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河南省焦作市第十八中学等校2026年九年级 开学适应性自检
数学试卷
一、单选题
1．下列各数比大的数是（ ）
A．1 B． C． D．
2．把一副直角三角板直角顶点重合并按如图所示的方式叠放在一起，则图中一定和相等的角是（ ）
A． B． C． D．
3．“行走河南·读懂中国”旅游品牌精准概括了河南丰厚的文化底蕴和历史传承，2025年河南全省接待游客11亿人次．数据11亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．城市地标建筑是城市的立体名片，反映出一个城市的文化内核、时代精神等风貌．以下是由AI生成的河南几个地市地标建筑图片，其中主视图不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解一元二次方程，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，对角线和交于点F，，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．若，则m的值是（ ）
A． B．0 C． D．1
8．宋代“五大名瓷”之一汝瓷，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．两位游客都想从图中所示的三种汝瓷文物复制品中任意选购两种，他们选中相同两种的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是边长为2的等边三角形，分别以，为斜边作等腰直角三角形和，，，的圆心分别是点C，D，E，半径分别是，，，图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．游乐园里的大摆锤如图所示，图是它的简化模型．学校数学兴趣小组在摆锤第一次到达左侧最高点时开始计时，研究发现摆锤相对地面的高度（米）随时间（秒）变化的图象如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．摆锤运行过程中最低距地面米
B．摆锤运行过程中最高距地面米
C．摆锤运行过程中摆动一个来回需要秒
D．摆锤运行过程中从最高点摆动到最低点需要秒
二、填空题
11．请写出一个使的值为整数的的值：______．
12．若，则____（填“”或“”）
13．某班调查全班同学一周平均每天的睡眠时间，制作了如下统计图，则该班同学睡眠时间的中位数是______．
14．如图，，是的平分线，点B是边上一点，，点C是边上一点，作点A关于的对称点，若，则的长为______．
15．如图，在中，，，D是平面内一点，，以为边作等边三角形，连接，F是的中点，连接，，当分别取到最大值和最小值时的长为______．
三、解答题
16．计算：
(1)计算：；
(2)解方程：．
17．应用已深入我们的生活．为了解甲、乙两款软件对同学们学习的帮助，学校数学兴趣小组从使用甲、乙两款软件的同学中各随机抽取人，记录使用者对两款软件“及时反馈”和“能力拓展”两项功能的相关评价，并进行整理、描述和分析如下：
．及时反馈（满分10分）　．能力拓展（满分10分）
．及时反馈和能力拓展得分统计表
软件 统计量 项目 及时反馈得分 能力拓展得分
平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲
乙
(1)表格中______，______；
(2)若学校共有人使用甲款软件，请估计对本款软件能力拓展打分超过7分的人数；
(3)综合上表中的统计量并结合自己的实际情况，你认为哪款软件更适合自己使用？请说明理由．
18．如图，的顶点O与原点重合，点B在y轴正半轴上，点在反比例函数的图象上，．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)把绕着点O顺时针旋转，当点B落在点A处时，点A落在点处，求点的坐标．
19．如图，是四边形的对角线，，以为直径作半圆交于点，连接．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点作出的垂线，垂足记为（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若，求证：四边形是平行四边形．
20．某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元．
(1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元．
(2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？
21．在道路和桥梁设计中，坡道的坡度通常用汽车爬坡坡度来表示，行业通用以百分比表达，其定义为：如图1，坡道垂直高度与其水平投影长度的比值，即坡度（）．
(1)一个坡道的水平投影长度为，这个坡道的坡度为，则这个坡道的垂直高度为_____．
(2)图2是学校附近一座立交桥匝道，学校数学社团测量该匝道坡道的坡度，画出如图3的示意图，是该匝道的坡道，是坡道的垂直高度，是它的水平投影长度，，，三点在同一水平面且在同一条直线上，同学们在处竖直向上放飞无人机，无人机在处测得坡顶的俯角为，坡底的俯角为，其中米，米，求出坡道的坡度．（参考数据：）
22．如图1，是边长为2的等边三角形，动点P以每秒一个单位长度的速度从点A出发，沿折线运动，到点C停止运动，运动时间记为t（秒）．以为边作正方形，面积记为S．图2中给出点P在上运动时S和t的函数图象和部分点对应的坐标，该图象是抛物线的一部分．
(1)求出点P在上运动时S和t的函数关系式，并直接写出此函数取最小值时和的位置关系．
(2)请在图2中画出点P在上运动时S和t的函数图象．
(3)设，时对应的函数值分别为，，当a取何值时总有，直接写出a的取值范围．
23．特殊化策略是借助特殊情形下获得的结论或方法来解决一般性问题，是一种常用的解题策略．学校数学兴趣小组在探究如图1中和的大小关系时就用到了这种策略．
如图1，在中，，，点是直线上任意一点，连接，以为边作等边三角形（图中点，，始终为顺时针顺序），连接．
(1)问题特殊化
请在图2中补全点和点重合时的图形．
当点和点重合时，和的数量关系是 ，和的数量关系是 ．
(2)探究问题
当点和点不重合时，上述关系还成立吗？请就图1的情况说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，连接，若，当是等腰直角三角形时，请直接写出的长．
参考答案及解析
1．A
解析：解：∵，
∴所给的各数中，比大的数是1．
2．D
解析：解：∵，，
∴，故D选项正确，
∵，，，，
