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湖南省长沙市雅礼实验中学2025年中考二模数学试题
一、选择题 （本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·长沙模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·长沙模拟）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·长沙模拟）据统计，某日某搜索平台使用DeepSeek解决的问题超过13700000个．数字13700000用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·长沙模拟）在学校组织的初三学生体检中，某班40名同学视力检查数据如表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 2 2 3 7 11 8 4 3
这40名同学视力检查数据的众数、中位数分别是（　　）
A．4.6、 4.7 B．4.8、 4.65 C．4.7、 4.7 D．4.9、 4.7
6．（2025·长沙模拟）点是由点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度而得到的，点坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·长沙模拟）如图，已知直线，将一块含的直角三角板按如图方式放置（）其中点，分别落在直线、上． 若， 则等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·长沙模拟）一次函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2025·长沙模拟）如图，是的直径， 若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·长沙模拟）我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题 （本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·长沙模拟）代数式有意义时，应满足的条件是　 　．
12．（2025·长沙模拟）刘老师行驶在一条五车道上，其中有一条左转车道，三条直行车道，一条右转车道，那么她随机选择一条车道，选中直行车道的概率是　 　．
13．（2025·长沙模拟）若圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面积为　 　．（结果保留）．
14．（2025·长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是　 　．
15．（2025·长沙模拟）如图，在中，，，，用图示的尺规作图方法在边上确定一点．则的周长为　 　．
16．（2025·长沙模拟）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A、B、C、D、E、F、G、H八道工序，加工要求如下：①工序C、D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B、D都完成后进行，工序F须在工序C、D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C E F G H
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 3
若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是 　 　分钟．
三、解答题（本大题共9个小题，第 17、18、19题每小题6分，第20、21 题每小题8分，第22、23题每小题9分， 第 24、25题每小题10分， 共 72分）
17．（2025·长沙模拟）计算：
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
19．（2025·长沙模拟）测量计算是日常生活中常见的问题，在现实生活中，往往当物体的高度不方便测量，此时我们可以借助所学的知识，利用直角三角形边角关系得到我们需要的数据．如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，小雅站在距离楼底端C点26米处的D点，测得此时旗杆顶点A的仰角为，观测旗杆底部B点的仰角为．（点A、B、C在同一直线上，且点A、B、 C、D处于同一平面内）（参考数据：，）
（1）求楼高；
（2）求旗杆的高度．（结果精确到1米）
20．（2025·长沙模拟）某中学欲开设A实心球、B立定跳远、C跑步、D足球四种体育活动，为了了解学生们对这些项目的选择意向，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1、图2，请结合图中的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了　　名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）求扇形C的圆心角的度数；
（4）某班喜欢“跑步”的学生有3名，其中有2名男生，1名女生，现从这3名学生中选取2名，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到一名男生和一名女生的概率．
21．（2025·长沙模拟）如图，在和中，，，，、相交于点F，
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
22．（2025·长沙模拟）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个．
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？
23．（2025·长沙模拟）如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，过点D作，交的延长线于点E．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求的面积及的值．
24．（2025·长沙模拟）如图，已知半径为半圆的直径为，点在半径上运动（点不与点重合），点是半圆弧的中点，点C在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点．
（1）若点为的中点，求的值；
（2）连接，①当点在半径上运动时，的度数是否发生变化，若不变，求出，若变化，请说明理由；
②若，，求矩形的边的长；
（3）假设，，求与之间的函数关系，当时，求函数的取值范围．
25．（2025·长沙模拟）我们不妨约定：若两个二次函数图象关于原点对称，我们称这两个函数互为“旗开得胜”函数．
（1）已知二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数，填空：
① ；②若，则 ；③ ；
（2）若二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上，且互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，求二次函数的解析式；
（3）已知二次函数与互为“旗开得胜”函数，的顶点为 E，与轴交于点F，轴，直线与图象交于A、B两点，与的图象交于 C、D两点，若线段、、可构成以为斜边的直角三角形，假设该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，需要逐一判断四个选项的图形是否满足该定义.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项计算错误，不符合题意；
B、，故选项计算错误，不符合题意；
C、，故选项计算正确，符合题意；
D、，故选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据同底数幂的除法、单项式乘多项式、幂的乘方、合并同类项等这些运算法则逐一分析各个选项即可.
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】
科学记数法表示形式为，其中，为整数，确定a和n的值，即可得到答案
5．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据列表可知视力4.7的人数最多为11人，即众数为4.7；
总计为40名同学视力，按从小到大的顺序排列则处在最中间为第20位和21位都是4.7，
∴中位数为，
故选：C．
【分析】
根据众数（出现次数最多的数值）和中位数（将一列数从小到大排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数）的概念即可解答.
