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射洪中学高2025级高一下期强实班第一次综合素质测评数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第I卷 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
2．“”是“向量，，则”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
3. △ABC中，,，则（ ）
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是（ ）
A.棱台的侧面都是等腰梯形
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D.以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
5. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6. 如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是△ABC内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（ ）
B．1 C． D．
8．已知△ABC是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．
9. 已知是虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若复数满足，则
D. 已知复数满足，则
10.已知△ABC的内角的对边分别是，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若△ABC是锐角三角形，则
D．，则△ABC为等腰三角形
11. 已知平面向量满足 则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 若 则 的最大值为
C. 若向量满足则 的最大值是
D. 若向量满足，则 的最小值是2
第II卷 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知侧棱长为的正三棱锥如图所示，其侧面是顶角为的等腰三角形，一只蚂蚁从点出发，围绕棱锥侧面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为_______．
（12题图） （13题图）
13. 如图所示，在△ABC中，，且点为边的中点且，则的最大值为 .
14. O为△ABC的外心，若，则实数m的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题13分) 复数，，．已知为纯虚数．
(1)求m和；
(2)复数是方程的一个根，求实数p，q的值．
▲
16.（本小题15分）已知菱形的边长为2，为对角线（异于，）上一点．
（1）如图1，若，，设，．试用基底表示，并求；
（2）如图2，若，点在边，上的射影分别为，，求与的夹角．
▲
17.（本小题15分）在中，，点D在边上，，且.
（1）若的面积为，求；
（2）设，若，求
▲
18. （本小题17分）在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.）
已知△ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且选条件：________.
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC周长的取值范围
（3）若△ABC为锐角三角形，作（A，D位于直线BC异侧），使得四边形ABDC满足，，求AC的最大值.
▲
19.（本小题17分）我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时, 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为.
(1)若，则
①求 ；
②若，设点为的“点”, 求；
(2)若，设点为的“点”，，求实数的最小值.
▲
1-8. BADC CBAB 9.AB 10.AC 11.ACD
11.选项A，因为，所以，，
，
所以时，取得最小值，A正确；
选项B，，
，当且仅当等号成立，B错；
选项CD，，
，，又，所以，
作，，，，以为圆心，为半径作圆，如图，当是圆的优弧上点时，即时，满足，
再作点关于直线的对称点，以为圆心，为半径作圆，
当是圆的优弧上点时，即时，也满足，
当不是这两段优弧上的点时，都不满足，即不满足，
是等边三角形，因此，两圆半径都是2，
由图可知即的最小值是2，最大值是，CD都正确，
15.（1）由，且为纯虚数，则，解得，
所以，故......................6分
（2）由，则
整理可得，可得，解得....................................13分
16.（Ⅰ）由可知，，从而，..................3分
因为，所以，
因为，，解得，.........5分
所以．...................7分
（Ⅱ）因为，所以，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由为（异于，）上一点，从而设，则，，所以，，因此，因此，与的夹角为................................................................................................15分
17.解法一：（1）因为，即，，，所以.
在中，由余弦定理得，
即，解得.......................................................7分
（2）在中，，因为，则，
又，有， 所以.中，，，
由正弦定理得，，即，得.....12分
因为，所以，，
所以或，解得或...............................................15分
解法二：（2）证明：因为，所以.取中点E，连结，所以.设，因为，所以.
在中，. 以下同解法一.
18.（1）...........................4分；
（2）..........................10分
（3）如图，设，则，
在中，由正弦定理得可得，
，在中，，,，是锐角三角形，所以所以当时，可得的最大值是....................17分
19.(1) ①在 中，由正弦定理得，
，有
...........................................2分
，，又.......4分（不交代扣1分）
②由①知，则 的三个角都小于 120°，
由“点”定义知：，..................5分
设 由得
,整理得,......7分
所以
..................9分
法一：由，结合正弦定理
有，均为三角形内角，（舍）
或，即，......................12分
由点为的“点”，得，
设,
由, 得, 由余弦定理得
,
,
,
相加得，得
，
整理得,........................................15分
于是,当且仅当,即时取等号.
又 因为 而 解得,所以实数的最小值为. ...................................17分
法二：建系：由，结合正弦定理
有，均为三角形内角，（舍）
或，即， .....................12分
由点为的“点”，得，
不妨设,,,则，
由，得 .......... .................15分
有，，当且仅当等号成立
有 而 解得,所以实数的最小值为....................................17分

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