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江西“三新”协同教研共同体2026届高三4月数学学科阶段训练
数学试卷
一、选择题
1．数据3,7,9,10,16,18的上四分位数为( )
A.5
B.7
C.13
D.16
2．若复数z满足,则z在复平面内对应的点的坐标不可能为( )
A.
B.
C.
D.
3．已知集合，若，则( )
A.10或18 B.或 C.18 D.
4．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则( )
A. B. C. D.
5．已知，，，则( )
A. B. C. D.
6．如图，在中，，，，D是BC边上靠近点B的三等分点，则( )
A. B. C. D.
7．对于给定的正整数k，若数列满足，则称为“k螺旋数列”.已知“k螺旋数列”的前n项和，则的最大值为( )
A.111 B.110 C.109 D.108
8．已知函数若，则a的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9．若a，b，c是空间中互不重合的三条直线，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，，，，，则
10．已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，P是C上异于，的动点，则下列结论正确的是( )
A.直线和的斜率之积为定值
B.的最小值为
C.若的面积为5，则
D.若的角平分线与x轴交于点，则内切圆的半径为
11．已知是函数的导函数，，的图象在R上均是一条连续不断的曲线，且当时，，当时，.若为定值，且，，，则( )
A.在上单调递减 B.在上单调递增
C.9是的一个极小值点 D.是的一个零点
三、填空题
12．的展开式中的系数为______________.
13．奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线方程为______________.
14．设正数a，b满足，若关于x的方程的所有正实数解从小到大依次为，则的取值范围为______________.
四、解答题
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C；
（2）若，，求的面积.
16．如图，在四棱锥中，，，，，.
（1）证明：平面SAD.
（2）已知，平面平面ABCD.
（i）求三棱锥外接球的表面积；
（ii）求平面MCD与平面ABCD夹角的余弦值.
17．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在最小值，且最小值小于2，求a的取值范围.
18．已知是抛物线的焦点，过F的直线l与交于A，B两点（A在x轴的上方）.
（1）求p的值；
（2）若，求l的方程；
（3）记O为坐标原点，E为x轴上异于F的点，且，延长AE交于点C，设直线OB，BC的斜率分别为，求的最小值.
19．某工业系统内初始装有2个A类部件和1个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到A类部件的概率为，第n次操作后系统内A类部件的数量为.
（1）求与的值.
（2）证明：.
（3）求数列的通项公式.
附：若随机变量服从两点分布，且，则
参考答案
1．答案：D
解析：因为,所以这组数据的上四分位数为16.
2．答案：C
解析：设,
则,当时,不满足题意,
其余均满足题意,故z在复平面内对应的点的坐标不可能为.
3．答案：B
解析：若，则，得，
则或.
若，则，
得，则.
综上，或.
4．答案：D
解析：E的渐近线方程为，
直线的斜率为，则，解得.
5．答案：A
解析：因为，
，所以.
6．答案：B
解析：因为D是BC边上靠近点B的三等分点，
所以，，
.
7．答案：C
解析：当时，，
当时，.
当时，由，得，
当时，由，得.
因为，所以.
8．答案：A
解析：作出的图象（图略）.
由，可得或.
由，可得；由，
可得或或.
综上，a的取值范围为.
9．答案：AD
解析：若一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，
则这两个平面互相垂直，A正确.
若，则a与c的位置关系不确定，B不正确.
若，则a与的位置关系不确定，C不正确.
若，，，，，则，D正确.
10．答案：ACD
解析：由题可得，，，.
设，则，
，A正确.
，，
，B不正确.
若的面积为5，则，
根据对称性，不妨令P位于第一象限，可得，
则，，
，
由，
得，C正确.
，，因为PM平分，
所以.又，
所以，，
的面积为.
设内切圆的半径为r，
则，解得，D正确.
11．答案：BCD
解析：设，令，得，
则，两边求导得.
因为，所以与同号.
当时，，令，得，
则当时，，此时，则，
当时，，此时，则，
从而在，上单调递减，在上单调递增，A不正确.
当时，，且，则，
则在上恒成立，故在上单调递增，B正确.
由题易得，则，当时，，
且，则，则在上恒成立，
故9是的一个极小值点，C正确.
令，得，故是的一个零点，D正确.
12．答案：
解析：含的项为，系数为.
13．答案：
解析：因为是奇函数，所以，则.
当时，，则，则.
又，
所以曲线在点处的切线方程为.
14．答案：
解析：
，
则，则.
当时，
由
（其中的终边经过点），
得，得.
取为最小正角，则，则.
同理，当时，可得，
则.
由，得.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，
所以.
又，所以，即.
由，得.
（2）由，得，，
则.
因为，所以由，得，
则的面积.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）（i）；（ii）
解析：（1）证明：过点M作，交SA于点N，连接DN.
因为，所以.
又，所以，
则四边形CDNM为平行四边形，从而.
因为平面平面SAD，所以平面SAD.
（2）（i）由，，可得.
因为平面平面ABCD，平面平面，
且平面，，所以平面SAD，
BD是三棱锥外接球的直径，且，
则三棱锥外接球的表面积.
（ii）（方法一）取AD的中点O，BC的中点E，
连接OE，OS，易得OA，OE，OS两两垂直，
以O为坐标原点，OA，OE，OS所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，.
设平面MCD的法向量为，
则由得
令，得.
由图可知，平面ABCD的一个法向量为，
则平面MCD与平面ABCD夹角的余弦值为.
（方法二）因为，，所以.
又平面平面ABCD，
平面平面，所以平面SAD，
则，故即平面MCD与平面ABCD的夹角.
由，，
可得，，，
则，
即平面MCD与平面ABCD夹角的余弦值为.
17．答案：（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）
解析：（1）由，可得.
若，则在上恒成立，
则的单调递增区间为，无单调递减区间.
若，则当时，，当时，，
则的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）可知，若存在最小值，则，
且的最小值为，则，
则，即.
令，则.
因为恒成立，
所以恒成立，则在上单调递增.
又，所以当时，，当时，.
故a的取值范围为.
18．答案：（1）；
（2）；
（3）当且仅当时，等号成立，故的最小值为
解析：（1）因为是的焦点，所以，
得.
（2）由（1）知的方程为.
由题意可设的方程为，，.
由得，
则，.
因为，所以.
由，解得，
则，l的方程为.
（3）由E为x轴上异于F的点，且，得，
则直线AC的方程为，
即.设.
由得，
则，，
则.
由，得.
又，所以，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
19．答案：（1）；；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）由题可知，.
（2）证明：设的所有可能取值为k，则.
记事件M为第次操作抽调到A类部件，则.
根据全概率公式可得.
在的条件下，系统内共有个部件，其中有k个A类部件，
则事件M发生的概率，
则
.
因为，
所以，
则.
（3）设随机变量满足若第i次操作抽调到A类部件，
则，若第i次操作抽调到B类部件，则，
所以服从两点分布，且.
由题可知，第i次操作后系统内A类部件比上一次的增量为，
则.因为，
所以.
由（2）可知，，则，
则当时，有，
则，即，
当时，，，
满足上式，故，
则.
令，则，，
则
，
则，
则.

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