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8．已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）
纪元中学 2025-2026 学年第二学期高一数学 4 月月考试卷
考试时长：120 150 .
A． 的最小正周期为 B． 在区间 上单调递增
分钟； 总分： 分
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， C． 的图象向左平移 个单位长度后关于 y轴对称
只有一项是符合题目要求的。）
1． ， ，则 的坐标是（ ） D． 在区间 上恰有一个零点，则实数 m的范围是
A． B． C． D．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多
2．已知非零向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ）
项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。）
A． B． C． D． 9．以下变换方式，能将函数 的图象变换为 的图象的是（ ）
3．设 ， 为一组基底，已知向量 ， ， ，若
， ， 三点共线，则实数 k的值是（ ） A．先向左平移 个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的 2倍
A．2 B． C． D．
B．先向左平移 个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的 2倍
4．已知函数 的部分图象如下图所示，则（ ）
A． B． C．先将每个点的横坐标扩大为原来的 2倍，再向左平移 个单位长度
C． D． D．先将每个点的横坐标扩大为原来的 2倍，再向左平移 个单位长度
10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
5．若 是第一象限角，且 ，则 （ ）
A B C D A． 的最小正周期为 B． 的定义域为． ． ． ．
6．下列函数中，既在 上单调递增，又以 为周期且为偶函数的是（ ） C． 的图象关于点 对称 D． 在 上单调递增
A． B． C． D． 11．在水流速度为 的河水中，一艘船以 的实际航行速度垂直于对
7．把函数 的图像向右平移 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩 岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
大到原来的 2倍，纵坐标不变，得到函数 的图像.则函数 的一个 A．这艘船航行速度的大小为 B．这艘船航行速度的大小为
解析式为 （ ） C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
A．2 B．2 C．2 D．2 D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
高一数学试卷第 1页，共 3页
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 17．（15分）
12．已知向量 ， ，若 ，则实数 ___________． 已知函数 .
13．函数 的最大值为__________. (1)求 的单调递减区间和对称轴；
14．已知 ，则 的值为_________. (2)求 的最大值，以及 取得最大值时 x的值；
(3)求 在 上的值域.
四、解答题（共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）
18．（17分）
如图，在菱形 ABCD中，若 ， ， ， ．
已知 ， ．
(2)求 的值；
(3)若 ，且 ，求 的值．
(1)若 ， ，求 ， ，x，y的值；
(2)求 的值．
19．（17分）
已知函数 ，（ ）的周期是 .
16．（15分）
已知平面向量 ， ，且 ．求： (1)求函数 的解析式以及函数 在 上的单调增区间；
(1)向量 在向量 上的投影向量； (2)解不等式 ；
(2) 的值； (3)若 时，方程 f(x)=m恰好有两个不同的根 ，求 的取值范围及
(3)向量 与 所成夹角的余弦值．
的值.
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对于 C，因为 为奇函数，所以 C错误，
纪元中学 2025-2026 学年第二学期高一数学 4 月月考答案
7．B将函数 横坐标缩短到原来的 ，得到 ，再把
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 向左平移 个单位长度，得到 .
B
C B C A C D B C AD BCD 8．C
D
1．C因 ， ，则 . .
2．B ， ， .
选项 A：最小正周期 ，故 A错误；
3．C ， ，
， 选项 B：求 的单调递增区间：
又 ，且 ， ， 三点共线， ，
令 ， ，解得 ， ，
即 ， ， .
所以区间 包含 （递增）和 （递减），故 B错误；
4．A由图象函数最大值为 2，故 ，相邻的两个最值点的距离为
选项 C： 的图象向左平移 个单位长度后得到：
，
即 ，所以 ，所以 ， ，
为偶函数，图象关于 轴对称，故 C正确；
由图象可得 ，所以 ，
选项 D：令 ， ，则 ， ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，故 .
，
5．C因为 ，所以 ，解得 或 当 时， ；当 时， ；在区间 恰有一个零点，则
，又 是第一象限角，所以 . ，
6．D对于 A，因为 为奇函数，所以 A错误，
对于 B， 为偶函数，且周期为 ，当 时， ， 9．AD 10．BCD由题意，函数 ，可得 的最小正周期为 ，
令 ，解得 ，所以 B正确；
函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递减，所以 B错误，
答案第 1页，共 2页
令 ，解得 ， ；
当 时，可得 ，所以函数 的图象关于点 对称，所以 C正确；
（2）
由 ，可得 ，可得函数 在 上单调递增，所以 D正确.
（3 ， .
11．BD设船的实际航行速度为 ，水流速度为 ，船的航行速度为 ，
，设船的航行方向和水流方向的夹角为 ， 17．（1）由 ，解 ，
所以 ，所以 ，
所以 的单调减区间为 .
12． 由 可得 ，解得 . 由 ，得 ， 的对称轴为 .
13． f（x）＝2cosx+sinx （ cosx sinx） sin（x+θ），tanθ＝2，
14． ， （3） ， ， ， ，值域为
.
15．（1） , ,
18．（1）因为 ， ，则 ，
故 ， ， ， . （2）由(1)得：
（2） ， ，
.
（2）因为 ， ，则 ，
所以， ，
16．（1）由 ， 得
，即 ，向量 在向量 上的投影向量是 所以，
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.
19．（1）
，
因为 ，所以 ，所以 ，
， ，当 时，即 时函数单调递增，
（2）因为 ，即 ，
所以 ， ，解得： ， ，
（3）当 时，z= ，此时 ，
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