率分布直方图中平均值计算公式得
平均值为.
（3）由题意，第一组的频率为，
第二组频率为，
第三组频率为，
所以在第四组之间，为第百分位数，
即，
解得.
故至少应为.
19．(1)
(2)
解析：（1）由题意知；
可得，
由于每分钟转1.5圈，所以周期
则.
当时，刚浮出水面，即
又，可得
则与的函数解析式为
（2）盛水筒进入水面时，令
即，由正弦函数单调性可知，
解得
当时，
即此盛水筒第一次进入水面到离开水面至少经过.

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