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7 数下 复习提优
8 二元一次方程组的有关概念及解法
一、选择题
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是 ( )
1
A + = 4 B 2 + = 4 C + = 4
+ = 5
、 、 + = 1 、 = 1 D、 2 + 2 = 1 = 10
2. 下列说法中，正确的是 ( )
A.方程 = 不是二元一次方程
B.任何一个二元一次方程都只有一个解
C.方程 2 = 5 有无数个解，任何一对 , 的值都是该方程的解
D. = 2, = 1 既是方程 2 = 4 的解，也是方程 2 + 3 = 1 的解
2 = 5 1
3. 用代入法解方程组 = 1 + 2 时，把②代入①后得到的方程是 ( )
A. 2 1 + = 5 B. 1 + = 2 + 5
C.5 2 = 1 + D. 2 1 = 5
3 + 2 = 1 1
4. 用加减消元法解二元一次方程组 5 4 = 3 2 时，下列做法正确的是 ( )
A.①×5+②×3，消去 B.①×2+②，消去
C.①×3 ②，消去 D.①×3 ②×5，消去
5. 2 + 3 = 19 = 2已知方程组 3 + 4 = 26 的解是 = 5，现给出另一个方程组
2 2 + 4 + 3 + 3 = 19
3 2 + 4 + 4 + 3 = 26 则它的解是 ( )
. = 1 = 1 = 1 = 1 = 2 . = 2 . = 2 . = 2
二、填空题
6. + 2 = 1已知二元一次方程组 2 + = 8 则| + |的值为________.
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7.已知关于 , 的方程 + 3 | | 2 + + = 3是二元一次方程，则 =________.
8. 二元一次方程 2 + = 3 的非负整数解有________个.
9. + = 0已知方程组 + = 3 的解为 = 1，则 的值是________.
10. 定义新运算:对任意实数 , 都有 ※ = 2（其中 , 为常数）。如果 2※3 = 19，
4※ 3 = 21，那么 2 ※2 =________.
三、解答题
11. 解下列二元一次方程组:

(1) = 2 + 3 + = 23 + = 18 (2) 2 33 + = 9
12. = 1 = 3若 = 1和 = 5都是关于 , 的二元一次方程 + + 2 = 0的解，求 与 的值，并判
= 4
断 = 8是不是这个方程的解。
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2 = 7 + 2 = 1
13. 已知关于 、 的方程组 2 = 4和 + 2 = 7有相同的解。
(1)求这两个方程组的解。
(2)求 + 2026的值。
14. 定义新运算，在平面直角坐标系 中，对于点 ，若点 的坐标为 + + ，
则称点 是点 的“ 级关联点”（ 为常数且 ≠ 0）。例如，点 1 4 的“2级关联点”为点
2 × 1 + 4 1 + 2 × 4 ，即点 6 9 。
(1)若点 的坐标为 1 3 ，则它的“1级关联点”的坐标为________；
(2)若点 的“3级关联点”的坐标为 7 3 ，求点 的坐标；
(3)若点 是点 2 3 的“ 2级关联点”，且点 在坐标轴上，求 的值。7 数下 复习提优
8 二元一次方程组的有关概念及解法
一、选择题
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是 ( )
1
A + = 4 B 2 + = 4 C + = 4
+ = 5
、 、
= 1 + = 1
、 = 1 D、 2 + 2 = 10
答案：C
1
解析：A中 + = 4 分母含有未知数，不是二元一次方程组；B中含有三个未知数
、 、 ，
不是二元一次方程组；C符合二元一次方程组的定义；D中未知数的次数为 2，不是二元一次
方程组。
2. 下列说法中，正确的是 ( )
A.方程 = 不是二元一次方程
B.任何一个二元一次方程都只有一个解
C.方程 2 = 5 有无数个解，任何一对 , 的值都是该方程的解
D. = 2, = 1 既是方程 2 = 4 的解，也是方程 2 + 3 = 1 的解
答案：D
解析：A.方程 = 是二元一次方程，原说法错误；B.任何一个二元一次方程都有无数个解，原
说法错误；C.方程 2 = 5有无数个解，但并非任意一对 、 的值都是解，原说法错误；D.
= 2
将 = 1代入 2 = 4，左边= 2 2 × 1 = 4，等于右边；代入 2 + 3 = 1，左边= 2 ×
2 + 3 × 1 = 1，等于右边，原说法正确。
2 = 5 1
3. 用代入法解方程组 = 1 + 2 时，把②代入①后得到的方程是 ( )
A. 2 1 + = 5 B. 1 + = 2 + 5
C.5 2 = 1 + D. 2 1 = 5
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答案：D
解析：把②代入①，得 2 1 + = 5，去括号得 2 1 = 5。
3 + 2 = 1 1
4. 用加减消元法解二元一次方程组 5 4 = 3 2 时，下列做法正确的是 ( )
A.①×5+②×3，消去 B.①×2+②，消去
C.①×3 ②，消去 D.①×3 ②×5，消去
答案：B
解析：①×2得 6 + 4 = 2，与②相加得 11 = 5，消去了 。
5. 2 + 3 = 19 = 2已知方程组 3 + 4 = 26 的解是 = 5，现给出另一个方程组
2 2 + 4 + 3 + 3 = 19
3 2 + 4 + 4 + 3 = 26 则它的解是 ( )
. = 1 = 1 = 1 = 1 = 2 . = 2 . = 2 . = 2
答案：B
解析：令 2 + 4 = ， + 3 =
2 + 3 = 19
，则原方程组可化为 3 + 4 = 26，
= 2 2 + 4 = 2 = 1
已知其解为 = 5，因此 + 3 = 5 ，解得 = 2 。
二、填空题
6. + 2 = 1已知二元一次方程组 2 + = 8 则| + |的值为________.
答案：3
7.已知关于 , 的方程 + 3 | | 2 + + = 3是二元一次方程，则 =________.
答案：-2
+ 3 ≠ 0 2 = 1
解析：由二元一次方程的定义得 + = 1 ，解得 = 3，将 = 3代入 + = 1，
得 = 2。
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8. 二元一次方程 2 + = 3 的非负整数解有________个.
答案：2
解析：当 = 0时， = 3；当 = 1时， = 1；当 = 2 时， = 1（舍去）。故非负整数解
= 0 = 1
为 = 3、 = 1，共 2个。
9. + = 0已知方程组 + = 3 的解为 = 1，则 的值是________.
1
答案： 2
解析：把 = 1代入 + = 3，得 1 + = 3，解得 = 2；把 = 1， = 2 代入 + = 0，
1
得 1 + 2 = 0，解得 = 2。
10. 定义新运算:对任意实数 , 都有 ※ = 2（其中 , 为常数）。如果 2※3 = 19，
4※ 3 = 21，那么 2 ※2 =________.
50
答案： 9
2 9 = 19
解析：由题意得 4 9 = 21，②-①得 2 = 2，解得 = 1；把 = 1代入①得 2 9 = 19，
17 17 2 17 68 50解得 = 。故 ※ = + ，则 2 ※2 = 2 + × 22 = 2+ =9 9 9 9 9。
三、解答题
11. 解下列二元一次方程组:

