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第7讲 破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式
一．选择题（共11小题）
1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且轴，若，则双曲线的离心率等于　　
A． B． C．2 D．3
2．如图，已知，为双曲线的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
3．点是双曲线与圆的一个交点，且，其中、分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
4．已知、分别为双曲线的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于　　
A． B． C． D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，．若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若
，则该椭圆的离心率不可能是　　
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，若，则该椭圆的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率的值为　　
A． B． C． D．
11．已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
12．已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与双曲线E交于A，B两点，满足|AF2|＝|F1F2|，且，则双曲线E的离心率e为 　 　．
13．已知椭圆的左，右焦点为，，为椭圆上一点，若，，成等差数列，则椭圆的离心率为 　　．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足为坐标原点）．若，则椭圆的离心率为 　　．
15．点是双曲线与圆的一个交点，且，其中，分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为　　．
16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为 　　．
17．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于、两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为　　．
三．解答题（共1小题）
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使，求该椭圆的离心率的取值范围．
（北京）股份有限公司第12讲 破解离心率问题之内切圆问题
一．选择题（共20小题）
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，△的内切圆的圆心为，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
2．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．2
3．椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，△的重心为．若△的内切圆的直径等于，且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上两点，且，设△的内切圆圆心为，△的内切圆圆心为，直线与线段交于点，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
5．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
6．已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若△的内切圆半径的最大值为，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
7．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于、两点在第一象限），若△与△内切圆半径之比为，则双曲线离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若△的内切圆半径为，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．3
9．已知双曲线，点是该双曲线右支上的一点．点，分别为左、右焦点，直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为　　
A． B．3 C． D．
10．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
11．过双曲线的右焦点的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于，两点，且，为坐标原点，若内切圆的半径为，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，△的内切圆的圆心为，，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
13．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
14．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，点是右支上的一点．直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为　　
A． B．3 C． D．
15．已知点，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点与△的内切圆圆心的直线交轴于点，且，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
16．点是双曲线右支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，点是△的内切圆圆心，记，，△的面积分别为，，，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．
17．点是双曲线右支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，点是△的内切圆圆心，记，，△的面积分别为，，，若恒成立，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的一点，若，且△外接圆与内切圆的半径之比为，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在一点，使得，且△内切圆的半径大于，则的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，，△的内切圆与外接圆的半径分别为，，若，则的离心率为　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
21．过双曲线的右焦点作直线，直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，在轴同侧）．设为坐标原点，则下列结论正确的有　　
A．
B．若双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率等于2
C．若，则双曲线的一条渐近线的斜率为
D．若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率等于
22．已知双曲线的左．右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是　　
A．双曲线的离心率为 B．△的面积为
C．△内切圆半径为 D．△的内心在直线上
三．填空题（共16小题）
23．椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于、两点，、两点的坐标分别为，，，，若，且内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 　　．
24．双曲线的离心率是，点，是该双曲线的两焦点，在双曲线上，且轴，则△的内切圆和外接圆半径之比　　．
25．过双曲线右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点．已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为 　　．
26．已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若△的内切圆半径的最大值为，则椭圆的离心率为 　　．
27．已知点、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点与△的内切圆圆心的直线交轴于点，且，，则该椭圆的离心率取值范围为 　　．
28．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上的一点，与椭圆交于．若△的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为 　　．
29．如图，焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为 　　．
30．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、与轴垂直的直线经过，交于、两点．记．若内切圆的半径为，则的离心率为 　　．
31．已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线过点与轴交于点，与双曲线的右支交于点，的内切圆与边切于点，若，则双曲线的离心率为 　　．
32．椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形．若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为 　　．
33．已知点为双曲线的左焦点，为该双曲线渐近线在第一象限内的点，过原点作的垂线交于点，若恰为线段的中点，且的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为　　．
34．已知抛物线的准线与双曲线的渐近线分别交于，两点，是坐标原点．若的内切圆的周长为，则内切圆的圆心坐标为　　，双曲线的离心率为　　．
35．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为　　．
36．如图，已知为双曲线的右焦点，过点的直线交两渐近线于，两点．若，内切圆的半径，则双曲线的离心率为　　．
37．点是双曲线右支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，点是△的内切圆圆心，记，，△的面积分别为，，，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是　　．
38．如图，中，，为上一点，且，的内切圆与边相切于，且．设以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，则的值为　　．
（北京）股份有限公第25讲 三角形面积问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共19小题）
1．已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求面积的最小值．
（3）若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标．
【解答】解：（1）设椭圆的方程为，椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，所以，，
又椭圆经过点，代入椭圆方程，求得，
所以椭圆的方程为：；
（2）设，，，
由，所以，
，故面积的最小值为9；
（3）设直线的方程为：，则点，
联立，消去得，
，，
所以，
则的中点的坐标为，又，得，
则直线的方程为：，
令，得点的坐标为，则，
所以，
当且仅当时，比值为定值，此时点，为，
故或．
2．如图，椭圆的离心率为，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点为椭圆外一点，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求面积最大值时的直线的方程．
【解答】解：（1）由题意可知：，
左焦点到椭圆上点的最远距离为3，
即使，可解得：，，
，
所求椭圆的方程为：；（4分）
（2）易得直线的方程：，
设，，，，，
其中，
，在椭圆上，
，
（6分）
设直线的方程为，
代入椭圆：，整理得：，
根据韦达定理可知：，，（8分）
，
点到直线的距离为：丨丨丨丨，
，（10分）
当时，取最大值，
此时直线的方程．（12分）
3．如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于、两点，且线段被直线平分．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率；
（3）求面积的最大值．
【解答】解：（1）设椭圆的左焦点的坐标为，则由已知可得，且，
解得，，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）设，，，，的中点为，，
则，两式作差可得：，
又，且，即，
所以，
故直线的斜率为；
（3）由（2）设直线的方程为，
则点到直线的距离为，
联立方程，消去整理可得：，
所以，
所以
，
所以三角形的面积为，
当且仅当，即时取等号，
此时三角形的面积的最大值为．
4．已知点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点．当的面积最大时，求直线的方程．
【解答】解：（1）设，由条件知．
又，可得，，
椭圆的方程：．
（2）依题意当轴不合题意，故设直线，设，，，
将代入椭圆的方程：．得，
当△，即．
，
从而．
又点到直线的距离．
所以的面积
设，则，．
当且仅当，等号成立，且满足△，
所以当的面积最大时，的方程为：或．
5．已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）．
（1）求证：直线过定点；
（2）求与面积之和的最小值．
【解答】解：（1）设直线的方程为：，点，，，，由，可得，①，
点，，，在抛物线上可得，，②
由①②可得或1（舍去），
由可得
根据韦达定理有，
直线过定点；
（2）点，位于轴的两侧，不妨设在轴的上方，则，又焦点，
．
当且仅当，取“”号，
与面积之和的最小值是3，
6．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，点为抛物线的焦点，且抛物线上存在不同的两点，．
（1）若中点为，且满足，的中点均在上，证明：垂直于轴；
（2）若点，在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点），且与的面积分别为和，求最小值．
【解答】解：（1）证明：设，，，，，，
因为直线，的中点在抛物线上，
所以，为方程的两个根，
即，的两个不同的实数根，
所以，
所以垂直于轴．
（2）根据题意可得，，
设，，，，则，，
所以，则或，
因为，位于轴的两侧，所以，
设直线的方程为，
联立，得，
所以，则，
所以直线过定点，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为6．
7．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上．
（Ⅰ）设中点为，证明：垂直于轴；
（Ⅱ）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：可设，，，，，
中点为的坐标为，，
抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上，
可得，
，
化简可得，为关于的方程的两根，
可得，，
可得，
则垂直于轴；
（另解：设，的中点分别为，，
交于，为的中位线，
，又为的中点，
为的中点，
设，，
由，，，
解得，所以垂直于轴）
（Ⅱ）若是半椭圆上的动点，
可得，，，
由（Ⅰ）可得，，
由垂直于轴，可得面积为
，
可令
，
可得时，取得最大值；
时，取得最小值2，
即，
则在递增，可得，，
面积的取值范围为，．
8．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．
（1）若直线垂直于轴，求；
（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；
（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）依题意，，当轴时，则，，得；
（2）设，，，
，
又在椭圆上，满足，即，
，解得，即．
直线，
联立，解得，；
（3）设，，，，，，
直线，
则，
．
联立，得．
则，．
由直线的方程：，得纵坐标；
由直线的方程：，得的纵坐标．
若，即，
，
，，
代入根与系数的关系，得，解得．
存在直线或满足题意．
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，且的斜率为．
（1）求椭圆的离心率的值；
（2）若，为过椭圆的右焦点的任意直线，且直线交椭圆于点，，求△内切圆面积的最大值．
【解答】解：（1）设点的坐标为，，点的坐标为，，则线段的中点为，
直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，直线和直线的斜率之积为，
由于点、在椭圆上，则有，
上述两式相减得，化简得，所以，，
因此，椭圆的离心率为；
（2）由（1）知，，由于，得，由于，得，所以，，，
所以，椭圆的标准方程为，
△的周长为，
椭圆的右焦点为，设直线的方程为，设点，、，，
将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，
△，
由韦达定理可得，，
△的面积为，
令，则，所以，，
由于函数在区间，上单调递增，
所以，当时，△的面积取到最大值，
设△的内切圆的半径为，则，所以，，
当△的面积取到最大值时，其内切圆的半径取到最大值，
因此，△内切圆面积的最大值为．
10．已知椭圆的左、右焦点分别是和，离心率为，以在椭圆上，且△的面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过椭圆右焦点，交该椭圆于、两点，中点为，射线交椭圆于，记的面积为，的面积为，若，求直线的方程．
【解答】解：（1）依题意，显然当在短轴端点时，△的面积最大为，
即，又由离心率为，，
解得，，，
所以椭圆的方程为．
（2）因为，
所以，
所以，所以，
当斜率不存在时，，不合题意，
当斜率存在时，设直线方程为，
设点，，，，
则，两式作差得：，
即，
故直线的方程为：，
联立，解得，
联立，解得，
因为，所以，
即，解得：，
所以直线的方程为．
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，点在椭圆上，直线过交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当时，点在轴上方时，求点，的坐标；
（3）若直线交轴于点，直线交轴于点，是否存在直线，使得与的面积满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知，，，又，
联立方程组可解得：，，
所以椭圆的方程为．
（2）设，依题意，，，因为，所以，
即，
又在椭圆上，满足，即，，解得，即，
直线，
联立方程组，解得．
（3）存在直线或，使得与的面积满足，
设，，，，，，
直线（斜率不存在时不满足题意），
则，．
联立方程组，整理得．
则，．
由直线的方程：，得纵坐标．
由直线的方程：，得纵坐标，
由，得．
所以，
所以，，
代入根与系数的关系式，得，解得．
存在直线或满足题意．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，椭圆离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点，若△的面积为，求直线的方程．
【解答】解：（1）可得，，，
椭圆的方程为：．
（2），该直线的方程设为，
联立可得．
设，，，，则，．
△的面积．
解得．
直线的方程为．
13．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，点，是坐标平面内一点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于、两点，问：在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设，，
由，即为，，，
即有，又，
解得，又，则，，
因此所求椭圆的方程为：；
（2）动直线的方程为，
由，得，
设，，，，
则，，
假设在轴上存在定点，满足题设，则
，，，，
，
由假设得对于任意的，恒成立，
即，解得．
因此，在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过这个点，
点的坐标为这时，点到的距离，
，
，
设则得，，，，
所以，
当且仅当时，上式等号成立．因此，面积的最大值是．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，△的周长为8，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）因为过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，△的周长为8，
则由椭圆的定义可得，所以，
又，所以，则，
故椭圆的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）值，，
则可设直线的方程为：，
代入椭圆方程可得：，
设，，，，则，，
所以
，
原点到直线的距离为，
所以三角形的面积为
，令，
所以，当时，函数单调递增，
所以当时，，
故三角形的面积的最大值为．
15．已知抛物线上有一点到焦点的距离为．
（Ⅰ）求及的值；
（Ⅱ）如图，设直线与抛物线交于两点，，，，且，过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，连接，．试判断的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由．
【解答】解：由抛物线，可得焦点，
抛物线上的点到焦点的距离为．
，．
，
把代入抛物线方程，解得．
联立，得：，△，即，
，．
，
，
，，
的面积．
16．已知点是抛物线上的动点，点到抛物线准线与到点，的距离之和的最小值为．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，设直线与抛物线交于两点，，，且，过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，求的面积．
【解答】解：（1）点到抛物线准线与到点，的距离之和的最小值为，
点到抛物线的焦点与到点，的距离之和的最小值为，
，
，
抛物线的方程为；
（2）联立直线与抛物线得：，△，即，
，．
，
，
，，，，
的面积．
17．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．
（ⅰ）求证：点在定直线上；
（ⅱ）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线的焦点，因为在椭圆上，
所以，
又因为离心率，
所以可得，
所以椭圆的方程为：；
（2）设，，
因为，所以，
在点的切线的方程，即，
设，，，，，
联立，整理可得：，
由△，得
且，，
因此，将其代入，得，
所以，所以直线的方程为，
联立方程，解得点的纵坐标为，
所以点在定直线上；
由知直线的方程为，
令，得，所以，
又，，，，
所以，
，
，设，
则，
当，即时，取到最大值，
此时，满足式，
所以点的坐标为，．
18．已知，椭圆的离心率，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程．
【解答】解：（1）设，
由条件知，得，
又，
所以，，
故的方程；
（2）依题意当轴不合题意，
故设直线，设，，，，
将代入，得，
当△，可得，即或，
，，
从而
，
又点到直线的距离，
所以的面积，
设，则，
，
当且仅当，等号成立，且满足△，
所以当的面积最大时，
的方程为：或．
19．椭圆的离心率为，其右焦点到椭圆外一点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，且线段的长度为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆右焦点为，则由题意得得或（舍去），
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）因为线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点、、能构成三角形，直线不过原点，则弦与垂直，故可设直线程为，
由消去，并整理，得，
设，，，，又△，
所以，，
因为，所以，即，
所以，即，
因为，所以．
又点到直线的距离，因为，
所以，
所以，即的最大值为
（北京）股份有限公司第22讲 轨迹方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．过点斜率为正的直线交椭圆于，两点．，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，，则外接圆半径的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，先固定直线，设，则（C）（D），其中为定值，
故点，，在一个阿波罗尼斯圆上，且外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为，
阿波罗尼斯圆会把点，其一包含进去，这取决于与谁更大，不妨先考虑的阿波罗尼斯圆的情况，
的延长线与圆交于点，即为该圆的直径，接下来寻求半径的表达式，
由，解得，
同理，当时有，，
综上，；
当直线无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，
与椭圆方程联立可得，
设，，，，则由根与系数的关系有，，
，
注意到与异号，故，
设，则，故，
又，
故选：．
2．方程表示　　
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【解答】解：方程变形为：
，
表示点到定点与定直线的距离相等的点的轨迹，
由抛物线的定义可知：点的轨迹是抛物线．
故选：．
3．若动圆过定点且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹为　　
A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线一支
【解答】解：设动圆的半径为，
动圆圆心为，点在动圆上，
又定圆的圆心为，半径为2，
定圆与动圆相外切
圆心距
由此可得（常数），
点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支
故选：．
4．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设动圆圆心的坐标为，半径为，
则由题意可得，，相减可得，
故点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，
由题意可得，，，
故点的轨迹方程为．
故选：．
5．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点轨迹方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，得其焦点坐标为，
设线段中点为，，，
由中点坐标公式得：，
，
是抛物线上的点，
，
即，
．
故选：．
二．填空题（共7小题）
6．两定点的坐标分别为，，动点满足条件，动点的轨迹方程是　或．　．
【解答】解：设，，则，它们是直线、的倾角还是倾角的补角，与点在轴的上方还是下方有关；以下讨论：
①若点在轴的上方，，，
此时，直线的倾角为，的倾角为，
，，
，，得：，
，．
当时，，为等腰直角三角形，此时点的坐标为，它满足上述方程．
②当点在轴的下方时，，同理可得点的轨迹方程为，
③当点在线段上时，也满足，此时．
综上所求点的轨迹方程为或．
故答案为：或．
7．设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为　　
【解答】解：如图，连接，根据垂直平分线的性质，，
由已知得，，所以，
同时，
因此点的运动轨迹为椭圆，
设其方程为，，
所以其方程为．
故答案为：．
8．已知点，，圆，点是圆上一动点，的垂直平分线与交于点，则点的轨迹方程为　　．
【解答】解：因为的垂直平分线与交于点，
所以．
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
这里，，
，，，
所以点的轨迹方程为：．
故答案为：．
9．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则的方程为　　．
【解答】解：由圆，可知圆心；圆，圆心，半径3．
设动圆的半径为，
动圆与圆外切并与圆内切，，
而，由椭圆的定义可知：动点的轨迹是以，为焦点，4为长轴长的椭圆，
，，．
曲线的方程为（去掉点
故答案为：．
10．方程所表示的曲线是　双曲线　．
【解答】解：方程化为：．表达式的几何意义是：平面内动点到定点，与到定直线的距离的比为的点的轨迹，
，不在直线上，
轨迹是双曲线．
故答案为：双曲线．
11．若动点到定点的距离是它到直线的距离的倍，则动点的轨迹方程是　　．
【解答】解：点到定点的距离是，
点到直线的距离是，
，
化简为．
故答案为．
12．在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点、，且、，、分别为椭圆的左、右顶点，则直线与的交点所在的曲线方程为　　．
【解答】解：由题意，直线的方程为，直线的方程为，
两式左右分别相乘得①
、在椭圆上
，
，
，
代入①可得
故答案为：
三．解答题（共28小题）
13．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线，求的方程，并说明是什么曲线．
【解答】解：点，，动点满足直线与的斜率之积为，
，
化简得，
即曲线的方程为，
曲线是一个椭圆，除去左右顶点．
14．已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5．
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，线段，点为上一点，点，求的中点的轨迹方程．
【解答】解：（1）由题意坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5，
得，化简得．
即．
点的轨迹方程是，
所求轨迹是以为圆心，以5为半径的圆．
（2）设，，，
根据题意有，所，
点在圆上，所以有，
所以，
所以，
所以的中点的轨迹方程为．
15．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程．
【解答】解：因为，，故，
所以，故，
又圆的标准方程为，
从而，所以（5分）
由题设得，，，
由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（10分）
16．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求直线被曲线截得的弦的中点坐标．
【解答】解：（1）由已知得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．
设动圆的圆心为，半径为．
圆与圆外切并且与圆内切，
，
由椭圆的定义可知，曲线是以，为左、右焦点的椭圆（左定点除外），得，
，，，
椭圆方程为；
（2），以为圆心，为半径的圆
与圆公共弦所在直线为的方程为，
联立曲线与直线，可得，△，
设交点，，，，则，
中点的横坐标为，代入直线，得中点的纵坐标为，
所求中点坐标为，．
17．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）若直线与曲线相切，求的值．
【解答】解：（1）圆，圆，
设动圆半径为．
在内，动圆只能在内与内切，不能是在动圆内，即：
动圆与圆外切，则，
动圆与圆内切，则，
，即到和到的距离之和为定值．
是以、为焦点的椭圆．
的中点为原点，故椭圆中心在原点，
，，，，
，
的方程为；
（2）由，得：，
若直线和曲线相切，
则△，
解得：．
18．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．求的方程．
【解答】解：圆，圆，
设动圆半径为．
在内，动圆只能在内与内切，不能是在动圆内，即：
动圆与圆外切，则，
动圆与圆内切，则，
，即到和到的距离之和为定值．
是以、为焦点的椭圆．
的中点为原点，故椭圆中心在原点，
，，，，
，
的方程为．
19．已知圆的方程为，定点，求过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程．
【解答】解：圆与圆外切，如图，
，即，
，
由双曲线的定义，点的轨迹是以，为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中，，
．
故所求轨方程为．
20．已知两圆，．动圆与两圆都相切，求动圆圆心的轨迹方程．
【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆，，动圆与两圆，都相切，
，即点在线段，的垂直平分线上
又，的坐标分别为与
其垂直平分线为轴，
动圆圆心的轨迹方程是；
②若一内切一外切，不妨令与圆内切，与圆外切，则到的距离减去到的距离的差是，由双曲线的定义知，点的轨迹是以与为焦点，以为实半轴长的双曲线左支，故可得，故此双曲线的方程为．
同理与圆外切，与圆内切，此双曲线的方程为．
此双曲线的方程为．
综①②知，动圆的轨迹方程为或．
21．在三角形中，，的内切圆与相切于点，，求顶点的轨迹方程．
【解答】解：如图，
设、分别为圆与、的两个切点，
则，，
又，
，
点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，
且，，
，
轨迹方程为．
故答案为：．
22．直角三角形的直角顶点为动点，，，，作于，动点满足，当动点运动时，点的轨迹为曲线，
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）求曲线的轨迹方程；
（3）设直线与曲线交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求的最大值．
【解答】解：（1）直角三角形的直角顶点的轨迹为圆：；
（2）设，，，则，，，
动点满足，
，解得，，
代入曲线的轨迹方程可得，化为．
（3）当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，，，，．
坐标原点到直线的距离为，
，化为．
联立，化为，
则，．
又．
，当且仅当时取等号．
综上可得：的最大值为2．
23．动点到点的距离与它到直线的距离相等，求动点的轨迹方程．
【解答】解：由抛物线的定义知点的轨迹是以为焦点的抛物线，其开口方向向右，且，
解得，所以其方程为．
故答案为：．
24．若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程．
【解答】解：设动圆圆心为，半径为，
圆，
定圆圆心为，半径，
两圆外切，
，
又动圆与直线相切，
圆心到直线的距离，
，即动点到定点的距离等于它到直线的距离，
由抛物线的定义可得，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且，即，
故动圆圆心的轨迹方程为．
25．设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．求点的轨迹方程．
【解答】解：设，，由题意可得，，
设，由点满足．
可得，，
可得，，
即有，，
代入椭圆方程，可得，
即有点的轨迹方程为圆；
故答案为：．
26．在平面直角坐标系中，点，为动点，，分别为椭圆的左、右焦点．已知△为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．
【解答】解：（Ⅰ）设，，．
由题得，即，整理得，得（舍，或，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，可得椭圆方程为，直线方程为．
，的坐标满足方程组，
消并整理得，
解得，，得方程组的解为，，
不妨设，，．
设点的坐标为，则，，
由得①，
由即．
将①代入化简得，代入①化简得．所以，
因此点的轨迹方程为．
27．设，点的坐标为，点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足，求点的轨迹方程．
【解答】解：由知，，三点在同一条垂直于轴的直线上，故可设，，则
即①
再设，由得
将①代入②式得
又点在抛物线
将③代入得
整理得因为所以
故所求的点的轨迹方程：
28．已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线，分别交于，两点，交的准线于，两点．
（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；
（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．
【解答】（Ⅰ）证明：连接，，
由，及，得，
，
是的中点，
，
，
，，
，
，
，
．
（Ⅱ）设，，，，
，，准线为，
，
设直线与轴交点为，
，
的面积是的面积的两倍，
，，即．
设中点为，由得，
又，
，即．
中点轨迹方程为．
29．已知点，，动点满足为和的等差中项．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过作直线交于，两点，求的中点的轨迹方程．
【解答】解：（1），，
，
是与的等差中项，
，
即，
点在以，为焦点的椭圆上，
，
，
又，
，
椭圆的方程是；
（2）设中点，，
，，，，
，在椭圆上，
①，
②，
①②得：，
即．
，整理得：．
而适合上式，
的中点的轨迹方程为．
30．已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．求的轨迹方程．
【解答】解：圆的方程可化为，
所以圆心为，半径为4．
设，则，．
由题设知，（6分）
故，即．
由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是．（12分）
31．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知直线的参数方程为为参数，，点，并且直线与曲线交于，两点，求．
【解答】解：（1）曲线的参数方程为为参数，，整理得曲线的普通方程．
（2）直线的参数方程为为参数，，代入；
得到，
所以，；
故．
32．如图，椭圆，，为常数），动圆，．点，分别为的左，右顶点，与相交于，，，四点．
（Ⅰ）求直线与直线交点的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆与相交，，，四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值．
【解答】解：设，，，，则，，
，，则直线的方程为①
直线的方程为②
由①②可得：③
，在椭圆上，
代入③可得：
；
证明：设，，
矩形与矩形的面积相等
，均在椭圆上，
，．
，
为定值．
33．已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且．
（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；
（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程．
【解答】解：（1）因为点是抛物线的顶点，
故点的坐标为，
根据题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，
设，，，，
故，
因为，
则，
因为、是上的两个动点，
则有，，
故，
整理可得，解得，
由，消去可得，
则有，，
所以，解得，
故直线的方程为，
所以直线经过一个定点．
（2）线段的中点坐标为，
又直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的方程为，①
同理，线段的垂直平分线的方程为，②
由①②解得，
设点，则有，
消去，得到，
所以点的轨迹方程为．
34．已知椭圆与抛物线有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，为弦的中点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一定点，使得的长度为定值？若存在，则求出点，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线的焦点为，
可得①，
抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3，
由代入椭圆方程可得，即有②，
解①②可得，，
所以椭圆的方程为；
（2）设直线，，，，，
联立直线与椭圆方程，
消去可得，
则，，
所以，，
所以，，直线③，
直线的方程中，令可得，所以，
因为直线，所以直线的方程为④，
将③④联立相乘得到，即，
所以点的轨迹为以，为圆心，为半径的圆，
所以存在定点，，使得的长为定值．
35．已知椭圆的离心率为，椭圆的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求的面积；
（Ⅲ）求证：直线与直线的交点的纵坐标为定值．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以，即，
因为离心率为，
所以，
设，则，，
又，即，
解得或（舍去），
所以，，，
所以椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）联立，得，
所以，
所以△，
所以直线与椭圆无交点，
所以的面积不存在．
（Ⅲ）证明：由题意知，直线的方程为，设，，，，
则，得
则
因为直线和椭圆有两个交点，
所以△，则，
设，
因为，，在同一条直线上，
则，
因为，，在同一条直线上，则，
由于，
所以，
所以交点恒在一条直线上，
所以交点的纵坐标为定值为．
36．已知椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点，，交轴于点，为线段的中点，且为垂足．问：是否存在定点，使得的长为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：，，化简得，
故的方程为：，
将代入椭圆的方程得：，
所以，解得：，所以，
所以椭圆的方程：；
（2）设，，，，，，直线的方程为，
则直线与轴的交点为，
由，，得
又，，所以，故的方程为，
由得：，
所以直线的方程为，即，
所以直线过定点，
所以在以为直径的圆上，
所以存在定点，使的长为定值．
37．已知椭圆的左、右焦点分别为，，．点在上，，△的周长为，面积为．
（1）求的方程．
（2）设的左、右顶点分别为，，过点的直线与交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则____．（从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答）．
①求直线和交点的轨迹方程；
②是否存在实常数，使得恒成立；
③过点作关于轴的对称点，连结，得到直线，试探究：直线是否恒过定点．
【解答】解：（1）依题意，，解得，
所以椭圆的方程为：．
（2）设直线的方程为，
选择①，联立方程，化简整理得：，
假设，，，，由韦达定理，得，
所以，
直线的方程：；直线的方程：，
联立方程，得，
两式相除，得，
即，解得，
所以直线和交点的轨迹方程是直线．
选择②联立方程，化简整理，得，
假设，，，，由韦达定理，得，
所以
于是，
故存在实数，使得恒成立．
选择③：设，，，，，，
联立方程，得，化简整理，得，
由韦达定理，得，
直线与轴交于点，说明，，三点共线，于是，
假设，即，亦即，
则，
所以，
即，解得，
所以直线恒过定点．
38．已知抛物线，直线交于抛物线于、两点，．
（1）求抛物线的方程．
（2）互相垂直的直线、分别切抛物线于、两点，试求两切线交点的轨迹方程．
【解答】解：（1）联立方程组，消去得：，
，即．
抛物线的方程为．
（2）设，，，，
由于，故，不妨设，，
由可得，
当时，，即，当时，，即．
又，在抛物线上，，
故直线的方程为：，即，即，①
同理可得直线的方程为：．②
由①②可得：，是关于的方程，即的两根．
，
，互相垂直，，即．
，
，即．
两切线交点的轨迹方程为．
39．已知椭圆的离心率为，其中一个顶点是双曲线的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，过点，分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．
【解答】解：（1）椭圆的离心率为，其中一个顶点是双曲线的焦点．
双曲线的焦点，，
椭圆中，，
解得，，，
椭圆的标准方程为：．
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，，，，
设在，处切线方程为，
与椭圆联立，
消去，得，
由△，得，
化简，得，
由，得，，
上式化为，
，，
椭圆在点处的切线方程为，①
同理，得椭圆在点处的切线方程为，②
联立①②，消去，得：，解得，
、都在直线上，，，
，即此时的交点的轨迹方程为．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，，
则椭圆在点处的切线方程为，椭圆在处的切线方程为，此时无交点．
综上所述，过点，所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程为．
40．为一定点，是轴上的一动点，轴上的点满足，若点满足，求：
（1）点的轨迹曲线的方程；
（2）曲线的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹．
【解答】解：（1），点，关于点对称，
设，则，在轴上，，即．
，，，，，即．
点的轨迹曲线的方程是．
（2）设曲线的两条互相垂直的垂线的交点坐标为，，切线的斜率为，则切线方程为，
联立方程组，消元得：，
△，即．，．
曲线的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹是直线．
（北京）股份有限公司第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式
一．选择题（共5小题）
1．已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为　　
A． B．2 C． D．
2．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
3．已知点是双曲线上的动点，，分别是其左、右焦点，为坐标原点，若的最大值是，则此双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．2
4．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为　　
A．32 B．16 C．24 D．8
5．过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，，，四点，则的值为　　
A． B． C．1 D．
二．填空题（共3小题）
6．已知是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是　　．
7．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为　　．
8．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为　　．
三．解答题（共6小题）
9．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
10．已知斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设为的右焦点，为上的一点，且，证明：，，成等差数列．
11．已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，△的内切圆面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，，是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且，求的取值范围．
12．已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、及、．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：为定值；
（Ⅲ）求的最小值．
13．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．
（1）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．
14．平面直角坐标系中，已知为椭圆的右焦点，且，过作两条互相垂直的直线交椭圆分别于、与、．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求椭圆的极坐标方程与的代数表达式；
（Ⅱ）求的取值范围．
（北京）股份有限公司第11讲 坐标法秒解离心率问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．已知椭圆左右焦点分别为，，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且满足，已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率　　
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆左右焦点分别为，，椭圆的离心率为，不妨令，，则，
所以椭圆方程为：，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且满足，
可设，，则：，解得，可得，
双曲线的离心率为：．
故选：．
2．双曲线的中心在坐标原点，右顶点，虚轴的上端点，虚轴下端点，左右焦点分别为、，直线与直线交于点，若为锐角，则双曲线的离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设双曲线的方程为，由题意可得，，，，
故直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，解得，，
即，，
，，，，
为锐角，
，，
，
即，，
故选：．
3．双曲线的中心在坐标原点，右顶点，虚轴的上端点，虚轴下端点，左右焦点分别为、，直线与直线交于点，若为钝角，则双曲线的离心率的取值范围为　　
A．， B． C．， D．，
【解答】设双曲线的方程为，由题意可得，，，，
故直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，解得，，
即，
，，，，
是钝角，
，，
，
即，，
又，，
故选：．
4．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的右顶点，过作垂直于轴的直线与椭圆交于，两点在轴上方），若，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，则，，
由对称性可知，
若，则，
△，
，即，，
故选：．
5．已知，分别为椭圆的左、右顶点，点，在上，直线垂直于轴且过的右焦点，直线与轴交于点，若，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，可得，，，，
．直线方程：
令，可得
，，
故选：．
6．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且垂直于轴．若，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，分别为椭圆的左、右焦点，
设，，，
为椭圆上一点，且垂直于轴．若，
可得，即．可得．
解得．
故选：．
7．如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设右焦点，
将代入椭圆方程可得，
可得，，，，
由，可得，
即有，
化简为，
由，即有，
由，可得，
可得，
故选：．
8．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，且，若垂直于轴，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为，，
设，，由垂直于轴可得，
由，可得，
设，由，可得，，
解得，，
将，代入椭圆方程可得，
即，即有，
则，
故选：．
9．如图，在平面直角坐标系中，，，，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：对椭圆进行压缩变换，，，
椭圆变为单位圆：，，．
延长交圆于
易知直线斜率为1，，，
设，则，，
由割线定理：
，
（负值舍去）
易知：
直线方程：
令
，即横坐标
即原椭圆的离心率．
故选：．
10．平面直角坐标系中，双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，（不同于，当取最大值时双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：为圆心，为半径的圆的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
代入圆的方程可得，，
解得，
即有，，，，
，
当且仅当，取得等号．
则双曲线的离心率为．
故选：．
11．在平面直角坐标系中，设双曲线的左焦点为，圆的圆心在轴正半轴上，半径为双曲线的实轴长，若圆与双曲线的两渐近线均相切，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设圆心，双曲线的渐近线方程为，
，
直线与双曲线的一条渐近线垂直，
则，即，
则圆心坐标，
圆与双曲线的两渐近线均相切，
圆心到直线即的距离，
即，整理得，
则，
则，
即，
则，
故选：．
12．设直线与双曲线两条渐近线分别交于点、，若点满足，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线两条渐近线分别为：，
由得，，
则点的坐标是，，
同理可求的坐标是，，
设的中点是，则的坐标是，，
因为，所以，
因为的斜率是，所以的斜率是，
则，化简得，
所以，则，
所以该双曲线的离心率是，
故选：．
13．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为，