∴，，与不一定相等，故选项A、B、C 错误．
3．B
解析：11亿．
4．B
解析：解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意．
5．C
解析：解：，
移项，得
，
方程两边同时加1，得
，
整理得
．
6．B
解析：解：四边形 是平行四边形 ，
，
，
，
设，则，
，
，
又，
，解得，
，
平分，
，
，
，
，
．
7．D
解析：解：∵
∴
∴
∴，
解得．
8．B
解析：解：将三种文物用来表示，画树状图如下：
等可能出现的情况有9种，符合题意的情况有3种，
∴他们选中相同两种的概率是．
9．A
解析：解：∵是边长为2的等边三角形，
∴，，
∴ 扇形（圆心为C，半径为）的面积为∶ ，
∵和分别是以，为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴ 扇形（圆心为D，半径为）的面积为：，
的面积为：，
∴ 弓形（由弧和弦围成，圆心为D）的面积为： ，
同理，弓形（由弧和弦围成，圆心为E）的面积为：，
∴，
∵，
∴．
10．C
解析：解：A：由图可知，摆锤高度的最小值为米， 即最低距地面米，正确；
B：的最大值为米，即最高距地面米，正确；
C：摆锤从A点出发再次回到A点需要秒，所以摆动一个来回需要秒，不是秒，错误；
D：从最高点到最低点的时间是一个周期的四分之一，即秒，正确．
11．（答案不唯一，符合条件即可）
解析：解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，
因此，
即 ，
若为整数，
则必为非负的完全平方数，
故可为、、、等完全平方数，
可令，
解得 ．
12．
解析：解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．时
解析：解：6时和7时一起占比，6时、7时和8时一起占比，
∴该班同学睡眠时间的中位数是时．
14．
解析：解：如图，连接，
，平分，
．
点在边上，
．
，
在中，．
点是点关于的对称点，
，．
在中，，，
．
，
．
，
．．
在中，由勾股定理得：．
15．和
解析：解：设为的中点，连接，
，，
，
为等边三角形，为中点，，
，，
，
分别为中点，
为的中位线，
，
①，
当三点共线，且在线段上时，取得最大值，
如图，设为中点，连接，过作交的延长线于，
，
三点共线，，
，
，
，
为中点，为等腰直角三角形，
，，
又，
四边形为矩形，
，则，
，
；
②，
当三点共线，且在线段上时，取得最小值，
如图，设为中点，连接，过作交的延长线于，
同理可得四边形为矩形，
，
，
综上，当分别取到最大值和最小值时的长为和．
16．(1)
(2)
解析：（1）解：
；
（2）解：
去分母，得，
展开并整理：，
解得：，
检验：将代入原方程分母，，，分母均不为，
∴是原方程的解．
17．(1)，
(2)
(3)甲，理由见解析
解析：（1）解：，
甲组数据中出现的次数最多，故众数，
（2）解：（人），
估计对本款软件能力拓展打分超过7分的人数约为人；
（3）解：甲款软件使用效果更好（答案不唯一），理由如下：
能力拓展得分的平均数甲高于乙，
甲款软件使用效果更好．
18．(1)
(2)
解析：（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图所示，过点A作轴于点C，则，
∴，；
∴；
∵把绕着点O顺时针旋转，当点B落在点A处时，点A落在点处，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴．
19．(1)见解析
(2)见解析
解析：（1）解：如图，
（2）证明：∵以为直径作半圆交于点，
∴
由（1）得
∴
∵，
∴
又∵，
∴
∴
∴四边形是平行四边形
20．(1)每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元
(2)购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元
解析：（1）解：设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，根据题意得
，
解得：，
答：每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元．
（2）解：设购买甲型机器人a台，则购买乙型机器人台，根据题意得
，
解得：，
设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，则
，
∵
∴w随着a的增大而增大，
∴当时，w最小，最小值 ，
，
∴购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元．
21．(1)这个坡道的垂直高度为米
(2)坡道的坡度为
解析：（1）解：∵一个坡道的水平投影长度为，这个坡道的坡度为，
∴，
解得：米；
答：这个坡道的垂直高度为米．
（2）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，米，
∴米，
依题意，，则是等腰直角三角形，
∴米，
∴米，
∴坡道的坡度为，
答：坡道的坡度为．
22．(1)；
(2)见解析
(3)或
解析：（1）解：根据图象可得点P在上运动时S和t的函数关系式的顶点为，
设S和t的函数关系式为，
把代入可得，
解得，
点P在上运动时S和t的函数关系式为；
当取最小时，即最小，此时；
（2）解：当点P在上运动时，，
此时正方形的面积为，
，
点P在上运动时S和t的函数图象，如下：
（3）解：当时，即时，
，，
，
则，
解得，
；
当时，即时，
，，
，
则，
解得，
；
当时，即时，
，，
，
则，
解得，
；
综上，可得或．
23．(1)图见解析，，
(2)，理由见解析
(3)或
解析：（1）解：图形补全如下：
∵是等边三角形，
∴，，
在中，，，
∴，，
∵点和点重合，
∴点在边上，且，
∴点为斜边的中点，
∴；
（2）解：仍成立，理由如下：
如图，作于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：①当点在线段上时，如图，作于点，
∵是等腰直角三角形，
又∵，
∴，，
∴点、在以为直径的圆上，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，，
在中，，
∴；
②当点在的延长线上时，如图，
∵，即，
又∵，
∴是锐角三角形，与是等腰直角三角形矛盾，故舍去；
③当点在的延长线上时，如图，作，交的延长线于点，
同理①可得，，，
在中，，
∴；
综上所述，的长为或．

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