(1) = 2 + 3 + = 23 + = 18 (2) 2 33 + = 9
1 = 3 = 2答案：（ ） = 9 （2） = 3
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12. = 1 = 3若 = 1和 = 5都是关于 , 的二元一次方程 + + 2 = 0的解，求 与 的值，并判
= 4
断 = 8是不是这个方程的解。
3 1
答案： = ， = = 42 2； = 8是这个方程的解。
= 1 = 3
解析：把 = 1和 = 5代入 + + 2 = 0
+ 2 = 0
，得 3 + 5 + 2 = 0。
3 1 3 1
解得 = ， = 。则原方程为 + + 2 = 02 2 2 2 。
= 4 3 1
把 = 8代入方程左边，得 × 4+ × 8 + 2 = 6+ 4 + 2 = 0
= 4
2 2 ，左边=右边，故 = 8是这
个方程的解。
2 = 7 + 2 = 1
13. 已知关于 、 的方程组 2 = 4和 + 2 = 7有相同的解。
(1)求这两个方程组的解。
(2)求 + 2026的值。
答案：(1) = 3 = 1
2 = 7 = 3
解析：由题意，联立 + 2 = 1，解得 = 3； = 1。故两个方程组的解为 = 1。
(2) 1
= 3 2 = 4 6 + = 4
解析：把 = 1 代入 + 2 = 7，得 3 2 = 7 解得 = 1； = 2。
则 + 2026 = 1+ 2 2026 = 1 2026 = 1。
14. 定义新运算，在平面直角坐标系 中，对于点 ，若点 的坐标为 + + ，
则称点 是点 的“ 级关联点”（ 为常数且 ≠ 0）。例如，点 1 4 的“2级关联点”为点
2 × 1 + 4 1 + 2 × 4 ，即点 6 9 。
(1)若点 的坐标为 1 3 ，则它的“1级关联点”的坐标为________；
(2)若点 的“3级关联点”的坐标为 7 3 ，求点 的坐标；
(3)若点 是点 2 3 的“ 2级关联点”，且点 在坐标轴上，求 的值。
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答案：
(1) 2 2
解析：由“1级关联点”定义，得 1 × 1 + 3 = 2， 1+ 1 × 3 = 2，故坐标为 2 2 。
(2) 3 2
3 + = 7
解析：由题意得 + 3 = 3，①×3-②得 8 = 24，解得 = 3；把 = 3代入①，得 9 + = 7，
解得 = 2。故点 的坐标为 3 2 。
2
(3) = 或 = 45
解析：由“-2级关联点”定义，得点 的坐标为 2 2 + 3 2 + 2 × 3 ，化简得
+ 4 5 2 。
2
①当点 在 轴上时，纵坐标为 0，即 5 2 = 0，解得 = 5；
②当点 在 轴上时，横坐标为 0，即 + 4 = 0，解得 = 4。
2
综上， 的值为 或 45 。

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