分别与联立，解得，，，，
中点坐标为，，
点满足，
，
，
，
．
故选：．
14．设直线与轴交于点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，．若为中点，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．2
【解答】解：双曲线的两条渐近线方程为，
直线与轴交于点，
由，解得，，
由，解得，，
因为为的中点，
可得，
由，，可得，
即为，
所以．
故选：．
15．设，已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：由，解得，，
由，解得，．
的中点坐标为，，
点满足，
，即，
整理得：，，
解得：．
故选：．
16．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线渐近线上存在一点，使得顺次连接，，，构成平行四边形，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
【解答】解：由双曲线方程知：，，渐近线方程为；
①若点在上，可设，
顺次连接，，，构成平行四边形，，即，
，即，不合题意；
②若点在上，可设，
顺次连接，，，构成平行四边形，，即，
，即，；
综上所述：双曲线的离心率．
故选：．
17．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线渐近线上一点，且，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
【解答】解：联立，，．
所以，，．
所以，，
所以，
所以，
因为，所以，
所以．
所以双曲线的离心率为2．
故选：．
18．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：双曲线的左顶点为，右焦点为，点，且，
，，，
即，
即，
即，得，
故选：．
二．填空题（共7小题）
19．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，．若点满足，则该双曲线的离心率是　　．
【解答】解：双曲线的两条渐近线方程为，则
与直线联立，可得，，，，
中点坐标为，，
点满足，
，
，
，
．
故答案为：．
20．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得，，，顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率　2　．
【解答】解：由双曲线的方程可得，
设双曲线的半焦距为，则，
双曲线的渐近线方程为，
由平行四边形，可得在渐近线上，
由，可得，
设的方程为，
与联立，解得，，
又，即有，
化为，即为，
所以．
故答案为：2．
21．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于第一象限内的一点．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：由题意可知，经过第一象限的渐近线方程为，
过点且与渐近线垂直的直线相交于点，
，解得，
，
，即，
，
，即，
，
故答案为：．
22．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的其中一条渐近线交于点（不同于，若双曲线右支上存在点满足，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：如图所示：双曲线对称性，设渐近线的方程为：，即，右焦点，
所以到渐近线的距离，在直角三角形中可得，
所以，，所以可求得，
，因为，则可得为，的中点，所以，
把代入双曲线，
可得，整理可得，所以．
故答案为：．
23．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为 　　．
【解答】解：如图，
以为直径的圆的方程为，
又圆的方程为，
所在直线方程为．
把代入，得，
再由，得，即，
，解得．
故答案为：．
24．设是椭圆的左焦点，过的直线与椭圆交于，两点，分别过，作椭圆的切线并相交于点，线段为坐标原点）交椭圆于点，满足，且，则椭圆的离心率为　　．
【解答】解：，可取，
满足，，
．
设，，，，
可得过点，的切线方程分别为：，．
联立解得．
设直线的方程为：，
，
，
解得．
故答案为：．
25．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线相交于点（点在第一象限），若，则双曲线的离心率　2　．
【解答】解：如图，依题意可知，即可得，
，
设，由，可得，故，
，，整理可得，
，
，，
故答案为：2．
网（北京）股份有限公司第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：由题意，分子最大且分母最小时，即在顶点处取得最大值，不妨取顶点，，则的最大值为，
故选：．
2．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由双曲线的第二定义可知，，
右支上的点，满足，
，
由，
解得，
在右支上，可得，
可得，即，
则，
令，，
可得
而在，递减，
，，
，
故选：．
3．已知点是双曲线上的动点，，分别是其左、右焦点，为坐标原点，若的最大值是，则此双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．2
【解答】解：不妨设为右支上的一点，其中，
，，
当时，取得最大值，
，
故选：．
4．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为　　
A．32 B．16 C．24 D．8
【解答】解：因为，要使最小，而，
由抛物线的对称性可得与，与关于轴对称，
所以可得直线的斜率为1，又过抛物线的焦点，
所以直线的方程为：，
，整理可得，，，
所以可得，
所以．
故选：．
5．过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，，，四点，则的值为　　
A． B． C．1 D．
【解答】解：由椭圆，得椭圆的右焦点为，
当直线的斜率不存在时，，
则．此时，，
则；
当直线的斜率存在时，
设，则．
又设点，，，．
联立方程组，
消去并化简得，
，
，
由题知，直线的斜率为，
同理可得．
为定值．
故选：．
二．填空题（共3小题）
6．已知是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是　，　．
【解答】解：设的坐标为
椭圆中，，，
，得椭圆的准线方程为，即
作出椭圆的右准线，设在右准线上的射影为，连结，
根据圆锥曲线的统一定义，得，
，同理可得，
，
点在椭圆上，得，
，
由此可得，得，
，即，，得，，
，．
故答案为：，
7．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为　　．
【解答】解：根据题意可得，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设直线，
直线，互相垂直，
直线的斜率为，即得，
设，，，，，，，，则分别将直线，的方程与抛物线方程联立组成方程组可得，
；
由韦达定理可得，，，
由抛物线性质可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
，
，
．
故答案为：．
8．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为　36　．
【解答】解：抛物线的焦点，准线方程为，
设直线的方程为，，
联立方程组，则，
设，，，，
可得，
由抛物线的定义可得，
由，可将上式中的换为，
可得，
则．
当且仅当时，上式取得等号，
则的最小值为36．
故答案为：36．
三．解答题（共6小题）
9．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
【解答】解：（1）设，，，，
线段的中点为，
，
将，代入椭圆中，可得
，
两式相减可得，，
即，
点在椭圆内，即，
解得
．①
（2）由题意得，设，，则
，，
由（1）及题设得，．
又点在上，所以，从而，．
于是．
同理．
所以，
故，即，，成等差数列．
设改数列的公差为，则②
将代入①得．
所以的方程为，代入的方程，并整理得．
故，，代入②解得．
所以该数列的公差为或．
10．已知斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设为的右焦点，为上的一点，且，证明：，，成等差数列．
【解答】（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）设，，，，
则有（2分）
（1）（2）得．
，．
．（3分）
．（4分）
由题设可知点在椭圆内，
，解得，
．（5分）
（Ⅱ），为的中点，
，（6分）
，．
点在椭圆上，．（7分）
又．（8分）
由（Ⅰ）知，所以．
直线的方程为，即．（9分）
由直线的方程与椭圆方程联立，得
消化简得，解得，．（10分）
从而得，，
又，
，，．（11分）
，，成等差数列．（12分）
11．已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，△的内切圆面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，，是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且，求的取值范围．
【解答】解：（1）由几何性质可知，当，△的内切圆面积的最大值时，
即，取最大值，且，
由，解得，
又由△的周长为定值，
，
又，
可得，即，
，，，
故椭圆方程为，
（2）①当直线和中有一条垂直轴时，，
②当直线的斜率存在但不为0时，设的方程为：，
由
得，代入弦长公式得，，
同理由，消去，代入弦长公式得，
，
令，
则，，
由①②可知的取值范围是，．
12．已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、及、．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：为定值；
（Ⅲ）求的最小值．
【解答】解：由，得，
，
．（1），（1分）
由椭圆过点知，．（2）（2分）
联立（1）、（2）式解得，．（3分）
故椭圆的方程是．（4分）
为定值（5分）
证明：椭圆的右焦点为，分两种情况．
当直线的斜率不存在时，，
则．此时，，；（6分）
当直线的斜率存在时，
设，则．
又设点，，，．
联立方程组，
消去并化简得，
，（7分）
，（8分）
由题知，直线的斜率为，
同理可得（9分）
所以为定值．（10分）
（Ⅲ）解：由知，
（11分）
，（12分）
当且仅当，
即，即，时取等号（13分）
的最小值为．（14分）
13．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．
（1）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．
【解答】解：（1）由已知可得，
则所求椭圆方程．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，，
此时的长即为椭圆长轴长，，
从而．
设直线的斜率为，则，直线的方程为：，
直线的方程为，
设，，，，，，，，
由，消去可得，
由抛物线定义可知：，
由，消去得，
从而，
，
令，
，则，
则，
所以，
所以四边形面积的最小值为8．
14．平面直角坐标系中，已知为椭圆的右焦点，且，过作两条互相垂直的直线交椭圆分别于、与、．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求椭圆的极坐标方程与的代数表达式；
（Ⅱ）求的取值范围．
【解答】解：由已知，
（Ⅰ）设，，
，
以右焦点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
则椭圆的极坐标方程为，即，
其中．
设，，则，，
，
，即；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
．
，，且，
解得．
记（a），则（a），当时，
（a），（a）为增函数，则（a），，
即，．第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题
一．解答题（共25小题）
1．椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为．抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，，与交于，．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
2．椭圆的右焦点到直线的距离为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，过作与轴垂直的直线交椭圆于，两点，交抛物线于，两点，且．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，交抛物线于，两点，请问是否存在实常数，使为常数．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
3．已知椭圆的右焦点到直线的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）给出定点，，对于椭圆的任意一条过的弦，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
4．已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于、两点，且，求直线的斜率的取值范围．
5．已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于，两点，△的周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由．
6．已知椭圆，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点、的距离之和为4，且的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．
7．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且△的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．
8．设、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，坐标原点到直线的距离是．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过椭圆的上顶点作斜率为的直线交椭圆于另一点，点在椭圆上，且，求证：存在，使得．
9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交于，两点．当时，点，，，恰在以为直径且面积为的圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求直线的方程．
10．已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点．过点且平行于的直线交椭圆于点，，证明：为定值．
11．平面直角坐标系中，是椭圆的左焦点，过点且方向向量为的光线，经直线反射后通过左顶点．
求椭圆的方程；
过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为的中点，直线为原点）与直线交于点，若满足，求的值．
12．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
13．已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，，且当直线垂直于轴时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，求弦长的取值范围．
14．椭圆的左，右焦点应分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆切于点，，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值；
（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围．
15．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围．
16．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围．
17．已知抛物线的方程为，，为抛物线上两点，且，其中，过，分别作抛物线的切线，，设，交于点．
如果点的坐标为，求弦长；
（Ⅱ）为坐标原点，设抛物线的焦点为，求的取值范围．
18．已知曲线；曲线．
（1）试判断曲线与的交点个数；
（2）若过点直线与曲线交于两个不同的点，，求的取值范围．
19．如图，设抛物线的焦点为，准线为，过准线上一点且斜率为的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，直线交抛物线于，两点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若，试写出关于的函数解析式，并求实数的取值范围．
20．椭圆过点，，左焦点为，与轴交于点，且满足．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设圆，直线与圆相切且与椭圆交于不同两点，，当且，时，求弦长的范围．
21．椭圆过点，，左焦点为，与轴交于点，且满足．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设圆，直线与圆相切且与椭圆交于不同两点，，当且，时，求弦长的范围，并求当弦长最大时，直线的方程．
22．设椭圆，为坐标原点，
（1）椭圆过，，两点，求椭圆的方程；
（2）若，两个焦点为，，为椭圆上一动点，且满足，求椭圆离心率的范围．
（3）在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由．
23．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．
24．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，已知点，为坐标原点．若的最小值为3．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线，交抛物线于、两点，求的取值范围．
25．在①离心率，②椭圆过点，③△面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，已知椭圆的短轴长为，_____．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．第23讲 定点问题
一．选择题（共1小题）
1．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点　　
A． B． C． D．
二．解答题（共18小题）
2．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；
（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标．
3．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，点是椭圆的右焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，则在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知椭圆的离心率是，一个顶点是，点，是椭圆上异于点的任意两点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）试问直线是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
5．已知，分别为椭圆的左，右顶点，为的上顶点，．为椭圆外一点，与的另一交点为，与的另一交点为，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：直线过定点．
6．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，．
（1）求抛物线的方程；
（2）证明直线过定点．
7．已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点分别作斜率为、的椭圆的动弦、，设、分别为线段、的中点，若，是否存在一个定点，使得其在直线上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知左焦点为的椭圆过点．过点分别作斜率为，的椭圆的动弦，，设，分别为线段，的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为线段的中点，求；
（3）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标．
9．已知椭圆，为其左焦点，点，，，分别为椭圆的左、右顶点，且，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条射线分别与椭圆交于、两点（均异于点，且，证明：直线恒过轴上的一个定点．
10．已知椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的任意一点．
（Ⅰ）求直线与的斜率之积；
（Ⅱ）过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点．证明：以为直径的圆恒过点．
11．已知点，，抛物线，过点的动直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点．
（1）求；
（2）证明：直线恒过定点．
12．已知点，和抛物线，为坐标原点，过点的动直线交抛物线于、，直线交抛物线于另一点，如图
（1）证明：为定值；
（2）若的面积为，求向量与的夹角；
（3）证明直线恒过一个定点．
13．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足，
（1）求抛物线的方程；
（2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．
14．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．
15．已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，．如图所示．
（1）求抛物线的焦点坐标；
（2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标；
（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．
16．过抛物线上一点作直线交抛物线于另一点．
（Ⅰ）若直线的斜率为1，求线段的长；
（Ⅱ）不过点的动直线交抛物线于，两点，且以为直径的圆经过点，问动直线是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．
17．如图所示，已知椭圆的离心率为，的右焦点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右顶点为，不经过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过，求证：直线恒过定点，并求出此定点坐标．
18．已知椭圆的左顶点是，左焦点为，上顶点为．
（1）当的面积为时，求的值；
（2）若直线交椭圆于，两点（不同于，以线段为直径的圆过点，试探究直线是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．
19．已知椭圆的左右顶点分别为、，点为椭圆上异于，的任意一点．
（Ⅰ）求直线与的斜率乘积的值；
（Ⅱ）设，，过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点，则是否存在实数，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结
一．解答题（共19小题）
1．如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧．记，的面积为，．
（1）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积；
（2）求的最小值及此时点的坐标．
2．如图，已知点为抛物线的焦点．过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．
（Ⅰ）求的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求的最小值及此时点的坐标．
3．已知椭圆的右焦点为，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点（均异于，直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；
（3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，是否存在锐角，使得成立？请说明理由．
4．已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线的方程为．以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为，过原点的动直线与椭圆交于、两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点为椭圆的左顶点，，求的取值范围；
（Ⅲ）若点满足，求证为定值．
5．已知椭圆的左右焦点分别为、，且经过点，为椭圆上的动点，以为圆心，为半径作圆．
（1）求椭圆的方程；
（2）若圆与轴有两个交点，求点横坐标的取值范围．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆上的点满足，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）作直线垂直于轴，交椭圆于点，，点是椭圆上异于，两点的任意一点，直线，分别与轴交于，两点，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
7．已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是椭圆上位于第一象限内的动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．
8．在平面直角坐标系中，椭圆过点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）点，是单位圆上的任意一点，设，，是椭圆上异于顶点的三点且满足，求证：直线与的斜率乘积为定值．
9．在平面直角坐标系中，椭圆过点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）点，是单位圆上的任意一点，设，，是椭圆上异于顶点的三点且满足，探讨是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
10．定义：在平面内，点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离．在平面直角坐标系中，已知圆及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，记点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过原点的直线不与坐标轴重合）与曲线交于不同的两点，，点在曲线上，且，直线与轴交于点，设直线，的斜率分别为，，求．
11．已知椭圆的离心率为，且过点，动直线交椭圆于不同的两点，，且为坐标原点）
（1）求椭圆的方程．
（2）讨论是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．
12．已知，分别是椭圆的左、右焦点，，分别为椭圆的上、下顶点，到直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围；
（Ⅲ）过椭圆的右顶点的直线与椭圆交于点（点异于点，与轴交于点（点异于坐标原点，直线与交于点．证明：为定值．
13．已知椭圆经过点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于异于点的两点、，且直线与直线的斜率之和为，则直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线上的点和椭圆上点的最小距离为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的上顶点为，点，是上的不同于的两点，且点，关于原点对称，直线，分别交直线于点，．记直线与的斜率分别为，．
①求证：为定值；
②求的面积的最小值．
15．在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为．设过点的直线、与椭圆分别交于点，、，，其中，，．
（1）设动点满足，求点的轨迹；
（2）设，，求点的坐标；
（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．
16．已知是椭圆的左顶点，斜率为的直线交于、两点，点在上，且．
（1）当时，求的面积；
（2）当时，求的值．
17．已知椭圆的离心率为，右焦点．过点作斜率为的直线，交椭圆于、两点，是一个定点．如图所示，连、，分别交椭圆于、两点（不同于、，记直线的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在直线的斜率变化的过程中，是否存在一个常数，使得恒成立？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点斜率为的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，延长，分别与椭圆交于、两点，直线的斜率为，求的值及直线所经过的定点坐标．
19．已知椭圆的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论．第6讲 破解离心率问题之建立齐次式和几何化
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设右焦点，
将代入椭圆方程可得，
可得，，，，
由，可得，
即有，
化简为，
由，即有，
由，可得，
可得，
故选：．
2．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，且，若垂直于轴，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为，，
设，，由垂直于轴可得，
由，可得，
设，由，可得，，
解得，，
将，代入椭圆方程可得，
即，即有，
则，
故选：．
3．设，分别是双曲线的左、右焦点．圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：可设为第一象限的点，且，，
由题意可得，①
由双曲线的定义可得，②
由勾股定理可得，③
联立①②③消去，，可得：
，即，
则，
故选：．
4．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，
由整理可得：，
即，
因为点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，
所以，
，
所以点坐标为，
设点，则，，
由可得，所以，
因为点在双曲线上，所以，
整理可得：，
所以，即，
两边同时平方可得：，
所以，即，，
可得：或（舍，所以，
故选：．
5．设圆锥曲线的两个焦点分别为，．若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于　　
A．或 B．或 C．2或 D．或
【解答】解：由题意可设：，，．
当圆锥曲线为椭圆时，，．离心率；
当圆锥曲线为双曲线时，，，离心率．
综上可知，圆锥曲线的离心率为或．
故选：．
6．设，分别是椭圆的左、右焦点，轴，若，，成等差数列，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，成等差数列，
，
由椭圆定义可得，，
，，
，，
可得，
所以椭圆的离心率；
故选：．
7．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
联立，解得，
在第二象限，，
设，则，，
由，得，，
，，
又，，
化简得：，即，
解得：或（舍．
可得．
故选：．
8．如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在中，，
，
在直角三角形中，，可得，，
取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，
，
，
，
，
，
故选：．
9．已知在菱形中，，曲线是以，为焦点，且经过，两点的椭圆，其离心率为；曲线是以，为焦点，渐近线分别和，平行的双曲线，其离心率为，则　　
A． B． C．1 D．
【解答】解：，
，
设，则，，
椭圆是以，为焦点，且经过，两点的椭圆，
，
，得，
则椭圆的离心率为，
则双曲线是以，为焦点渐近线分别和，平行的双曲线，
则双曲线中，
的斜率，即，
则，即，得，
则，
则，
故选：．
二．多选题（共1小题）
10．已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是　　
A．椭圆的离心率
B．双曲线的离心率
C．椭圆上不存在点使得
D．双曲线上存在点使得
【解答】解：椭圆，双曲线，
若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
设椭圆的右焦点坐标，则正六边形的一个顶点，
对于．将代入椭圆方程，得：，
结合，可得，因为，解得，故正确；
对于．把代入双曲线的渐近线方程不妨设，，得，所以，
则双曲线的离心率，故正确；
对于．当点是短轴的端点时，最大，
由，得，又，从而可得，，
所以，则，即，所以．，故错误；
对于．当点在实轴的端点时，向量与向量夹角为，此时，．，故正确；
故选：．
三．填空题（共9小题）
11．已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为　　．
【解答】解：不妨设，，可设椭圆的焦点坐标，，
正六边形的一个顶点，，
由，即，
解得椭圆的；
双曲线的渐近线的斜率为，即，
可得双曲线的离心率为．
即有椭圆与双曲线的离心率之积为．
故答案为：．
12．如图，在平面直角坐标系中，，，，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点为，且则该椭圆的离心率为　　．
【解答】解：直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，解得，．
，
，，
把代入椭圆方程得：，
即，
化简得：，
，
解得或（舍去）．
故答案为：．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知，，分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率是　　．
【解答】解：，，，，
，，
，，
，
化为：，．
解得，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，，分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，且直线的斜率为，则该椭圆的离心率为　　．
【解答】解：由题意可得，，，
由直线的方程代入椭圆方程，
消去，可得，，
即为，，
直线的斜率为，可得，
即有，由，可得，
即．
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，点位椭圆的左顶点，点、在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率等于　　．
【解答】解：是与轴重合的，且四边形为平行四边形，
，
则、两点的纵坐标相等，、的横坐标互为相反数，
、两点是关于轴对称的．
由题知：
四边形为平行四边形，则，
可设，，，
代入椭圆方程解得：，
设为椭圆的右顶点，由于，四边形为平行四边形，
则，
对点：，解得，
根据
得，即有，
，即．
故答案为：．
16．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点，，若，则该双曲线的离心率为　　．
【解答】解：法1（代数法）：因为与相切，
所以直线斜率，
由对称性不妨考虑情形．
又双曲线的渐近线方程为，则垂直其中一条渐近线，
故与一渐近线的交点，即为该渐近线与在第二象限的交点，
可得，如图，
设中点为，由，
即，则有，又，
故，且为的中点，
所以为的中点，则，三等分，
由，得，
由在另一渐近线上，
即有，则，
故离心率．
法2（几何法）：设，则，
由题意易知，，
在中，，又，
则有，即，
故离心率．
法3（参数方程法）：直线的参数方程为为参数），
代入，可得对应的参数
又对应的参数，由及与相切，
可知，即，
则，则有，故离心率．
故答案为：．
17．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线的半焦距，点是圆上一点，线段交双曲线的右支于点，且有，，则双曲线的离心率是　　．
【解答】解：由，，可得，，
由双曲线的定义可得，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
即为，
则．
故答案为：．
18．设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于　或　．
【解答】解：，
，
①若圆锥曲线是椭圆，则，
；
②若圆锥曲线是双曲线，
则．
故答案为：或．
19．已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是　　．
【解答】解：，可得，
在中，，
，
在直角三角形中，，可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，
，
．
故答案为：．
（北京）股份有限公司第22讲 轨迹方程
一．选择题（共5小题）
1．过点斜率为正的直线交椭圆于，两点．，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，，则外接圆半径的最小值为　　
A． B． C． D．
2．方程表示　　
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
3．若动圆过定点且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹为　　
A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线一支
4．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
5．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点轨迹方程是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共7小题）
6．两定点的坐标分别为，，动点满足条件，动点的轨迹方程是　　．
7．设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为　　
8．已知点，，圆，点是圆上一动点，的垂直平分线与交于点，则点的轨迹方程为　　．
9．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则的方程为　　．
10．方程所表示的曲线是　 　．
11．若动点到定点的距离是它到直线的距离的倍，则动点的轨迹方程是　　．
12．在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点、，且、，、分别为椭圆的左、右顶点，则直线与的交点所在的曲线方程为　　．
三．解答题（共28小题）
13．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线，求的方程，并说明是什么曲线．
14．已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5．
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，线段，点为上一点，点，求的中点的轨迹方程．
15．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程．
16．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求直线被曲线截得的弦的中点坐标．
17．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）若直线与曲线相切，求的值．
18．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．求的方程．
19．已知圆的方程为，定点，求过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程．
20．已知两圆，．动圆与两圆都相切，求动圆圆心的轨迹方程．
21．在三角形中，，的内切圆与相切于点，，求顶点的轨迹方程．
22．直角三角形的直角顶点为动点，，，，作于，动点满足，当动点运动时，点的轨迹为曲线，
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）求曲线的轨迹方程；
（3）设直线与曲线交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求的最大值．
23．动点到点的距离与它到直线的距离相等，求动点的轨迹方程．
24．若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程．
25．设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．求点的轨迹方程．
26．在平面直角坐标系中，点，为动点，，分别为椭圆的左、右焦点．已知△为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．
27．设，点的坐标为，点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足，求点的轨迹方程．
28．已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线，分别交于，两点，交的准线于，两点．
（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；
（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．
29．已知点，，动点满足为和的等差中项．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过作直线交于，两点，求的中点的轨迹方程．
30．已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．求的轨迹方程．
31．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知直线的参数方程为为参数，，点，并且直线与曲线交于，两点，求．
32．如图，椭圆，，为常数），动圆，．点，分别为的左，右顶点，与相交于，，，四点．
（Ⅰ）求直线与直线交点的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆与相交，，，四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值．
33．已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且．
（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；
（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程．
34．已知椭圆与抛物线有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，为弦的中点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一定点，使得的长度为定值？若存在，则求出点，若不存在，请说明理由．
35．已知椭圆的离心率为，椭圆的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求的面积；
（Ⅲ）求证：直线与直线的交点的纵坐标为定值．
36．已知椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点，，交轴于点，为线段的中点，且为垂足．问：是否存在定点，使得的长为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
37．已知椭圆的左、右焦点分别为，，．点在上，，△的周长为，面积为．
（1）求的方程．
（2）设的左、右顶点分别为，，过点的直线与交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则____．（从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答）．
①求直线和交点的轨迹方程；
②是否存在实常数，使得恒成立；
③过点作关于轴的对称点，连结，得到直线，试探究：直线是否恒过定点．
38．已知抛物线，直线交于抛物线于、两点，．
（1）求抛物线的方程．
（2）互相垂直的直线、分别切抛物线于、两点，试求两切线交点的轨迹方程．
39．已知椭圆的离心率为，其中一个顶点是双曲线的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，过点，分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．
40．为一定点，是轴上的一动点，轴上的点满足，若点满足，求：
（1）点的轨迹曲线的方程；
（2）曲线的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹．
（北京）股份有限公司第4讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题
一．选择题（共10小题）
1．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是　　
A． B． C． D．2
2．如图，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为　　
A． B．
C． D．以上三种可能都有
3．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则等于　　
A． B． C． D．
4．设，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，已知是和的等差中项，且，则该双曲线的离心率为　　
A．1 B． C． D．
5．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
6．设，是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为　　
A．定值
B．定值
C．定值
D．不确定，随点位置变化而变化
7．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线与椭圆相切于点，椭圆的焦点为，，由光学性质知直线，与的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为　　
A． B． C． D．
8．根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知，分别是双曲线的左、右焦点，若从点发出的光线经双曲线右支上的点，反射后，反射光线为射线，则的角平分线所在的直线的斜率为　　
A． B． C． D．
9．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
10．椭圆的右焦点为关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是　　
A． B． C． D．
二．多选题（共1小题）
11．已知，分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线，则下列正确的是　　
A．双曲线的方程为
B．
C．
D．点到轴的距离为
三．填空题（共7小题）
12．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则　　；点的坐标为　　．
13．已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 　　．
14．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　　．
15．设抛物线的焦点为，已知，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　 　．
16．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　　．
17．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点，点的坐标为，为的平分线，则　　．
18．如图，从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点，处的切线垂直于的角平分线．已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是　　．
四．解答题（共8小题）
19．已知椭圆的左右焦点分别为：，，为椭圆上除长轴端点外任意一点，△周长为12．
（1）求椭圆的方程；
（2）作的角平分线，与轴交于点，求实数的取值范围．
20．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点处的切线与直线、的夹角相等．已知，垂足为，，，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图的平面直角坐标系．
（1）求截口所在椭圆的方程；
（2）点为椭圆上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．
①是否存在，使得到和到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由；
②若的角平分线交轴于点，设直线的斜率为，直线、的斜率分别为，，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
21．在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线，四点，，，，，中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上．
求椭圆的方程；
（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于，两点，使得，再过作直线．证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
22．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为．为抛物线的焦点，且，
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过定点的直线与椭圆交于，两点在，之间），设直线的斜率为，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
23．在①离心率，②椭圆过点，③△面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，已知椭圆的短轴长为，_____．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．
24．已知，，是椭圆上的三个点，是坐标原点．
（Ⅰ）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由．
25．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，和，两点，且．（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线的准线为，焦点为，点为直线上的动点，且点的横坐标为，试讨论当取不同的值时，圆心在抛物线上，与直线相切，且过点的圆的个数．
26．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
（北京）股份有限公司第6讲 破解离心率问题之建立齐次式和几何化
一．选择题（共9小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，且，若垂直于轴，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
3．设，分别是双曲线的左、右焦点．圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为　　
A． B． C． D．
4．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
5．设圆锥曲线的两个焦点分别为，．若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于　　
A．或 B．或 C．2或 D．或
6．设，分别是椭圆的左、右焦点，轴，若，，成等差数列，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
7．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
8．如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
9．已知在菱形中，，曲线是以，为焦点，且经过，两点的椭圆，其离心率为；曲线是以，为焦点，渐近线分别和，平行的双曲线，其离心率为，则　　
A． B． C．1 D．
二．多选题（共1小题）
10．已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是　　
A．椭圆的离心率
B．双曲线的离心率
C．椭圆上不存在点使得
D．双曲线上存在点使得
三．填空题（共9小题）
11．已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为　　．
