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泺口实验学校2025-2026学年第二学期八年级数学3月阶段性质量检测试题
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题（每题 4 分，共 40 分）
1.下列四个近年来热门的 AI（人工智能）相关的图标中，是中心对称图形的是（ ）
2.代数式 x，， ，x2－ ，，中，属于分式的有（ ）
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
3.若aA. a< b B. > C. 3a>3b D. a+14.在数轴上表示不等式2x 3≥3的解集正确的是（ ）
5.下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. (x+4)(x 4)=x2 16 B. x2+2x+1=x(x+2)+1 C. x2+1=x(x+ ) D. 4m2+4m+1=(2m+1)2
6.已知平面直角坐标系中一点A( 1,2)，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（ ）
A. (4,1) B. (4,3) C. ( 4,1) D. ( 4,3)
7.某商品进价为 350 元，出售时标价为 550 元，由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于 10%，则至多可打（ ）
A. 六折 B. 七折 C. 八折 D. 九折
8.如图，一次函数y1=ax+b（a,b为常数）与正比例函数y2=kx（k为常数）的图象交于点P( 4, 2)，则关于x的不等式ax+b≥kx的解集是（ ）
A. x> 2 B. x< 2 C. x> 4 D. x< 4
（第8题图） （第10题图）
9.关于x的不等式组的解集是x<2，则a的取值范围是（ ）
A. a≥2 B. a>2 C. a<2 D. a≤2
10.找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为A1(0,0),A2(1,1),A3(2,0),A4(0, 2),A5( 2,0),A6(1,3),A7(4,0),A8(0, 4),A9( 4,0),A10(1,5),A11(6,0)，则依图中所示规律，点A2027的坐标为（ ）
A. (1012,0) B. ( 1012,0) C. (0, 1014) D. (1014,0)
二、填空题（每题 4 分，共 20 分）
11.分解因式：3a2+6a= 。
12.分式的值为 0，则x的值为 。
13.如图，将△ABC向右平移得到△DEF，且点B,E,C,F在同一条直线上，若EC=2,BF=8，则AD的长为 。
（第13题图） （第15题图）
14.定义一种新运算：a⊙b=ab 2a，则关于x的不等式组的负整数解共有 个。
15.如图，边长为 8 的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60 得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 。
三、解答题（共 9 题，共 90 分）
16.（5 分）解不等式，并把它的解集分别在数轴上表示2(1 2x)≥4 3x
17.（7 分）解不等式组，并写出不等式组的整数解。
18.（12 分）因式分解：
（1）x2 25x； （2）x2 9y2； （3）3a2 6ab+3b2； （4） 8ax2+16axy 8ay2。
19.（6 分）先分解因式，再求值：2x(a 2) y(2 a)，其中a=2,x=1.5,y= 2。
20.（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A( 2,4),B( 4,2),C( 1,1)
（每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形）。请完成以下画图并填空。
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1。
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90 ，画出旋转后得到的△A2B2C2；
（3）△ABC的面积为 。
21.（8 分）为了促进桂林旅游业节能减排，象鼻山景区决定将园区照明灯换成太阳能节能灯，若购买 4 盏甲型太阳能灯和 5 盏乙型太阳能灯需用 64 元；若购买 6 盏甲型太阳能灯和 2 盏乙型太阳能灯需用 52 元。
（1）求 1 盏甲型太阳能灯和 1 盏乙型太阳能灯的售价各是多少元；
（2）象鼻山景区决定购买以上两种型号的太阳能灯共 50 盏，总费用不超过 360 元，那么该景区最少可以购买多少盏甲型太阳能灯？
22.（8 分）某徽州文房四宝店计划购进徽墨和砚台共 60 件。已知购买 2 件徽墨和 3 件砚台的进价合计 320 元，购买 3 件徽墨和 2 件砚台的进价合计 330 元。实际进货时，徽墨的数量不少于砚台数量的 2 倍。徽墨和砚台的售价分别为 110 元/件，105 元/件。
（1）徽墨和砚台的进价各是多少元 / 件？
（2）徽墨和砚台各购进多少件，才能使全部售出后获得的利润最大，最大利润是多少？
23.（12 分）发现与探索：
（1）根据小明的解答将下列各式因式分解：
小明的解答：a2 6a+5=a2 6a+9 9+5=(a 3)2 4=(a 5)(a 1)。
①a2 12a+20； ②a2 6ab+5b2。
（2）根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式(a 3)2+4无论a取何值(a 3)2都大于等于 0，再加上 4，则代数式(a 3)2+4
大于等于 4，则(a 3)2+4有最小值为 4。
①说明：代数式a2 12a+20的最小值为 - 16。
②请仿照小丽的思考解释代数式 (a+1)2+8的最大值为 8，并求代数式 a2+12a 8的最大值。