6．【答案】D
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度而得到的点的坐标是，即，
故选：．
【分析】
需先根据向下平移规律计算出点Q平移后的纵坐标，再根据向右平移规律计算出横坐标，得到点P的坐标即可.
7．【答案】A
【知识点】角的运算；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】
利用平角的性质求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等得出的度数即可.
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数中，，，
∴此函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【分析】
先确定一次函数中k和b的符号，再根据一次函数的性质判断函数图象经过的象限，从而找出不经过的象限即可.
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：和都对着，
．
故选：C．
【分析】
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由此可直接建立等量关系求解.
10．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 设甲有羊x只，乙有羊y只， 如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，
∴；
∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：D．
【分析】 设甲有羊x只，乙有羊y只；如果乙给甲9只羊，则甲此时有羊的数量为x+9，乙有羊的数量为y-9，然后根据此时甲的羊数为乙的2倍列出方程x+9=2(y-9)； 如果甲给乙9只羊，则甲此时有羊的数量为x-9，乙有羊的数量为y+9，然后根据此时甲的羊数与乙的羊数相等列出方程x-9=y+9，联立两方程即可.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件，需要满足二次根式的被开方数式非负数及分式的分母不为零这两个条件，由此列出不等式求解即可．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：她随机选择一条车道，她可能的选择共有5种情况，选中直行车道的有3种情况，
∴选中直行车道的概率是，
故答案为：．
【分析】
先确定总车道数量和直行车道数量，再用直行车道数量除以总车道数量得到选中直行车道的概率即可.
13．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，
∴圆锥的侧面积公式：，
故答案为：．
【分析】
直接利用圆锥侧面积公式S=，把底面半径和母线代入计算即可.
14．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，
∴△=42﹣4a=16﹣4a=0，
解得：a=4．
故答案为：4．
【分析】一元二次方程的两根相等可推出判别式==0，代入a、b、c数值即可.
15．【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
由题意知：D在线段的垂直平分线上，
，
的周长．
故答案为：15．
【分析】
根据线段垂直平分线的性质可得出，再根据“在三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”可得AB=2AC，则有的周长是．
16．【答案】28
【知识点】推理与论证；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：假设这两名学生为甲，乙，
∵工序、须在工序完成后进行，工序须在工序、都完成后进行，且工序都需要 9 分钟完成，
∴甲学生做工序，乙学生做工序，需要 9 分钟，
然后甲学生做工序，同时乙学生做工序，
乙学生工序完成后接着做工序，
此时需要 9 分钟，
最后乙学生做工序，甲学生同时做工序完成后接着做工序，
此时需要 10 分钟，
则（分钟），
即若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 28 分钟．
故答案为： 28 ．
【分析】
根据加工要求确定工序之间的先后顺序，通过确定两名学生初始、后续到最后的工作步骤需要的时间，将每一步所需要的时间相加，得到完成加工所需最少时间即可.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别根据绝对值的性质，特殊角三角函数的值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算出各项的值，然后再进行相加减运算即可．
18．【答案】解： ，
，
，
，
当 时，原式 ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
19．【答案】（1）解：依题意，
在中，，
答：建筑物的高度为 26米．
（2）解：在中，，
，
，
米，
答：旗杆的高度为5米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）在中，利用正切函数的定义即可求解．
（2）在中，利用正切函数求出AC的长度，再用AC的长度减去BC的长度得到AB的长度即可．
（1）解：依题意，
在中，，
答：建筑物的高度为 26米．
（2）解：在中，，
，
，
米，
答：旗杆的高度为5米．
20．【答案】（1）150；
（2）150﹣15﹣45﹣30＝60（人），补全条形统计图如图所示：
（3）
360°×（1﹣10%﹣30%﹣20%）＝144°
答：扇形C的圆心角的度数为144°；
（4）
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果数，其中一男一女的有4种，
因此，刚好抽到一名男生和一名女生的概率为＝
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）15÷10%＝150（人），
故答案为：150；
【分析】（1）利用已知的部分人数及其所占百分比求出总人数即可；
（2）通过总人数减去其他项目的人数得到C项目的人数，进而补全条形统计图；
（3）先求出C项目人数所占百分比，再根据圆心角度与百分比的关系求出扇形C的圆心角度数；
（4）通过列表法展开所有可能结果，找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算出刚好抽到一名男生和一名女生的概率即可．
21．【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）已知∠1=∠2，根据等式的基本性质，在等式两边同时加上同一个角∠CAD，即∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，从而推出∠CAB=∠EAD，结合AB=AD，AC=AE这两组边相等，根据全等三角形的判定定理（SAS）证明△ABC △ADE，最后根据全等三角形对应角相等的性质即可得结论；
（2）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，得到∠1=∠D=40°，结合（1）中结论，利用三角形内角和定理计算即可．
（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
22．【答案】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元.