12．如图，在平面直角坐标系中，，，，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点为，且则该椭圆的离心率为　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知，，分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率是　　．
14．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，，分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，且直线的斜率为，则该椭圆的离心率为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，点位椭圆的左顶点，点、在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率等于　　．
16．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点，，若，则该双曲线的离心率为　　．
17．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线的半焦距，点是圆上一点，线段交双曲线的右支于点，且有，，则双曲线的离心率是　　．
18．设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于　　．
19．已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是　　．
（北京）股份有限第21讲 向量的转换与计算
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．是抛物线的焦点，过作两条斜率都存在且互相垂直的直线，，交抛物线于点，，交抛物线于点，，则的最小值是　　
A．8 B． C．16 D．
【解答】解：抛物线的焦点，设的方程：，的方程，
，，，，，，，，
由，消去得：，
，．
由，消去得：，
，，（9分）
，
．
当且仅当，即时，有最小值16，（12分）
故选：．
二．解答题（共14小题）
2．已知抛物线的准线为，焦点为，的同心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且．
（Ⅰ）求和抛物线的方程；
（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的相交线、，设与抛物线相交于点、，与抛物线相交于点、，求的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）准线交轴于，在中，
，，，
抛物线方程是，
在中，，，
，
的方程是．
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，
由，得：，
设，，，，则，是上述方程的两个实根，
，，
，的斜率为，
设，，，，则同理得，，
．
当且仅当时，即时，
取最小值16．
3．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．
（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与抛物线相交于点，，与抛物线相交于点，，求的最小值．
【解答】解：（1）将代入，得，解得．
故所求抛物线的方程为，其准线方程为．
（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，
由得．
直线与抛物线有公共点，
△，解得，
由直线与的距离，可得，解得．
，，
符合题意的直线存在，其方程为．
（3）由题意可知：设，，，，
设直线的斜率为，则的方程为，联立，得，
，．
，直线的斜率为，方程为，设，，，．
联立，化为，
，．
，当且仅当时取等号．
当时，的最小值为16．
4．已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为2，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线、，设与抛物线相交于点、，与抛物线相交于点、．
（1）求抛物线的方程；
（2）求的最小值．
【解答】解：（1）点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为2，
，
抛物线的方程为；
（2）设，，，，，，，
由题意知，直线的斜率存在且不为零，设为，则的方程为．
由，得．
，．
，直线的斜率为，同理可得，．
，
当且仅当，即时，的最小值为16．
5．如图，已知直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，交于点，，抛物线的焦点为．
（1）求的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与曲线相交于点，，与曲线相交于点，，求的最小值．
【解答】解：（1）设，，，，由，得
由已知得直线的方程是即，
则有，即①
由与消去，得②
所以③
把③代入①得，解得
当时方程②成为，显然此方程有实数根
所以；
（2）由（1）知抛物线方程为
由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．
得．
设，，，，则，是上述方程的两个实根，于是
，，
则，，，
，的斜率为．
设，，，，则同理可得，，，．
．
当且仅当，即时，取最小值16．
6．已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交于点，，求的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设动点的坐标为，由题意得，
化简得．
当时，；当时，，
所以动点的轨迹的方程为和．
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率存在且不为零，设为，则的方程为．
由，得．
设，的坐标分别为，，，，则，．
，直线的斜率为．
设，，，，则同理可得，．
故
，
当且仅当，即时，的最小值为16．
7．已知椭圆的方程为，为左焦点，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与椭圆相交于点，．与椭圆相交于点．，求的最小值．
【解答】解：（1）椭圆的左焦点
，右焦点
点在椭圆上
，
椭圆的方程
（2）设直线的方程
由可得
设，，，，则，
，
直线的方程
设，，，，则，
，，，，
同理
当且仅当即时取得最小值
8．设定点，动圆过点且与直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交于点，，求的最小值．
【解答】解：（1）定点，动圆过点且与直线相切，
依题意知，点的轨迹是以为焦点，以直线经为准线的抛物线，
动圆圆心的轨迹的方程为．
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，
则的方程为．
由，得．
设，，，，则有，．
，的斜率为．
设，，，，则同理可得，．
故
．
当且仅当，即时，
取得最小值16．
9．已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线、，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求的最小值．
【解答】解：设椭圆的标准方程为，焦距为，
则由题意得，，
，，
椭圆的标准方程为．（4分）
右顶点的坐标为．
设抛物线的标准方程为，
，
抛物线的标准方程为．（6分）
（Ⅱ）设的方程：，的方程，，，，，，，，，
由消去得：，
，．
由消去得：，
，，（9分）
．
当且仅当即时，有最小值16．（13分）
10．已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是过原点的直线，是与垂直相交于点，与椭圆相交于，两点的直线，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆的方程为，
、、构成等差数列，
可得，即，
又，则，
可得椭圆的方程为；
（Ⅱ）设，两点的坐标分别为，，，，
假设存在直线使成立，
（ⅰ） 当与轴垂直时，满足的直线的方程为或，
当时，，，的坐标分别为，，．
，
当时，同理可得，
即此时的直线不存在；
（ⅱ） 当与轴不垂直时，设的方程为，
由与垂直相交于点且，得，
因为，，
，
可得，
将代入椭圆方程，得，
由根与系数的关系得，，
，即为，
即，矛盾，故此时的直线也不存在．
综上可知，使成立的直线不存在．
11．如图，已知点和圆，是圆的直径，从左到右、和依次是的四等分点，（异于，是圆上的动点，，交于，，直线与交于，为定值．
（1）求点的轨迹曲线的方程及的值；
（2）设是过原点的直线，直线与垂直相交于点，与轨迹相交于，两点，且．是否存在直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意，，，，
设，，，则，，
直线与交于，故，
①且，②
①②相乘得，
又点是圆上的动点，故，（4分）
要使为定值，则，解得．
此时．
即时，点的轨迹曲线的方程为．
（2）设，两点的坐标分别为，，，，假设使成立的直线存在，
（ⅰ）当不垂直于轴时，设的方程为，
由与垂直相交于点且．得，即
，．
即，
将代入椭圆方程，得
由求根公式可得，④⑤
，
将④，⑤代入上式并化简得⑥
将代入⑥并化简得，矛盾，即此时直线不存在；
（ⅱ）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或，
当时，，，的坐标分别为，，，
，，
当时，同理可得，矛盾，即此时直线也不存在
综上可知，使成立的直线不存在．
12．椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是过原点的直线，直线与垂直相交于点且与椭圆相交于、两点，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆方程为，
则，设右焦点，
则，解得，
则，
则椭圆的方程为；
（2）设，两点的坐标分别为，，，．
假设使成立的直线存在．
①当不垂直于轴时，设的方程为，
由与垂直相交于点且．
得，即．①
，．
，
即有，
即．
将代入椭圆方程，
得．
与有两个交点，
，，．②
．③
将②代入③得．
化简，得．④
，
由①、④得，不成立．
②当垂直于轴时，
则为轴，点坐标为，，．
，，
，不合题意．
综上，不存在上述直线使成立．
13．如图，已知点和圆，是圆的直径，从左到右和依次是的四等分点，（异于、是圆上的动点，，交于，，直线与交于，为定值．
（1）求的值及点的轨迹曲线的方程；
（2）设是过原点的直线，是与垂直相交于点、与轨迹相交于，两点的直线，，是否存在上述直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）易得，，，设，，，则，
直线与交于，故，①且，②．
①②相乘得，
又点是圆上的动点，故即，
要使为定值，则，解得，
此时
即时，点的轨迹曲线的方程为
（2）设，两点的坐标分别为，，，，假设使成立的直线存在，
（ⅰ）当不垂直于轴时，设的方程为，
由与垂直相交于点且，得，即，
，，
即，
将代入椭圆方程，得
由求根公式可得，④⑤
将④，⑤代入上式并化简得⑥
将代入⑥并化简得，矛盾，即此时直线不存在，
（ⅱ）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或，
当时，，，的坐标分别为，
，
；
当时，同理可得，矛盾，即此时直线也不存在
综上可知，使成立的直线不存在．
14．已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是过原点的直线，是与垂直相交于点、与椭圆相交于，两点的直线，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，
由题意知
所以，又，因此
故椭圆的标准方程为（6分）
（Ⅱ）设，两点的坐标分别为，，，，
假设使成立的直线存在，
（ⅰ）当不垂直于轴时，设的方程为，
由与垂直相交于点且得，即
，，
，
即
将代入椭圆方程，得
由求根公式可得，
因此
将代入上式并化简得，
即此时直线不存在；（10分）
（ⅱ）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或，
当时，，，的坐标分别为，
，
当时，同理可得，矛盾，即此时直线不存在
综上可知，使成立的直线不存在．（14分）
15．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知，，
所以，
故直线斜率的取值范围是：；
（Ⅱ）由知，，
所以，，
设直线的斜率为，则，即，
则，，
联立直线、方程可知，，
故，，
又因为，
故，
所以，
令，，
则，
由于当时，当时，
故，即的最大值为．
（北京）股份有限公司第8讲 破解离心率问题之椭双共焦定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则取最大值时的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，
由椭圆的定义得①，
由双曲线的定义得②，
①②得，，
①②得，，
由余弦定理可得，
所以③，
设，，
所以，
当即时，最大值为，
此时，
．
故选：．
2．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，则　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由椭圆与双曲线的几何性质可得，，
则，
所以．
故选：．
3．已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，分别为、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第二象限的公共点为点，且满足，则的值为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：因为，设，，，
设双曲线的实半轴长为，半个焦距，
椭圆的长半轴长为，半个焦距为，
由椭圆，双曲线的定义可得，
，
所以椭圆的离心率，
所以双曲线的离心率，
所以，
故选：．
4．已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：由题意可得双曲线与椭圆的焦距相同，设焦点在轴上，
设椭圆的方程，
双曲线的方程为：，
由题意可得，
设，，，
在△中，由余弦定理，
在双曲线中，，
椭圆中，，
所以，
可得，
因为足，，所以，
可得，
所以，所以，
故选：．
5．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，点是与的一个公共点，△是一个以为底的等腰三角形，，的离心率是，则的离心率是　　
A． B． C． D．3
【解答】解：根据题意知的离心率，
又，
，
双曲线的离心率，
故选：．
6．已知椭圆与双曲线，有相同的左右焦点，．若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．以上答案都不对
【解答】解：设椭圆与双曲线的焦距为，再设，
由题意可得，，，
，，
，
，
，即．
则．
令，则．
函数在上单调递增，
可得（2）．
的取值范围是．
故选：．
7．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线的一个公共点为点，且满足，则的值为　　
A．3 B． C．7 D．
【解答】解：由题意可得：．
故选：．
8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为与，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，由椭圆的定义可得，
由双曲线的定可得，
解得，，
由，可得，
即，
由，，可得，
由，可得，
可得，即，
则，
可设，则，
由在递增，可得，．
则，．
故选：．
9．已知椭圆与双曲线的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线，的离心率分别为，，则的值为　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：椭圆与双曲线的焦点重合，
可得，即，①
若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得，②
由①②可得，，
则．
故选：．
10．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，分别为，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第一象限的公共点满足，则的值为　　
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：如图，
，
，得，，得．
设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
则，即，得；
，即，得．
．
故选：．
11．已知椭圆与双曲线，有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，由椭圆的定义可得，
由双曲线的定可得，
解得，，
由，可得，
即，
由，，可得，
由，可得，
可得，即，
则，
可设，则，
由在递增，可得，．
故选：．
二．多选题（共2小题）
12．已知椭圆与双曲线的焦点重合，，分别为，的离心率，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意椭圆与双曲线的焦点重合，
可得，即，
又，，则，
由
，
则．
故选：．
13．已知椭圆与双曲线，有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有　　
A．
B．△的面积
C．若，则
D．若，则
【解答】解：由是，的一个交点，所以①，②，
①②得，所以，故正确；
设，由椭圆焦点三角形面积公式可得，由双曲线焦点三角形面积公式可得，
所以，所以，故正确；
若，则有，①②得，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以，故正确；
若，可得，
所以可得，
所以，所以，故错误；
故选：．
三．填空题（共11小题）
14．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为 　　．
【解答】解：设，，
由椭圆的定义得①，
由双曲线的定义得②，
①②得，，
①②得，，
由余弦定理可得，
所以③，
设，，
所以，
当即时，最大值为，
此时，
．
故答案为：．
15．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，若，则的最小值为 　　．
【解答】解：由已知可设，，且，结合椭圆与双曲线的定义可知：
，，所以，，
设焦距为，则在△中，由余弦定理得
，两边同除以得，即，当且仅当，即时取等号，
故所求的最小值为．
故答案为：．
16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且两曲线在第一象限的交点为，若，且，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：令，由椭圆的方程，可得，
设，
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
又，
所以双曲线的离心率为．
故答案为：．
17．已知椭圆与双曲线的一条渐近线的交点为，若点的横坐标为1，则双曲线的离心率等于　　．
【解答】解：当时，代入椭圆方程：，解得：，假设在第一象限，则，
双曲线（的渐近线方程，则在直线，则，
双曲线的离心率，
双曲线的离心率为：，
故答案为：．
18．已知椭圆及双曲线，均以为右焦点且都经过点，则椭圆与双曲线的离心率之比为　　．
【解答】解：由题意可得，，设都经过点为点，左、右焦点分别为、，则，，，
，又，，
，
，，
又，，
椭圆与双曲线的离心率之比为，即，
故答案为：．
19．已知椭圆与双曲线，有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是　，　．
【解答】解：设，
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
可得，
则，即，
由，可得，
且，
则，
令，即，可得，
可得，
由，可得，
则的取值范围是，．
故答案为：，．
20．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其左，右焦点分别为、，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，且，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：如图：在椭圆中，，
由椭圆定义得，
在双曲线中，
所以双曲线实轴长为：，实半轴长为，
所以双曲线的离心率为．
故答案为：．
21．已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则椭圆的离心率为　　．
【解答】解：设椭圆，双曲线，依题意，且，
，则，①由圆锥曲线定义，得，且，
，．在△中，由余弦定理，得：
，，
则，，双曲线的离心率分别为．
且，
则椭圆的离心率为：．
故答案为：．
22．已知椭圆与双曲线共焦点，、分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1．若，则该双曲线的离心率为　　．
【解答】解：如图，
如图，由椭圆定义，，①
由双曲线定义，，②
联立①②，得，，
在△中，由，
得，即，则．
．
由，得，
则，即，
解得，
双曲线的离心率大于1，
该双曲线的离心率为．
故答案为：．
23．已知椭圆与双曲线的离心率分别为，，且有公共的焦点，，则　0　，若为两曲线的一个交点，则　　．
【解答】解：由题意可知双曲线的焦点在轴上，故而椭圆的焦点在轴上，
，即．
椭圆的离心率，双曲线的离心率，
．
在椭圆上，，
又在双曲线上，，
不妨设，则，，
．
故答案为：0，3．
24．已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，且在第一象限交点为，且．若与的离心率分别为、，则的最大值为　　．
【解答】解：设，，则，
，，
，，
，在△中，由余弦定理可得：
，
化为，
由柯西不等式得
（或采用三角换元求解也行）
故答案为：
（北京）股份有限公第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结
参考答案与试题解析
一．解答题（共19小题）
1．如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧．记，的面积为，．
（1）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积；
（2）求的最小值及此时点的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得，解得，所以抛物线的方程为，
由已知设直线的方程为，
与抛物线联立可得，，所以，
则线段，则以线段为直径的圆的半径为8，故圆的面积为；
（2）设，，，，，，重心，，
令，，则，由直线过点，故直线的方程为，代入，可得，
所以，即，所以，
又由于，，重心在轴上，故，
所以，，
所以直线的方程为，可得，，
由于点在焦点的右侧，故，
故，
令，则，
所以，
当且仅当，即时，取得最小值，此时．
2．如图，已知点为抛物线的焦点．过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．
（Ⅰ）求的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求的最小值及此时点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：，
，
抛物线的准线方程为；
（Ⅱ）设，，，，，，重心，，
令，，则，
由于直线过，故直线的方程为，
代入，得：，
，即，，，
又，，重心在轴上，
，
，，，，
直线的方程为，得，，
在焦点的右侧，，
，
令，则，
，
当时，取得最小值为，此时．
3．已知椭圆的右焦点为，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点（均异于，直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；
（3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，是否存在锐角，使得成立？请说明理由．
【解答】解：（1）依题意，得，且，
，，
椭圆的方程为．
（2）证法
由椭圆的方程可知．
若直线的斜率不存在，则直线，
，，
直线、的方程分别为、，易得，，
、两点的纵坐标之积为．
若直线的斜率存在，则可设直线，
联立椭圆的方程，得．
设，，，，
则，，
直线的方程为，点的纵坐标．
同理，点的纵坐标．
所以．
综上，、两点的纵坐标之积为定值．
证法2：设直线的方程为，
联立椭圆的方程，得．
设，，，，
则，，
直线的方程为，点的纵坐标．
同理，点的纵坐标．
所以，
故、两点的纵坐标之积为定值．
证法3：由椭圆的方程可知．
设，，则直线的方程为，
由联立椭圆的方程，得，
由韦达定理可得，即．
，
于是点的坐标为，
同理，点的坐标为，
，
、、三点共线，，
故，
化简得．
即、两点的纵坐标之积为定值．
证法4：由椭圆的方程可知．
若直线的斜率不存在，则直线，
，，
直线、的方程分别为、．可得，，
、两点的纵坐标之积为．
若直线的斜率存在，则可设，，
这里，，，
，，
、、三点共线，，故，
化简整理得，注意到直线的斜率存在，，
于是便有，化简得，
又直线的方程为，可得点的纵坐标，
同理，点的纵坐标，
所以，．
即、两点的纵坐标之积为定值．
（3）不存在．
理由如下：
显然，抛物线的方程为．
方法1：设，，
则直线方程可为，
由可得
故（注：这里表示点的纵坐标，余类似），
，．
重心在轴上，，即，，
进而，．
进一步可得直线，，，
又在焦点的右侧，，即．
因此．
当（注意到，即时，取等号，即有（※）．
若存在锐角，使得成立，则，即，
这与（※）矛盾．
因此，不存在锐角，使得成立．
方法2：设，，，，，
，，三点共线，，即，即，
同理可得，
为的重心，，
，且．
，
．
，
设，则，不妨设，
在焦点的右侧，，
而，即，
，进而，即．
因此，，
当且仅当，即时，取等号，即有（※）．
若存在锐角，使得成立，则，
即与（※）矛盾，
因此，不存在锐角，使得成立．
4．已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线的方程为．以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为，过原点的动直线与椭圆交于、两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点为椭圆的左顶点，，求的取值范围；
（Ⅲ）若点满足，求证为定值．
【解答】（Ⅰ）解：双曲线的焦距为，，
，①
一条渐近线的方程为，
，②
由①②解得，，
椭圆的方程为．
（Ⅱ）解：点为椭圆的左顶点，，，
设，，由，得，，，
，解得，，，
设，，则，，
，
又，，，，
，
的取值范围是．
（Ⅲ）证明：由，知在线段垂直平分线上，
由椭圆的对称性知，关于原点对称，
①若、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，
此时
．
②当点，，不是椭圆的顶点时，设直线的方程为，
则直线的方程为，设，，
由，解得，，
，
用代换，得，
，
综上所述：．
5．已知椭圆的左右焦点分别为、，且经过点，为椭圆上的动点，以为圆心，为半径作圆．
（1）求椭圆的方程；
（2）若圆与轴有两个交点，求点横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）由椭圆定义得，（1分）
即，（3分）
．又，．（5分）
故椭圆方程为．（6分）
（2）设，，则圆的半径，（7分）
圆心到轴距离，（8分）
若圆与轴有两个交点则有即，（9分）
化简得．（10分）
为椭圆上的点
，（11分）
代入以上不等式得，
解得．（12分）
，（13分）
．（14分）
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆上的点满足，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）作直线垂直于轴，交椭圆于点，，点是椭圆上异于，两点的任意一点，直线，分别与轴交于，两点，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）依题意得：，．
由椭圆定义知，
又，则，
在△中，，由余弦定理得：，
即，解得，
又，
故所求椭圆方程为．
（2）依题意得知：，两点关于轴对称，
设，，，，则，，
则，，
，同理，
又直线的方程为，
由得点的横坐标，
同理直线的方程为，
由得点的横坐标，
，为定值．
7．已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是椭圆上位于第一象限内的动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．
【解答】解：（1）因为椭圆焦点坐标为，且过点，
所以，所以，（3分）
从而，
故椭圆的方程为． （6分）
（2）设点，，，，，
因为，且，，三点共线，所以，解得，
所以，（8分）
同理得，（10分）
因此，
，（12分）
因为点，在椭圆上，所以，即，代入上式
得：．
四边形的面积为2． （14分）
8．在平面直角坐标系中，椭圆过点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）点，是单位圆上的任意一点，设，，是椭圆上异于顶点的三点且满足，求证：直线与的斜率乘积为定值．
【解答】解：（1）由题意得，，解得，．
故椭圆方程为；
证明：（2）令，，，，
则由，可知，，
故，
整理得．
又，，，
故，
故．
9．在平面直角坐标系中，椭圆过点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）点，是单位圆上的任意一点，设，，是椭圆上异于顶点的三点且满足，探讨是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，解得，．
椭圆的方程为；
（2）是定值，等于9．
证明如下：令，，，，
由，得，，
故，
整理得：，
又，，，故，
得．
．
故，
则．
故是定值，等于9．
10．定义：在平面内，点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离．在平面直角坐标系中，已知圆及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，记点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过原点的直线不与坐标轴重合）与曲线交于不同的两点，，点在曲线上，且，直线与轴交于点，设直线，的斜率分别为，，求．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知：点在圆内且不为圆心，圆及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，故，
所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆，（2分）
设椭圆方程为，则，
所以，故曲线的方程为．（5分）
（Ⅱ）设，，，，则，，则直线的斜率为，又，所以直线的斜率是，记，设直线的方程为，由题意知，，由得：．，，由题意知，，
所以，（9分）
所以直线的方程为，令，得，即，．
可得．（11分）
所以，即．（12分）
（其他方法相应给分）
11．已知椭圆的离心率为，且过点，动直线交椭圆于不同的两点，，且为坐标原点）
（1）求椭圆的方程．
（2）讨论是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知，
所以，整理，得，①
又点在椭圆上，所以有，②
由①②联立，解得，，
故所求的椭圆方程为．
（2）为定值，理由如下：
设，，，，由，
可知．
联立方程组，消去，化简得，
由△，
得，
由根与系数的关系，得，，③
由，，
得，
整理，得．
将③代入上式，得．
化简整理，得，即．
12．已知，分别是椭圆的左、右焦点，，分别为椭圆的上、下顶点，到直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围；
（Ⅲ）过椭圆的右顶点的直线与椭圆交于点（点异于点，与轴交于点（点异于坐标原点，直线与交于点．证明：为定值．
【解答】解：（Ⅰ），分别是椭圆的左、右焦点，
，分别为椭圆的上、下顶点，到直线的距离为．
，，，解得，
椭圆的方程为．
（Ⅱ）的斜率不存在时，，解得，，
；
的斜率存在时，设直线，代入椭圆方程可得
，
设，，，，则，，
，，
，．
综上可得的取值范围是，；
（Ⅲ）证明：椭圆的右顶点，，
设直线，，则，
联立，得，
，
，
设点，直线的方程为，、、三点共线，
则有，，
，
，
又，，
将代入，得：，，
，，．
即为定值1．
13．已知椭圆经过点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于异于点的两点、，且直线与直线的斜率之和为，则直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆经过，所以，①
因为离心率为，所以，②
又，③
由①②③，解得，，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）设，，，，
联立，得，
，，则，，
因为直线与直线的斜率之和为，
所以，所以，①
所以，
把①代入，得，
所以，
化简得，
因为直线不过点，
所以，即，所以，
所以直线方程为，
所以直线过定点．
14．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线上的点和椭圆上点的最小距离为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的上顶点为，点，是上的不同于的两点，且点，关于原点对称，直线，分别交直线于点，．记直线与的斜率分别为，．
①求证：为定值；
②求的面积的最小值．
【解答】解：（1）由题知，又，
，．
故椭圆的方程为；
（2）①设，，则，
点，关于原点对称，则，，
；
②直线的方程为，令，得，
直线的方程为，令，得，
，
由，，，
即的最小值为，
的面积的最小值为．
15．在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为．设过点的直线、与椭圆分别交于点，、，，其中，，．
（1）设动点满足，求点的轨迹；
（2）设，，求点的坐标；
（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．
【解答】解：（1）设点，则：、、．
由，得，化简得．
故所求点的轨迹为直线．
（2）将分别代入椭圆方程，以及，，
得、，
直线方程为：，即，
直线方程为：，即．
联立方程组，解得：，
所以点的坐标为．
（3）点的坐标为
直线方程为：，即，
直线方程为：，即．
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，，
解得：、．
（方法一）当时，
直线方程为：，
令，可得，
即为，
令，解得：．此时必过点；
当时，直线方程为：，与轴交点为．
所以直线必过轴上的一定点．
（方法二）若，则由及，得，
此时直线的方程为，过点．
若，则，直线的斜率，
直线的斜率，得，所以直线过点．
因此，直线必过轴上的点．
16．已知是椭圆的左顶点，斜率为的直线交于、两点，点在上，且．
（1）当时，求的面积；
（2）当时，求的值．
【解答】解：（1）设，，由题可知，，
因为，可得，
故直线的方程为，
联立，得，
解得或，
所以，
所以．
（2）由题意可得，
设直线的方程为，
联立，得，
所以，即，
所以，
同理可设直线的方程为，
解得，
由，得，
即，
即，
因为，所以，
所以．
17．已知椭圆的离心率为，右焦点．过点作斜率为的直线，交椭圆于、两点，是一个定点．如图所示，连、，分别交椭圆于、两点（不同于、，记直线的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在直线的斜率变化的过程中，是否存在一个常数，使得恒成立？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设，由题意，．解得，．
椭圆的方程为．（5分）
（Ⅱ）存在常数．
设，，，，，，，．
联立，可得
于是，．
直线的斜率，联立，可得
则，进一步可得．
将代入，则
同理可得．
则，
由，两式相减可得，
综上可知，存在常数．（15分）
18．已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点斜率为的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，延长，分别与椭圆交于、两点，直线的斜率为，求的值及直线所经过的定点坐标．
【解答】解：（1）依题意，得，解得，
在椭圆中，．
椭圆的标准方程为：（4分）
（2）设，，，，，，，，显然，，
故直线的方程为，代入椭圆方程，消去得：，由韦达定理得：，
代入直线的方程得，
，，
，则，即，，同理得，
显然，两点坐标均满足直线的方程，
所以直线的方程为，
，且直线过定点，（12分）
19．已知椭圆的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得，，又，由此解得，．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）点在以为直径的圆内．证明如下：
方法1：由（Ⅰ）得，．设，．
点在椭圆上，．　①
又点异于顶点、，．
由、、三点共线可以得．
从而，，．
．　②
将①代入②，化简得．
，，于是为锐角，从而为钝角，
故点在以为直径的圆内．
方法2：由（Ⅰ）得，．设，，，，
则，，又的中点的坐标为，
依题意，计算点到圆心的距离与半径的差
　③
直线的方程为，直线的方程为，
而两直线与的交点在直线上，
，即　④
又点在椭圆上，则，即　⑤
于是将④、⑤代入③，化简后可得．
（北京）股份有限公司第24讲 定值问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共19小题）
1．已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，且点在轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线”交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点，的长度与、两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线的类似的正确命题，并加以证明．
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可设双曲线的方程为
点，且点在轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点
双曲线的一个焦点为可得的另一个焦点为（1分）
由（3分）
，又，所以（4分）
双曲线的方程为
（Ⅱ）关于抛物线的类似命题为：过抛物线的焦点作与轴不垂直的任意直线交抛物线于点，两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，定值是2（6分）
证明如下：由于直线与轴不垂直，可设直线的方程为
联立方程可得
由题意与有两个交点，，则，△
设，，，
则，，
线段的中点的坐标（8分）
的垂直平分线的方程为
令可得，即，
（9分）
（10分）
（Ⅲ）过圆锥曲线的焦点作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线交于，两点，线段的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点，则为定值，定值是（其中 是圆锥曲线的离心率）（13分）
（法二）由题意可设双曲线的方程为（1分）
由已知可得（3分）
解可得，
双曲线的方程为（4分）
（Ⅱ），（Ⅲ）同法一
2．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点，且点在轴的射影恰为该椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．
【解答】解：中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点，
且点在轴的射影恰为该椭圆的一个焦点，
设椭圆方程为，
把代入，得：，
整理，得，
解得，或，
椭圆的方程为（4分）
“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，
线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是4” （5分）
证明如下：
由于与轴不垂直，可设直线的方程为
①当时，由．
依题意与有两个交点、，所以△．
设，，，，
则，，
所以线段的中点的坐标为，（7分）
的垂直平分线的方程为：．
令，解得，即，
所以．（9分）
又
，（10分）
所以．（11分）
②时，易得结论成立．
综上所述，结论成立．^（12分）
3．已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点．过点且平行于的直线交椭圆于点，，证明：为定值．
【解答】（1）解：方法一：由离心率，得：，
所以，
椭圆上一点，满足，
所以点为圆：与椭圆的交点，
联立方程组解得，
所以，
解得：，，所以柯圆的标准方程为：．
方法二：由椭圆定义；，
，
得到：，即，又，得，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）证明：设直线的方程为：．
得，
，
设过点且平行于的直线方程：，．
4．已知椭圆的离心率为，上顶点到直线的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆相交于，两点，且，求直线方程；（注意用两种方法作答，每种方法4分）
（3）设直线过点且与椭圆相交于，两点，不经过点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值．
【解答】解：（1）椭圆的离心率为，上顶点到直线的距离为3，
，解得，，
椭圆的方程为：．
（2）方法一（点差法），
设，，，，
，，
为的中点，
，
两式相减可得，
即，
，
，
直线方程为，即；
方法二：易知直线的斜率存在，不妨设为，
则直线的方程为，即，
由，消可得，
，
设，，，，
，，
为的中点，
，
，
解得，
即直线为，即；
（3）证明：易知直线斜率恒小于0，设直线的方程为，且，
设，，，．
由得，
，，
由（1）得，
，
，
，
，
（定值）．
5．已知椭圆，的离心率等于，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别为，，过点的动直线与椭圆相交于，两点，是否存在定直线，使得与的交点总在直线上？若存在，求出一个满足条件的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）椭圆，的离心率等于，点在椭圆上．
，解得，，．椭圆的方程为．
（2）当轴时，，，直线、的方程分别为，．
分别化为：，．联立解得．猜测常数．
即存在定直线，使得与的交点总在直线上．
证明：当直线的斜率存在时，设的方程为：，，，，，．
联立，化为．
，．
，，，三点，，共线．
，
由于，，，要证明三点，，共线．
即证明．即证明，
而，
成立．
存在定直线，使得与的交点总在直线上．
综上可知：存在定直线，使得与的交点总在直线上．
6．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，上顶点在直线上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于，两点，不是椭圆的顶点）．点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于，两点．
设直线，的斜率分别为，，问是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
求面积的最大值．
【解答】解：上顶点在直线上，，
由得，即，
椭圆的方程为；
存在实数，使得．
设，，，，则，
直线的斜率，
，直线的斜率，
设直线的方程为，由题意知，，
由得，
，
由题意知，，
直线的方程为，令，得，即，，
即，
存在常数使得结论成立．
直线的方程，
令，得，
即，由知，，
的面积为
由于，
当且仅当时等号成立，此时取得最大值，
面积的最大值为．
7．已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点，是右准线与轴的交点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上顶点的直线交椭圆另一点，交轴于点，若，求直线的方程；
（3）设点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，试问是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知，，由，解得，，
所以，
所以椭圆的方程：；
（2）由（1）知，设，，由，，，得，
所以，
代入椭圆方程得，解得．所以，，
因此的方程为：；
（3）设直线的方程，，，，，
联立方程组，消去，整理得：，
则，，，
所以，
直线的方程为，又，
令，则，
所以点的坐标为，
即，所以．
因此为定值，定值为0．
8．已知椭圆的右焦点为，过作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点，线段的中垂线交轴于点．
（1）若，求点坐标；
（2）问：是否为定值．
【解答】解：（1）椭圆的右焦点为，
过作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点，
，设，
由椭圆的第二定义得：，
解得，
，在椭圆上，
，解得，
，或，．
（2）设直线的方程为，不妨取，，
把，代入直线，得，
直线的方程为，
联立，得，
解得，，，，
，
的中点，，
直线的方程为，
令，得，，
，
，
故为定值．
9．已知椭圆的离心率为，、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一个动点，且△面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作与轴不垂直的直线交椭圆于，两点，第一象限点在椭圆上且满足轴，连接，，记直线，，的斜率分别为，，，探索是否为定值，若是求出；若不是说明理由．
【解答】解：（1）椭圆的离心率为，△面积的最大值为，
，解得，，
故椭圆的方程为．
（2）设，，，，
轴，
．
设直线的方程为，
联立直线与椭圆方程，化简整理可得，，
由韦达定理可得，，，
，
，
故为定值，定值为．
10．已知椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，且椭圆截直线所得弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围；
（3）试问在轴上是否存在一点，使得恒为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意椭圆过点，且椭圆的离心率为，
则满足方程组，解得，，
所以椭圆方程为，
（2）设直线的方程为，
联立方程，
消去整理得，△，
设点，，，，，，的中点，，
则，
所以，
的垂直平分线的方程为，
令得，
因为，
所以，
所以点的横坐标的取值范围为．
（3）假设存在，设，．
结合第（2）问知：，
所以
所以
设
则对任意恒成立，
所以，解得，，
所以存在点，使得为定值．
11．在平面直角坐标系中，椭圆．
（1）若椭圆的焦点在轴上，求实数的取值范围；
（2）若，
①是椭圆上的动点，点的坐标为，求的最小值及对应的点的坐标；
②过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：是定值，并求出这个定值．
【解答】解：（1）由题意得，，解得，
所以实数的取值范围是；
（2）因为，所以椭圆的方程为，
①设点坐标为，则，
因为点的坐标为，
所以，，
所以当时，的最小值为，此时对应的点坐标为；
②由，，得，即，
从而椭圆的右焦点的坐标为，右准线方程为，离心率，
设，，，，的中点，，
则，，
两式相减得，，即，
令，则线段的垂直平分线的方程为，
令，则，
因为，所以，
因为．
故，即为定值．
12．已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作斜率为，的椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求三角形面积的最大值；
（3）若，
①求证：直线经过定点，并求出定点的坐标．
②求证：点到直线，的距离的平方和为定值．
【解答】（1）解：由题意，且右焦点，
，
．
所求椭圆方程为：；
（2）解：设，，，，设方程为．
由，得．
，．
三角形面积
，当且仅当时，取等号；
（3）①证明：由题意，，令直线的斜率为，则的斜率为，
设，，直线的方程为，
代入椭圆方程并化简得．
，．
；
同理可得，．
直线的斜率，
直线的方程为，
即，此时直线过定点；
②证明：直线的方程为，即，
直线的方程为，即．
则点到距离的平方，到距离的平方．
点到直线，的距离的平方和为，为定值．
13．已知椭圆中，以为中点的弦所在直线的方程是．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，证明：为定值．
【解答】解：（1）设，，，，则，
两式相减得，，
所以，
即．
又所在直线的方程是，所以，，，
所以，．
故椭圆的方程是．
（2）设直线交椭圆于，，，，
由，消去得，．
因此，．
于是
．
故为定值，且为15．
14．如图，已知抛物线的焦点到直线的距离为．是过抛物线焦点的动弦，是坐标原点，过，两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于点．
（1）求证：．
（2）若动弦不经过点，直线与准线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得在弦运动时恒成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明：，
由到直线的距离为，
即，故抛物线方程为，
，依题意，设直线方程为，
联立得：，
设，，，，，，
，，
；
（2）将代入得，
，，
，
，
若有成立，则有解得，
故存在，使成立．
15．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且△的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．
【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2，
所以，解得，
由椭圆的定义可得△的周长为，
又因为△的周长为8，
所以，解得，
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）证明：设直线的方程为，
联立，得，
设，，，，
所以，，
设的中点为，，
所以，，
当时，线段的垂直平分线的方程为，
令，得，
所以，
，
所以，
当时，直线的方程为，
此时，，
所以，
综上，．
16．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；
（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标．
（4）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值．
【解答】解：（1）设圆的标准为，把代入得，
故圆的标准方程为．
（2）①不存在时，根据题意，直线的方程为：；
②存在时，设直线的方程为：，
联立方程，则，
所以，
根据弦长为8，可得，
所以，所以直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或；
（3）当不存在时，设，，
直线，的斜率之积为2，，
，即，
点在圆上，
，
联立，无解，舍去，
当直线存在时，设直线，，，，，
①
联立方程，
所以，代入①
得，
化简得，所以直线的方程为：，所以过定点．
（4）设直线，
联立方程，
所以点的坐标为，
同理点的坐标为．
所以，
故直线的斜率是定值，且为．
17．已知圆的方程为，直线，设点，．
（1）若点为，试判断直线与圆的位置关系；
（2）若点在圆上，且，，过点作直线，分别交圆于，两点，且直线和的斜率互为相反数．
①若直线过点，求直线的斜率；
②试问：不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【解答】解：（1）当点的坐标为时，直线的方程为，
圆心到直线的距离，
直线与圆相交．（5分）
（2）①由点在圆上，且，，得，即．
由题意，是圆的直径，所以点的坐标为，且．
又直线和的斜率互为相反数，所以（7分）
直线的方程为，由得：，
解得：或，所以
直线的斜率为．（10分）
②记直线的斜率为，则直线的方程为：．
将代入圆的方程得：，
化简得：，
是方程的一个根，，，
由题意知：，同理可得，，（13分）
，
，
不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率总为定值．（16分）
18．已知椭圆的左、右焦点分别是，，直线与椭圆交于点，两点，当，是椭圆的顶点，且△的周长为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，在直线上的射影分别为，，，连接，当变化时，证明直线与相交于一定点，并求出该定点的坐标；
（3）设椭圆的左顶点为，直线，与直线分别相交于点，，试问：当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【解答】（1）解：当时，直线的倾斜角为，
由题意得，解得，，，
椭圆的方程为；
（2）由（1）知，，直线的方程为，
设，，，，
由，可得．
．
当直线与轴垂直时，可得与的交点为的中点，
当直线与轴不垂直时，下面证明过定点，
由题意可知，
，，
．
，即过定点，
同理可证也过定点，
直线与相交于一定点，该定点的坐标为；
（3）由题意可得直线的方程为，
令，得点坐标为，
同理可得，
设为以为直径的圆上任意一点，则，
以为直径的圆的方程为．
令，则．
即，
即，
即．
即，解得或．
即以为直径的圆恒过与，
当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是定值6．
19．已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）给定点，若过点的直线与轨迹相交于，两点（均不同于点．证明：直线与直线的斜率之积为定值．
【解答】解：（1）如图，由已知，圆心，半径．
点在线段的垂直平分线上，则，
又，，
又，，
则动点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，
从而，
故所求轨迹方程为；
（2）由已知，直线过点，且不过点，则斜率存在，
设，将其代入得，则△成立，
设，，，，则，显然，
设直线与直线的斜率分别为，，
则，
即直线与直线的斜率之积为定值．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复
（北京）股份有限公司第5讲 利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题
一．选择题（共9小题）
1．设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点，分别为双曲线的左、右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于　　
