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湖北襄阳市第五中学2025-2026学年高一下学期4月月考测试数学试卷
一、单选题
1．化简得（ ）
A． B． C． D．
2．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为（ ）
A．5 B．10 C． D．
3．已知，为平面内一组基底，，，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．5
4．若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为120°，则的大小为（ ）
A．1 B． C． D．3
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角的对边分别为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知中，，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．在中，已知.则（ ）
A．为锐角三角形 B．的面积为
C． D．
10．已知非零向量，满足，则（ ）
A．，的夹角为
B．
C．若，，则的外接圆半径长为
D．若，向量满足，则的最大值是
11．如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（ ）
A．外接圆的半径为 B．
C．的最大值为3 D．的最大值为
三、填空题
12．海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______．
13．在平行四边形中，，则_______.
14．在中，a，b，c为三边，若，则面积的最大值为___________.
四、解答题
15．已知平面向量，，，且，．
(1)若//，且，求的坐标；
(2)若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
16．已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求角的大小．
17．在中，分别为角的对边，向量，，且.
(1)求角；
(2)若角的平分线交于点，，，求的周长．
18．如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积记为S，且，D是的中点，点E在线段上且，线段与线段交于点M.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的值；
(3)若，且点G是的重心，求线段的最小值.
19．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．
(1)在仿射坐标系中，若，求；
(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
(3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．
参考答案
1．A
2．A
3．D
4．B
5．A
6．D
7．B
8．A
9．AB
10．BCD
11．BC
12．/
13．/
14．
15．（1）设，，，，即；
又，，解得或，
或．
（2）由题可知，，，
与的夹角是锐角，，解得，
又与不共线，，即，
实数的取值范围是．
16．（1）因为，所以.又，所以，
所以.
而，所以，
所以.
（2）由且，得，
所以
.
又，所以.
（3）由（2）知，所以，
所以.
又，所以，
所以.
17.（1）因为，
所以．
因为，
所以，
整理可得．
因为，
所以，
从而，即有.
又，所以.
（2）在，角A的平分线交于点，，
由三角形内角平分线定理可知：.
设，则.
由（1）知，，
由余弦定理可得：，
整理可得.
又，，，
即，
解得，
所以周长为.
18．（1）因为，则，
可得，
则，可得，
又因为，则，
则，所以；
（2）由题意可得：，，
由D、M、C三点共线得，
由B、M、E三点共线可得，
则，解得，
可得，可得，
所以；
（3）由重心定义得，则，
又因为，可得，
可得
，
当且仅当时，等号成立，
即，所以线段GM的最小值为.
19．（1）由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，
则，
所以.
（2）由，，得，，
且，
所以，，
则，
，
因为与的夹角为，所以，解得.
又，，所以；
（3）依题意，设、（，），且，，，
因为为的中点，则
，
因为为中点，同理可得，
所以，
由题意知，，
则，
在中，依据余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理得，
设，则，且，
所以，，
，为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则.

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