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意得：，
解得：．
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元
则
即
∵
∴w随m的增大而增大
又
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时(个).
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题围绕二元一次方程组，一元一次不等式与一次函数在实际销售盈利问题中的应用展开.
(1)需从题干提取 4件A娃娃与5件B娃娃费用相同，A娃娃进价比B娃娃多2元两个等量关系，设未知数构建方程组求解进价；
(2)先依据资金不超1700元设A娃娃购进数量，列不等式确定取值范围，再构建总利润关于该数量的一次函数，结合函数增减性求最大利润及对应进货方案，核心是将实际问题转化为数学模型(方程组，不等式，函数)求解.
（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元；
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，
根据题意得：，
解得：．
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，
则，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）．
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
23．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为120．
∴．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【分析】(1) 首先根据平行四边形的性质和角平分线的性质可判断出四边形ABCD为菱形；
(2) 由（1）可知，四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质：对角线互相垂直且平分，可得，根据勾股定理和菱形的性质可得到四边形ACED为平行四边形，可得到，然后再根据三角形面积公式和正弦函数的定义即可解答.
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为120．
∴．
24．【答案】（1）解：如图，连接，
∵点是半圆弧的中点，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴在中，，

（2）解：①的度数不会发生变化，
如图，连接，
∵点是半圆弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
②如图，过点作于点，连接，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：（舍），，
∴，
∴；

（3） 解：延长交的延长线于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
同（2）②可得，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
化简得：，
∵当时，随的增大而减小，
∴随着的增大而增大，且当时，当时，
∴．

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）通过连接半径，由题意知可得到，进而得出，在中，根据正切函数的定义即可解答；
（2）①连接，因为点B是半圆弧的中点，所以，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆心角的一半，可得出，根据题意可知四边形ABCD是矩形，可得出，利用圆内接四边形得出，最后可得；
②过点作于点，连接，因为矩形ABCD中，，则可证明，进而可得出，即，则有，再根据勾股定理可求出，则，最后再利用勾股定理求出BC的长；
（3）通过作辅助线，由已知条件可得到，即可得出，则，进而证明，则有，所以可得出，，由（2）②可得，即，已知AM=x，则OA=OM-AM=r-x，可求出，在中，根据勾股定理计算可得出，因为当时，随的增大而减小，可得随着的增大而增大，分别计算出x=0和x=时y的值，即可求解y的取值范围．
（1）解：如图，连接，
∵点是半圆弧的中点，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴在中，，
故答案为：；
（2）解：①的度数不会发生变化，
如图，连接，
∵点是半圆弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
②如图，过点作于点，连接，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：（舍），，
∴，
∴；
（3）解：延长交的延长线于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
同（2）②可得，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
化简得：，
∵当时，随的增大而减小，
∴随着的增大而增大，且当时，当时，
∴．
25．【答案】（1）；1；0
（2）解：二次函数的“旗开得胜”函数为，
联立，
整理得：，
互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，
，
，
，
二次函数为，其“旗开得胜”函数为，
令，则，
解得：，，
二次函数图象与轴两个交点间的距离为，
二次函数，
二次函数的顶点坐标为，
其“旗开得胜”函数的顶点坐标为，
其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上，
，
，
二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，
顶点到轴的距离等于图象与轴两个交点间的距离的一半，
，
解得：或，
当时，，无解，舍去；
当时，，解得，此时二次函数的解析式为或；
当，，解得，不符合题意，舍去；
综上所述，二次函数的解析式为或．

（3）解：由题意得，，
令，则，
，
，
，
轴，
，
，
，
联立，则，
直线与图象交于A、B两点，
，，
，
同理可得，，
线段、、可构成以为斜边的直角三角形，
，
，
解得：，
，，，
，，，
该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，
，，
．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：关于原点对称的两个二次函数图象开口方向相反，两个图象的对称轴关于轴对称，两个图象与轴的交点关于原点对称，
二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数，
两个二次函数图象关于原点对称，
，，，
解得：，，
，
，
综上所述，，，．
故答案为：；1；0．
【分析】
（1）由题意得，两个二次函数图象关于原点对称，分析得出两个图象的开口方向、对称轴、与轴的交点之间的关系，即可求解；
（2）二次函数的“旗开得胜”函数为，联立两个函数整理得到，根据两个二次函数图象有且只有一个交点，计算得到，根据二次函数的图象与性质得到顶点坐标为，其“旗开得胜”函数的顶点坐标为，代入到反比例函数可得，再根据等腰直角三角形的性质求出的值，进而求出的值，即可得到二次函数的解析式；