A． B． C． D．
2．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
3．已知，为双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，△是等腰直角三角形，，则双曲线的离心率为　　
A．4 B． C．2 D．
4．已知，分别是双曲线的左右焦点，的右支上的一动点，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
5．已知双曲线的一条渐近线方程，且点为双曲线右支上一点，且，为双曲线左右焦点，△的面积为，且，则双曲线的实轴的长为　　
A．1 B．2 C．4 D．
6．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，，则的长为　　
A． B． C． D．
7．已知点和是椭圆上一动点，则的最大值　　
A． B． C． D．
8．已知为经过抛物线焦点的弦，为抛物线的准线与轴的交点，若弦的斜率为，则的正切值为　　
A． B． C．1 D．不存在
9．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比　　
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
10．已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为　　．
11．设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为　　，最小值为　　．
12．设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最小值为　 　．
13．已知点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的离心率为　　．
14．抛物线的过焦点的弦，为坐标原点，则以为直径的圆与轴有　 　个公共点；抛物线准线与轴交于点，若，　 　．
15．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比　　．
16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则　　．
17．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于、两点，若以为直径的圆过，则　　
三．解答题（共1小题）
18．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．
（北京）股份有限公司第20讲 共线向量问题
一．解答题（共18小题）
1．已知直线，椭圆．
（Ⅰ）若不论取何值，直线与椭圆恒有公共点，试求出的取值范围及椭圆离心率关于的函数关系式；
（Ⅱ）当时，直线与椭圆相交于，两点，与轴交于点．若，求椭圆的方程．
2．已知直线与椭圆相交于，两个不同的点，记直线与轴的交点为．
（Ⅰ）若，且，求实数的值；
（Ⅱ）若，求的值，及的面积．
3．已知直线与椭圆相交于、两个不同的点，记与轴的交点为．
（Ⅰ）若，且，求实数的值；
（Ⅱ）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．
4．在平面直角坐标系中，已知，若实数使得为坐标原点）
（1）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；
（2）当时，若过点的直线与（1）中点的轨迹交于不同的两点，在，之间），试求与面积之比的取值范围．
5．如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为．
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点、，且，求的取值范围．
6．如图，动点与两定点、构成，且直线、的斜率之积为4，设动点的轨迹为．
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点、，且，求的取值范围．
7．在平面直角坐标系中，已知的两个顶点，的坐标分别为，，且，所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设直线与轴相交于点，与曲线相交于不同的两点，（点在点和点之间），且，求实数的取值范围．
8．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设为原点，，，求证：为定值．
9．如图，已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设为原点，直线交轴于，直线交轴于．，，求证：为定值．
10．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线有两个不同的交点、，且直线交轴于，直线交轴于．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设为原点，，，试判断是否为定值，若是，求值；若不是，求的取值范围．
11．已知，直线，动圆与相外切，且与直线相切．设动圆圆心的轨迹为，过点的直线与曲线有两个不同的交点、．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设为原点，点，直线交轴于，直线交轴于，，，求证：为定值．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点，和，，且满足，，其中为正常数．当点恰为椭圆的右顶点时，对应的．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求与的值；
（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
13．已知椭圆的离心率为，右焦点为，过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于，，得到三角形的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，，的三个点都在椭圆上，设的中点为，且，试判断的面积是否为定值，并说明理由．
14．双曲线，已知，是双曲线上一点，、分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程．
15．已知圆，过点的直线交圆所得的弦长为，且与轴的交点为双曲线的右焦点，，双曲线的离心率为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点，作动直线交双曲线右支于、两点，点异于，，且在线段上运动，并满足关系，试证明点恒在一条直线上．
16．点在以，为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）过点作直线分别与双曲线渐近线相交于，两点，且，，求双曲线的方程；
（Ⅲ）若过点，为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．设直线，双曲线，双曲线的离心率为，与交于，两点，直线与轴交于点，且．
（1）证明：；
（2）求双曲线的方程；
（3）若点是双曲线的右焦点，，是双曲线上两点，且，求实数的取值范围．
18．，是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值．
（北京）股份有限公第18讲 向量的数量积问题
一．解答题（共16小题）
1．已知圆交抛物线的准线于，两点点在上方），且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求直线的斜率．
2．已知抛物线的焦点在轴上，顶点在原点且过点，过点的直线交抛物线于，两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点．
（1）求抛物线的方程；
（2）是否存在直线，使得以为直径的圆经过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
3．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．
（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与抛物线相交于点，，与抛物线相交于点，，求的最小值．
4．已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于，两点（不同于点，直线，分别交直线于点，
（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；
（2）已知为原点，求证：为定值．
5．已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．
（1）分别求抛物线和椭圆的方程；
（2）经过，两点分别作抛物线的切线，，切线与相交于点．证明：；
（3）椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线，，为切点），使得直线过点？若存在，求出点及两切线方程，若不存在，试说明理由．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同的两点，，且为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线相切，并求该圆的方程．
7．设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，
（ⅰ）求双曲线方程；
（ⅱ）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
8．已知，是椭圆的左、右焦点圆与椭圆有且仅有两个公共点，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，已知，若为定值，则直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由．
9．设双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的左、右准线与其一条渐近线的交点分别为，，四边形的面积为4．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知为圆的切线，且与相交于，两点，求．
10．已知椭圆的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论．
11．已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．
12．已知圆，经过椭圆的右焦点及上顶点，过圆外一点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若右焦点在以线段为直径的圆的内部，求的取值范围．
13．设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：为钝角三角形．
14．设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为右准线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，证明点在以为直径的圆内．
15．设，分别为椭圆的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线是它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆右准线上不同于点的任意一点，若直线于椭圆相交于两点，，求证：为锐角．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若△的周长为6，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，是椭圆长轴的两个端点，点是椭圆上不同于，的任意一点，直线交直线于点，求证：以为直径的圆过点．
（北京）股份有限公第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形
一．选择题（共8小题）
1．已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点．若，，则的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
又，，
又，，
，，
，，
，在轴上．
在△中，，
在△中，由余弦定理可得，
根据，可得，解得，．
．
所以椭圆的方程为：．
故选：．
2．若椭圆和双曲线有相同的焦点，，是两条曲线的一个交点，则的值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设在第一象限，，，
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
解得，，
则，
故选：．
3．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，，△的面积为，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由是双曲线右支上一点，所以，
在△中，由余弦定理有，
所以，所以，
所以，
所以，
所以离心率，
故选：．
4．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与此双曲线在第一象限内的交点为，且，则此双曲线的离心率是　　
A． B．2 C．4 D．5
【解答】解：由题意可得：，，
解得，
，
又，
代入化简可得，，
所以，解得．
故选：．
5．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：把代入双曲线，
可得：，
，
，，
，
．
该双曲线的渐近线方程为：．
故选：．
6．已知双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：把代入双曲线双曲线，可得：，
．
，．
，，
则双曲线的渐近线方程为，
故选：．
7．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：的焦点，
等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于轴轴对称
两个边的斜率，其方程为：，
每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．
故，
故选：．
8．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，已知双曲线的一条渐近线方程为，且，则实数的值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意可知，
联立方程组，消去可得：，
设，，，，则，
，
又，，
．
故选：．
二．多选题（共2小题）
9．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为的中点，则　　
A．以线段为直径的圆与轴相切
B．当时，
C．以线段为直径的圆与直线相离
D．的最小值为3
【解答】解：当直线的斜率不存在时，以线段为直径的圆与轴相切；
当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，
设，，，，
可得，，设，，
可得的横坐标为，的中点的横坐标为，，
当时，的中点的横坐标为，，得以线段为直径的圆与轴相交，故错；
以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，
设，，，，可得，，
可得，又，可得，，
则，故正确；
的焦点，准线方程为，
设，，在准线上的射影为，，，
由，，，
可得线段为直径的圆与准线相切，与直线轴相交，故正确；
当直线垂直于轴，可得为通径，取得最小值4，故错误．
故选：．
10．已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，，，两点，直线，分别于直线相交于，两点．则下列说法正确的是　　
A．焦点的坐标为
B．
C．的最小值为4
D．与的面积之比为定值
【解答】解：抛物线的方程整理可得：，所以焦点，所以不正确；
由椭圆的焦点在轴可得，直线的斜率一点存在，设直线的方程为：，
联立，整理可得：，所以，所以，故正确；
所以△，，
当轴时最小，这时直线的方程为，代入抛物线的方程可得，，所以，所以最小值为4；所以正确；
由题意可得直线，的方程分别为：，，与的交点分别为，，，，
所以；
到直线的距离，弦长，
所以，
所以，
所以与的面积之比为定值，故正确；
故选：．
三．填空题（共7小题）
11．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线与椭圆交于、两点，若，，则的方程为　　．
【解答】解：由题意可得，设：，由可得，
由椭圆的定义可得，，，
又因为，所以在△中，，即，①
在中，，即，整理可得，②
将②代入①中可得，所以，
所以椭圆的方程为：；
故答案为：．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足为坐标原点）．若，则椭圆的离心率为 　　．
【解答】解：取的中点，连接，
所以可得，
又因为，所以，
即，而为的中点，所以，
可得，
因为，而，所以可得：，，
在△中，由勾股定理可得，
即，
可得，
所以，
故答案为：．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为　　．
【解答】解：设内切圆的半径为，
椭圆，
其中，，，则，
与轴垂直，
则有，，
解得：，，
的周长，
其面积，
由内切圆的性质可知，有，解得．
圆心横坐标为，即圆心坐标为，，
则的内切圆方程是，
故答案为：．
14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，．若梯形的面积为，则　2　．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则过焦点斜率为1的直线方程为，
设，，，，由题意可知，
由，消去得，
由韦达定理得，，
所以梯形的面积为：
所以，又，所以
故答案为2．
15．过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，，若梯形的面积为，则　3　．
【解答】解：抛物线方程为，设，点坐标分别为，，，，，
焦点坐标为，，
直线的方程为，
代入抛物线方程得，
，，
，
则梯形的面积为，
．
故答案为：3
16．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于，两点，又过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，若梯形的面积为，则　　
【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则过焦点斜率为1的直线方程为，
设，，，，由题意可知，．
由，消去得，
由韦达定理得，，
梯形的面积为：
，
又，．
故答案为．
17．在平面直角坐标系中，双曲线．的右支与焦点为的抛物线交于，两点，已知双曲线的离心率为，若．则　4　．
【解答】解：双曲线的离心率为，即为，
即有，即，
设，，，，
抛物线的焦点，准线为，
可得，
联立抛物线方程和双曲线方程可得：
，即，
可得，
即有，即．
故答案为：4．
四．解答题（共1小题）
18．已知椭圆过点，，椭圆与轴交于，两点，与轴交于，两点．
（1）求四边形的面积；
（2）若四边形的内切圆的半径为，点，在椭圆上，直线斜率存在，且与圆相切，切点为，求证：．
【解答】解：（1）依题意，，解得，，
所以椭圆的方程为．
故四边形的面积．
（2）证明：要证，只需证，
因为直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离，
所以，
设直线方程为：，，，，，
则，所以；①
由，得
当△，，，
所以
，
由①得，所以．
（北京）股份有限公司第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结
参考答案与试题解析
一．解答题（共16小题）
1．已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别是、．
（1）若△为等边三角形，求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的短轴长为2，过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，求直线的方程．
【解答】解：（1）椭圆的两个焦点分别为、，
短轴的两个端点分别是、，△为等边三角形，
，解得，
椭圆的标准方程为．
（2）椭圆的短轴长为2，椭圆的两个焦点分别为、，
椭圆的标准方程为，
过点直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，
当直线的斜率不存在时，直线为，此时以为直径的圆不经过点，不成立；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由，得．
设，，，，则
，，
，，，，
过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，
，，
，解得，即．
故直线的方程为或．
2．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心，，过点作 轴，垂足为，则，
，
，化为．
当时，也满足上式．
动圆圆心的轨迹的方程为．
（Ⅱ）设，，，
由题意可知，，．
轴是的角平分线，，
，，化为．
直线的方程为，
，化为，
化为，
，令，则，
直线过定点
3．设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点且为原点），求直线的斜率．
【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为，
依题意，，
又，可得，，，
所以，椭圆的方程为．
（2）由题意，设，，，，
设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，
与椭圆方程联立整理得，
可得，代入得，
进而直线的斜率，
在中，令，得，即，
所以直线的斜率为，
由，得，化简得，
从而．
所以，直线的斜率为或．
4．已知椭圆，抛物线，点，斜率为的直线交抛物线于、两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点．
（1）若抛物线的准线经过点，求抛物线的标准方程和焦点坐标：
（2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线的准线方程，焦点坐标，
则，抛物线的标准方程为，焦点．
（2）设，，，，，，，，
由，得点在直线上，且，
且四边形的面积．
，
由，得，
则，
，
因为，所以，
由，的斜率分别为，由图知必过点，
可设，且，
故直线，令，
则直线，代入椭圆方程，
得，
，
，
点 到的距离，
四边形的面积，
当且仅当时，面积最大为．
5．已知椭圆过点，左右焦点分别为，，且线段与轴的交点恰好为线段的中点，为坐标原点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）与直线的斜率相同的直线与椭圆相交于，两点，求当的面积最大时直线的方程．
【解答】解：（1）由椭圆过点，则，①
连接，由为线段的中点，为线段的中点，
则，则，
由，②
由①②得，，
则椭圆的离心率；
（2）由（1）椭圆与方程，直线的斜率，
不妨设直线的方程，设，，，，
，整理得：，
则△，解得：，
，，
，
由到的距离，
则的面积，
当且仅当时，取等号，即，
则直线的方程．
6．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点（不同于点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，则①，
又过点，所以，解得，
由①可得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可知，点，设，，，，
联立方程组，可得，
所以，
所以，
，
因为，所以，
整理可得，，
所以，
化简整理可得，，
解得或，
若，则过点，则，与点重合，不符合题意，
所以，
故存在定值，使当变化时总成立．
7．如图，已知椭圆经过点，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．
【解答】解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①②
由①②得，，，
故椭圆的标准方程为．（4分）
（Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，
设的斜率为，则直线的方程为③．（5分）
代入椭圆方程，
整理得．（6分）
设，，，，
则有④．（7分）
在方程③中，令得，，从而，，．（9分）
又因为、、共线，则有，
即有，
所以
⑤
将④代入⑤得，（12分）
又，
所以，即，，成等差数列．．（13分）
8．已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上，直线的斜率为，直线被圆截得的线段的长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线为原点）的斜率的取值范围．
【解答】解：（1）由已知有，又，可得，
设直线的方程为，由圆心到直线的距离公式可得，，
故所求的椭圆方程为；
（2）设点的坐标为，直线的斜率为，
联立消去整理，
可解得或．
再设直线的斜率为，
再联立
①当时，故得
②当时，故得
综上直线的斜率的取值范围．
9．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足，
（1）求抛物线的方程；
（2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，，满足，的的坐标为，，在抛物线上，
所以，即，，解得，所以抛物线的方程为：；
（2）设，，，，，，则，，
直线的斜率，
则直线的方程为：，即①，
同理可得直线的方程整理可得②，
将，分别代入①，②的方程可得，消可得，
易知直线，则直线的方程为：，
即，故，
所以，
因此直线恒过定点．
10．设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段的中点．
（1）若是正三角形为坐标原点），求此三角形的边长；
（2）若，求直线的方程；
（3）试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（只需直接写出结果）
【解答】解：（1）设的边长为，
则，，，；
（2）设直线，
时，，符合题意；
时，方程联立可得，设，，，，
则，，
，，
，
，
，
△，，
，
，舍去，
综上所述，直线的方程为，；
（3）时，直线有4条；
，，时，2条；
，，1条．
11．如图，已知椭圆与圆在第一象限相交于点，椭圆的左、右焦点，都在圆上，且线段为圆的直径．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，且直线与轴相交于点，为线段的中点，为坐标原点，若，求的最大值．
【解答】解：（1）圆的圆心为，半径为，
由题意可得，，
由中位线定理可得，即，
由椭圆的定义可得，即，
又，
即为，解答，，
则椭圆方程为；
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，
可得，
设，，，，可得：
，，
由中点坐标公式可得，，
，由，可得，即，
即有的坐标为，，
，
又
，
即有
，
当，即，时，取得最大值．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴．
（1）求椭圆的方程；
（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值．
【解答】解：（1）点与椭圆右焦点的连线垂直于轴，
，将点坐标代入椭圆方程可得，
又，联立可解得，，
椭圆的方程为；
（2）设切点坐标为，则．
整理，得．
，设，，，，
联立，可得，
△．
．
的中点坐标为，
的垂直平分线方程为，令，得，
即，．
，，当且仅当时取得等号．
直线的斜率的最小值为．
13．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，线段的中点为，直线与直线的交点为．判断是否为定值．若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
【解答】解：（1）设过点且与直线垂直的直线为，
则，解得，即，
由，解得，即圆心坐标为，
所以半径，
所以圆的方程为．
（2）当直线的斜率存在时，设过点的直线为，
所以，消去得，
设，、，，则，，
所以，所以的中点，
由解得，即，
所以，，
所以；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由，解得或，
即、，所以，所以，
又解得，即，
所以，所以，
综上可得．
14．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．
（1）圆上点，处的切线方程为 　　．理由如下：　　．
（2）椭圆上一点，处的切线方程为；
（3）是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，如图，则直线的方程是 　　．这是因为在，，，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；
（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，
化简得△得．
若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为 　　．
（5）抛物线上一点，处的切线方程为；
（6）抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，分别过点，作抛物线的两条切线和，设，，，，则直线的方程为．直线的方程为，设和相交于点．则①点在以线段为直径的圆上；②点在抛物线的准线上．
【解答】解：（1）圆上点，处的切线方程为．
理由如下：
①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，
所以，
又过点，，
由点斜式可得，，
化简可得，，
又，
所以切线的方程为；
②若切线的斜率不存在，则，
此时切线方程为．
综上所述，圆上点，处的切线方程为．
（3）在，，，两点处，椭圆的切线方程为和，
因为两切线都过点，
所以得到了和，
由这两个“同构方程”得到了直线的方程为；
（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，
由，可得，
由△，可得，
因为，
则，
所以式中关于的二次方程有两个解且其乘积为，
则，
可得，
所以圆的半径为2，且过原点，其方程为．
故答案为：（1），理由见解析；
（3）；
（4）．
15．如图1，在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，，为椭圆的左右顶点，、是左、右焦点．
（1）已知椭圆内有一点，在椭圆上有一动点，则求的最大值和最小值分别是多少？
（2）如图1，若直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点，设过点垂直于的直线为．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
（3）如图2，若直线过左焦点交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点，求证：以线段为直径的圆恒过两个定点．
（4）如图3，若，是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上除，外的任意一点，当直线，的斜率都存在，并记为为定值．
（5）如图4，若动直线与椭圆有且只有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．
（6）如图5，若过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点．试探究：线段上是否存在点使得，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由．
（7）如图6，若点为抛物线上的动点，设为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的？①点在椭圆上；②点为的重心，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设为椭圆的左焦点，连结，作过、的直线交椭圆于、两点，如图所示
中，，，
，可得，．
由椭圆的定义，得，
由平面几何知识，得，
当与重合时，达到最大值；当与重合时，达到最小值．
由，可得的最大值为，最小值为．
的取值范围为，．
（2）设，，设，，，
则，，
，，三点共线，，得，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
则直线的方程为，
，
即．
所以直线过定点．
（3）证明：设，，，，，
代入椭圆方程，整理，得，
，
，，
，，
，
设与轴交于点，以线段为直径的圆与轴交于点，，
则，，
，点，的坐标为，，
以线段为直径的圆过轴上的两个定点和．
证明：设、是椭圆上关于原点对称点，设，，则，，
（4）设点坐标为，则，
．
即，，
为定值．
（5）将直线的方程代入椭圆的方程中，得．
由直线与椭圆仅有一个公共点知，△，
化简得：．
设，，
法一：当时，设直线的倾斜角为，
则，
，，
，当时，，，．
当时，四边形是矩形，．
所以四边形面积的最大值为．
法二：，．
．
四边形的面积，
．
当且仅当时，，故．
所以四边形的面积的最大值为．
（6）存在这样的点符合题意．设线段的中点为，，，，，，，
直线的斜率为，注意到，则直线的方程为，
由消去得：，
所以，
故，．
又点在直线上，所以，
由可得，
，，
整理得，
所以，在线段上存在点符合题意，其中．
（7）不存在，理由如下：若这样的三角形存在，由题可设，
由条件①知，
由条件②得，又因为点，
所以即，
故，
解之得或（舍，
当时，解得不合题意，
所以同时满足两个条件的三角形不存在．
16．已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，．如图所示．
（1）求抛物线的焦点坐标；
（2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标；
（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线的方程化为，
，．（2分）
抛物线的焦点坐标为．（4分）
（2）联立方程组，解得点坐标为．（6分）
联立方程组，解得点坐标为．（7分）
所以直线的方程为，（8分）
令，解得．
点的坐标为．（9分）
（3）结论：过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，
过这两条直线与抛物线的交点的直线恒过定点．（10分）
证明如下：
设过抛物线的顶点的一条直线为，
则另一条为，
联立方程组，解得点坐标为．（11分）
联立方程组，解得点坐标为，．（12分）
所以直线的方程为，（13分）
令，解得．
直线恒过定点．（14分）
（北京）股份有限公司第26讲 四边形面积问题
一．选择题（共1小题）
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，若四边形为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为　　
A． B．
C． D．
二．填空题（共2小题）
2．设、为椭圆的左右焦点，过椭圆的中心任作一直线与椭圆交于两点，当四边形面积最大时，的值等于　　．
3．设，是椭圆的两个焦点，过，分别作直线，．且，若与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点（点，在轴上方），则四边形面积的最大值为　　．
三．解答题（共15小题）
4．已知椭圆的离心率，过右焦点作与轴垂直的直线，与椭圆的交点到轴的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于、两点、不在轴上），若，求四边形面积的最大值．
5．已知椭圆的离心率为，过其右焦点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，椭圆的右顶点为，且满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为（其中的直线过点，且与椭圆交于点，，弦的中点为，直线与椭圆交于点，，求四边形面积的取值范围．
6．已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
（1）证明：直线过定点；
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．
7．如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，已知，且．
（Ⅰ）求、的方程；
（Ⅱ）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值．
8．已知点是抛物线的焦点，是其准线上任意一点，过点作直线，与抛物线相切，，为切点，，与轴分别交于，两点．
（Ⅰ）求焦点的坐标，并证明直线过点；
（Ⅱ）求四边形面积的最小值．
9．已知，，曲线上任意一点满足直线与直线的斜率之积为．
（1）求曲线的标准方程；
（2）已知直线过（与轴不重合）且交于，两点，过且垂直于直线的直线交于，两点，求四边形面积的取值范围．
10．平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于，两点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2），为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值．
11．过椭圆右焦点的直线交于，两点，且椭圆的长轴长为短轴长的倍．
（1）求的方程；
（2），为上的两点，若四边形的对角线分别为，，且，求四边形面积的最大值．
12．已知双曲线的离心率，点、分别是曲线的两条渐近线、上的两点，△为坐标原点）的面积为9，点是曲线上的一点，且．
（1）求此双曲线的方程；
（2）设点是此双曲线上的任意一点，过点分别作、的平行线交、于、两点，试证：平行四边形的面积为定值．
（3）若点是此双曲线上不同于实轴端点的任意一点，设、分别为双曲线的左、右焦点），且，，试求的变化范围．
13．已知，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的垂线，在轴上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的两条渐近线的夹角；
（2）过点的直线和双曲线的右支交于，两点，求△的面积最小值；
（3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于，两点，求平行四边形的面积．
14．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和．
（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和．请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由．
15．已知的两个顶点坐标是，，的周长为，是坐标原点，点满足．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若互相平行的两条直线，分别过定点和，且直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，若四边形的面积为，求直线的方程．
16．如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且．
（1）求，的方程；
（2）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值．
17．已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线的准线上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，如图所示．
①若，求圆的方程；
②设与四边形的面积分别为，，若，求的取值范围．
18．已知椭圆的左右焦点分别为，，点，是椭圆的左右顶点，点是椭圆上一动点，△的周长为6，且直线，的斜率之积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若、为椭圆上位于轴同侧的两点，且，求四边形面积的取值范围．
（北京）股份有限公司第9讲 破解离心率问题之顶底角公式
一．选择题（共6小题）
1．如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
2．已知，是椭圆的两个焦点，若存在点为椭圆上一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
3．设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则该椭圆离心率的最小值为　　
A． B． C． D．
4．已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点满足，则该椭圆离心率取值范围是　　
A． B． C． D．
5．椭圆的焦点、在轴上，点为椭圆上一点且不大于，则它的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
6．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
7．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有　　
A．△的周长为6 B．△的最大面积为
C．存在点使得 D．的最大值为5
8．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的一个的值　　
A． B． C． D．
9．已知是椭圆的右焦点，为左焦点，为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点，2，3，，，，，组成公差为的等差数列，则　　
A．的面积最大时，
B．的最大值为8
C．的值可以为
D．椭圆上存在点，使
三．填空题（共7小题）
10．已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为　　．
11．椭圆的左右焦点为，，是椭圆上一点，若，且，则椭圆的离心率的取值范围是　　．
12．已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是　　．
13．已知、是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是　　．
14．已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为　 　．
15．设椭圆两焦点为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围为　　．
16．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的范围 　　．
（北京）股份有限公司第18讲 向量的数量积问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共16小题）
1．已知圆交抛物线的准线于，两点点在上方），且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求直线的斜率．
【解答】解：（1）由题意可得，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）由（1）可知焦点的坐标为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
所以，，
抛物线的准线方程为，联立圆的方程，
所以，
所以，，
所以，
不满足，
所以直线的斜率不存在不满足条件．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，
设，，，，
则，，
则，，
又，
所以，，
，
解得，
所以直线的斜率为2．
2．已知抛物线的焦点在轴上，顶点在原点且过点，过点的直线交抛物线于，两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点．
（1）求抛物线的方程；
（2）是否存在直线，使得以为直径的圆经过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由题意可设抛物线的方程为，而在抛物线上，
，即，
抛物线的方程为：．
（2）由题意可设，代入，得：，
设，，，，则，，
，
，
，，，，，，
若以为直径的圆经过点，则，
，
，即，．
存在直线，的方程：．
3．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．
（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与抛物线相交于点，，与抛物线相交于点，，求的最小值．
【解答】解：（1）将代入，得，解得．
故所求抛物线的方程为，其准线方程为．
（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，
由得．
直线与抛物线有公共点，
△，解得，
由直线与的距离，可得，解得．
，，
符合题意的直线存在，其方程为．
（3）由题意可知：设，，，，
设直线的斜率为，则的方程为，联立，得，
，．
，直线的斜率为，方程为，设，，，．
联立，化为，
，．
，当且仅当时取等号．
当时，的最小值为16．
4．已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于，两点（不同于点，直线，分别交直线于点，
（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；
（2）已知为原点，求证：为定值．
【解答】解：（1）将代入，得，
抛物线方程为，焦点坐标为，，准线方程；．（3分）
（2）证明：设，，，，，，，，
因为直线不经过点，则直线的斜率存在，
设直线方程为，
与抛物线方程联立得到，消去，整理得：，
则由韦达定理得：，，（6分）
直线的方程为：，
即，
令，得，（9分）
同理可得：，（10分）
又，，
则，
（13分）
，即为定值．（14分）．
方法二：证明：设，，，，，，，，
设直线方程为，
于抛物线方程联立得，整理得：，
则由韦达定理得：，，（6分）
直线的方程为：，
即，
令，得，（9分）
同理可得：，（10分）
又，，
则，
（13分）
，即为定值．（14分）
5．已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．
（1）分别求抛物线和椭圆的方程；
（2）经过，两点分别作抛物线的切线，，切线与相交于点．证明：；
（3）椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线，，为切点），使得直线过点？若存在，求出点及两切线方程，若不存在，试说明理由．
【解答】解：（1）抛物线 的焦点为，
可得，解得，
可得抛物线的方程为；
设椭圆的方程为 ，半焦距为．
由已知可得：，，，
解得，．
所以椭圆的方程为；
（2）证明：显然直线的斜率存在，
否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，
故可设直线的方程为，
设，，， ，
代入抛物线方程，消去并整理得，．
抛物线的方程为，求导得，
过抛物线上、两点的切线方程分别是，，
即，，
解得两条切线，的交点的坐标为，，即，，
，，，
．
（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，
又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，
设过点且与抛物线相切的切线方程为，其中点，为切点．
令，，得，解得或，
故不妨取，，即直线过点．
综上所述，椭圆上存在一点，
经过点作抛物线的两条切线、、为切点），能使直线过点．
此时，两切线的方程分别为和．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同的两点，，且为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线相切，并求该圆的方程．
【解答】解：（1）满足，可得的横坐标为，纵坐标为，
再由，可得，，
解得，，
所以椭圆的方程为：；
（2）证明：设，，，，
联立，整理可得：，
则，，，
因为，即，
则，
即，
可得，
原点到直线的距离为定值，
所以可证：存在一个确定的圆与直线相切．
7．设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，
（ⅰ）求双曲线方程；
（ⅱ）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解答】解：（1）由轴时，为等腰直角三角形，
可得，
所以，
即，
故，
因为，
解得，
故双曲线的离心率为2；
（2）由双曲线的几何性质可知双曲线左顶点到右焦点的距离最小，
最小距离为，
即，
又，
所以，，
所以，
所以双曲线的方程为：，
由题知直线的斜率不为0，
设直线，
，，，，
联立直线与双曲线的方程得，化简得，
，
根据根与系数的关系得，
，，①
所以，②
，③
设直线，
直线，
令，可得，，，，
设是以为直径的圆上的任意一点，
则，
则以为直径的圆的方程为：，
由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，
令，可得，
即，
将①②③代入，可得，
即，
解得或2，
所以以为直径的圆过定点，．
8．已知，是椭圆的左、右焦点圆与椭圆有且仅有两个公共点，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，已知，若为定值，则直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由．
【解答】解：（1）因为圆与椭圆有且仅有两个公共点，
所以，
由题意，得，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得，
所以△，
设，，，，由根与系数的关系可得，
，，
而，，，，
所以
，
由为定值，可得，即，
解得或（满足△，
所以直线的方程为或，
所以直线过定点或，此时定值为，
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
不妨令，，
则，
又为定值，所以，
直线的方程为，
此时直线过点，，，符合题意，
综上，若为定值，则直线过定点或，且定值为．
9．设双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的左、右准线与其一条渐近线的交点分别为，，四边形的面积为4．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知为圆的切线，且与相交于，两点，求．
【解答】解：（1）设，由直线是双曲线的一条渐近线，可得①，
因为双曲线的准线方程为，
则，可得，所以，
由双曲线的对称性，可得，
结合四边形的面积为4，可得，解得，
结合①，可得，
所以双曲线的方程为；
（2）①当直线的斜率存在时，对于圆，
不妨考虑，
则由，可得，
所以，
所以；
②当直线的斜率存在时，设，
因为这些与相交于，两点，所以，
因为这些与圆相切，
所以，即，
设，，，，
联立方程组，可得，
结合，可得△，
则，
所以
，
结合，可得．
综上所述，．
10．已知椭圆的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得，，又，由此解得，．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）点在以为直径的圆内．证明如下：
方法1：由（Ⅰ）得，．设，．
点在椭圆上，．　①
又点异于顶点、，．
由、、三点共线可以得．
从而，，．
．　②
将①代入②，化简得．
，，于是为锐角，从而为钝角，
故点在以为直径的圆内．
方法2：由（Ⅰ）得，．设，，，，
则，，又的中点的坐标为，
依题意，计算点到圆心的距离与半径的差
　③
直线的方程为，直线的方程为，
而两直线与的交点在直线上，
，即　④
又点在椭圆上，则，即　⑤
于是将④、⑤代入③，化简后可得．
11．已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【解答】解法一：（1）由已知得，解得，
椭圆的方程为．
（2）设点，，，中点为，．
由，化为，
，，．
，
．
，
故．
，故在以为直径的圆外．
解法二：（1）同解法一．
（2）设点，，，则，．
由，化为，
，，
从而
．
，又，不共线，
为锐角．
故点在以为直径的圆外．
12．已知圆，经过椭圆的右焦点及上顶点，过圆外一点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若右焦点在以线段为直径的圆的内部，求的取值范围．
【解答】解：（1）圆经过点，．
，
，．
故椭圆的方程为，（4分）
（2）设直线的方程为．
由消去得，
设，，，，则，（6分）
．
，，，，（8分）
（10分）
点在圆的内部，，即，
解得，
由△，解得．
又，，（12分）
13．设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：为钝角三角形．
【解答】解：（Ⅰ）由题意：，所以，所求椭圆方程为；
又点在椭圆上，，；
故所求椭圆方程为：．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，，设，，，
则直线的方程为：，；
由得；
因为直线与椭圆相交于异于的点，所以，所以；
由，得，所以；
从而，；所以．
又，，三点不共线，所以为钝角；所以为钝角三角形．
14．设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为右准线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，证明点在以为直径的圆内．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得，，
解得，，从而．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
设，．
点在椭圆上，
（1）
又点异于顶点、，
，由、、三点共线可以得
．
从而，，．
．（2）
将（1）代入（2），化简得．
，
，则为锐角，从而为钝角，
故点在以为直径的圆内．
15．设，分别为椭圆的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线是它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆右准线上不同于点的任意一点，若直线于椭圆相交于两点，，求证：为锐角．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得，解得，
