资源简介

山东省临沭一中2025-2026学年高一（下）段考数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则与向量方向相反的单位向量为( )
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.如图，在复平面内每个小方格的边长均为，向量，对应的复数分别为，，则( )
A. B. C. D.
4.在中，在上且，设，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，角、、所对的边分别为，，，为的面积，若满足，则角( )
A. B. C. D.
6.已知向量，满足：，，且，则( )
A. B. C. D.
7.如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高米．
A. B. C. D.
8.如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同，的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，其中，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
10.已知为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 若复数，则
B.
C. 若，则为纯虚数
D. 若，则在复平面中复数所对应的点的集合构成的图形面积为
11.如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线已知，是湖岸上的两条雨路，，，，观光亭视为一点，游览路线、雨路的宽度忽略不计，则( )
A. B. 当时，
C. 面积的最大值为 D. 游览路线最长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量满足，则在方向上投影向量的坐标为
13.已知复数满足，则的最小值为 ．
14.已知是钝角三角形，内角，，的对边分别为，，，且，，则的周长的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数，．
在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
若是纯虚数，求
16.本小题分
在中，已知，，．
求；
如为的中点，求的长．
17.本小题分
在等边中，，，分别是和的中点，，设，．
用向量，表示，并求；
求向量与的夹角的余弦值．
18.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，若，．
求角的大小；
若，求的周长；
求边上的中线长度的最小值．
19.本小题分
如图，在四边形中，，，是等边三角形．
若，求的面积；
若，求的面积；
求的面积的最大值．
1.【答案】
【解析】解：已知，，所以，
与向量方向相反的单位向量．
故选：．
首先求出，进一步求出向量的单位向量．
本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的单位向量，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
复数的共轭复数是．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案，再由共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由图可知，，
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由已知可得，
则，
即，
又因为，
所以．
故选：．
作出图形，再根据平面向量的线性运算来求得正确答案．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，且，
，
整理得：，即，
．
故选：．
利用三角形面积公式表示出，利用余弦定理表示出，变形后代入已知等式求出的值，即可确定出的度数．
此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：向量，满足，，且，
可得，，
可得，
所以．
故选：．
利用向量的模，以及向量的垂直关系，转化求解即可．
本题考查平面向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，，长米，可得，
所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，
在中，米．
故选：．
由题意及正弦定理可得的值，再在中，可得的值．
本题考查正弦定理及直角三角形的性质的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为为的中点，
所以，
从而；
又为定值，
所以当且仅当，
即为的中点时，取得最小值是．
故选：．
由为的中点，得出，求出；由为定值，求出的最小值．
本题考查了平面向量的数量积运算和基本不等式的应用问题，是基础题目．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，则，解可得，A正确；
对于，若，则，解可得，B正确；
对于，当时，，两个向量夹角不是锐角，C错误；
对于，若，则有，
必有，解可得，
当时，，，，
当时，，，，D错误．
故选：．
根据题意，由向量垂直的判断方法分析，由向量平行的判断方法分析，举出反例可得C错误，由数量积的运算性质分析，综合可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行、垂直的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，
所以，故A正确；
对于，设，
则，所以，故B正确；
对于，当时，，故C错误；
对于，设，
由，得，即，
所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环，
其中大圆的半径为，小圆的半径为，
复数在复平面内对应的点围成的面积为，故D正确．
故选：．
根据复数的除法运算及乘方即可判断；根据复数的模及复数的乘法运算即可判断；举出反例即可判断；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，即可判断．
本题主要考查复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，在中，由余弦定理得，所以，故A正确；
对于，在中，由正弦定理得，
则，故B错误；
对于，在中，由余弦定理，得，
当且仅当时等号成立，所以，
则的面积为，故C正确；
对于，由上可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：，
，
在方向上投影向量的坐标为．
故答案为：．
根据投影向量公式计算求解．
本题主要考查了投影向量的求解，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设，，，
则表示以为圆心，为半径的圆，
表示圆上的点到的距离，
故的最小值为．
故答案为：．
结合复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为是钝角三角形，且知不为钝角，但无法判断，哪个为钝角，
所以需要分为钝角和为钝角两种情况解三角形．
当角为钝角时，由余弦定理得：，解得，
由三角形的三边关系可知，所以，所以；
当角为钝角时，由余弦定理得：，解得，
由三角形的三边关系可知，所以，所以，
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
分为钝角和为钝角两种情况，利用余弦定理和三角形的三边关系即可求得．
本题考查利用余弦定理解三角形，属于中档题．
15.【答案】解：由，，得，
而由已知是实数，
于是，解得，
所以；
依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以，．
【解析】根据复数是实数，求，再根据复数的乘法运算公式，即可求解；
首先利用复数除法运算公式化简复数，再根据复数的特征，即可求解，最后代入模的计算公式．
本题主要考查了复数的基本概念及复数的四则运算，属于基础题．
16.【答案】；
．
【解析】解：因为，且，，
根据正弦定理可得，即，
解得；
在中，，且，
故C；
由可知，，
可得．
因为为的中点，所以，
在中，由余弦定理可得，
从而．
根据三角形的内角和公式以及正弦定理即可求出角；
利用余弦定理与已知的长度和角度即可求解．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
17.【答案】，；
．
【解析】因为，，，
所以，
则；
，
则，，
设向量与的夹角为，则．
结合向量的线性运算及向量的模长公式即可求解；
结合向量的夹角公式即可求解．
本题主要考查了向量的线性运算及向量数量积性质的应用，属于基础题．
18.【答案】；
；
．
【解析】，由正弦定理得，
又由余弦定理，可得，
，；
，由正弦定理得，
，，，，
又，，则，
由，可得，，
的周长为；
，由余弦定理得，即，
又，当且仅当时等号成立，，，
为边上的中线，可得，
，
，则，
边上的中线长度的最小值为．
利用正弦定理，得到，结合余弦定理，求得，即可求解；
由正弦定理求得，得到，进而求得的周长；
由余弦定理和基本不等式，求得，再由，根据向量的数量积的运算律，即可求解．
本题考查了解三角形，属于中档题．
19.【答案】；
；
．
【解析】在中，由余弦定理，
可得，则，
因为是等边三角形，所以的面积；
在中，由余弦定理可得，
则，故，
因为是等边三角形，所以，
所以，
则的面积为；
设，，
在中，由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得，
，
则，
所以的面积，
因为，，
所以，
当时，取得最大值，
即的面积的最大值为．
由题设条件，结合余弦定理即可求解；
由余弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式即可求解；
由正弦定理、余弦定理结合三角恒等变换即可求解．
本题考查正弦定理及余弦定理的综合应用，属中档题．

展开更多......

收起↑