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浙江金华十校2026届高三下学期4月模拟考试数学试题卷
一、单选题
1．已知集合， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．一组样本数据依次为，，0，2，4，5．关于这组数据的数字特征，下列选项正确的是（ ）
A．极差为 B．平均数小于0 C．方差小于1 D．中位数为1
4．如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（ ）
A． B． C． D．
5．某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的5倍，则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过（ ）（参考数据：）
A．10年 B．11年 C．23年 D．24年
6．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线的焦点为F，斜率为2的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8．若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”．下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（ ）
A．（不超过x的最大整数） B．
C． D．
二、多选题
9．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
10．在棱长为3的正方体中，点E在棱上且，点F在正方形内运动（含边界），若平面，则（ ）
A．点F的运动轨迹为线段 B．的最小值为
C．存在点F，使得 D．过F，D，B，C四点的球的表面积最小值为
11．第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．双曲线的离心率为___________.
13．数列中，，，记数列的前n项和为，则______．
14．已知实数a，b满足，若对任意实数c，d，记的最小值为M，则M的最大值为______．
四、解答题
15．已知函数，．
(1)求；
(2)中，若构成等差数列，且，求．
16．三棱锥中，，，，平面，，．
(1)证明：直线平面；
(2)求直线和平面所成角的正弦值．
17．设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B， ．点P是椭圆C上的一点，轴，且．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点且斜率不为零的动直线l与椭圆C相交于两个不同的点T，S，过线段的中点Q作直线l的垂线与x，y轴分别交于M，N，求的取值范围．
18．已知函数，．
(1)求函数的极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围．
19．某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射的概率分别为，，，首次发射概率由二项分布生成，，，，第一次信息发射后遵循下表规则：
第n次发 射的信息第次发 射信息的概率 A B C
A的概率
B的概率
C的概率
当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期．
(1)写出，，的值（用p表示）．
(2)当时，证明：．
(3)当时，该信息源是否存在发射稳定期？若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【详解】因为，，
所以.
2．B
【详解】复数，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为
又，故点在第二象限，
所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.
3．D
【详解】已知样本升序排列为：，，0，2，4，5，
极差为：，故A错误；
平均数为：，故B错误；
方差为：
，故C错误；
因这组数据有6个，故其中位数为中间两个数的平均值，即中位数为，故D正确．
4．C
【详解】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球；
B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体；
C选项中的图形旋转得到的是内胎；
D选项中的图形旋转得到的是球.
5．A
【详解】设初始种群数量为，经过年后，种群数量变为.
根据题意，种群数量变为原来的1000万倍，即.
两边同时除以，得. 两边同时取常用对数，有：.
由于，且 ，代入得：
，解得.
因此该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过10年.
6．C
【详解】在中，因为，且的面积为，
可得，即，所以，
由正弦定理得，所以，
代入，可得，所以.
7．A
【详解】设直线的方程为，，
由抛物线可得准线方程为，
又，，所以，，所以，
又因为，，所以，
所以，所以，
所以.
8．D
【详解】对于选项A，若，则对于任意的，都有，
由已知，故函数的图象夹在平行直线和之间，
故函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；
对于选项B，若，
因为为增函数，故函数为增函数，且函数的值域为，
所以函数为减函数，函数的值域为，
因此在上单调递增，且函数的值域为，
故函数的图象夹在平行直线和之间，
所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；
对于选项C，若，
则恒成立，当且仅当时取等号，
所以函数在上单调递增，
由得，
故函数的图象夹在平行直线和之间，
所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；
对于选项D，若
则，
当时，，，故
当时，，，故，
所以对于任意的，，故函数在上单调递增，
假设存在两条平行直线，
和，则对任意需要 ，
但当时，三次项增长速度远快于一次项，，矛盾，
故的图象无法被两条平行直线夹住，不满足条件，
因此函数不满足“阶梯形函数”的定义，不是阶梯形函数.