从而．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，设，，
点在椭圆上，①
又点异于顶点、，，
由、、三点共线可得，
从而，．
②
．
，，
于是为锐角．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若△的周长为6，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，是椭圆长轴的两个端点，点是椭圆上不同于，的任意一点，直线交直线于点，求证：以为直径的圆过点．
【解答】（Ⅰ）解：设、，由已知可得①，
②又③，
由①②③可求得，，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）证明：由题意知，．设，，
则直线的方程为，当时，，
所以，
又点，在椭圆上，
所以，
因为，，
所以，因此以为直径的圆过点．
（北京）股份有限公第24讲 定值问题
一．解答题（共19小题）
1．已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，且点在轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线”交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点，的长度与、两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线的类似的正确命题，并加以证明．
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．
2．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点，且点在轴的射影恰为该椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．
3．已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点．过点且平行于的直线交椭圆于点，，证明：为定值．
4．已知椭圆的离心率为，上顶点到直线的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆相交于，两点，且，求直线方程；（注意用两种方法作答，每种方法4分）
（3）设直线过点且与椭圆相交于，两点，不经过点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值．
5．已知椭圆，的离心率等于，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别为，，过点的动直线与椭圆相交于，两点，是否存在定直线，使得与的交点总在直线上？若存在，求出一个满足条件的值；若不存在，说明理由．
6．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，上顶点在直线上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于，两点，不是椭圆的顶点）．点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于，两点．
设直线，的斜率分别为，，问是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
求面积的最大值．
7．已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点，是右准线与轴的交点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上顶点的直线交椭圆另一点，交轴于点，若，求直线的方程；
（3）设点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，试问是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
8．已知椭圆的右焦点为，过作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点，线段的中垂线交轴于点．
（1）若，求点坐标；
（2）问：是否为定值．
9．已知椭圆的离心率为，、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一个动点，且△面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作与轴不垂直的直线交椭圆于，两点，第一象限点在椭圆上且满足轴，连接，，记直线，，的斜率分别为，，，探索是否为定值，若是求出；若不是说明理由．
10．已知椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，且椭圆截直线所得弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围；
（3）试问在轴上是否存在一点，使得恒为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
11．在平面直角坐标系中，椭圆．
（1）若椭圆的焦点在轴上，求实数的取值范围；
（2）若，
①是椭圆上的动点，点的坐标为，求的最小值及对应的点的坐标；
②过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：是定值，并求出这个定值．
12．已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作斜率为，的椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求三角形面积的最大值；
（3）若，
①求证：直线经过定点，并求出定点的坐标．
②求证：点到直线，的距离的平方和为定值．
13．已知椭圆中，以为中点的弦所在直线的方程是．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，证明：为定值．
14．如图，已知抛物线的焦点到直线的距离为．是过抛物线焦点的动弦，是坐标原点，过，两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于点．
（1）求证：．
（2）若动弦不经过点，直线与准线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得在弦运动时恒成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
15．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且△的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．
16．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；
（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标．
（4）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值．
17．已知圆的方程为，直线，设点，．
（1）若点为，试判断直线与圆的位置关系；
（2）若点在圆上，且，，过点作直线，分别交圆于，两点，且直线和的斜率互为相反数．
①若直线过点，求直线的斜率；
②试问：不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
18．已知椭圆的左、右焦点分别是，，直线与椭圆交于点，两点，当，是椭圆的顶点，且△的周长为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，在直线上的射影分别为，，，连接，当变化时，证明直线与相交于一定点，并求出该定点的坐标；
（3）设椭圆的左顶点为，直线，与直线分别相交于点，，试问：当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
19．已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）给定点，若过点的直线与轨迹相交于，两点（均不同于点．证明：直线与直线的斜率之积为定值．
（北京）股份有限公司第3讲 圆锥曲线第三定义
一．选择题（共7小题）
1．椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是　　
A． B． C． D．
2．椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
3．椭圆的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率为，则直线斜率为　　
A． B．3 C． D．
4．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
5．已知，，为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线，的斜率记为，，则的最小值为　　
A．8 B．4 C．2 D．1
6．已知，，是双曲线上不同的三点，且，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
7．已知，，是双曲线上的不同的三点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，是关于的方程的两个实数根，若，为坐标原点，则双曲线的离心率是　　
A．2 B． C． D．
二．填空题（共4小题）
8．已知、、为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线、的斜率记为，，则的最小值为　　
9．已知，是椭圆和双曲线的公共顶点，是双曲线上的动点，是椭圆上的动点，都异于，，且，其中，设直线，，，的斜率分别为，，，，若，则　　．
10．已知，椭圆和双曲线的左右顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、，则　　．
11．已知、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于原点对称，若直线，的斜率乘积，则该双曲线的离心率　　．
三．解答题（共4小题）
12．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为
（1）若直线平分线段，求的值；
（2）当时，求点到直线的距离；
（3）对任意，求证：．
13．已知椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知两点，及椭圆，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，设线段的中点为，连接，试问当为何值时，直线过椭圆的顶点？
（Ⅲ）过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于，求证：．
14．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．
（1）若直线平分线段，求的值；
（2）求，面积的最大值，并指出对应的点的坐标；
（3）对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．
15．椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连，并延长交椭圆于，若，求椭圆的离心率．
（北京）股份有限公司第11讲 坐标法秒解离心率问题
一．选择题（共18小题）
1．已知椭圆左右焦点分别为，，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且满足，已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率　　
A． B． C． D．
2．双曲线的中心在坐标原点，右顶点，虚轴的上端点，虚轴下端点，左右焦点分别为、，直线与直线交于点，若为锐角，则双曲线的离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
3．双曲线的中心在坐标原点，右顶点，虚轴的上端点，虚轴下端点，左右焦点分别为、，直线与直线交于点，若为钝角，则双曲线的离心率的取值范围为　　
A．， B． C．， D．，
4．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的右顶点，过作垂直于轴的直线与椭圆交于，两点在轴上方），若，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
5．已知，分别为椭圆的左、右顶点，点，在上，直线垂直于轴且过的右焦点，直线与轴交于点，若，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
6．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且垂直于轴．若，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，且，若垂直于轴，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，，，，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
10．平面直角坐标系中，双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，（不同于，当取最大值时双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
11．在平面直角坐标系中，设双曲线的左焦点为，圆的圆心在轴正半轴上，半径为双曲线的实轴长，若圆与双曲线的两渐近线均相切，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
12．设直线与双曲线两条渐近线分别交于点、，若点满足，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
13．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
14．设直线与轴交于点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，．若为中点，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．2
15．设，已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
16．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线渐近线上存在一点，使得顺次连接，，，构成平行四边形，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
17．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线渐近线上一点，且，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
18．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
二．填空题（共7小题）
19．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，．若点满足，则该双曲线的离心率是　 　．
20．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得，，，顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率　　．
21．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于第一象限内的一点．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为　　．
22．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的其中一条渐近线交于点（不同于，若双曲线右支上存在点满足，则双曲线的离心率为　　．
23．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为 　　．
24．设是椭圆的左焦点，过的直线与椭圆交于，两点，分别过，作椭圆的切线并相交于点，线段为坐标原点）交椭圆于点，满足，且，则椭圆的离心率为　 　．
25．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线相交于点（点在第一象限），若，则双曲线的离心率　　．
（北京）股份有限公第10讲 几何法秒解离心率问题
一．选择题（共19小题）
1．过双曲线的右焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线左支于点，且是的中点，则双曲线离心率为　　
A． B． C． D．
2．设，分别是双曲线的左、右焦点．圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为　　
A． B． C． D．
3．如图，已知椭圆，过原点的直线与椭圆交于、两点，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，，则椭圆离心率的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
4．已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
5．设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于点，，若，且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
6．如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之和为　　
A． B．4 C． D．
7．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点，，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为　　
A．3 B．2 C． D．
8．设椭圆的左、右两个焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
9．已知双曲线过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点，、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．
10．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
11．设双曲线的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为．已知，，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，．若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线支上，满足，，又直线与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
14．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的三等分点（靠近点），则的离心率为　　
A． B． C． D．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是右支上一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率是　　
A． B． C． D．
16．已知双曲线的左顶点为，过双曲线的右焦点作轴的垂线交于点，点位于第一象限，若△为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．
17．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为　　
A． B． C． D．
18．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2
19．过椭圆的左顶点作圆是椭圆的焦距）两条切线，切点分别为，，若，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共11小题）
20．已知是双曲线的一个焦点，是上的点，线段交以的实轴为直径的圆于，两点，且，是线段的三等分点，则的离心率为　　．
21．设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为　　．
22．如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，则的离心率是　 　．
23．已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是　　．
24．已知直线与双曲线相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，为坐标原点），则双曲线的离心率为　　．
25．双曲线的左、右焦点分别是、，直线与曲线交于，两点，，且，则双曲线的离心率是 　　．
26．已知双曲线的右焦点为，，是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为　　．
27．设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是　　．
28．已知点是椭圆的右焦点，点是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为　 　．
29．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为．若，则的离心率是　　．
30．已知双曲线的右顶点为，且以为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于，两点，若则双曲线的离心率的取值范围是　　．
（北京）股份有限公司第19讲 利用平面向量解决平行四边形问题
一．解答题（共16小题）
1．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过，且离心率，
（1）求椭圆方程．
（2）经过点且斜率的直线与椭圆有两个不同的交点和．
①求的取值范围．
②设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在常数，使向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
2．已知椭圆的右焦点，点，为椭圆的半焦距）在轴上，若椭圆的离心率，且．
（1）求椭圆方程；
（2）若过的直线交椭圆与，两点，且与向量共线（其中为坐标原点），求证：．
3．在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，
（Ⅰ）若；求直线的斜率的值；
（Ⅱ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在常数，使得向量与共线，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
4．如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，不在轴上，过引抛物线的切线，切点分别为，．
（Ⅰ）设线段的中点为；
（ⅰ）求证：平行于轴；
（ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．已知点，的坐标分别是，，，，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）直线与曲线相交于，两点，若曲线上存在点，使得四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围．
6．如图所示，已知圆与直线相切．
（Ⅰ）求的值．
（Ⅱ）直线与圆相交于，两点，若在圆上存在一点，使四边形为平行四边形，求实数的取值范围．
7．在中，，的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足，且．
（Ⅰ）求的顶点的轨迹的方程；
（Ⅱ）直线与轨迹相交于，两点，若在轨迹上存在点，使四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围．
8．已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点，，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．
9．设为椭圆的右焦点，点在椭圆上，直线与以原点为圆心、以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点．问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
10．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为，坐标原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上一点作两条直线分别与椭圆相交于点，（异于点，试判断以和为对角线的四边形是否为菱形？若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由．
11．已知椭圆左右两个焦点分别为，，为椭圆上一点，过且与轴垂直的直线与椭圆相交所得弦长为3．抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与椭圆的右焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的方程；
（Ⅱ）过抛物线上一点（异于原点作抛物线切线交椭圆于，两点，求面积的最大值；
（Ⅲ）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过且平行于的直线交椭圆于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
12．设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
13．设，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
14．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，已知点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，若在椭圆上存在点，使四边形为平行四边形，求的取值范围．
15．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，短轴长为2，为原点，直线与椭圆的另一个交点为，且的面积是的面积的3倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，直线与椭圆相交于，两点，若在椭圆上存在点，使为平行四边形，求的取值范围．
16．椭圆左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点．当直线轴时，．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得四边形是平行四边形，求此时直线的斜率．
（北京）股份有限公第17讲 直线的斜率问题
一．解答题（共18小题）
1．已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率；
（Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
2．设椭圆的焦距为，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
3．如图，，分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，2是与的等差中项，是与的等比中项．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点是椭圆上异于，的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线垂直于，并交直线于点．证明：，，三点共线．
4．已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．
（Ⅰ）当，时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．
5．已知椭圆的右焦点为，左顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的），两点．试判断直线与轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
6．已知椭圆过点，为椭圆的半焦距，且．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作两条相互垂直的直线，与椭圆分别交于另两点，，若线段的中点在轴上，求此时直线的方程．
7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）如图，过圆上一点作圆的切线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，以为直径的圆经过双曲线的右顶点，求直线的方程．
8．已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点为坐标原点，直线与轴交于点，且与一条渐近线交于点，又，过点的直线与双曲线右支交于点，，点为点关于轴的对称点．
（1）求双曲线的方程；
（2）判断，，三点是否共线，并说明理由；
（3）求三角形面积的最小值．
9．设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：．
10．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．
（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程．
（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由）
11．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．
（1）当时，分别求在点和处的切线方程；
（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且也是抛物线的焦点，为椭圆与抛物线在第一象限的交点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时，总有？说明理由．
13．一个圆经过点，且和直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点、，若轴是的角平分线，证明直线过定点．
14．设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点．
（1）若过点，且，求的斜率；
（2）若，且的斜率为，当时，求在轴上的截距的取值范围（用表示），并证明的平分线始终与轴平行．
15．如图，若是抛物线上的一定点不是顶点），动弦、分别交轴于、两点，且．证明：直线的斜率为定值．
16．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、．如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点．
17．已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为．
（1）设，，，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；
（2）设与的斜率之积为，求面积的值．
18．设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为．已知椭圆的短轴长为，且椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于异于点的两点，，且直线与的斜率之和等于2，证明：直线经过定点．
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（北京）股份有限公司第19讲 利用平面向量解决平行四边形问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共16小题）
1．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过，且离心率，
（1）求椭圆方程．
（2）经过点且斜率的直线与椭圆有两个不同的交点和．
①求的取值范围．
②设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在常数，使向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由焦点在轴，
经过，
故，
又离心率，解得：，
椭圆方程为；
（2）①由已知条件，直线的方程为，
，整理得，
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于△，
△，解得：．
即的取值范围为．
②设，，，，则，，
由韦达定理得：，
又，而，
与共线等价于，
解得，
由①知．矛盾，
故没有符合题意的常数．
2．已知椭圆的右焦点，点，为椭圆的半焦距）在轴上，若椭圆的离心率，且．
（1）求椭圆方程；
（2）若过的直线交椭圆与，两点，且与向量共线（其中为坐标原点），求证：．
【解答】解：（1）依题意有：，
，
椭圆方程：（6分）
（2）设直线的方程为：，，，，，
联立方程组，整理得：
，
，，
，
由与向量共线，得，
故．
．（13分）
3．在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，
（Ⅰ）若；求直线的斜率的值；
（Ⅱ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在常数，使得向量与共线，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】（本小题12分）
解：（1）直线经过点且斜率为，
，（1分）
由，得，（3分）
由△，得，（4分）
，解得，或（舍
．（6分）
（2）设，，，，
则（7分）
，，（9分）
与共线等价于，（10分）
由上述式子得：（11分）
又，不存在这样的常数满足条件．（12分）
4．如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，不在轴上，过引抛物线的切线，切点分别为，．
（Ⅰ）设线段的中点为；
（ⅰ）求证：平行于轴；
（ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）（ⅰ）证明：由题意设，，，，，，．
由得，则，所以，．
因此直线的方程为，
直线的方程为．
所以，①．②
由①、②得，因此，即．
所以平行于轴．
（ⅱ）解：由（ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得：
，，
所以，是方程的两根，
因此，，又，
所以．
由弦长公式的．
又，所以或，
因此所求抛物线方程为或．
（Ⅱ）解：设，，由题意得，，
则的中点坐标为，
设直线的方程为，
由点在直线上，并注意到点也在直线上，
代入得．
若，在抛物线上，则，
因此或．
即或．
（1）当时，则，此时，点适合题意．
（2）当，对于，此时，，
又，，所以，
即，矛盾．
对于，因为，此时直线平行于轴，
又，
所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，
所以时，不存在符合题意得点．
综上所述，不存在符合题意得点．
5．已知点，的坐标分别是，，，，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）直线与曲线相交于，两点，若曲线上存在点，使得四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围．
【解答】解：（1），
化简得曲线的方程：．
（2）设，，，
联立，得，
，，
△，即，①
若四边形为平行四边形，则的中点也是的中点，
所以点的坐标为，，
又点在曲线上得，化简得②
将②代入①得，，所以，由②得，所以或，
当直线经过，时，，代入②得，不符合题意
所以的取值范围为，，，，．
6．如图所示，已知圆与直线相切．
（Ⅰ）求的值．
（Ⅱ）直线与圆相交于，两点，若在圆上存在一点，使四边形为平行四边形，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）圆心到直线的距离为，
直线与圆相切，．
（Ⅱ）设，，，，联立方程组，
消去得，
，，
四边形为平行四边形，线段的中点即为线段的中点，
点的坐标为，，
即，
由点在圆上，，整理得，
此时△，
，即或，即的取值范围为，，．
7．在中，，的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足，且．
（Ⅰ）求的顶点的轨迹的方程；
（Ⅱ）直线与轨迹相交于，两点，若在轨迹上存在点，使四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围．
【解答】解：设，点是的重心，
，
轴上一点满足，．
，
，
化为即为的顶点的轨迹的方程；
设，，，，联立，化为，
由△，化为，
，．
四边形为平行四边形，
，
，，，
．
点在椭圆上，
，化为．
代入△，可得，
又，解得或．
的取值范围是．
8．已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点，，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．
【解答】解：（1）设直线，，，，，，，，
将代入，得，
则判别式△，
则，则，，
于是直线的斜率，
即，
直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
（2）四边形能为平行四边形．
直线过点，，
由判别式△，
即，
，
，
即，
即，
则，
不过原点且与有两个交点的充要条件是，，
由（1）知的方程为，
设的横坐标为，
由得，即，
将点，的坐标代入的方程得，
即的方程为，
将，代入，
得
解得，
四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即，
于是，
解得或，
，，，2，
当的斜率为或时，四边形能为平行四边形．
9．设为椭圆的右焦点，点在椭圆上，直线与以原点为圆心、以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点．问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由题意知
所以椭圆 的方程为（4分）
（2）结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平分．（5分）
理由如下：由题可知直线、的斜率存在．
设直线的方程为，直线的方程为
由消去得
则，（7分）
由消去得
则，（9分）
若四边形的对角线互相平分，则四边形为平行四边形，
，
直线的方程为时，四边形的对角线互相平分．（12分）
10．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为，坐标原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上一点作两条直线分别与椭圆相交于点，（异于点，试判断以和为对角线的四边形是否为菱形？若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）设直线的方程为，
由题意得，解得：，
所以椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，若平行四边形为菱形，
则为左顶点或右顶点，此时直线的方程为．
当直线的斜率为0时，若四边形为菱形，
则点为上顶点或下顶点，此时的方程为，
当直线的斜率存在时，设，，，，
联立直线方程与椭圆方程可得：，
则△，
所以，
若四边形为菱形，
则，所以点，
所以直线的斜率，
所以，这与 矛盾，
所以四边形不能是菱形，
综上，四边形能为菱形，此时直线的方程为或．
11．已知椭圆左右两个焦点分别为，，为椭圆上一点，过且与轴垂直的直线与椭圆相交所得弦长为3．抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与椭圆的右焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的方程；
（Ⅱ）过抛物线上一点（异于原点作抛物线切线交椭圆于，两点，求面积的最大值；
（Ⅲ）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过且平行于的直线交椭圆于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设，令，代入椭圆方程可得，
，
由题意可得，
又在椭圆上，可得，
解得，，，
可得椭圆的方程为；
即有抛物线的焦点为，
可得抛物线的方程为；
（Ⅱ）设，，设抛物线切线的方程为，
由两边对求导，可得，即为，
可得，即有切线的方程为，
即为，代入椭圆方程，
可得，
设，，，，
即有△，得，
，，
，
原点到直线的距离为，
则面积，
令，，可得，
则，
可令，由，可得在递增，
可得，即有，
即有当时，取得最大值．
由，解得，，
故当时，的面积取得最大值；
（Ⅲ）可设直线，代入椭圆，
可得，
设，，，，可得
，，
直线，代入椭圆，
可得，
设，，可得
，，
假设四边形的对角线互相平分，可得四边形为平行四边形，
与的中点重合．
即有，即为，
即有，
则有，，
即为，
解得．
故存在直线，方程为．
12．设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）点和关于点对称，，
椭圆的焦点为，，
由椭圆定义，得，
从而，，
故椭圆的方程为；
（2）结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平分．
理由如下：
由题可知直线、直线的斜率存在，
设直线的方程为、直线的方程为，
由 消去，
得，
根据题意可知△，设，，，，
由韦达定理可知，，
由 消去，
得，
由△，可知，设，，又，
则，，
若四边形的对角线互相平分，则有与的中点重合，
所以，即，
故，
所以，
解得，
从而直线方程为时，四边形的对角线互相平分．
13．设，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）点和关于点对称，
，，
，
，
，，
椭圆方程为：；
（Ⅱ）
结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平分．
理由如下：
如图，设，，三点的横坐标分别为，，，
直线的方程为：，
的方程为：，
由方程与椭圆方程联立消去，
得，
得，，
由方程与椭圆方程联立消去，
得，
得，，
四边形的对角线互相平分，
，的中点重合，
，
，
平方可得，，
，
，
解得，
故直线为时，四边形对角线互相平分．
14．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，已知点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，若在椭圆上存在点，使四边形为平行四边形，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率，
，，，
，解得，，
椭圆的方程为．
（Ⅱ）设，，，，，，
四边形为平行四边形，
线段的中点即为线段的中点，
即，，
点在椭圆上，
，
，
化简，得，①
由，得，
由△，得，②
又，
代入①式，得，
化简，得，
代入②式，得，
又，
，或．
的取值范围为，，．
15．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，短轴长为2，为原点，直线与椭圆的另一个交点为，且的面积是的面积的3倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，直线与椭圆相交于，两点，若在椭圆上存在点，使为平行四边形，求的取值范围．
【解答】解：（1）短轴长为2，可得，
即有，设，，，
的面积是的面积的3倍，
即为，
可得，由直线经过，
可得，即，，代入椭圆方程可得，
，即为，即有，
则椭圆方程为；
（2）设，，，，
由为平行四边形，可得，，
在椭圆上，可得，
即为，
化为，①
由可得，
由△，即为，②
，代入①可得，
化为，代入②可得，
又，解得或．
则的取值范围是，，．
16．椭圆左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点．当直线轴时，．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得四边形是平行四边形，求此时直线的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）方法一：因为过，且，
设，不妨设为第一象限点，则．
则，所以，所以，则，
所以，
所以所以，
所以；
方法二：因为，所以，
因此，所以，
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设椭圆，，，，，
线段的中点，，由题意可以判断直线的斜率存在，设，
联立方程组，消去，整理得，
所以，因此，则①
因为四边形是平行四边形，所以是的中点，所以，，
又因为在椭圆上，所以②
①代入②，得，
整理得，解得或（舍去），所以
所以直线的斜率为．
（北京）股份有限公第9讲 破解离心率问题之顶底角公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在中，，
，
在直角三角形中，，可得，，
取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，
，
，
，
，
，
故选：．
2．已知，是椭圆的两个焦点，若存在点为椭圆上一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，
张角达到最大值．由此可得：
存在点为椭圆上一点，使得，
△中，，可得△中，，
所以，即，其中
，可得，即
椭圆离心率，且
故选：．
3．设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则该椭圆离心率的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：
在以为直径，原点为圆心的圆上，
圆与椭圆相交的条件为圆的半径在椭圆半长轴和半短轴之间，即：
，，
由可得：
故选：．
4．已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点满足，则该椭圆离心率取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，由余弦定理得：
，
，又，即，
解得，，
，，
得，，．
故选：．
5．椭圆的焦点、在轴上，点为椭圆上一点且不大于，则它的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为椭圆中位于短轴端点时，最大，
由题意可知，
所以，即，
解得．
又因为，
，
解得．
所以．
故选：．
6．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：点，是长轴的两个端点，
若椭圆上存在点，使得，则的最大值大于等于即可，
即当为短轴端点时，即可，如图所示，
，
，
又，
该椭圆的离心率的取值范围是．
故选：．
二．多选题（共3小题）
7．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有　　
A．△的周长为6 B．△的最大面积为
C．存在点使得 D．的最大值为5
【解答】解：根据题意可得，，，
对于：△的周长为，故正确，
对于：△的最大面积为，故正确，
对于：若要存在点使得，则，
即点在以为直径的圆上，且，
所以点为以为直径的圆与椭圆的交点，
而椭圆的短轴一半长为，
所以不存在点，故错误，
对于，
所以最大值为5，故正确，
故选：．
8．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的一个的值　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，
当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．
椭圆上存在点使得是钝角，
△中，，
△中，，
，即，
，可得，
，
又，，
结合选项可得，满足条件的一个的值为．
故选：．
9．已知是椭圆的右焦点，为左焦点，为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点，2，3，，，，，组成公差为的等差数列，则　　
A．的面积最大时，
B．的最大值为8
C．的值可以为
D．椭圆上存在点，使
【解答】解：由已知椭圆方程可得：，，，
由椭圆的性质可得：当点为椭圆的短轴端点时，最大，且此时三角形的面积也最大，
此时，正确，错误，
椭圆上的动点满足，即，
又椭圆上至少有21个不同的点组成公差为的等差数列，所以的最大值为8，正确，
设已知的等差数列为，公差为，
则，，又，所以，
所以，即的最大值为，正确，
故选：．
三．填空题（共7小题）
10．已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为　，　．
【解答】解：法一：，，
，，
，
，
设，则，
，，．
法二：，，令，，
，，，，
，，，
．
故答案为：，．
11．椭圆的左右焦点为，，是椭圆上一点，若，且，则椭圆的离心率的取值范围是　，　．
【解答】解：椭圆的左右焦点为，，是椭圆上一点，若，且，
可得，则，短轴的端点与两个焦点所成角大于等于，
．因为，所以．
故答案为：．
12．已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是　　．
【解答】解：，可得，
在中，，
，
在直角三角形中，，可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，
，
．
故答案为：．
13．已知、是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是　　．
【解答】解：、是椭圆的焦点，
是椭圆上一点，且，
以为直径的圆与椭圆有交点，圆的半径，
，，
，又，
椭圆的离心率的取值范围是，，
故答案为，．
14．已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为　，　．
【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，
对两个焦点的张角渐渐增大，
当且仅当点位于短轴端点处时，
张角达到最大值．
由此可得：存在点为椭圆上一点，使得，
△中，，
△中，，
所以，即，
，可得，
，
，
．
故答案为：，．
15．设椭圆两焦点为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围为　，　．
【解答】解：点满足，
点的轨迹是以为直径的圆，其方程为．
又椭圆上存在点，使得，
以为直径的圆与椭圆有公共点，
由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，
，即，化简得，解得．
因此，椭圆的离心率．
椭圆离心率在之间取值，
椭圆的离心率，．
故答案为：，
16．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的范围 　，　．
【解答】解：如图，
当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，
当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，
因为椭圆上存在点使得是钝角，
所以△中，，
所以直角三角形中，，
所以，
即，
所以，
即，
所以，
又，
所以，
故答案为：，．
（北京）股份有限公第21讲 向量的转换与计算
一．选择题（共1小题）
1．是抛物线的焦点，过作两条斜率都存在且互相垂直的直线，，交抛物线于点，，交抛物线于点，，则的最小值是　　
A．8 B． C．16 D．
二．解答题（共14小题）
2．已知抛物线的准线为，焦点为，的同心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且．
（Ⅰ）求和抛物线的方程；
（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的相交线、，设与抛物线相交于点、，与抛物线相交于点、，求的最小值．
3．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．
（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与抛物线相交于点，，与抛物线相交于点，，求的最小值．
4．已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为2，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线、，设与抛物线相交于点、，与抛物线相交于点、．
（1）求抛物线的方程；
（2）求的最小值．
5．如图，已知直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，交于点，，抛物线的焦点为．
（1）求的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与曲线相交于点，，与曲线相交于点，，求的最小值．
6．已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交于点，，求的最小值．
7．已知椭圆的方程为，为左焦点，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与椭圆相交于点，．与椭圆相交于点．，求的最小值．
8．设定点，动圆过点且与直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交于点，，求的最小值．
9．已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线、，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求的最小值．
10．已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是过原点的直线，是与垂直相交于点，与椭圆相交于，两点的直线，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知点和圆，是圆的直径，从左到右、和依次是的四等分点，（异于，是圆上的动点，，交于，，直线与交于，为定值．
