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陕西铜川市第一中学2025-2026学年度第二学期高一第一次月考数学试题
一、单选题
1．化简后等于（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形中，为的中点，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，则“”是“向量与共线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
5．冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ）
A． B． C．17 D．10
6．在中，为的中点，为线段上一点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）
A． B． C． D．或
8．已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
二、多选题
9．已知向量，，下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则在上的投影向量为
10．已知平面向量，，则正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则在方向上的投影向量是
C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为
D．若，的夹角为，则
11．已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形或直角三角形
B．在锐角中，不等式恒成立
C．若，，且有两解，则的取值范围是
D．若，则为锐角三角形
三、填空题
12．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝______．
13．已知为一个单位向量，与的夹角是.若，则在上的投影向量为________.
14．中卫一中数韵社某同学为了测量学校天文台的高度，选择附近宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设和点在同一平面内，则该同学可算得学校天文台的高度为__________m．

四、解答题
15．已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
16．在中，内角所对的边分别为.已知，.
(1)求；
(2)求角和角.
17．如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，．
(1)用向量与表示向量，；
(2)若，求证：C，D，E三点共线．
18．如图，在平面四边形中，，，，.

(1)若，，求的大小；
(2)若，求四边形面积的最大值.
19．如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点.
(1)若，求实数的值；
(2)若，且满足，
①求实数的值；
②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，（，），求的最小值.
参考答案
1．C
【详解】.
故选：C
2．A
【详解】因为为的中点，
所以，
又在平行四边形中，为的中点，
所以.
故选A
3．A
【详解】由或.
若，则；若，则.
所以或.
所以“”是“向量与共线”的充分而不必要条件．
4．D
【详解】解：、是平面内所有向量的一组基底，
与，不共线，可以作为基底，
与，不共线，可以作为基底，
与不共线，可以作为基底，
与，存在实数，使得，所以和共线，不可以作为基底，
故选：．
5．C
【详解】因为，，所以，又，
故力对冰球所做的功为.
故选：C.
6．B
【详解】由为的中点知，，
又为线段上一点，由共线定理知，
，则
故选：B
7．D
【详解】在中，因为，，，且，故，
由正弦定理可得，
又因为，故或.
故选：D.
8．B
【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，
由，即的角平分线与边垂直，
所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.
故选：B
9．BC
【详解】对于A：若，则，解得，故A错误；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：若，则，又，
，，
所以，故C正确；
对于D：若若，则，，
则在上的投影向量为，故D错误．
故选：BC.
10．AB
【详解】解：因为，，
对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，所以，
所以，所以，，所以在方向上的投影向量是，故B正确；
对于C：，若与的夹角为锐角，则且与不同向，
即且，解得且，故C错误；
对于D：若，的夹角为，则，（）
整理得，显然当时，上式不成立，故D错误；
故选：AB
11．ABC
【详解】对于A，若，则由余弦定理得，
即，，
所以，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确；
对于B，在锐角中，，故且，
故，所以不等式恒成立，故B正确；
对于C，若，且有两解，
则，故，即，故C正确；
对于D，若，则，
即，由正弦定理得，所以角为锐角，
但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误.
故选：ABC.
12．
【详解】由a＝1，b＝2，C＝60°，
根据余弦定理得：
c2＝a2+b2﹣2abcosC＝1+4﹣2＝3，
则c＝．
故答案为：
13．
【详解】为一个单位向量，与的夹角是，，
由平面向量数量积定义可得，
所以在上的投影向量为：.故答案为：
14．
【详解】，
在直角三角形中，，
由题知，，
在中根据正弦定理，，解得，
于是在中，.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）∵向量，，
∴，解得.
（2）∵向量，∴.
∵，
∴，解得.
16．(1)1
(2)
【详解】（1）在中，，由余弦定理，
得，
由，得；
（2）由（1）知，，在中，由正弦定理，
得，则，
又，所以，
所以.
17．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得．
，，，
．
（2）证明：
，
与平行，又与有公共点C，
，D，E三点共线．
18．(1)
(2)
【详解】（1）由已知，，得，
所以，得.
在中，因为，，所以，
又，由正弦定理得，
得，
因为，所以，所以，
所以.
（2）由已知得，所以，
在中
所以，
又因为，得，
所以四边形面积
所以，
因为，所以，
当时，即时，.
19．(1)，；
(2)①；②.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
又，且与不共线，由平面向量基本定理得，；
（2）①因为三点共线，所以存在实数使得（），
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，且与不共线，
所以，解得．
所以.
②由①可知，，且，，
所以，
因为三点共线，所以，且，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．

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