9．AD
【详解】已知等差数列的公差为d，则，解得，
，解得，故B错误；
，故A正确；
，故，故C错误；
，故D正确．
10．ABD
【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为正方体的棱长为3，
可得，
因为点在棱上且，可得，
对于A，由向量，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为点在平面，设，可得
又因为平面，可得，
整理得，
因为点在正方形内，可得，
当时，，对应的点在棱上；
当时，，对应的点在棱上，
所以点的运动轨迹为线段，所以A正确；
对于B，由点，点且，
可得，其中，
所以当时，取得最小值，且，所以，所以B正确；
对于C，由，点且，可得，
若，可得，解得，
当时，可得，此时点，
因为点在正方形内，即，此时，
所以点不在正方形的区域内，所以不存在满足条件的点，所以C不正确；
对于D，由点，可得都在的平面上，
设球心，半径为，
因为三点确定的圆是正方形的外接圆，
其圆心为的中点，半径为，
则球心必在过且垂直于底面的直线上，所以，
设，球的半径为，
因为点且，即在球面上，所以，
可得，
整理得，即，可得，
又由球的表面积为，要使得表面积最小，只需最小，
令，可得的图象开口向上，且对称轴为，
所以当时，取得最小值，最小值为，所以，
所以，所以D正确.
11．ACD
【详解】由题意知，，，，
因为，
所以，故，
对于A，当时，则，此时，，
所以当四点共线或四点共线时成立（不重合），故A正确；
对于B，因，故，即，故B错误；
对于C，当时，将代入得，
解得满足，故C正确；
对于D，当时，，代入得，
即满足，故D正确.
12．
【详解】由题可知：，由
所以离心率
故答案为：
13．
【详解】，.
，又，.
.
.
.
14．/
解：，
或，
即或，
故点在如图直线族中，
表示点与点距离的平方，
又相邻两直线的距离，
所以的最小值，
故M的最大值为．
15．(1)
(2)
【详解】（1），
或，
又，
（2）因为在中，构成等差数列，
则，结合，可得，
，
，，
，
．
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）平面，平面，，
又，，平面，平面
（2）平面，平面，，
，，
平面，平面，平面平面，
过点作，为垂足，
平面平面，平面，
由题意可得：，
如图，以A点为原点，以为x轴，为y轴，
过A点且与同向的方向为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
由，可得，，
另外，设平面的一个法向量为，直线和平面所成角为，
结合，，
则有，，取，可得，
，
综上，直线和平面所成角的正弦值为．
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，，
将代入中，可得,
依题意，点在第一象限，故得，
由，，得，
解得，，所以，
所以椭圆标准方程为．
（2）设直线l的方程为，点，．
联立，得，
由解得
且，，
所以，从而，
解得，，
所以，
令，则，
综上，的取值范围为．
18．(1)极小值为
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）因为的定义域为，且，
当时，；当时，；
可知在上单调递增，在单调递减，
所以的极小值为．
（2）因为的定义域为，且，
令，解得或，
当，即时，则，
可知在上单调递减；
当，即时，令，解得；令，解得或；
可知在上单调递增，在，上单调递减；
当，即时，令，解得；令，解得或；
可知在上单调递增，在，上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在，上单调递减；
当时，在上单调递增，在，上单调递减.
（3）因为，即，可得，
令，，
①当时，若，则，不合题意；
若，方程满足，
且，可知方程有一正一负两个实根，
取其正根为，则，不合题意；
综上所述：当时，不存在实数a，使得恒成立；
②当时，不妨取，则，
记，则，
令，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
可知在单调递减，则，
即对，都存在，使得在恒成立，
综上所述：实数b的取值范围为．
19．(1)，，
(2)证明见解析
(3)存在，
【详解】（1）因为，则，，.
（2）若，则，，所以，
由题知，即，
则，
又，，
，
所以，又，所以，
所以．
（3）由题知，，，则，
又因为，则恒成立，
又，则，
所以，
则，所以
则，则，
所以.
法二，，，，
所以，解得.

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