（1）求点的轨迹曲线的方程及的值；
（2）设是过原点的直线，直线与垂直相交于点，与轨迹相交于，两点，且．是否存在直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
12．椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是过原点的直线，直线与垂直相交于点且与椭圆相交于、两点，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
13．如图，已知点和圆，是圆的直径，从左到右和依次是的四等分点，（异于、是圆上的动点，，交于，，直线与交于，为定值．
（1）求的值及点的轨迹曲线的方程；
（2）设是过原点的直线，是与垂直相交于点、与轨迹相交于，两点的直线，，是否存在上述直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
14．已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是过原点的直线，是与垂直相交于点、与椭圆相交于，两点的直线，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
（北京）股份有限公司第23讲 定点问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为是直线的任一点，所以设，
因为圆的两条切线、，切点分别为、，
所以，，
则点、在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，
则圆心的坐标是，，且半径的平方是，
所以圆的方程是，①
又，②，
②①得，，即公共弦所在的直线方程是：，
即，
由得，，
所以直线恒过定点，，
故选：．
二．解答题（共18小题）
2．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；
（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标．
【解答】（1）解：设圆的标准为，把代入得，
故圆的标准方程为．
（2）解：①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时弦长为8，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程，则，
所以，，
根据弦长为8，可得，
解得，所以直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或；
（3）证明：当直线斜率不存在时，设，，
直线，的斜率之积为2，，
，即，
点在圆上，
，
联立，无解，舍去，
当直线斜率存在时，设直线，，，，，
①
联立方程，
，，
代入①，得，
化简得，直线的方程为：，所以过定点．
3．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，点是椭圆的右焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，则在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得解得：，．
所以椭圆的方程为．
（2）由题意可知直线的斜率不为0，．
若直线斜率存在，设直线的方程为，，，，，
联立得．
由题意可知△恒成立，所以，．
假设在轴上存在一点，使得轴平分，则，
所以．所以，
所以，所以，
所以，所以，所以．
若直线斜率不存在时，则，两点关于轴对称，当点坐标为时，轴平分．
综上所述，在轴上存在一点，使得轴平分．
4．已知椭圆的离心率是，一个顶点是，点，是椭圆上异于点的任意两点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）试问直线是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，解得，
所以椭圆方程为．
（2）由知直线，的斜率存在且不为0．
设直线的斜率为，直线的方程为，，得．解得或．
当时，，即，
用代替，得
于是直线的斜率，
直线的方程为，
整理得，
当，时，对任意的，恒成立，
所以直线过定点．
5．已知，分别为椭圆的左，右顶点，为的上顶点，．为椭圆外一点，与的另一交点为，与的另一交点为，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：直线过定点．
【解答】解：（1）由题意知，，，
所以，
解得，
故椭圆的标准方程为．
证明：（2）设直线的方程为，，，，，
联立，消去得，
则有，
所以，
即，
因为，，
所以，
，
，
解得，
所以直线的方程为，
故直线过定点．
6．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，．
（1）求抛物线的方程；
（2）证明直线过定点．
【解答】解：（1）由题意可得双曲线的焦点为，，
即有抛物线的焦点，
则，
所以抛物线的方程为：；
（2）证明：设，，设切线方程为，联立得：①，
由．
设两条切线的斜率分别为，，则，，
由①知等根为，故设，，则，
所以直线的方程为：，
化简得．
所以直线过定点．
7．已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点分别作斜率为、的椭圆的动弦、，设、分别为线段、的中点，若，是否存在一个定点，使得其在直线上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）椭圆过点，离心率为．
，解得，，
椭圆的方程为．
（2）由题意得，设，，直线的方程为，即，
代入椭圆方程并化简，得：，
，，
同理，，，
直线的方程为，
即，
此时直线过定点，
当时，直线即为轴，此时也过点．
综上，直线恒过定点，且定点坐标为．
8．已知左焦点为的椭圆过点．过点分别作斜率为，的椭圆的动弦，，设，分别为线段，的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为线段的中点，求；
（3）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标．
【解答】（1）解：由题意，且右焦点
，
所求椭圆方程为；
（2）解：设，，，，则
①，②
②①，可得；
（3）证明：由题意，，
设，，直线的方程为，即，
代入椭圆方程并化简得
，
同理，，
当时，直线的斜率
直线的方程为
即
此时直线过定点
当时，直线即为轴，此时亦过点
综上，直线恒过定点，且坐标为．
9．已知椭圆，为其左焦点，点，，，分别为椭圆的左、右顶点，且，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条射线分别与椭圆交于、两点（均异于点，且，证明：直线恒过轴上的一个定点．
【解答】（1）解：，，
又，，
整理得，，
则．
椭圆的方程为；
（2）证明：由已知直线与轴不垂直，假设其过定点，设其方程为，
联立，得．
设，，，，则，．
，．
，．
，
．
即．
化简得：，
若，则与重合，不合题意，
，
整理得．
综上，直线过定点．
10．已知椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的任意一点．
（Ⅰ）求直线与的斜率之积；
（Ⅱ）过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点．证明：以为直径的圆恒过点．
【解答】解：（Ⅰ）．设点，，
则有，
即，
．
（Ⅱ）证明：设，，，，
与轴不重合，
设直线，
由化简得，
；
由题意可知△成立，且；
；
将代入上式并化简得，
．
，即以为直径的圆恒过点．
11．已知点，，抛物线，过点的动直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点．
（1）求；
（2）证明：直线恒过定点．
【解答】解：（1）设点，，，，由题意，设直线，
由得，
△，，又，
．
（2）证明：设，，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，
，，三点共线，，
，即，
，即，
，，，
即，
，
直线的方程是，即，
，
由式可知，代入上式，得，
令，解得，
直线恒过定点．
12．已知点，和抛物线，为坐标原点，过点的动直线交抛物线于、，直线交抛物线于另一点，如图
（1）证明：为定值；
（2）若的面积为，求向量与的夹角；
（3）证明直线恒过一个定点．
【解答】证明：设点，，
、、三点共线，
，即，
，，（2分）
．（5分）
解：设，则，
，，
．（8分）
又，，，
与的夹角为．（10分）
（Ⅲ）证明：设点，、、三点共线，，
，，
，即，
，，
即，（12分）
，
直线的方程是，
即，
即，
由式，，
代入上式，得，
直线过定点．
13．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足，
（1）求抛物线的方程；
（2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，，满足，的的坐标为，，在抛物线上，
所以，即，，解得，所以抛物线的方程为：；
（2）设，，，，，，则，，
直线的斜率，
则直线的方程为：，即①，
同理可得直线的方程整理可得②，
将，分别代入①，②的方程可得，消可得，
易知直线，则直线的方程为：，
即，故，
所以，
因此直线恒过定点．
14．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．
【解答】解：（1）设，，，，
联立，整理可得：，
所以可得，，
进而可得，
由，可得：，
即，可得，
所以抛物线的方程为：；
（2）证明：设，，，，，，
由，，三点共线可得，，即，
整理可得：，
所以，
同理可得，，三点共线，，
所以直线的方程：，
整理可得：，
将，的值代入直线方程可得：，
所以解得：，
所以直线过定点．
15．已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，．如图所示．
（1）求抛物线的焦点坐标；
（2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标；
（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线的方程化为，
，．（2分）
抛物线的焦点坐标为．（4分）
（2）联立方程组，解得点坐标为．（6分）
联立方程组，解得点坐标为．（7分）
所以直线的方程为，（8分）
令，解得．
点的坐标为．（9分）
（3）结论：过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，
过这两条直线与抛物线的交点的直线恒过定点．（10分）
证明如下：
设过抛物线的顶点的一条直线为，
则另一条为，
联立方程组，解得点坐标为．（11分）
联立方程组，解得点坐标为，．（12分）
所以直线的方程为，（13分）
令，解得．
直线恒过定点．（14分）
16．过抛物线上一点作直线交抛物线于另一点．
（Ⅰ）若直线的斜率为1，求线段的长；
（Ⅱ）不过点的动直线交抛物线于，两点，且以为直径的圆经过点，问动直线是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）把点的坐标代入抛物线可得，
所以抛物线的方程为：，
由题意可得直线的方程为：，即，
与抛物线联立，整理可得：，解得：或，可得交点或，
所以；
（Ⅱ）设直线为：，，，，，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，
△，即，
，，
因为，所以，
，，，
整理可得：，
整理可得：，
即，
，可得不是恒成立，或（符合△，
所以直线为：，
即，直线恒过点．
17．如图所示，已知椭圆的离心率为，的右焦点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右顶点为，不经过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过，求证：直线恒过定点，并求出此定点坐标．
【解答】解：（1）椭圆的离心率为，，即．（2分）
椭圆的右焦点到直线的距离为．
，．（4分）
解得，又，，故椭圆的方程为．（5分）
（2）由题意可知，直线的斜率为0时，不合题意，
不妨设直线的方程为，
由，消去得，
设，，，，则，．（7分）
以为直径的圆过椭圆右顶点，，
即．（9分）
，
解得或（舍（11分）
故直线恒过定点．（12分）
18．已知椭圆的左顶点是，左焦点为，上顶点为．
（1）当的面积为时，求的值；
（2）若直线交椭圆于，两点（不同于，以线段为直径的圆过点，试探究直线是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．
【解答】解：（1）由椭圆方程：，则，，，
由三角形的面积，，
则，解得：，
的值为；
（2）由线段过直径的圆过点，则，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，为，
设，，，，则，
整理得：，
则，则，故，
则，，
直线的方程为，同理可得：，，
当的斜率不存在时，显然可得，此时，，，，
则圆心为，，
由直线总穿过轴，证明当的斜率存在时，也过点，，
当的斜率存在时，，
综上可知：过定点，．
19．已知椭圆的左右顶点分别为、，点为椭圆上异于，的任意一点．
（Ⅰ）求直线与的斜率乘积的值；
（Ⅱ）设，，过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点，则是否存在实数，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）．设点，，
则有，
即，
．
（Ⅱ）假设存在实数，使得以为直径的圆恒过点；
设，，，，
与轴不重合，
设直线的方程为，，
由化简得，
，
由题意可知△成立，且，；
，，
，，
将，代入上式可得，
，
即，
即，
即，
解得，（舍去）或．
故．
（北京）股份有限公司第12讲 破解离心率问题之内切圆问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，△的内切圆的圆心为，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：过点作的垂线，垂足为，，
设圆与轴切于点，，
则，
，即，则，
与双曲线的右顶点重合，
则，
解得，，
故离心率为：．
故选：．
2．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．2
【解答】解：，的内切圆半径为1，
在直角三角形中，，
可得，
由双曲线的定义可得，
，
，
由图形的对称性知：，
．
，
，
．
故选：．
3．椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，△的重心为．若△的内切圆的直径等于，且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为△的重心为，所以在上且，
是△边上的高，是△的内切圆的半径，
，所以，
，
所以，
所以，所以离心率为，
故选：．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上两点，且，设△的内切圆圆心为，△的内切圆圆心为，直线与线段交于点，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如右图所示：
由题意知为的角平分线，由角平分线的性质得，
因为，所以，
由双曲线的定义得，因此，，
因为，所以，，由双曲线的定义得，
由勾股定理逆定理可得，
由在△中，，
即，所以，．
故选：．
5．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆的焦点为，，，
根据正弦定理可得，
，．
设，，则，
由余弦定理得，，
，
，
又，
，即，故，
解得：或（舍．
故选：．
6．已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若△的内切圆半径的最大值为，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设△的内切圆的半径为，则，
而，
所以，
所以，
由题意可得，
即，
所以，可得，即，
可得离心率，
故选：．
7．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于、两点在第一象限），若△与△内切圆半径之比为，则双曲线离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，由题意设△与△内切圆圆心分别为，，对应的切点分别是，，，，，
则，，，，
所以，而，
故，所以，，
设直线的倾斜角为，则，，
所以，，
由题意，可得，化弦后整理得，
结合，得，所以，
则要使直线与双曲线右支交于两点，只需渐近线斜率满足，
所以，
故即为所求．
故选：．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若△的内切圆半径为，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．3
【解答】解：设双曲线的左、右焦点，，，
设双曲线的一条渐近线方程为，
可得直线的方程，
联立双曲线，
可得，，
设，，
由三角形的面积的等积法可得，
，
化简可得①，
由双曲线的定义可得②，
在三角形中，，
为直线的倾斜角），
由，，
可得，
可得③，
由①②③化简可得，
，
所以（舍，，
所以离心率，
故选：．
9．已知双曲线，点是该双曲线右支上的一点．点，分别为左、右焦点，直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：由双曲线的方程知，，，
设内切圆与，分别相切于点，，，，
由内切圆的性质知，，，
由对称性知，，
，
由双曲线的定义知，，
，
离心率．
故选：．
10．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆的焦点为，，，
根据正弦定理可得，
，．
设，，则，
由余弦定理得，，
，
，
又，
，即，故，
解得：或（舍．
故选：．
11．过双曲线的右焦点的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于，两点，且，为坐标原点，若内切圆的半径为，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设的内切圆圆心为，则在轴上，过点分别作于，于，
由得，四边形为正方形，
焦点到渐近线的距离，
又，，
，，，
离心率．
故选：．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，△的内切圆的圆心为，，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
设圆与轴切于点，，则，
，即，则，
又，
且，
，得，
又，联立解得，，
双曲线的离心率为．
故选：．
13．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，，
所以，即，
在三角形中，
，
解得，则，
又由三角形的内切圆半径为，
由等面积法可得，则，
由已知可得，
所以，整理可得，解得或（舍去），
所以椭圆的离心率，
故选：．
14．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，点是右支上的一点．直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：双曲线的，
设的内切圆在边上的切点为，在边上的切点为，
如图可设，，，，
由双曲线的定义可得，
即有，
所以．
故选：．
15．已知点，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点与△的内切圆圆心的直线交轴于点，且，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】：△内切圆的圆心，则是三角形的角平分线的交点，
由角平分线定理可得，
所以离心率，
故选：．
16．点是双曲线右支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，点是△的内切圆圆心，记，，△的面积分别为，，，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．
【解答】解：设△的内切圆半径为，则，，，
所以，所以，所以，
故选：．
17．点是双曲线右支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，点是△的内切圆圆心，记，，△的面积分别为，，，若恒成立，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
【解答】解：设△的内切圆半径为，
则，，，
所以，
所以，所以，
故选：．
18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的一点，若，且△外接圆与内切圆的半径之比为，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2
【解答】解：设△外接圆半径为，内切圆的半径为，
设，，
则，
，，
又，
即，即，
又，
得，即，
△的面积，
即，
，
，
即，
平方得，
即，
即，
，
即，
得，得，得，
即，
故选：．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在一点，使得，且△内切圆的半径大于，则的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，△内切圆的半径为，
因为，所以在三角形中，
由余弦定理可得：，
则，
由等面积法可得，
整理得，故，
又，则，
从而，
故选：．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，，△的内切圆与外接圆的半径分别为，，若，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，则．
因为，
所以，
则，则．
由等面积法可得，
整理得，
因为，所以，故．
故选：．
二．多选题（共2小题）
21．过双曲线的右焦点作直线，直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，在轴同侧）．设为坐标原点，则下列结论正确的有　　
A．
B．若双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率等于2
C．若，则双曲线的一条渐近线的斜率为
D．若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率等于
【解答】解：由题意如图所示：设，因为，可得，，
所以，所以正确；
中，由双曲线的一条渐近线的斜率为，即，所以离心率，所以不正确；
中，由题意可得，所以可得，则，
可得，
而直线的方程为与渐近线联立可得，，
所以，可得，，整理可得：，解得或，所以不正确；
中，若，在轴同侧，不妨设在第一象限．
如图，设内切圆的圆心为，则在的平分线上，过点分别作于，于，
由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，
又，所以，
所以，从而可得，故正确；
故选：．
22．已知双曲线的左．右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是　　
A．双曲线的离心率为 B．△的面积为
C．△内切圆半径为 D．△的内心在直线上
【解答】解：对于，设△的内心为，过作，，的垂线，垂足分别为，，，如图：
则，所以，则△的内心在直线上，故正确；
因为为等边三角形，当，都在同一支上时，则垂直于轴，可得，
由题意可得，又，，
所以可得，，解得：；
△的面积，
设△内切圆的半径为，
则由等面积法可得，；
当，都在双曲线的左，右两支上时，设，
，由双曲线的定义可知，得，
在△中由余弦定理，，得，
△的面积，
设内切圆的半径为，则，得，故错误；
而不论什么情况下△的面积为，故正确．
故选：．
三．填空题（共16小题）
23．椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于、两点，、两点的坐标分别为，，，，若，且内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 　　．
【解答】解：（1）由性质可知△的周长为，内切圆半径为1，
则，
又，可得，即．
故答案为：．
24．双曲线的离心率是，点，是该双曲线的两焦点，在双曲线上，且轴，则△的内切圆和外接圆半径之比　　．
【解答】解：由，得，则，
设，，，，
因为轴，所以，所以，
所以△的内切圆半径为，
△的外接圆半径为，
所以△的内切圆和外接圆半径之比．
故答案为：．
25．过双曲线右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点．已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为 　或2　．
【解答】解：（1）若，在轴同侧，不妨设在第一象限．
如图，设内切圆的圆心为，则在的平分线上，过点分别作于，于，
由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，
又，所以，
所以，从而可得；
（2）若，在轴异侧，不妨设在第一象限如图，易知，，，
所以的内切圆半径为，
所以，
又因为，所以，，
所以，，
则，从而可得．
综上，双曲线的离心率为或2．
故答案为：2或．
26．已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若△的内切圆半径的最大值为，则椭圆的离心率为 　　．
【解答】解：设△的内切圆半径为，则，
，
，
所以，即的最大值为，
由题意可得，
所以可知，即，
可得
所以椭圆的离心率
故答案为：．
27．已知点、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点与△的内切圆圆心的直线交轴于点，且，，则该椭圆的离心率取值范围为 　，　．
【解答】解：△内切圆的圆心，则是三角形的角平分线的交点，
由角平分线定理可得，即，
因为，所以，
故答案为：，．
28．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上的一点，与椭圆交于．若△的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为 　　．
【解答】解：为的中点，
，
△的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，
由内切圆的性质可得，，
为椭圆上的一点，
，
，，，
设△的内切圆与切于，
结合内切圆的性质可得，，
与椭圆交于，
，
，为切点，
由内切圆的性质可得，，
又，
，
△为等边三角形，
，
．
故答案为：．
29．如图，焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为 　　．
【解答】解：设的内切圆的圆心为，、与圆的切点分别为、，
连结、、，
由题意得，，
，
，
则，
所以，
故答案为：．
30．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、与轴垂直的直线经过，交于、两点．记．若内切圆的半径为，则的离心率为 　　．
【解答】解：不妨设在第一象限，则直线方程为，
把代入可得，故，
．若内切圆的半径为，
可得，，可得
椭圆的离心率．
故答案为：．
31．已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线过点与轴交于点，与双曲线的右支交于点，的内切圆与边切于点，若，则双曲线的离心率为 　　．
【解答】解：根据题意画图：
设，分别为内切圆与，的切点，
故，，，
根据双曲线的定义，
又
，
所以，
又因为，
所以，
所以，
故答案为：．
32．椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形．若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为 　　．
【解答】解：由椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成的三角形面积，
该三角形的周长为，由题意得，即，
所以．
故答案为：．
33．已知点为双曲线的左焦点，为该双曲线渐近线在第一象限内的点，过原点作的垂线交于点，若恰为线段的中点，且的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为　　．
【解答】解：设，，
由题意知，点在渐近线上，点在渐近线上，
，，，，
为线段的中点，且，
，解得，
，，，
的内切圆半径为，
，即，
化简得，，
离心率．
故答案为：．
34．已知抛物线的准线与双曲线的渐近线分别交于，两点，是坐标原点．若的内切圆的周长为，则内切圆的圆心坐标为　，　，双曲线的离心率为　　．
【解答】解：由抛物线的方程可得抛物线的准线方程为：，
由双曲线的方程可得双曲线的渐近线方程为，
设三角形的内切圆半径为，则，所以，
所以圆心坐标为，，
且圆心到直线的距离为，
解得，所以，
则双曲线的离心率为，
故答案为：，．
35．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为　　．
【解答】解：由题意，，
，即，
在△中，
，可得，
得，
又△的内切圆的半径，由等面积法可得：，
则，由已知，可得，
则，结合正弦定理可得，
，整理可得，解得或（舍．
故答案为：．
36．如图，已知为双曲线的右焦点，过点的直线交两渐近线于，两点．若，内切圆的半径，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：过作垂直渐近线于，则，
，，，
在中，由余弦定理知，，
即，
解得，
设的内心为，作于，则，，
，，
，即，
．
故答案为：．
37．点是双曲线右支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，点是△的内切圆圆心，记，，△的面积分别为，，，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是　，．　．
【解答】解：设三角形内切圆的半径为，
则，，，
，
，即，
，又，
．
故答案为：，．
38．如图，中，，为上一点，且，的内切圆与边相切于，且．设以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，则的值为　　．
【解答】解：如图，设，分别是，与圆的切点．
由圆的切线的性质可得，，，
又因为，所以，即，
设，由，可得，则，
，
在中，，即
所以以，为焦点且经过点的椭圆的离心率为；
以，为焦点且经过点的双曲线的离心率为，
所以．
故答案为：．
（北京）股份有限公第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结
一．解答题（共16小题）
1．已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别是、．
（1）若△为等边三角形，求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的短轴长为2，过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，求直线的方程．
2．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．
3．设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点且为原点），求直线的斜率．
4．已知椭圆，抛物线，点，斜率为的直线交抛物线于、两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点．
（1）若抛物线的准线经过点，求抛物线的标准方程和焦点坐标：
（2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由．
5．已知椭圆过点，左右焦点分别为，，且线段与轴的交点恰好为线段的中点，为坐标原点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）与直线的斜率相同的直线与椭圆相交于，两点，求当的面积最大时直线的方程．
6．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点（不同于点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知椭圆经过点，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．
8．已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上，直线的斜率为，直线被圆截得的线段的长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线为原点）的斜率的取值范围．
9．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足，
（1）求抛物线的方程；
（2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．
10．设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段的中点．
（1）若是正三角形为坐标原点），求此三角形的边长；
（2）若，求直线的方程；
（3）试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（只需直接写出结果）
11．如图，已知椭圆与圆在第一象限相交于点，椭圆的左、右焦点，都在圆上，且线段为圆的直径．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，且直线与轴相交于点，为线段的中点，为坐标原点，若，求的最大值．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴．
（1）求椭圆的方程；
（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值．
13．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，线段的中点为，直线与直线的交点为．判断是否为定值．若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
14．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．
（1）圆上点，处的切线方程为 　　．理由如下：　　．
（2）椭圆上一点，处的切线方程为；
（3）是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，如图，则直线的方程是 　　．这是因为在，，，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；
（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，
化简得△得．
若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为 　　．
（5）抛物线上一点，处的切线方程为；
（6）抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，分别过点，作抛物线的两条切线和，设，，，，则直线的方程为．直线的方程为，设和相交于点．则①点在以线段为直径的圆上；②点在抛物线的准线上．
15．如图1，在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，，为椭圆的左右顶点，、是左、右焦点．
（1）已知椭圆内有一点，在椭圆上有一动点，则求的最大值和最小值分别是多少？
（2）如图1，若直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点，设过点垂直于的直线为．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
（3）如图2，若直线过左焦点交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点，求证：以线段为直径的圆恒过两个定点．
（4）如图3，若，是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上除，外的任意一点，当直线，的斜率都存在，并记为为定值．
（5）如图4，若动直线与椭圆有且只有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．
（6）如图5，若过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点．试探究：线段上是否存在点使得，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由．
（7）如图6，若点为抛物线上的动点，设为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的？①点在椭圆上；②点为的重心，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
16．已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，．如图所示．
（1）求抛物线的焦点坐标；
（2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标；
（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．
（北京）股份有限公第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形
一．选择题（共8小题）
1．已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点．若，，则的方程为　　
A． B． C． D．
2．若椭圆和双曲线有相同的焦点，，是两条曲线的一个交点，则的值是　　
A． B． C． D．
3．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，，△的面积为，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
4．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与此双曲线在第一象限内的交点为，且，则此双曲线的离心率是　　
A． B．2 C．4 D．5
5．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
6．已知双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
7．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则　　
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，已知双曲线的一条渐近线方程为，且，则实数的值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
二．多选题（共2小题）
9．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为的中点，则　　
A．以线段为直径的圆与轴相切
B．当时，
C．以线段为直径的圆与直线相离
D．的最小值为3
10．已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，，，两点，直线，分别于直线相交于，两点．则下列说法正确的是　　
A．焦点的坐标为
B．
C．的最小值为4
D．与的面积之比为定值
三．填空题（共7小题）
11．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线与椭圆交于、两点，若，，则的方程为　　．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足为坐标原点）．若，则椭圆的离心率为 　　．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为　　．
14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，．若梯形的面积为，则　　．
15．过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，，若梯形的面积为，则　　．
16．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于，两点，又过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，若梯形的面积为，则　　
17．在平面直角坐标系中，双曲线．的右支与焦点为的抛物线交于，两点，已知双曲线的离心率为，若．则　　．
四．解答题（共1小题）
18．已知椭圆过点，，椭圆与轴交于，两点，与轴交于，两点．
（1）求四边形的面积；
（2）若四边形的内切圆的半径为，点，在椭圆上，直线斜率存在，且与圆相切，切点为，求证：．
（北京）股份有限公司第5讲 利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点，分别为双曲线的左、右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，
双曲线的渐近线被圆，即所截得的两条弦长之和为12，
设圆心到直线的距离为，则，
，
即，
即
，
，
，
由正弦定理可得，
，，，
，
故选：．
2．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：在等腰三角形中，，，
可得，
由双曲线的定义可得，
即有．
故选：．
3．已知，为双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，△是等腰直角三角形，，则双曲线的离心率为　　
A．4 B． C．2 D．
【解答】解：设，，
△是等腰直角三角形，，
，，
由，
，①
由，
，②
由①②可得，，
由余弦定理可得，
，
，
故选：．
4．已知，分别是双曲线的左右焦点，的右支上的一动点，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
【解答】解：，分别是双曲线的左右焦点，
，，得，双曲线的焦距为，
，，
点在双曲线上运动，，
，
，
，，
当，时，，
当，时，，
，
的取值范围是，．
故选：．
5．已知双曲线的一条渐近线方程，且点为双曲线右支上一点，且，为双曲线左右焦点，△的面积为，且，则双曲线的实轴的长为　　
A．1 B．2 C．4 D．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
由一条渐近线方程为，可得，
由双曲线定义有，
两边平方得①
由余弦定理，有，
即为②
由①②可得，
△的面积为，可得，
解得，，
故选：．
6．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，，则的长为　　
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线的，
在等腰三角形中，，，
可得，
由双曲线的定义可得，
解得，
则，
故选：．
7．已知点和是椭圆上一动点，则的最大值　　
A． B． C． D．
【解答】解：为椭圆左焦点，设右焦点为，则由椭圆定义，于是．
当不在直线与椭圆交点上时，、、三点构成三角形，于是，
而当在直线与椭圆交点上时，在第三象限交点时有，在第一象限交点时有．
显然当在直线与椭圆第一象限交点时有最大值，其最大值为
．
故选：．
8．已知为经过抛物线焦点的弦，为抛物线的准线与轴的交点，若弦的斜率为，则的正切值为　　
A． B． C．1 D．不存在
【解答】解：抛物线方程为，
焦点坐标为，，准线方程为
点坐标为，
直线经过点，，的斜率为，
设点的坐标为，，，
代入抛物线方程可得，，
可以解得，或（舍去），
，
同理，可以解得，，
．
故选：．
9．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比　　
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线方程为，
焦点的坐标为，，准线方程为，
如图，设，，，，
过，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，
则，
，
把代入抛物线，得，，
直线过点与
方程为，代入抛物线方程，解得，，
，
在中，，
，
故选：．
二．填空题（共8小题）
10．已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为　，　．
【解答】解：法一：，，
，，
，
，
设，则，
，，．
法二：，，令，，
，，，，
，，，
．
故答案为：，．
11．设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为　15　，最小值为　　．
【解答】解：将的坐标代入椭圆方程可得，即在椭圆外，
连结、，椭圆的，，，
，，
由椭圆的定义可得，，
，
由，
，
，
的最大值和最小值分别为15和
故答案为：15，．
12．设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最小值为　　．
【解答】解：．
，．
，当且仅当三点，，共线时取等号．
故答案为：．
13．已知点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：根据题意，设双曲线的左焦点为，连接，
设圆的圆心为，圆的方程为的圆心为，，半径，
则有，
若，则，，；
线段与圆相切于点，则以及，
则有，
即，
即，
由双曲线的性质有，
则双曲线的离心率；
故答案为：．
14．抛物线的过焦点的弦，为坐标原点，则以为直径的圆与轴有　1　个公共点；抛物线准线与轴交于点，若，　 　．
【解答】解：抛物线的焦点，准线方程为，
设，由抛物线的定义可得，
设的中点为，可得到准线的距离为，
即有到轴的距离为，
则以为直径的圆与轴相切，可得与轴有1个交点；
由，可得直线的斜率为，
即有直线的方程为，代入抛物线的方程，可得
，解得，
即有，，，，，
可得直线的斜率为，
直线的斜率为，
则，，
由，，
解得，
则．
故答案为：1，．
15．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比　　．
【解答】解：抛物线方程为，焦点的坐标为，，准线方程为如图，设，，，，过，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，则，，
把代入抛物线，得，，
直线过点与，
方程为，代入抛物线方程，解得，
，
在中，，
，
故答案为
16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则　2　．
【解答】解：抛物线的焦点，
过，两点的直线方程为，
联立可得，，
设，，，，
则，，
，，
，
，，，，
，
，
整理可得，，
，
即，
．
故答案为：2
17．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于、两点，若以为直径的圆过，则　2　
【解答】解：抛物线的焦点，
过，两点的直线方程为，
联立，可得，
设，，，，
则，，
，，
，
，，，，
以为直径的圆过，，
，
整理可得，，
，
即，解得．
故答案为：2
三．解答题（共1小题）
18．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．
【解答】解：（1）设，由得，
，
可得，
又，
可得，，
椭圆方程为：；
设直线的方程为，，，，
由方程组得，
，
解得，或，
由题意可知，
进而得，
由（1）知，，设，
则，
，
由题意得，，
解得，
直线的方程为，
与直线的方程联立，可得点的横坐标
，
在中，由，
得，
得，
，
解得，或，
故直线的斜率的取值范围为：．
（北京）股份有限公司第17讲 直线的斜率问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共18小题）
1．已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率；
（Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为．
所以，，．
所以椭圆的离心率．
（Ⅱ）因为过点且垂直于轴，所以可设，．
直线的方程为．
令，得．
所以直线的斜率．
（Ⅲ）直线与直线平行．证明如下：
当直线的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知．
又因为直线的斜率，所以．
当直线的斜率存在时，设其方程为．
设，，，，则直线的方程为．
令，得点．
由，得．
所以，．直线的斜率为：，因为
所以，
．
综上，直线与直线平行．
2．设椭圆的焦距为，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）椭圆的焦距为，且经过点，
根据题意得：，即①，
把代入椭圆方程得：，
把代入①得：，
则椭圆的标准方程为；
（2）直线与直线平行．
证明如下：
过点且垂直于轴，
可设，，
，直线的方程为：，
令，得，
直线的斜率．
当直线的斜率不存在时，．
又直线的斜率，；
当直线的斜率存在时，设其方程为，
设，，，，
则直线的方程为，
令，则点，
直线的斜率，
联立，得，
由韦达定理，得，，
，
，即；
综上所述，直线与直线平行．
3．如图，，分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，2是与的等差中项，是与的等比中项．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点是椭圆上异于，的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线垂直于，并交直线于点．证明：，，三点共线．
【解答】（1）解：，，．由2是与的等差中项，是与的等比中项．
，解得，，
．
椭圆的方程为．
（2）证明：直线的方程为：，直线的方程为：，
联立，化为，
，
，，
，．
直线的方程为：，
把代入上述方程可得，
．
，．
，
，，三点共线．
4．已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．
（Ⅰ）当，时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）方法一、时，椭圆的方程为，，
直线的方程为，代入椭圆方程，整理可得，
解得或，则，
由，可得，
由，，可得，
整理可得，由无实根，可得，
即有的面积为；
方法二、由，可得，关于轴对称，
由．可得直线的斜率为1，直线的方程为，
代入椭圆方程，可得，
解得或，，，，，
则的面积为；
（Ⅱ）直线的方程为，代入椭圆方程，
可得，
解得或，
（补充求，的纵坐标的方法：
设，，则直线的方程为，与椭圆的方程联立，可得，
因此的纵坐标为，的纵坐标为
即有，
，
由，可得，
整理得，
由椭圆的焦点在轴上，则，即有，即有，
可得，即的取值范围是，．
5．已知椭圆的右焦点为，左顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的），两点．试判断直线与轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意，椭圆的右焦点为，
左顶点为，则，，
则．
所以椭圆的方程为．
（2）根据题意，
①当直线与轴垂直时，直线的方程为，
联立得，解得．
此时直线的方程为．直线与轴的交点为．
②当直线不垂直于轴时，设直线的方程为．
联立得．
设，，，，
则，
且△，即．
而，
由题意知，，
即，
解得或（舍去）．
当时，满足．
直线的方程为，此时与轴的交点为．
故直线与轴的交点是定点，坐标为．
6．已知椭圆过点，为椭圆的半焦距，且．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作两条相互垂直的直线，与椭圆分别交于另两点，，若线段的中点在轴上，求此时直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由，可得，椭圆过点，
可得，解得，，
所以椭圆的方程为：．．（4分）
（Ⅱ）设，，，，
则，
两式相减得，
因为线段的中点在轴上，
所以，从而可得．（7分）
若，则，．
因为过点作两条相互垂直的直线，，所以，
所以，得．
又因为，所以解得，
所以，或，．
所以直线的方程为．（10分）
若，则，，
因为，所以，得．
又因为，所以解得或，
经检验：满足条件，不满足条件．
综上，直线的方程为或．（13分）．
7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）如图，过圆上一点作圆的切线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，以为直径的圆经过双曲线的右顶点，求直线的方程．
【解答】解：（1）由题意，，解得，
双曲线的方程为；
（2）由已知直线的斜率存在，设，则，即，
联立，得．
设，，，，
，解得．
，，
又，，，，，
以为直径的圆经过双曲线的右顶点，
，即
．
，
则，得或．
①当时，点与右顶点重合，不合题意舍去；
②当时，代入，解得，满足条件．
直线的方程为或．
8．已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点为坐标原点，直线与轴交于点，且与一条渐近线交于点，又，过点的直线与双曲线右支交于点，，点为点关于轴的对称点．
（1）求双曲线的方程；
（2）判断，，三点是否共线，并说明理由；
（3）求三角形面积的最小值．
【解答】解：（1），
，，
双曲线的方程为；
（2）由（1）可知，，
由题意直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，代入整理得，
设，，，，则，．
由韦达定理知，
所以．
因为
向量共线，所以，，三点共线．
（3）因为直线与双曲线右支交于点，，所以，得．
，
令，则，，，
又，所以，即时，三角形面积的最小值18．
9．设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：．
【解答】解：（1），
，
与轴垂直，
，
由，解得或，
，或，
直线的方程为，，
证明：（2）当与轴重合时，，
当与轴垂直时，为的垂直平分线，，
当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，
，，，，则，，
直线，的斜率之和为，之和为，
由，得，
将代入可得，
，，
从而，
故，的倾斜角互补，
，
综上．
10．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．
（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程．
（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由）
【解答】解：联立，不妨取，，
由曲线可得：，
曲线在点处的切线斜率为，其切线方程为：，化为．
同理可得曲线在点处的切线方程为：．
存在符合条件的点，下面给出证明：
设满足．，，，，直线，的斜率分别为：，．
联立，化为，
，．
．
当时，，直线，的倾斜角互补，
．
点符合条件．