24.（12 分）图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题：
（1）用两种不同方法表示图 1 中大长方形ABCD的面积，可得关于因式分解的等式为 。
（2）如图 2，一张大长方形纸被分割成 9 块，其中两块是边长为m cm的大正方形，两块是边长为n cm的小正方形，5 块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形。
①观察图形，代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 。
②若阴影部分图形的面积为58cm2，大长方形纸的周长为42cm，求图 2 中空白部分图形的面积。
25.（12 分）（一）猜测探究
在等边△ABC中，点D是直线AB上的一个动点，线段CD绕点C逆时针旋转60 得到线段CE，连接DE,BE。
（1）如图 1，当点D在AB边上运动时，线段BD,BC和BE的关系是 。
（2）如图 2，当点D运动到线段AB的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（二）拓展应用
如图 3，将△ABC绕点C逆时针旋转60 得到△CDE，连接AB,DE交于点F，连接CF，若CF=5,BF=2,DF=3，求线段DE的长。
答案
一、选择题（每题 4 分，共 40 分）
1.下列四个近年来热门的 AI（人工智能）相关的图标中，是中心对称图形的是（ A ）
2.代数式 x，， ，x2－ ，，中，属于分式的有（ B ）
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
3.若aA. a< b B. > C. 3a>3b D. a+14.在数轴上表示不等式2x 3≥3的解集正确的是（ D ）
5.下列从左到右的变形，是因式分解的是（ D ）
A. (x+4)(x 4)=x2 16 B. x2+2x+1=x(x+2)+1 C. x2+1=x(x+ ) D. 4m2+4m+1=(2m+1)2
6.已知平面直角坐标系中一点A( 1,2)，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（ D ）
A. (4,1) B. (4,3) C. ( 4,1) D. ( 4,3)
7.某商品进价为 350 元，出售时标价为 550 元，由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于 10%，则至多可打（ B ）
A. 六折 B. 七折 C. 八折 D. 九折
8.如图，一次函数y1=ax+b（a,b为常数）与正比例函数y2=kx（k为常数）的图象交于点P( 4, 2)，则关于x的不等式ax+b≥kx的解集是（ C ）
A. x> 2 B. x< 2 C. x> 4 D. x< 4
（第8题图） （第10题图）
9.关于x的不等式组的解集是x<2，则a的取值范围是（ A ）
A. a≥2 B. a>2 C. a<2 D. a≤2
10.找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为A1(0,0),A2(1,1),A3(2,0),A4(0, 2),A5( 2,0),A6(1,3),A7(4,0),A8(0, 4),A9( 4,0),A10(1,5),A11(6,0)，则依图中所示规律，点A2027的坐标为（ C ）
A. (1012,0) B. ( 1012,0) C. (0, 1014) D. (1014,0)
二、填空题（每题 4 分，共 20 分）
11.分解因式：3a2+6a= 3a（a+2） 。
12.分式的值为 0，则x的值为 －4 。
13.如图，将△ABC向右平移得到△DEF，且点B,E,C,F在同一条直线上，若EC=2,BF=8，则AD的长为 3 。
（第13题图） （第15题图）
14.定义一种新运算：a⊙b=ab 2a，则关于x的不等式组的负整数解共有 3 个。
15.如图，边长为 8 的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60 得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 2 。
三、解答题（共 9 题，共 90 分）
16.（5 分）解不等式，并把它的解集分别在数轴上表示2(1 2x)≥4 3x
解：2－4x≥4－3x
解得x≤－2
17.（7 分）解不等式组，并写出不等式组的整数解。
解不等式①得x<4
解不等式②得x≥1
原不等式组得解集：1≤x<4
整数解：1,2,3
18.（12 分）因式分解：
（1）x2 25x； （2）x2 9y2； （3）3a2 6ab+3b2； （4） 8ax2+16axy 8ay2。
=x（x－25） =（x+y）（x－3y） =3（a2 2ab+b2） =－8a（x2－2xy+y2）
=3（a－b）2 =－8a（x－y）2
19.（6 分）先分解因式，再求值：2x(a 2) y(2 a)，其中a=2,x=1.5,y= 2。
解原式==2x(a 2)+y(a 2)=(a 2)(2x+y)
代入a=2,x=1.5,y= 2：a 2=0
原式=0
20.（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A( 2,4),B( 4,2),C( 1,1)
（每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形）。请完成以下画图并填空。
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1。
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90 ，画出旋转后得到的△A2B2C2；
（3）△ABC的面积为 。
（1）（2）
（3）4
21.（8 分）为了促进桂林旅游业节能减排，象鼻山景区决定将园区照明灯换成太阳能节能灯，若购买 4 盏甲型太阳能灯和 5 盏乙型太阳能灯需用 64 元；若购买 6 盏甲型太阳能灯和 2 盏乙型太阳能灯需用 52 元。