11．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．
（1）当时，分别求在点和处的切线方程；
（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．
【解答】解：（1）联立，可得，，或，．
，故在处的导数值为，
在处的切线方程为，即．
故在处的导数值为，
在处的切线方程为，即．
故所求切线方程为或．
（2）存在符合题意的点，证明如下：
设为符合题意的点，，，，，直线，的斜率分别为，．
将代入得方程整理得．
，．
．
当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，
故，所以符合题意．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且也是抛物线的焦点，为椭圆与抛物线在第一象限的交点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时，总有？说明理由．
【解答】解：（1）也是抛物线的焦点，
，
，且抛物线的准线方程为，
设点，
，
，
，
，
，
，
解得，，
椭圆方程为，
（2）假设存在满足．设，，，
联立得，
由韦达定理有，①，其中△恒成立，
由（显然，的斜率存在），故即②，
由，两点在直线上，故，，
代入②整理有③，
将①代入③即有：④，要使得④与的取值无关，当且仅当“ “时成立，
综上所述存在，使得当变化时，总有．
13．一个圆经过点，且和直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点、，若轴是的角平分线，证明直线过定点．
【解答】解：（1）设动圆圆心，则由抛物线定义易得：点是以为焦点，以为准线的抛物线，
动圆圆心的轨迹方程为：
（2）设两点，，，，设不垂直于轴的直线：，
则有：，所以：，
因为轴是的角平分线，
所以：，即：，即：
则：，
所以：，，
所以直线过定点
14．设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点．
（1）若过点，且，求的斜率；
（2）若，且的斜率为，当时，求在轴上的截距的取值范围（用表示），并证明的平分线始终与轴平行．
【解答】解：（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线方程可得，即，
所以，
但，故直线的斜率存在，设其方程为．
由得，
设，，，，则，
所以，
解得，所以直线的斜率为．
（2）设直线的方程为，，，，．
得，
则．
由△，得．又，所以，
从而在轴上的截距的取值范围为．
，
所以直线，的斜率互补，
从而的平分线始终与轴平行．
15．如图，若是抛物线上的一定点不是顶点），动弦、分别交轴于、两点，且．证明：直线的斜率为定值．
【解答】证明：设，，直线的斜率为，
方程为．
则直线的斜率为，方程为．
由
点的坐标为．（5分）
同理可得，点的坐标为．
所以，
所以直线的斜率为定值．（10分）
16．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、．如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可设直线的方程为，令，，，．
联立得，，
根据抛物线的定义得，又，又，，．
则此抛物线的方程为．
（Ⅱ）设直线、的倾斜角分别为、，直线的斜率为，则．
由于直线、的倾斜角互余，则，
则直线的斜率为．
于是直线的方程为，即，
联立得，，
则，
，，
同理将换成得：，，
．
则直线的方程为，
即，显然当，．
所以直线经过定点．
17．已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为．
（1）设，，，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；
（2）设与的斜率之积为，求面积的值．
【解答】解：（1）依题意，直线的方程为，由点到直线间的距离公式得：点到直线的距离，
因为，所以；
当与时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；
（2）方法一：设直线的斜率为，则直线的斜率为，
设直线的方程为，联立方程组，消去解得，
根据对称性，设，则，
同理可得，，所以．
方法二：设直线、的斜率分别为、，则，
所以，
，
，、，在椭圆上，
，
即，
所以，即，
所以．
18．设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为．已知椭圆的短轴长为，且椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于异于点的两点，，且直线与的斜率之和等于2，证明：直线经过定点．
【解答】解：（1）由已知可得，解得，
又椭圆过点，所以，解得，
故椭圆的方程为；
（2）证明：由（1）可得点，设，，，，
当直线的斜率不存在时，设其方程为，有，
所以，
解得，此时直线的方程为，
当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立可得：
，
则，
又，
所以，即，
所以，
整理可得，
因为直线不过点，所以，则，即，
所以直线的方程为，即，所以直线恒过定点，
此点也在直线上，
所以直线恒过定点．
（北京）股份有第13讲 破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．已知椭圆的左、右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点．设直线，的斜率分别为，，则当取最小值时，椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可得，，设，
则，
而，，
所以，
又
，
令，
则，
所以，
所以当时，最小，即，
所以，
故选：．
2．已知椭圆的左、右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点．设直线，的斜率分别为，，则当取最小值时，椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，设，，则，
则，，，
则．
令，，
，
故时，取最小值，
椭圆的离心率为．
故选：．
3．已知椭圆的左，右顶点分别为，，点是椭圆上与，不重合的动点，若直线，斜率之积为，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，，设，，
则由在椭圆上可得，①
直线与的斜率之积为，
，②
把①代入②化简可得，
，
故选：．
4．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的点，直线，的斜率分别为，，若，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，，设，，
则由在椭圆上可得，①
直线与的斜率之积为，
，②
把①代入②化简可得，，离心率．
故选：．
5．已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，，若的最小值为2，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，，
，，
两式相减，得，，
，
，当且仅当时取等号，
又当时，，，三点共线不符合条件，当时取等号，
的最小值为2，，
，离心率．
故选：．
6．双曲线，为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线，斜率分别为，，若，则双曲线离心率为　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：由题意，设，，，，则，
，
，，
两式相减可得，即，
，
，
，
．
故选：．
7．双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线、斜率分别为、，若，则双曲线离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：由题意，设，，，，则，
，
，，
两式相减可得
，
，
，
，
．
故选：．
8．设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则此双曲线的离心率为　　
A．2 B．3 C． D．
【解答】解：设，，，，
是线段的中点，，，
把，，，分别代入双曲线，
得，
，
直线的斜率，
，，，
的斜率，
与的斜率的乘积等于2，
，
，
此双曲线的离心率．
故选：．
9．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：设双曲线的左焦点为，连结，，设，则，
所以，．
在△中，由余弦定理得，
，
化简消去，可得，
解得．
故选：．
10．已知双曲线的右焦点为，若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点，且，则双曲线的离心率的取值范围是　　
A．， B． C．， D．
【解答】解：设，根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点，且，
，，
若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点，需保证．
，则，
．
根据双曲线的渐近线为，则，
根据双曲线的离心率，
根据双曲线的离心率，
．
故选：．
11．已知斜率为的直线分别交双曲线的左、右支于点，，线段的中点为，若（点为坐标原点）的斜率为2，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：设，，，，，，则，，
因为（点 为坐标原点）的斜率为2，
所以，所以，
因为，，，在双曲线 上，
所以，
两式相减得，
所以，
所以，所以，
所以，
所以离心率为，
故选：．
12．已知椭圆上关于原点对称的两点为，，点为椭圆上异于，的一点，直线和直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
设，，，，，，
，，两式相减得：，即．
直线，斜率之积为，，．
椭圆的离心率．
故选：．
13．如图，已知，，是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于，且不与，关于坐标轴对称的任意一点，若直线，的斜率之积为，且双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为　　
A．2 B． C． D．
【解答】解：设，，，则，，
则，，
由题意知，
所以，
故选：．
14．已知，分别为椭圆的左、右顶点，，是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线，的斜率分别为，，若，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，，设，，则，，
因为在椭圆上，所以，
所以
由题意，
所以可得，
所以椭圆的离心率，
故选：．
15．已知、分别是椭圆的左、右顶点，、是椭圆上两点关于轴对称，若、的斜率之积为，则椭圆的离心率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知、两点关于轴对称，设，，则，，且，
即．又，，
故、的斜率之积为，故，
所以椭圆离心率是．
故选：．
二．填空题（共10小题）
16．椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是　　．
【解答】解：由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，
即点到点与点的距离相等，
而，，
于，，即，
，又，故
故答案为：
17．已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为　　．
【解答】解：如图，，
作轴于点，则由，得，所以，，
即，由椭圆的第二定义得
又由，得，，解得，
故答案为：．
18．如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为　　．
【解答】解：如图，，
作轴于点，则由得：
，
所以，，
即，
由椭圆的第二定义得，
又由，得，，解得，
故答案为：
19．已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为　　．
【解答】解：如图，，
作轴于点，则由，得，所以，，
即，由椭圆的第二定义得
又由，得，，解得，
故答案为：．
20．设椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上且异于，两点，为坐标原点．若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为　　．
【解答】解：设点的坐标为，．
由题意，有，①
由，，得，．
由，可得，
代入①并整理得．
由于，故，于是，
椭圆的离心率．
故答案为：．
21．已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，，若的最小值为1，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：由题意，可设点，，．
，且．
两式相减得．
再由斜率公式得：．
根据的最小值为1，可知，
，
故答案为：．
22．在平面直角坐标系中，已知点是双曲线上的异于顶点的任意一点，过点作双曲线的切线，若，则双曲线离心率等于　　．
【解答】解：设，，则，
由于双曲线在点的切线方程为：，即在点切线的斜率，
因为，所以，
所以，又，
所以，可得离心率，
故答案为：
23．过双曲线右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为　　．
【解答】解：由题意过双曲线 ， 右顶点且斜率为 2 的直线，
与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率，
，
，
双曲线离心率的取值范围为．
故答案为：．
24．经过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线与双曲线有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为　2　．
【解答】解：经过双曲线的右焦点，
倾斜角为的直线与双曲线有且只有一个交点，
根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线平行，
，即，
，
．
故答案为：2．
25．已知双曲线，若存在过右焦点的直线与双曲线相交于、两点，且，则双曲线的离心率的最小值为　2　．
【解答】解：由题意，在双曲线的左支上，在右支上，
设，，，，右焦点，
，，
．
，，，
，，
双曲线离心率的最小值为2，
故答案为：2．
（北京）股份有限公司第10讲 几何法秒解离心率问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题）
1．过双曲线的右焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线左支于点，且是的中点，则双曲线离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，记右焦点为，则为的中点，
为的中点，为△的中位线，，
为切点，，，
点在双曲线上，，，
在中，有：，，即，
离心率，
故选：．
2．设，分别是双曲线的左、右焦点．圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：可设为第一象限的点，且，，
由题意可得，①
由双曲线的定义可得，②
由勾股定理可得，③
联立①②③消去，，可得：
，即，
则，
故选：．
3．如图，已知椭圆，过原点的直线与椭圆交于、两点，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，，则椭圆离心率的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：设椭圆的左焦点为，连接，，则四边形为矩形．
因此，
，，，
，
，
又，，
，，，，
，，
，，
故选：．
4．已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，则，，
而由椭圆的定义可知，
所以，所以，则，
在中，，
所以在△中，，
即，
整理可得：，所以，
故选：．
5．设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于点，，若，且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，因为，且，所以，可得，
，故．
过作，在直角三角形中，，，
由，可得．
即可得，
．
故选：．
6．如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之和为　　
A． B．4 C． D．
【解答】解：、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，
若，且，可得：，，，，
代入椭圆方程可得：，可得，
可得，解得．
代入双曲线方程可得：，
可得：，
可得：，解得，
则与的离心率之和为：．
故选：．
7．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点，，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为　　
A．3 B．2 C． D．
【解答】解：设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形．
，．
设，则，
，即，．
，，
又，
在△中，由余弦定理可得：，
即，，
双曲线的离心率．
故选：．
8．设椭圆的左、右两个焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆的左、右两个焦点分别为、，右顶点为，
为椭圆上一点，且，，
可知：，，设，可得，
，
，解得，
可得．
故选：．
9．已知双曲线过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点，、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，
即，
如下图所示：
由点到直线距离公式可知：，
又，，，，
设，
由双曲线对称性可知，
而，，
由正切二倍角公式可知：，
即，
化简可得：，即，
由双曲线离心率公式可知：．
故选：．
10．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为，
分别与联立，解得，，，，
中点坐标为，，
点满足，
，
，
，
．
故选：．
11．设双曲线的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为．已知，，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：令代入双曲线的方程可得，
由，可得，
即为，
即有①，
因为恒成立，
由双曲线的定义，可得恒成立，
由，，共线时，取得最小值，
可得，
即有②，
由，结合①②可得，
的范围是．
故选：．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，．若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：在△中，由正弦定理知，
，
，即，①
又在椭圆上，，②
联立①②得，
即，
同除以得，，得．
椭圆的离心率的取值范围为．
故选：．
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线支上，满足，，又直线与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：以，为边，作平行四边形，
如图所示：
则，，
又，所以，
因为对角线相等的平行线四边形是矩形，所以，
根据双曲线的性质，可知，
因为，所以，
即，，
在△中，有，
又，所以，
所以，
因为，，即，
所以，解得，
又因为双曲线的离心率，所以，
由题意知，双曲线的渐近线方程为，
又直线与双曲线的左右两支各交于一点，
所以直线的斜率大于双曲线的渐近线的斜率，
所以，即，
所以，解得（或舍去），
综上所述，．
故选：．
14．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的三等分点（靠近点），则的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，由，，，
所以，得．
所以．
故选：．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是右支上一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为，
则，，，
由双曲线的对称性可得，
由双曲线的定义可得
，解得，
又，即有，
离心率．
故选：．
16．已知双曲线的左顶点为，过双曲线的右焦点作轴的垂线交于点，点位于第一象限，若△为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：把代入双曲线，解得，
，
△为等腰直角三角形，，，
，即，
，即，
解得或（舍．
故选：．
17．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：，即，
由题意可得，所以到渐近线的距离，
圆的半径为，因为，
所以可得，
所以，
所以可得离心率，
故选：．
18．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2
【解答】解：双曲线的右顶点为，
以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．
若，可得到渐近线的距离为：，
可得：，即，可得离心率为：．
故选：．
19．过椭圆的左顶点作圆是椭圆的焦距）两条切线，切点分别为，，若，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：左顶点，因为，由椭圆的对称性可得，
所以，即，
所以离心率，
故选：．
二．填空题（共11小题）
20．已知是双曲线的一个焦点，是上的点，线段交以的实轴为直径的圆于，两点，且，是线段的三等分点，则的离心率为　　．
【解答】解：如图：，，，是的中点，也是的中点，
设，，，，
可得：，，
消去可得：，
即，即，，，解得，所以．
故答案为：．
21．设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为　　．
【解答】解：设椭圆的标准方程为：，
由，设，，，过做，
则，由椭圆的定义可得：，，
，即，①，，
由，即，
整理得：
解得，即，则
故答案为：．
22．如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，则的离心率是　　．
【解答】解：设，，
点为椭圆，
，，；
，即；①
又四边形为矩形，
，②
由①②解得，，
设双曲线的实轴长为，焦距为，
则，，
的离心率是．
故答案为：．
23．已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是　2　．
【解答】解：令，代入双曲线的方程可得，
由题意可设，，，，
由，可得
，即为，
由，，可得，
解得（负的舍去）．
故答案为：2．
24．已知直线与双曲线相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，为坐标原点），则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：设，则，
取双曲线的右焦点，连接，，
可得四边形为平行四边形，
可得，设在第一象限，可得，即，
由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，
可得，
化为，则．
故答案为：．
25．双曲线的左、右焦点分别是、，直线与曲线交于，两点，，且，则双曲线的离心率是 　　．
【解答】解：设，因为，则，，所以，，，
在三角形中，由余弦定理可得：，
整理可得：，
所以离心率，
故答案为：．
26．已知双曲线的右焦点为，，是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为　2　．
【解答】解：如图，由题知，
则，点是线段的中点，则，
故，
则，所以．
故答案为：2．
27．设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是　　．
【解答】解：不妨设双曲线的方程是，
由及双曲线的对称性知，，，关于轴对称，如图，
又满足条件的直线只有一对，
当直线与轴夹角为时，双曲线的渐近线与轴夹角大于，
双曲线与直线才能有交点，，，，
若双曲线的渐近线与轴夹角等于，则无交点，
且不可能存在，
当直线与轴夹角为时，双曲线渐近线与轴夹角小于，
双曲线与直线有一对交点，，，，
若双曲线的渐近线与轴夹角等于，也满足题中有一对直线，
但是如果大于，则有两对直线．不符合题意，
，则，
，，
解得．
故答案为．
28．已知点是椭圆的右焦点，点是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为　　．
【解答】解：如图，，
作轴于点，则由，
得：，
所以，，
即，
由椭圆的第二定义得，
又由，得，
，解得，
故答案为：．
29．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为．若，则的离心率是　　．
【解答】解：设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为，
则，，，
由双曲线的对称性可得，
由双曲线的定义可得
，解得，
又，即有，
离心率．
故答案为：．
30．已知双曲线的右顶点为，且以为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于，两点，若则双曲线的离心率的取值范围是　，　．
【解答】解：由题意可得，渐近线的方程为：，由双曲线及渐近线的对称性圆交于，，
过作于，由题意可得，
因为则，，所以，
则，
而由点到直线的距离公式可得，
所以，即，即，，
故答案为：，第7讲 破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且轴，若，则双曲线的离心率等于　　
A． B． C．2 D．3
【解答】解：，
设，，
，
，
即，
，
，
故选：．
2．如图，已知，为双曲线的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：连接，设，，
由双曲线的定义可得，
由题意可得，，
由双曲线的定义可得，
在三角形中，，
由余弦定理可得，
即为，
化简可得，
在直角三角形中，，，，，
所以，即为，
即．
故选：．
3．点是双曲线与圆的一个交点，且，其中、分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
圆必过双曲线的两个焦点，，
，则，，
故双曲线的离心率为．
故选：．
4．已知、分别为双曲线的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：圆的半径为，圆的直径为，
，
，，
，
，
，
故选：．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
△是直角三角形，，，
由椭圆的定义可得，，
，
．
故选：．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，．若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：在△中，由正弦定理知，
，
，即，①
又在椭圆上，，②
联立①②得，
即，
同除以得，，得．
椭圆的离心率的取值范围为．
故选：．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若
，则该椭圆的离心率不可能是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，因为点在椭圆上，所以，所以，
因为，所以，解得，
由题意可知，即，
由可得，即，显然成立，
由可得，则，又，所以，
故选：．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，若，则该椭圆的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
△是以为底的等腰三角形，，
过作交于，
则有，
，，
，，
即，解得．
该椭圆的离心率的取值范围是，．
故选：．
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由椭圆的方程可得右焦点，
由题意设直线的方程为，，，，，
联立，整理可得：，
则①，
若，则②，
①②联立，可得，
整理可得：，
解得，
故选：．
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，由点，向右准线作垂线，设垂足分别为，，
设，，．
由椭圆的第二定义，可得：，．
过点向直线作垂线，设垂足为，则
在中，．
即，
解得．
故选：．
11．已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，则，，
而由椭圆的定义可知，
所以，所以，则，
在中，，
所以在△中，，
即，
整理可得：，所以，
故选：．
二．填空题（共6小题）
12．已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与双曲线E交于A，B两点，满足|AF2|＝|F1F2|，且，则双曲线E的离心率e为 　　．
【解答】解：因为|AF2|＝|F1F2|，由双曲线的定义可得|AF1|＝2c﹣2a，
由，则|BF1|＝4c﹣4a，所以|BF2|＝|BF1|+2a＝4c﹣2a，
在△AF1F2中，由余弦定理可得cos∠AF1F2＝＝＝，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF1F2＝＝＝，
又因为cos∠AF1F2+cos∠BF1F2＝0，即+＝0，整理可得3c2+5a2﹣8ac＝0，
即3e2﹣8e+5＝0，解得：e＝或e＝1（舍），
故答案为：．
13．已知椭圆的左，右焦点为，，为椭圆上一点，若，，成等差数列，则椭圆的离心率为 　　．
【解答】解：因为，，成等差数列，所以，
即，所以．
故答案为：．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足为坐标原点）．若，则椭圆的离心率为 　　．
【解答】解：取的中点，连接，
所以可得，
又因为，所以，
即，而为的中点，所以，
可得，
因为，而，所以可得：，，
在△中，由勾股定理可得，
即，
可得，
所以，
故答案为：．
15．点是双曲线与圆的一个交点，且，其中，分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：如图所示，
圆的直径，是直角；
在△中，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为 　　．
【解答】解：设，，
由椭圆的定义得①，
由双曲线的定义得②，
①②得，，
①②得，，
由余弦定理可得，
所以③，
设，，
所以，
当即时，最大值为，
此时，
．
故答案为：．
17．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于、两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为　　．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，
，
直线的方程为，
与联立，可得或，
，
，
．
故答案为：
三．解答题（共1小题）
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使，求该椭圆的离心率的取值范围．
【解答】解：因为，即，
所以，
由正弦定理可得，即，而，
所以，
即，可得，解得，
所以该椭圆的离心率的范围，．
（北京）股份有限公司第4讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是　　
A． B． C． D．2
【解答】解：如图所示，设线段的中点为，连接．
设椭圆的右焦点为，连接．则．
又，．
设，
在中，，
．
故选：．
2．如图，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为　　
A． B．
C． D．以上三种可能都有
【解答】解：将点置于第一象限．
设是双曲线的右焦点，连接
、分别为、的中点，．
又由双曲线定义得，
，
．
故
．
故选：．
3．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，设是双曲线的右焦点，连接．
点，分别为线段，的中点，
由三角形中位线定理得到：
，
，连接，因为是圆的切线，
则，
在中，，，
．
．
故选：．
4．设，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，已知是和的等差中项，且，则该双曲线的离心率为　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：设，，由是和的等差中项，，
则点在的右支上，
，，即，
，，
由余弦定理可知：，
，
整理得，由，
，由，
解得：，
曲线的离心率为，
故选：．
5．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，延长，，交于点，
是平分线，且，
，为中点，
连接，为中点，为中点
在椭圆中，设点坐标为，
则，，
点在椭圆上，
，，
又当时，不成立，
．
故选：．
6．设，是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为　　
A．定值
B．定值
C．定值
D．不确定，随点位置变化而变化
【解答】解：过点作的垂线，垂足为，交的延长线于，
由三角形为等腰三角形，可得为的中点，
由双曲线的定义可得，
由三角形的中位线定理可得，
故选：．
7．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线与椭圆相切于点，椭圆的焦点为，，由光学性质知直线，与的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由光学性质知直线，与的夹角相等，则的角平分线所在的直线为法线，即与直线垂直的直线，
而直线，所以设所求的直线的方程为，
联立，整理可得：，解得，
代入直线的方程可得，可得，
即，
将代入所求的直线方程可得：，可得，
所以的角平分线所在的直线的方程为，
故选：．
8．根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知，分别是双曲线的左、右焦点，若从点发出的光线经双曲线右支上的点，反射后，反射光线为射线，则的角平分线所在的直线的斜率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知可得，在第一象限，
将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以，，
又由双曲线的方程可得，，所以，则，
所以，且点，都在直线上，又，
所以，所以，
设的角平分线为，则，
所以直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，
故选：．
9．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为，
分别与联立，解得，，，，
中点坐标为，，
点满足，
，
，
，
．
故选：．
10．椭圆的右焦点为关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，由题意可得，
由①②可得：，，代入③可得：，
解得，
可得，．
即，
可得
解得．
故选：．
二．多选题（共1小题）
11．已知，分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线，则下列正确的是　　
A．双曲线的方程为
B．
C．
D．点到轴的距离为
【解答】解：渐近线的方程为，，
到的距离为，，
，
双曲线的标准方程为，即选项正确；
，
，，
由角分线定理知，，即选项正确；
由双曲线的定义知，，
，，
在等腰△中，，
，
，
，即选项正确；
，
，即选项错误．
故选：．
三．填空题（共7小题）
12．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则　2　；点的坐标为　　．
【解答】解：椭圆的，，，
设椭圆的右焦点为，连接，
线段的中点在以原点为圆心，2为半径的圆，
连接，可得，
设的坐标为，可得，可得，，
由，，
故答案为：2；，．
13．已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 　　．
【解答】解：由于是抛物线的焦点，
得，，准线方程，
设，，，，
，
解得，
线段的中点横坐标为．
线段的中点到轴的距离为．
故答案为：．
14．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　　．
【解答】解：设，，连接、，
由抛物线定义，得，，在梯形中，．
由余弦定理得，
，
配方得，，
又，
得到．
，
即的最大值为．
故答案为：．
15．设抛物线的焦点为，已知，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　1　．
【解答】解：设，，
由抛物线定义，得，
在梯形中，．
由余弦定理得，
配方得，，
又 ，
得到．
，即的最大值为1．
故答案为：1
16．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　　．
【解答】解：设，，
由抛物线定义，得，
在梯形中，．
由余弦定理得，
，
配方得，，
又，
得到．
，即的最大值为．
故答案为：
17．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点，点的坐标为，为的平分线，则　6　．
【解答】解：
不妨设在双曲线的右支上
为的平分线
又
解得
故答案为6
18．如图，从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点，处的切线垂直于的角平分线．已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是　　．
【解答】解：由题意知，椭圆在点，处的切线方程为，且，
切线的斜率为，
而的角平分线的斜率为，
又切线垂直于的角平分线，
，即，．
故答案为：，．
四．解答题（共8小题）
19．已知椭圆的左右焦点分别为：，，为椭圆上除长轴端点外任意一点，△周长为12．
（1）求椭圆的方程；
（2）作的角平分线，与轴交于点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）椭圆的左右焦点分别为：，，，
△周长为12，
，
，则，
椭圆的方程为．
（2）在△中，，即，
为的角平分线，
，
由合比性质得，
即，
，
，
．
20．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点处的切线与直线、的夹角相等．已知，垂足为，，，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图的平面直角坐标系．
（1）求截口所在椭圆的方程；
（2）点为椭圆上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．
①是否存在，使得到和到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由；
②若的角平分线交轴于点，设直线的斜率为，直线、的斜率分别为，，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）设所求椭圆方程为，
则，
由椭圆的性质：，所以，
，
所以椭圆的方程为．
（2）由椭圆的方程为，则，．
①存在直线，使得到和到直线的距离之比为定值．
设椭圆上的点，，
则，到直线的距离，
所以，
所以，当时，（定值）．
即存在，使得到和到直线的距离之比为定值．
②设椭圆上的点，，则，
又椭圆在点，处的切线方程为，
证明如下：对于椭圆，
当，，则，
所以椭圆在，处的切线方程为，
又由，可以整理切线方程为：，
即切线方程为，即，也即．
所以椭圆在点，处的切线方程为，
同理可证：当，椭圆在点，处的切线方程为，
综述：椭圆在点，处的切线方程为，
所以在点，处的切线的斜率为，
又由光学性质可知：直线，所以，则．
所以，
，
那么．
21．在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线，四点，，，，，中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上．
求椭圆的方程；
（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于，两点，使得，再过作直线．证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解答】解：由题意有3个点在椭圆上，根据椭圆的对称性，则点，一定在椭圆上，
即①，（2分）
若点，在椭圆上，则点，必为的左顶点，
而，则点，一定不在椭圆上，
故点，在椭圆上，点，在直线上，（4分）
所以②，
联立①②可解得，，
所以椭圆的方程为； （6分）
（Ⅱ）证明：由可得直线的方程为，设，，，，
当时，设，、，，显然，
又，即为线段的中点，
，代入椭圆方程相减可得直线的斜率为，（10分）
又，所以直线的方程为，（13分）
即，
显然恒过定点，，（15分）
当时，直线即，此时为轴亦过点，；
综上所述，恒过定点，． （16分）
22．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为．为抛物线的焦点，且，
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过定点的直线与椭圆交于，两点在，之间），设直线的斜率为，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，，
，所以．（1分）
在△中，为线段的中点，
故，所以．（2分）
于是椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设，，，，，取的中点为，．
假设存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形，则．
联立
△．
，．
因为，所以．
．
，
所以．
23．在①离心率，②椭圆过点，③△面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，已知椭圆的短轴长为，_____．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．
【解答】解：（1）选择①离心率，可得，，即，
解得，，即有椭圆的方程为；
选②椭圆过点，即有，又，即，解得，
即有椭圆的方程为；
选③△面积的最大值为，可得位于短轴的端点时，取得最大值，且为，
即为，又，即，，，
即有椭圆的方程为；
（2）证明：设直线的方程为，联立椭圆方程可得，
设，，，，可得，，
可得，
设的中点为，可得，，
由题意可得，解得，
可得，
可得，即为定值．
24．已知，，是椭圆上的三个点，是坐标原点．
（Ⅰ）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由．
【解答】解：四边形为菱形，是椭圆的右顶点
直线是的垂直平分线，可得方程为
设，得，解之得（舍负）
的坐标为，同理可得的坐标为
因此，，可得菱形的面积为；
四边形为菱形，，
设，得、两点是圆
与椭圆的公共点，解之得
设、两点横坐标分别为、，可得、两点的横坐标满足
，或且，
①当时，可得若四边形为菱形，则点必定是右顶点；
②若且，则，
可得的中点必定是原点，因此、、共线，可得不存在满足条件的菱形
综上所述，可得当点不是的顶点时，四边形不可能为菱形．
25．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，和，两点，且．（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线的准线为，焦点为，点为直线上的动点，且点的横坐标为，试讨论当取不同的值时，圆心在抛物线上，与直线相切，且过点的圆的个数．
【解答】解：（1）抛物线的焦点，，准线方程为
直线的方程为，
代入可得
，
由抛物线的定义可知，，
，
抛物线的方程为；
（2）设，则过与直线垂直的直线方程为，
与联立，可得，
△，
△，，满足条件的圆的个数是2个；△，，满足条件的圆的个数是1个；△，，满足条件的圆的个数是0个．
26．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线的焦点为，
设直线的方程为：，设，，，，
则，整理得：，则，，
由，解得：，则，
直线的方程；
方法二：抛物线的焦点为，设直线的倾斜角为，由抛物线的弦长公式，解得：，
，则直线的斜率，
直线的方程；
（2）由（1）可得的中点坐标为，则直线的垂直平分线方程为，即，
设所求圆的圆心坐标为，，则，
解得：或，
因此，所求圆的方程为或．
（北京）股份有限公司第8讲 破解离心率问题之椭双共焦定理
一．选择题（共11小题）
1．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则取最大值时的值为　　
A． B． C． D．
2．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，则　　
A． B．
C． D．
3．已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，分别为、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第二象限的公共点为点，且满足，则的值为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
5．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，点是与的一个公共点，△是一个以为底的等腰三角形，，的离心率是，则的离心率是　　
A． B． C． D．3
6．已知椭圆与双曲线，有相同的左右焦点，．若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．以上答案都不对
7．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线的一个公共点为点，且满足，则的值为　　
A．3 B． C．7 D．
8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为与，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
9．已知椭圆与双曲线的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线，的离心率分别为，，则的值为　　
A．1 B． C． D．
10．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，分别为，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第一象限的公共点满足，则的值为　　
A．2 B．3 C．4 D．6
11．已知椭圆与双曲线，有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
12．已知椭圆与双曲线的焦点重合，，分别为，的离心率，则　　
A． B． C． D．
13．已知椭圆与双曲线，有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有　　
A．
B．△的面积
C．若，则
D．若，则
三．填空题（共11小题）
14．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为 　　．
15．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，若，则的最小值为 　　．
16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且两曲线在第一象限的交点为，若，且，则双曲线的离心率为　　．
17．已知椭圆与双曲线的一条渐近线的交点为，若点的横坐标为1，则双曲线的离心率等于　　．
18．已知椭圆及双曲线，均以为右焦点且都经过点，则椭圆与双曲线的离心率之比为　　．
19．已知椭圆与双曲线，有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是　　．
20．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其左，右焦点分别为、，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，且，则双曲线的离心率为　　．
21．已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则椭圆的离心率为　　．
22．已知椭圆与双曲线共焦点，、分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1．若，则该双曲线的离心率为　　．
23．已知椭圆与双曲线的离心率分别为，，且有公共的焦点，，则　　，若为两曲线的一个交点，则　　．
24．已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，且在第一象限交点为，且．若与的离心率分别为、，则的最大值为　　．
（北京）股份有限公第13讲 破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类
一．选择题（共15小题）
1．已知椭圆的左、右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点．设直线，的斜率分别为，，则当取最小值时，椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
2．已知椭圆的左、右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点．设直线，的斜率分别为，，则当取最小值时，椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
3．已知椭圆的左，右顶点分别为，，点是椭圆上与，不重合的动点，若直线，斜率之积为，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
4．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的点，直线，的斜率分别为，，若，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
5．已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，，若的最小值为2，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
6．双曲线，为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线，斜率分别为，，若，则双曲线离心率为　　
A． B．2 C． D．
7．双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线、斜率分别为、，若，则双曲线离心率为　　
A． B． C．2 D．
8．设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则此双曲线的离心率为　　
A．2 B．3 C． D．
9．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
10．已知双曲线的右焦点为，若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点，且，则双曲线的离心率的取值范围是　　
A．， B． C．， D．
11．已知斜率为的直线分别交双曲线的左、右支于点，，线段的中点为，若（点为坐标原点）的斜率为2，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
12．已知椭圆上关于原点对称的两点为，，点为椭圆上异于，的一点，直线和直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
13．如图，已知，，是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于，且不与，关于坐标轴对称的任意一点，若直线，的斜率之积为，且双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为　　
A．2 B． C． D．
14．已知，分别为椭圆的左、右顶点，，是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线，的斜率分别为，，若，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
15．已知、分别是椭圆的左、右顶点，、是椭圆上两点关于轴对称，若、的斜率之积为，则椭圆的离心率是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
16．椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是　　．
17．已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为　　．
18．如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为　 　．
19．已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为　　．
20．设椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上且异于，两点，为坐标原点．若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为　　．
21．已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，，若的最小值为1，则双曲线的离心率为　 　．
22．在平面直角坐标系中，已知点是双曲线上的异于顶点的任意一点，过点作双曲线的切线，若，则双曲线离心率等于　　．
23．过双曲线右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为　　．
24．经过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线与双曲线有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为　 　．
25．已知双曲线，若存在过右焦点的直线与双曲线相交于、两点，且，则双曲线的离心率的最小值为　 　．
（北京）股份有限公第25讲 三角形面积问题
一．解答题（共19小题）
1．已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求面积的最小值．
（3）若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标．
2．如图，椭圆的离心率为，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点为椭圆外一点，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求面积最大值时的直线的方程．
3．如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于、两点，且线段被直线平分．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率；
（3）求面积的最大值．
4．已知点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点．当的面积最大时，求直线的方程．
5．已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）．
（1）求证：直线过定点；
（2）求与面积之和的最小值．
6．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，点为抛物线的焦点，且抛物线上存在不同的两点，．
（1）若中点为，且满足，的中点均在上，证明：垂直于轴；
（2）若点，在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点），且与的面积分别为和，求最小值．
7．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上．
（Ⅰ）设中点为，证明：垂直于轴；
（Ⅱ）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围．
8．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．
（1）若直线垂直于轴，求；
（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；
（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，且的斜率为．
（1）求椭圆的离心率的值；
（2）若，为过椭圆的右焦点的任意直线，且直线交椭圆于点，，求△内切圆面积的最大值．
10．已知椭圆的左、右焦点分别是和，离心率为，以在椭圆上，且△的面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过椭圆右焦点，交该椭圆于、两点，中点为，射线交椭圆于，记的面积为，的面积为，若，求直线的方程．
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，点在椭圆上，直线过交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当时，点在轴上方时，求点，的坐标；
（3）若直线交轴于点，直线交轴于点，是否存在直线，使得与的面积满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，椭圆离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点，若△的面积为，求直线的方程．
13．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，点，是坐标平面内一点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于、两点，问：在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，△的周长为8，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求面积的最大值．
15．已知抛物线上有一点到焦点的距离为．
（Ⅰ）求及的值；
（Ⅱ）如图，设直线与抛物线交于两点，，，，且，过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，连接，．试判断的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由．
16．已知点是抛物线上的动点，点到抛物线准线与到点，的距离之和的最小值为．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，设直线与抛物线交于两点，，，且，过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，求的面积．
17．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．
（ⅰ）求证：点在定直线上；
（ⅱ）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．
18．已知，椭圆的离心率，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程．
19．椭圆的离心率为，其右焦点到椭圆外一点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，且线段的长度为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求面积的最大值．
（北京）股份有限公司第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共25小题）
1．椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为．抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，，与交于，．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆的右焦点，由题意可得，可得，
再由，所以可得，
所以，
所以椭圆的方程为：；
因为抛物线的焦点，所以，
所以抛物线的方程：，
所以椭圆的方程为：，
抛物线的方程：；
（2）设直线的方程为：，并设，，，，，，，，
联立整理可得：，
，，
所以，
，
联立整理可得：，
，所以，
得，要使其为定值，则对应比成比例，
所以可得，
即时，为定值．
2．椭圆的右焦点到直线的距离为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，过作与轴垂直的直线交椭圆于，两点，交抛物线于，两点，且．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，交抛物线于，两点，请问是否存在实常数，使为常数．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆、抛物线的公共焦点，
由点到直线的距离公式得
解得，故，即，
由，
得，
，即，
又，解得
故椭圆的方程为，
抛物线的方程为．
（2）设，，，，，，，．
把直线的方程，与椭圆的方程联立，得，
整理得
，
把直线的方程，与抛物线的方程联立，得，
得
，
要使为常数，
则，解得
故存在，使得为常数．
3．已知椭圆的右焦点到直线的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）给出定点，，对于椭圆的任意一条过的弦，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由右焦点到直线的距离为5，可得：，解得．
又，，联立解得，．
椭圆的标准方程为．
（2）当直线与轴重合时，．
当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，，，，．
联立，化为：，△，
，．
，同理可得：．
．
综上可得：．
4．已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于、两点，且，求直线的斜率的取值范围．
【解答】解：椭圆的右焦点为，
设直线的方程为，，，，．
由，
得，
直线过焦点，△，
且，，
，
同理，
故．
由，
，
解得．
所以直线的斜率的取值范围是，，．
5．已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于，两点，△的周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得，，
△的周长为，
，，
椭圆的方程为，
将代入得，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，得，依题意可知直线的斜率不为0，
故可设直线的方程为，
消去，整理得，
设，，，，
则，，
不妨设，，
，
同理，
所以，
，
即，
所以存在实数，使得成立．
6．已知椭圆，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点、的距离之和为4，且的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．
【解答】解：（1）因为椭圆的标准方程为，记的最大值为．
由题意知解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为，当直线的斜率不存在时，，
则，不符合题意；
当直线的斜率存在时，直线的方程可设为．
由，消得．
设，，，，则、是方程的两个根，
所以，，
（法一），，
，
当时，取最大值为3，所以的取值范围．
又当不存在，即轴时，取值为．
所以的取值范围，
（法二）
，
当时，取最大值为3，所以的取值范围．
又当不存在，即轴时，取值为．
所以的取值范围．
7．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且△的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．
【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2，
所以，解得，
由椭圆的定义可得△的周长为，
又因为△的周长为8，
所以，解得，
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）证明：设直线的方程为，
联立，得，
设，，，，
所以，，
设的中点为，，
所以，，
当时，线段的垂直平分线的方程为，
令，得，
所以，
，
所以，
当时，直线的方程为，
此时，，
所以，
综上，．
8．设、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，坐标原点到直线的距离是．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过椭圆的上顶点作斜率为的直线交椭圆于另一点，点在椭圆上，且，求证：存在，使得．
【解答】解：（Ⅰ）是椭圆上的点，且，
所以点，
又，
直线的方程为；
坐标原点到直线的距离是，
得，
，
即；
解方程得或（不合题意，舍去）；
故所求椭圆离心率为；
（Ⅱ）证明：由椭圆离心率为，①
；②
由①②得；
椭圆，
其上顶点为；
故直线的方程为，
与椭圆方程组成方程组，消去，
得，
解得，
所以，
；
又，
，
化简得；
记，
又，，
函数的零点在区间内，
存在，使得．
9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交于，两点．当时，点，，，恰在以为直径且面积为的圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）当时，直线轴，又点，，，恰在以为直径，
面积为的圆上，所以四边形为矩形，且，
所以点的坐标为．（2分）
又，所以，，．
在△中，，由，（3分）
解得，，所以椭圆的方程为．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知点坐标为，
将与椭圆方程联立得，设，，，，
得，，（8分）
故．（9分）
又，（10分）
所以，
解得．（11分）
所以直线的方程为．（12分）
10．已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点．过点且平行于的直线交椭圆于点，，证明：为定值．
【解答】（1）解：方法一：由离心率，得：，
所以，
椭圆上一点，满足，
所以点为圆：与椭圆的交点，
联立方程组解得，
所以，
解得：，，所以柯圆的标准方程为：．
方法二：由椭圆定义；，
，
得到：，即，又，得，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）证明：设直线的方程为：．
得，
，
设过点且平行于的直线方程：，．
11．平面直角坐标系中，是椭圆的左焦点，过点且方向向量为的光线，经直线反射后通过左顶点．
求椭圆的方程；
过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为的中点，直线为原点）与直线交于点，若满足，求的值．
【解答】解：（Ⅰ）由关于对称得到点，在光线所在直线方程上，
的斜率为，，，，
椭圆的方程为；
（Ⅱ）由得，直线，联立，
得，
，，，
直线与直线垂直，，则，解得．
12．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知，，
所以，
故直线斜率的取值范围是：；
（Ⅱ）由知，，
所以，，
设直线的斜率为，则，即，
则，，
联立直线、方程可知，，
故，，
又因为，
故，
所以，
令，，
则，
由于当时，当时，
故，即的最大值为．
13．已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，，且当直线垂直于轴时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，求弦长的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得，，即，
，则，①
把代入，得，
则，②
联立①②得：，．
椭圆的方程为；
（2）如图，当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，得．
设，，，，
则，③
由，得，
，，，则，④
把④代入③消去得：，
当，时，，．
解得：．
．
弦长的取值范围为．
14．椭圆的左，右焦点应分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆切于点，，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值；
（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，，，解得，，，
所以椭圆的方程为；
（2）证明：，，，又，设的方程为，
由可得，
设，，，，则△，，，
由可得，
，
，即存在满足条件；
（3）由题意可知：，，
设，其中，，，，，，，，，，，
将向量坐标代入并化简得：
，因为，所以，
而，所以，．
15．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围．
【解答】解：（1）原点到直线的距离为，
所以，解得，
又，得，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线的斜率为0时，直线即轴，
，，则；
当直线的斜率不为0时，设直线，，，，，
联立方程组，得，
由△，得，
所以，，显然，同号，
，
，
故，
，，，
且，
故的取值范围是，．
16．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围．
【解答】解：（1）原点到直线的距离为，
所以，解得，
又，得，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线的斜率为0时，直线即轴，
；
当直线的斜率不为0时，设直线，，，，，
联立方程组，得，
由△，得，
所以，
，
由，得，所以．
综上可得：，
即．
17．已知抛物线的方程为，，为抛物线上两点，且，其中，过，分别作抛物线的切线，，设，交于点．
如果点的坐标为，求弦长；
（Ⅱ）为坐标原点，设抛物线的焦点为，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设，，因为抛物线的方程为，
所以，则，
则过、的切线方程分别为，，
联立两条切线方程可得交点，
又由，可知，即，
所以，从而，，
因为点的坐标为，则，不妨设，则，所以，，
因此．
（Ⅱ）令，由可得，所以，
因此，
因为，所以，
所以，
令，
则，由得△，
即，解得．
即的取值范围为．
18．已知曲线；曲线．
（1）试判断曲线与的交点个数；
（2）若过点直线与曲线交于两个不同的点，，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，得，
所以，
由，得，
所以，即，
由得，解得或，
所以曲线与的交点有两个；
（2）①当直线存在斜率时，设的方程为，，，，，
由得，
△，即恒成立，
则，，
，，，
，
又，所以；
②当直线不存在斜率时，把代入得，
此时，
综合①②得的取值范围为，．
19．如图，设抛物线的焦点为，准线为，过准线上一点且斜率为的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，直线交抛物线于，两点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若，试写出关于的函数解析式，并求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），抛物线方程为．（4分）
（Ⅱ）设方程为，，，，，，，，，
由得，△，所以，，，
，
代入方程得：，（6分）
所以，（8分）
且直线，
由得，
则得，
代入直线方程得，
所以，（10分）
则，（12分）
令，则，
而在单调递增，在单调递减
所以（14分）
20．椭圆过点，，左焦点为，与轴交于点，且满足．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设圆，直线与圆相切且与椭圆交于不同两点，，当且，时，求弦长的范围．
【解答】解：（Ⅰ）设，点坐标为，
，，，
，
，，，，
，，
因此，解得，，
椭圆的方程：；
（Ⅱ）由题意可知，整理得，
由直线与椭圆交于不同的两点、，设，，，，
由，得，
△，化简可得，
，，
，
，
，
，，
，
21．椭圆过点，，左焦点为，与轴交于点，且满足．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设圆，直线与圆相切且与椭圆交于不同两点，，当且，时，求弦长的范围，并求当弦长最大时，直线的方程．
【解答】（Ⅰ）由题意椭圆过点，，设左焦点，满足．
所以、、三点在一条直线上，
，
（Ⅱ）因为直线与椭圆交于不同两点，，设，，，
则，
联立可得，①
则韦达定理有，②
△，
因为直线与圆相切，所以，③
当且，时，
，④
将②③代入④可得
，
，，；⑤
⑥
将⑥代入⑤可得
，，；
所以，
；
22．设椭圆，为坐标原点，
（1）椭圆过，，两点，求椭圆的方程；
（2）若，两个焦点为，，为椭圆上一动点，且满足，求椭圆离心率的范围．
（3）在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆的方程为：，，，
由椭圆过点、得，解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）设，，，
由，得，，①，
又在椭圆上，所以，得，
代入①式得，化简得，
则有，即，
两边平方得，即，
所以，解得，即．
所以椭圆离心率的范围为：，．
（3）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且，
设该圆的切线方程为，，，，．
由，得，
则△
则，
要使，需使，
所以，所以
结合可得，解得或，
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，
所求的圆为，
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为，或，
满足，（其实与轴垂直时的切线方程结果是一样的，因为此时圆与椭圆相切）
综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且．
，
①当时，
因为，所以（当且仅当时取” ” ．
当时，．
综上，的取值范围为，
23．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．
【解答】解：（1）设，则，，．
由，得．化简得，
即动点的轨迹的方程为．
（2）设，，，，
由题意知，，
因为，所以，易知，所以．①
设直线的方程为，联立消去，
得，则△，
，②，③
由①②③解得，
所以．
24．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，已知点，为坐标原点．若的最小值为3．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线，交抛物线于、两点，求的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线，而，
所以在抛物线的内部，过作准线的垂线交抛物线于一点，
过点作抛物线准线的垂线，垂足为，
根据抛物线的定义有，
则，
即为 到 距离，
，，
抛物线的方程为．
（2）设，，，，，，，，
由题意 斜率必存在，设为，则，
则，则，
联立直线与抛物线得
，消去得
，
由韦达定理得
，
根据抛物线的定义有
，，
，
联立直线与抛物线得
，消去得
，
由韦达定理得
，，
根据抛物线的定义有
，，
，
，
当且仅当16 或 取等，
的取值范围为，．
25．在①离心率，②椭圆过点，③△面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，已知椭圆的短轴长为，_____．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．
【解答】解：（1）选择①离心率，可得，，即，
解得，，即有椭圆的方程为；
选②椭圆过点，即有，又，即，解得，
即有椭圆的方程为；
选③△面积的最大值为，可得位于短轴的端点时，取得最大值，且为，
即为，又，即，，，
即有椭圆的方程为；
（2）证明：设直线的方程为，联立椭圆方程可得，
设，，，，可得，，
可得，
设的中点为，可得，，
由题意可得，解得，
可得，
可得，即为定值．
（北京）股份有限公第20讲 共线向量问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共18小题）
1．已知直线，椭圆．
（Ⅰ）若不论取何值，直线与椭圆恒有公共点，试求出的取值范围及椭圆离心率关于的函数关系式；
（Ⅱ）当时，直线与椭圆相交于，两点，与轴交于点．若，求椭圆的方程．
【解答】解：（Ⅰ）直线恒过定点，且直线与椭圆恒有公共点，
点在椭圆上或其内部，得，
解得，且．（3分）
（联立方程组，用判别式法也可）
当时，椭圆的焦点在轴上，；
当时，椭圆的焦点在轴上，．
（6分）
（Ⅱ）由，消去得．
设，，，，则①，②．
，由得③．（9分）
由①③得④．
将③④代入②得，，解得不合题意，舍去）．
椭圆的方程为．（12分）
2．已知直线与椭圆相交于，两个不同的点，记直线与轴的交点为．
（Ⅰ）若，且，求实数的值；
（Ⅱ）若，求的值，及的面积．
【解答】解：设，，，
联立得：
因此，，
（6分）
，可得：，
直线与轴的交点为，，，，，（9分）
由得：，代入，
得：
消去得：（12分）
（15分）
3．已知直线与椭圆相交于、两个不同的点，记与轴的交点为．
（Ⅰ）若，且，求实数的值；
（Ⅱ）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．
【解答】解：设，，，，
（Ⅰ）由得，
则，，
则，解得．
（Ⅱ）由，得，
则，，
由得，，，
解得，代入上式得：
，则，
，
当且仅当时取等号，此时，，
又，
则，解得．
所以，面积的最大值为，此时椭圆的方程为．
4．在平面直角坐标系中，已知，若实数使得为坐标原点）
（1）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；
（2）当时，若过点的直线与（1）中点的轨迹交于不同的两点，在，之间），试求与面积之比的取值范围．
【解答】解：（1）
化简得：
①时方程为轨迹为一条直线
②时方程为轨迹为圆
③，，时方程为轨迹为椭圆
④．，，时方程为轨迹为双曲线
（2），点轨迹方程为，
设直线直线方程为，联立方程可得：．
△，．，
，，
由题意可知：，所以．
5．如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为．
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点、，且，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设的坐标为，显然有，且
当时，点的坐标为
当时，，由有，
即，
化简可得
而点在曲线上
综上可知，轨迹的方程为；
（Ⅱ）直线与联立，消元可得①
①有两根且均在内
设，，，
设，的坐标分别为，，，，
，，，
，且
，且
，且
的取值范围是，，
6．如图，动点与两定点、构成，且直线、的斜率之积为4，设动点的轨迹为．
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点、，且，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设，则，
直线、的斜率之积为4，
又时，必有一个斜率不存在，故
综上点的轨迹方程为
（Ⅱ）直线与联立，消元可得①
△
当1或是方程①的根时，的值为1或，结合题设可知，且
设，的坐标分别为，，，，
，，，
且
，且
，且
的取值范围是，，
7．在平面直角坐标系中，已知的两个顶点，的坐标分别为，，且，所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设直线与轴相交于点，与曲线相交于不同的两点，（点在点和点之间），且，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设点，的两个顶点，的坐标分别为，，
且，所在直线的斜率之积等于，
，
化简得曲线的方程为：；
（Ⅱ）设直线与轴相交于点，
与曲线相交于不同的两点，（点在点和点之间），设，，，
；
，①
△，
又，②
，，且，
③
由①②得，
结合②得实数的取值范围．
且．
点在点和点之间，
综上，实数的取值范围：
8．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设为原点，，，求证：为定值．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线经过点，，解得，
设过点的直线方程为，，，，
联立方程组可得，消可得，
△，且解得，
且，，，
又、要与轴相交，直线不能经过点，即，
故直线的斜率的取值范围，，，；
（Ⅱ）证明：设点，，
则，
因为，所以，故，同理，
直线的方程为，
令，得，同理可得，
因为
，
，为定值．
9．如图，已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设为原点，直线交轴于，直线交轴于．，，求证：为定值．
【解答】解：（1）抛物线经过点，，解得，
设过点的直线方程为，，，，；
联立方程组可得，
消可得，
△，且解得，
故直线的斜率的取值范围，，；
（2）证明：设点，，
则，；
因为，所以，故，同理，
直线的方程为，
令，得，同理可得，
因为
，
即有为定值．
10．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线有两个不同的交点、，且直线交轴于，直线交轴于．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设为原点，，，试判断是否为定值，若是，求值；若不是，求的取值范围．
【解答】解：（1）因点在抛物线上，则，解得，
所以抛物线的方程为．
令直线的斜率为，则直线方程为：，
由，消去并整理得，，
直线与抛物线有两个不同的交点、，则，解得且，
又直线，与相交，而点在抛物线上，则直线不能过点，
否则或之一平行于轴，矛盾，因此，
综上得：，且，
所以直线的斜率的取值范围，，，．
（2）设点，，，，
而，则，同理，
设，，，，
由，知，
直线方程：，即，则，
令，得，同理，
于是得
，
所以为定值2．
11．已知，直线，动圆与相外切，且与直线相切．设动圆圆心的轨迹为，过点的直线与曲线有两个不同的交点、．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设为原点，点，直线交轴于，直线交轴于，，，求证：为定值．
【解答】解：（1）由题意设，且，由题意可得，
整理可得：；
所以曲线的方程为：；
由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，，，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，
可得△，解得，且，
所以直线的斜率的取值范围，，．
（2）证明：由（1）可得：，，
直线的方程为：，令可得，可得，
同理可得的坐标，
由，，可得，，
所以，
所以为定值2．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点，和，，且满足，，其中为正常数．当点恰为椭圆的右顶点时，对应的．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求与的值；
（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【解答】（本小题满分16分）
解：（1）因为，
所以，整理得，即，
所以离心率．（4分）
（2）因为，，
所以由，得，（7分）
将它代入到椭圆方程中，
得，解得，
所以．（10分）
（3）解法一：设，，，，，，，，
由，得，（12分）
又椭圆的方程为，
所以由，
得①，且②，
由②得，，
即，
结合①，得，（14分）
同理，有，
所以，
从而，即为定值．（16分）
（3）解法二：设，，，，，，，，
由，得，
同理，（12分）
将，坐标代入椭圆方程得，
两式相减得，
即，（14分）
同理，，
而，所以，
所以，
所以，
即，所以为定值．（16分）
13．已知椭圆的离心率为，右焦点为，过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于，，得到三角形的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，，的三个点都在椭圆上，设的中点为，且，试判断的面积是否为定值，并说明理由．
【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，
所以，其中，
双曲线的两条渐近线的方程为，
设，则，
因为三角形的面积为1，所以，所以，，，
所以椭圆的方程为；
（2）①当直线的斜率不存在时，
因为，
所以，此时的方程为；
或，此时的方程为．
将，代入椭圆方程得，，，
所以的面积为．
由椭圆轴对称性得：当的方程为时，的面积也为；
②当直线的斜率存在时，
设直线方程为，
设，，，，，，
因为的中点为，且，所以的重心是坐标原点，
所以，
联立和，
得，△，
当△时，，，
所以，，
故，
因为点在椭圆上，所以代入椭圆整理得，满足△，
因而与满足的等式关系为①
当△时，，
因为的重心是坐标原点，所以的面积为的面积的3倍，
设直线与轴交于点，则．
那么的面积为：，
关系式（1）代入得，
综合①②得，的面积为定值．
14．双曲线，已知，是双曲线上一点，、分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ），是双曲线上一点，
可得，即为，
由题意可得，，
，
可得，即有；
（Ⅱ）由题意可得，，
双曲线的方程为，
设直线的方程为，，联立双曲线的方程，
可得，
设，，，，
则，，①
又，可得，②
由①②可得，，
代入①可得，解得，
则直线的方程为．
15．已知圆，过点的直线交圆所得的弦长为，且与轴的交点为双曲线的右焦点，，双曲线的离心率为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点，作动直线交双曲线右支于、两点，点异于，，且在线段上运动，并满足关系，试证明点恒在一条直线上．
【解答】解：（1）设过点的直线为，
即为，
圆心到直线的距离为，
由弦长公式可得，
解得，
由，解得或．
则直线为，令，则舍去，
或直线，令，则成立，
即有，
由离心率为．即．解得，．
则双曲线的方程为；
设过点，作动直线交双曲线右支于，、，两点，
点，
则，，
，
设，则，，
则，，，，
则，，
即，，
则，
即，
即，
故，
故点恒在一条直线上．
16．点在以，为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）过点作直线分别与双曲线渐近线相交于，两点，且，，求双曲线的方程；
（Ⅲ）若过点，为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：，，，
渐近线为设，，，，
，，
代入化简，
假设在轴上存在定点
使，
设，，，，
联立与的方程得
故
（3）
由（4）
（3）即为（5），将（4）代入（1）（2）
有代入（5）得
故在轴上存在定点使．
17．设直线，双曲线，双曲线的离心率为，与交于，两点，直线与轴交于点，且．
（1）证明：；
（2）求双曲线的方程；
（3）若点是双曲线的右焦点，，是双曲线上两点，且，求实数的取值范围．
【解答】（1）双曲线的离心率为，
，从而．
双曲线的方程可化为．
设，，，
由
得：
则有，
从而，
，
则，即；
（2），
，，
，
由得
由得则
故双曲线的方程为；
（3）易知，设，，，．
由得：
设直线的方程为．
由得：
则，
消去，得：
，
，
解得或
当时，可求出．
当直线与轴重合时，
可求出或
故的取值范围是．
18．，是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值．
【解答】解：（1），是双曲线上一点，
，①
由题意又有，②
联立①、②可得，，
则，
（2）联立，得，
设，，，，
则，，
设，，，
即
又为双曲线上一点，即，
有，
化简得：，
又，，，在双曲线上，所以，，
而
，
得，解得或．
（北京）股份有限公司第26讲 四边形面积问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，若四边形为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，
渐近线方程为，，
设，可得，
设的方程为，的方程为，
到直线的距离为，
由解得，即，，
可得，
则四边形的面积为，
解得，
则双曲线的方程为，焦点，，
以为直径的圆的方程为，
联立双曲线方程，解得，
，可得在以为直径的圆外，且在双曲线上，
可得的横坐标的范围是，，．
故选：．
二．填空题（共2小题）
2．设、为椭圆的左右焦点，过椭圆的中心任作一直线与椭圆交于两点，当四边形面积最大时，的值等于　7　．
【解答】解：因为四边形是平行四边形，
所以，四边形可以成两个全等三角形的组合图形，则；
当取最大值时四边形面积最大，
即当点、分别在上下顶点时，取最大值，四边形面积最大，
令椭圆的实半轴为，虚半轴为，焦半径为
此时，．
故答案为7．
3．设，是椭圆的两个焦点，过，分别作直线，．且，若与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点（点，在轴上方），则四边形面积的最大值为　4　．
【解答】解：由题意可得椭圆的焦点，的坐标分别为，，，，
因为，设平行线间的距离为，所以四边形面积为，
①当直线的斜率不存在时，可得四边形为矩形，设直线的方程：，代入椭圆的方程可得，
所以，，这时，
②当直线的斜率存在且不为0时，且，由椭圆的对称性可得为平行四边形，
设的方程为：，设，，，，
联立直线与椭圆的方程，整理可得，，，
所以，
可得两条平行线间的距离，
所以
令，则，所以，
所以，
故答案为：4．
三．解答题（共15小题）
4．已知椭圆的离心率，过右焦点作与轴垂直的直线，与椭圆的交点到轴的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于、两点、不在轴上），若，求四边形面积的最大值．
【解答】解：（1）由已知可得，
因为直线经过右焦点，
所以，即，
又因为，
所以，，，
所以椭圆的方程为．
（2）因为过的直线与椭圆交于，两点，不在轴上），
所以设直线的方程为，
联立．
得，
设，，，，
则，
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
令，
得，
由对勾函数的单调性，得当，即时，．
5．已知椭圆的离心率为，过其右焦点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，椭圆的右顶点为，且满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为（其中的直线过点，且与椭圆交于点，，弦的中点为，直线与椭圆交于点，，求四边形面积的取值范围．
【解答】解：（1）由得，
，
椭圆（2分）
（2）斜率为（其中的直线过点，可得直线方程为：，
由消得
△恒正，，
（4分）
，
（此处也可以用点差法：由得
，
由得，即为、两点的坐标（6分）
点，到直线的距离之和为
（8分）
（10分）
的取值范围：（12分）
6．已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
（1）证明：直线过定点；
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．
【解答】解：（1）证明：的导数为，
设切点，，，，即有，，
切线的方程为，即为，
切线的方程为，
联立两切线方程可得，
可得，即，
直线的方程为，
即为，
可化为，
可得恒过定点；
（2）法一：设直线的方程为，
由（1）可得，，
中点，
由为切点可得到直线的距离即为，
可得，
解得或，
即有直线的方程为或，
由可得，四边形的面积为；
由，可得，
此时到直线的距离为；
到直线的距离为，
则四边形的面积为；
法二：
（2）由（1）得直线的方程为．
由，可得．
于是，，，
．
设，分别为点，到直线的距离，则，．
因此，四边形的面积．
设为线段的中点，则．
由于，而，与向量平行，所以．解得或．
当时，；当时，．
综上，四边形的面积为3或．
7．如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，已知，且．
（Ⅰ）求、的方程；
（Ⅱ）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，且．
，且．
，且．
解得：．
椭圆的方程为，双曲线的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
直线不垂直于轴，
设的方程为，
联立，得．
设，，，，，，
则，．
则
．
在直线上，
．
直线的方程为，
联立，得．
解得，代入得．
由，得．
，的坐标分别为，
则，到的距离分别为：，．
，在直线，的两端，
．
则四边形的面积．
当，即时，四边形面积取得最小值2．
8．已知点是抛物线的焦点，是其准线上任意一点，过点作直线，与抛物线相切，，为切点，，与轴分别交于，两点．
（Ⅰ）求焦点的坐标，并证明直线过点；
（Ⅱ）求四边形面积的最小值．
【解答】解：解法一：，
设，则即
同理．
又在，上，则，所以．
所以直线过焦点．
解法二：，
设直线方程 为，
则由得，
所以，
过的切线方程为，
过的切线方程为，
所以交点的坐标为
因为在直线上，所以，
所以即直线过焦点．
由知，代入得，
则，
则，
到的距离，所以
，由（1）知，则，
所以，令，
则，
在，上是增函数，
则四边形面积的最小值为3．
9．已知，，曲线上任意一点满足直线与直线的斜率之积为．
（1）求曲线的标准方程；
（2）已知直线过（与轴不重合）且交于，两点，过且垂直于直线的直线交于，两点，求四边形面积的取值范围．
【解答】解：（1）设动点，由题意可知，，，，
化简可得：．
（2）当与轴不垂直时，
设的方程为，，，，．
由得．
则，所以．
过点且与垂直的直线，
圆心到的距离为，
所以．
故四边形的面积．
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为，
当与轴垂直时，其方程为，，，
四边形的面积为12．
综上，四边形面积的取值范围为．
10．平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于，两点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2），为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值．
【解答】解：（1）直线过椭圆的右焦点，令，则，
所以椭圆的右焦点为，
故，
因为椭圆的离心率为，
则，解得，
所以，
故椭圆的方程为；
（2）由，可得或，
因此；
由题意，可设直线的方程为，，，，，
由，可得，
所以，
因为，
则直线的斜率为1，
所以，
故四边形的面积为，
当时，取得最大值，
故四边形面积的最大值为．
11．过椭圆右焦点的直线交于，两点，且椭圆的长轴长为短轴长的倍．
（1）求的方程；
（2），为上的两点，若四边形的对角线分别为，，且，求四边形面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意知，
解得，，
所以的方程为：；
（2）联立方程组，
解得，、，
可得．
依题意可设直线的方程为：，
与线段相交，
联立方程组消去得：，
设，，，，则，
四边形的面积，
当时，最大，最大值为．
所以四边形的面积最大值为．
12．已知双曲线的离心率，点、分别是曲线的两条渐近线、上的两点，△为坐标原点）的面积为9，点是曲线上的一点，且．
（1）求此双曲线的方程；
（2）设点是此双曲线上的任意一点，过点分别作、的平行线交、于、两点，试证：平行四边形的面积为定值．
（3）若点是此双曲线上不同于实轴端点的任意一点，设、分别为双曲线的左、右焦点），且，，试求的变化范围．
【解答】（1）解：双曲线的离心率，，
则，
双曲线的渐近线方程为，
设，，，，，
则，，
，
，即，
可知所求双曲线方程为，
点在双曲线上，
，①
，
．
又，②
联立①②解得：，则，
所求双曲线方程为；
（2）证明：设，，则．
双曲线的渐近线方程为，
设其中一条平行的直线方程为，即．
联立，解得，
不妨设点，则，
又点到直线的距离，
（定值）；
（3）解：为双曲线上任意一点，
，又，
，
即，
，
即．
，，，
则，，
，．
13．已知，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的垂线，在轴上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的两条渐近线的夹角；
（2）过点的直线和双曲线的右支交于，两点，求△的面积最小值；
（3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于，两点，求平行四边形的面积．
【解答】解：（1）双曲线的，，
可令，解得，设，
由，可得，
解得，
则双曲线的方程为，
可得双曲线的方程为，
即有，
可得夹角；
（2）当直线的斜率不存在，可得，，，，
可得△的面积为；
直线的斜率存在，设过点的直线设为，联立双曲线方程，
可得，设，，，，
又，，可得，
可得△的面积为
，
设，可得，
综上可得△的面积的最小值为；
（3）设，可得，
双曲线的渐近线方程为，
到直线的距离为，
由平行于直线的直线，
联立直线，可得，，
，
即有行四边形的面积为
．
14．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和．
（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和．请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由．
【解答】解：（1）因为双曲线，可得，，，
由双曲线的定义可得，
又因为，可得，，
因为，由，
可得，则点的横坐标为，
所以，，，可得，即点，
过点且与渐近线平行的直线的方程为，
联立双曲线的方程，解得点，
直线的方程为，点到直线的距离为，
且，
因此，四边形的面积为；
（2）四边形的面积为定值，理由如下：
设点，，双曲线的渐近线方程为，
则直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的方程为，即，
点到直线的距离为，，
且，
因此，（定值）．
15．已知的两个顶点坐标是，，的周长为，是坐标原点，点满足．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若互相平行的两条直线，分别过定点和，且直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，若四边形的面积为，求直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，
所以，点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不含左右顶点）．
因为，，，所以，，，
所以，点的轨迹方程为．
设，，．由得，，又．
故，点的轨迹的方程为，即．
（Ⅱ）由题意可知，当直线的斜率不存在时，易求得，，，．这时，四边形的面积为，不符合要求．
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，
则直线的方程为
由消去得，
设，，，，则，．
故，，
又，两条平行直线，间的距离．
由椭圆的对称性知：四边形为平行四边形，其面积，
解得，或．
故，直线的方程为或．
16．如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且．
（1）求，的方程；
（2）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值．
【解答】解：（1）因为，
所以，即，
因此，即，
从而，，，
于是，所以，，
故椭圆方程为，双曲线的方程为．
（2）因为直线不垂直于轴且过点，
故可设直线的方程为．
由联立椭圆方程，得，
易知此方程的判别式大于0．设，，，，
则，是上述方程的两个实根，所以，，
因此，的中点为，，
故直线的斜率为，的方程为，即．
由联立双曲线方程，得，所以，，，
从而，
设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，
所以，
因为点，在直线的异侧，所以，
于是，
从而，
又因为，
所以，
四边形面积
而，故当时，取得最小值2．
四边形面积的最小值为2．
17．已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线的准线上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，如图所示．
①若，求圆的方程；
②设与四边形的面积分别为，，若，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线的准线上，
，解得，，
椭圆的方程为．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，设，则的圆心坐标为，
的方程为，
直线方程为，，即，
又圆的半径，
由，得，
解得，，
圆的方程为：或．
②由①知方程为，，
由，得，，
则△，
，，
，
，
，
，
，
当时，的方程为，，，
，，
．
，
．
当直线的斜率不存在时，方程为，，，
，，
．
综上，．
18．已知椭圆的左右焦点分别为，，点，是椭圆的左右顶点，点是椭圆上一动点，△的周长为6，且直线，的斜率之积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若、为椭圆上位于轴同侧的两点，且，求四边形面积的取值范围．
【解答】解：（1）△的周长为6，，即，①
直线，的斜率之积为，可求得②
联立①②及，解得，，．
椭圆的方程为；
（2），，
延长交椭圆于点，设，，，，
由（1）知，，
直线的方程为，联立，得．
，，
由对称性可知，，设与的距离为，
则四边形的面积
，
，
，
令，．
，
在，上单调递减，，，
故四边形面积的取值范围为，．
（北京）股份有限公司第3讲 圆锥曲线第三定义
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，，由，，
，
，由，，
，则，
直线斜率的取值范围，，
故选：．
2．椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由椭圆可知其左顶点，右顶点．
设，，则得．
记直线的斜率为，直线的斜率为，则
直线斜率的取值范围是，，
直线斜率的取值范围是，
故选：．
3．椭圆的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率为，则直线斜率为　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：椭圆的左、右顶点分别为、，
点坐标为，点坐标为，
又直线的斜率为，
直线的方程为：，
代入椭圆方程可得：，
设点坐标为，则，解得，，
故直线斜率，
故选：．
4．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为可得，即，
而在三角形中，，所以上式可得
而，
所以可得，即，
由题意可得，，设，，
可得，由双曲线的对称性设在第一象限，如图所示：
在中，，
在中，，
所以，
所以可得，
所以离心率
故选：．
5．已知，，为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线，的斜率记为，，则的最小值为　　
A．8 B．4 C．2 D．1
【解答】解：满足为坐标原点），，关于原点对称，
设，，，，，，则，，
直线，的斜率记为，，满足，
则，
即的最小值为4．
故选：．
6．已知，，是双曲线上不同的三点，且，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，设，，，，则，，
，
，，
两式相减可得，
，
，
，
则．
故选：．
7．已知，，是双曲线上的不同的三点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，是关于的方程的两个实数根，若，为坐标原点，则双曲线的离心率是　　
A．2 B． C． D．
【解答】解：设点的坐标为，点的坐标为，，
因为，所以点的坐标为，，
因为，所以，即，
又，在双曲线上，所以，，
两式相减得，即，
又因为，所以，
所以，
所以，，
故选：．
二．填空题（共4小题）
8．已知、、为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线、的斜率记为，，则的最小值为　　
【解答】解：由为坐标原点），得为的中点，
设，，，，则，，
，，故，①
又由、、为双曲线上的点，
，，代入①，
可得．
．
当且仅当时上式“”成立．
的最小值为．
故答案为：．
9．已知，是椭圆和双曲线的公共顶点，是双曲线上的动点，是椭圆上的动点，都异于，，且，其中，设直线，，，的斜率分别为，，，，若，则　　．
【解答】解：根据题意可得，，
设，，，，
因为其中，
所以，，，，，
所以，
因为，都异于，，
所以，，，
由，①
因为，②
由①②得，，
，
又因为，
所以．
故答案为：．
10．已知，椭圆和双曲线的左右顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、，则　0　．
【解答】解：、为椭圆和双曲线的公共顶点，
、分别为双曲线和椭圆上不同于、的动点，
由，，
即，
可得，
则点，，三点共线．
设，，，，
则，
同理，得：，
，，，
，
．
故答案为：0．
11．已知、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于原点对称，若直线，的斜率乘积，则该双曲线的离心率　　．
【解答】解：由题意，设，，，，则，
，，
两式相减可得
，
，
，
故答案为：
三．解答题（共4小题）
12．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为
（1）若直线平分线段，求的值；
（2）当时，求点到直线的距离；
（3）对任意，求证：．
【解答】解：（1）由题设知，，，
故，，所以线段中点坐标为．
由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，
所以．
（2）直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，
因此，，，
于是，，直线的斜率为1，故直线的方程为．
因此，．
（3）设，，，，则，，，
，，，，
，，，．
设直线，的斜率分别为，．
因为在直线上，所以，
从而
．
因此，所以．
13．已知椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知两点，及椭圆，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，设线段的中点为，连接，试问当为何值时，直线过椭圆的顶点？
（Ⅲ）过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于，求证：．
【解答】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）连接，为坐标原点，为右焦点），
由题意知：椭圆的右焦点为
因为是△的中位线，且，
所以，
所以，
故．（2分）
在中，
即，又，解得，，
所求椭圆的方程为．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆
设直线的方程为并代入
整理得：
由△得：，（5分）
设，，，，，
则由中点坐标公式得：（6分）
①当时，有，直线显然过椭圆的两个顶点，．（7分）
②当时，则，直线的方程为
此时直线显然不能过椭圆的两个顶点，；
若直线过椭圆的顶点，则，即，
所以，解得：（舍去），（8分）
若直线过椭圆的顶点，则，即，
所以，
解得：（舍去）．（9分）
综上，当或或时，直线过椭圆的顶点．（10分）
（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆的方程为，（11分）
根据题意可设，则，
则直线的方程为，①
过点且与垂直的直线方程为，②
①②并整理得：，
又在椭圆上，所以，
所以，
即①、②两直线的交点在椭圆上，所以．（14分）
法二：由（Ⅰ）得椭圆的方程为
根据题意可设，则，，
，，
所以直线，
化简得，
所以，
因为，所以，则．（12分）
所以，则，故．（14分）
14．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．
（1）若直线平分线段，求的值；
（2）求，面积的最大值，并指出对应的点的坐标；
（3）对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．
【解答】（1）解：由题设知，，，
故，，
线段中点坐标为．
由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，
；
（2）解：，，，
设与平行的直线方程为，
联立，得．
由△，解得：．
由题意可知，当时，直线与直线的距离最大，
最大值．
即面积有最大值，等于．
由，解得，．
点坐标为；
（3）证明：设，，，，中点，，
则，，
两式作差可得：，
，即．
，，即．
．
，，
，即．
．
．
故，，三点共线．
15．椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连，并延长交椭圆于，若，求椭圆的离心率．
【解答】解：设，，，，则，，，，，
，，
，
，
，①，，②
由①②可得，
即，
（北京）股份有限公司

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