（1）求 1 盏甲型太阳能灯和 1 盏乙型太阳能灯的售价各是多少元；
（2）象鼻山景区决定购买以上两种型号的太阳能灯共 50 盏，总费用不超过 360 元，那么该景区最少可以购买多少盏甲型太阳能灯？
(1) 设甲售价x元，乙得售价y元
根据题得

解得：
答：甲得售价为6 元，乙的售价为8 元。
(2) 设甲m盏，乙(50 m)盏
6m+8(50 m)≤360
6m+400 8m≤360
2m≤ 40
m≥20
∵m取整数
最少买20 盏甲。
22.（8 分）某徽州文房四宝店计划购进徽墨和砚台共 60 件。已知购买 2 件徽墨和 3 件砚台的进价合计 320 元，购买 3 件徽墨和 2 件砚台的进价合计 330 元。实际进货时，徽墨的数量不少于砚台数量的 2 倍。徽墨和砚台的售价分别为 110 元/件，105 元/件。
（1）徽墨和砚台的进价各是多少元 / 件？
（2）徽墨和砚台各购进多少件，才能使全部售出后获得的利润最大，最大利润是多少？
(1) 设徽墨进件为x元，砚台的进价为y元
根据题意得
解得：
答：徽墨进价 70元，砚台的进价为 60元。
(2) 设砚台a件，徽墨(60 a)件
60 a≥2a
解得a≤20
利润：徽墨每件利润110 70=40
砚台每件利润105 60=45
砚台越多利润越高。a=20，徽墨40件
总利润：40×40+20×45=1600+900=2500
最大利润2500 元。
23.（12 分）发现与探索：
（1）根据小明的解答将下列各式因式分解：
小明的解答：a2 6a+5=a2 6a+9 9+5=(a 3)2 4=(a 5)(a 1)。
①a2 12a+20； ②a2 6ab+5b2。
（2）根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式(a 3)2+4无论a取何值(a 3)2都大于等于 0，再加上 4，则代数式(a 3)2+4
大于等于 4，则(a 3)2+4有最小值为 4。
①说明：代数式a2 12a+20的最小值为 - 16。
②请仿照小丽的思考解释代数式 (a+1)2+8的最大值为 8，并求代数式 a2+12a 8的最大值。
（1）①（a－2）（a－10） ②（a－5b）（a－b）
（2）①a2 12a+20=（a－6）2－36+20=（a－6）2－16
∵（a－6）2≥0
∴（a－6）2－16≥－16
∴代数式a2 12a+20的最小值为 - 16
② a2+12a 8=－（a－6）2+36－8=－（a－6）2+28
∵－（a－6）2≤0
∴－（a－6）2+28≤28
∴代数式 a2+12a 8的最大值是28.
24.（12 分）图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题：
（1）用两种不同方法表示图 1 中大长方形ABCD的面积，可得关于因式分解的等式为 。
（2）如图 2，一张大长方形纸被分割成 9 块，其中两块是边长为m cm的大正方形，两块是边长为n cm的小正方形，5 块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形。
①观察图形，代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 。
②若阴影部分图形的面积为58cm2，大长方形纸的周长为42cm，求图 2 中空白部分图形的面积。
(1) 因式分解等式
方法一（整体面积）：大长方形长为a+2b，宽为a+b，面积S=(a+2b)(a+b)。
方法二（分割面积）：分割为 1 个a2、3 个ab、2 个b2，面积S=a2+3ab+2b2。
等式：a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)。
(2) ① 因式分解大长方形长为2m+n，宽为m+2n，总面积S=(2m+n)(m+2n)。
展开得2m2+5mn+2n2，故分解式为(2m+n)(m+2n)。
(2) ②已知：阴影面积2m2+2n2=58，大长方形周长2[(2m+n)+(m+2n)]=42。
化简周长：(m+2n+2m+n)=42
得m+n=7。
(m+n)2=m2+2mn+n2=72
∴mn=10
∴5mn=50cm2
25.（12 分）（一）猜测探究
在等边△ABC中，点D是直线AB上的一个动点，线段CD绕点C逆时针旋转60 得到线段CE，连接DE,BE。
（1）如图 1，当点D在AB边上运动时，线段BD,BC和BE的关系是 。
（2）如图 2，当点D运动到线段AB的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（二）拓展应用
如图 3，将△ABC绕点C逆时针旋转60 得到△CDE，连接AB,DE交于点F，连接CF，若CF=5,BF=2,DF=3，求线段DE的长。
（1）BD+BE=BC
（2）不成立，应为 BD + BC = BE ．
理由如下：∵线段 CD 绕点 C 逆时针旋转60°得到线段 CE ,
∴CD = CE , ∠DCE =60°,
∵△ ACB 是等边三角形，
∴AC = CB = AB , ∠ACB =60°,
∴∠ACB + ∠BCD =∠DCE +∠BCD ,
即 ∠ACD = ∠ECB ,
∴△ACD ≌△BCE ( SAS ),
∴AD = BE ,
∴BE = AD = AB + BD = BC + BD ,
∴BD + BC = BE ，即（1）中结论不再成立．
（二）拓展应用：
如图，在 ED 上取一点 P ，使 EP = FB ，连接 CP ,
由题意得 CB = CE ,∠BCE =60°,∠B =∠E ,
∴△CFB ≌△CPE ( SAS ),
∴CF = CP , ∠FCB =∠PCE ,
∴∠FCP =∠FCB +∠BCP =∠PCE +∠BCP =∠BCE =60°,
∴△FCP 是等边三角形，
∴CF = FP ,
∴DE = DF + FP + PE = DF + CF + FB =3+5+2=10,
即线段 DE 的长为10.

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