（3）根据二次函数的性质求出、的坐标，由轴，得到，，联立二次函数与直线，利用一元二次方程根与系数的关系求出，同理可得，再利用勾股定理列出等式求出的值，得出直角三角形三边长，再利用直角三角形的外接圆和内切圆半径公式即可求解．
（1）解：关于原点对称的两个二次函数图象开口方向相反，两个图象的对称轴关于轴对称，两个图象与轴的交点关于原点对称，
二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数，
两个二次函数图象关于原点对称，
，，，
解得：，，
，
，
综上所述，，，．
故答案为：；1；0．
（2）解：二次函数的“旗开得胜”函数为，
联立，
整理得：，
互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，
，
，
，
二次函数为，其“旗开得胜”函数为，
令，则，
解得：，，
二次函数图象与轴两个交点间的距离为，
二次函数，
二次函数的顶点坐标为，
其“旗开得胜”函数的顶点坐标为，
其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上，
，
，
二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，
顶点到轴的距离等于图象与轴两个交点间的距离的一半，
，
解得：或，
当时，，无解，舍去；
当时，，解得，此时二次函数的解析式为或；
当，，解得，不符合题意，舍去；
综上所述，二次函数的解析式为或．
（3）解：由题意得，，
令，则，
，
，
，
轴，
，
，
，
联立，则，
直线与图象交于A、B两点，
，，
，
同理可得，，
线段、、可构成以为斜边的直角三角形，
，
，
解得：，
，，，
，，，
该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，
，，
．
1 / 1湖南省长沙市雅礼实验中学2025年中考二模数学试题
一、选择题 （本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·长沙模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．（2025·长沙模拟）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，需要逐一判断四个选项的图形是否满足该定义.
3．（2025·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项计算错误，不符合题意；
B、，故选项计算错误，不符合题意；
C、，故选项计算正确，符合题意；
D、，故选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据同底数幂的除法、单项式乘多项式、幂的乘方、合并同类项等这些运算法则逐一分析各个选项即可.
4．（2025·长沙模拟）据统计，某日某搜索平台使用DeepSeek解决的问题超过13700000个．数字13700000用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】
科学记数法表示形式为，其中，为整数，确定a和n的值，即可得到答案
5．（2025·长沙模拟）在学校组织的初三学生体检中，某班40名同学视力检查数据如表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 2 2 3 7 11 8 4 3
这40名同学视力检查数据的众数、中位数分别是（　　）
A．4.6、 4.7 B．4.8、 4.65 C．4.7、 4.7 D．4.9、 4.7
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据列表可知视力4.7的人数最多为11人，即众数为4.7；
总计为40名同学视力，按从小到大的顺序排列则处在最中间为第20位和21位都是4.7，
∴中位数为，
故选：C．
【分析】
根据众数（出现次数最多的数值）和中位数（将一列数从小到大排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数）的概念即可解答.
6．（2025·长沙模拟）点是由点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度而得到的，点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度而得到的点的坐标是，即，
故选：．
【分析】
需先根据向下平移规律计算出点Q平移后的纵坐标，再根据向右平移规律计算出横坐标，得到点P的坐标即可.
7．（2025·长沙模拟）如图，已知直线，将一块含的直角三角板按如图方式放置（）其中点，分别落在直线、上． 若， 则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】
利用平角的性质求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等得出的度数即可.
8．（2025·长沙模拟）一次函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数中，，，
∴此函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【分析】
先确定一次函数中k和b的符号，再根据一次函数的性质判断函数图象经过的象限，从而找出不经过的象限即可.
9．（2025·长沙模拟）如图，是的直径， 若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：和都对着，
．
故选：C．
【分析】
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由此可直接建立等量关系求解.
10．（2025·长沙模拟）我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 设甲有羊x只，乙有羊y只， 如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，
∴；
∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：D．
【分析】 设甲有羊x只，乙有羊y只；如果乙给甲9只羊，则甲此时有羊的数量为x+9，乙有羊的数量为y-9，然后根据此时甲的羊数为乙的2倍列出方程x+9=2(y-9)； 如果甲给乙9只羊，则甲此时有羊的数量为x-9，乙有羊的数量为y+9，然后根据此时甲的羊数与乙的羊数相等列出方程x-9=y+9，联立两方程即可.
二、填空题 （本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·长沙模拟）代数式有意义时，应满足的条件是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件，需要满足二次根式的被开方数式非负数及分式的分母不为零这两个条件，由此列出不等式求解即可．
12．（2025·长沙模拟）刘老师行驶在一条五车道上，其中有一条左转车道，三条直行车道，一条右转车道，那么她随机选择一条车道，选中直行车道的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：她随机选择一条车道，她可能的选择共有5种情况，选中直行车道的有3种情况，
∴选中直行车道的概率是，
故答案为：．
【分析】
先确定总车道数量和直行车道数量，再用直行车道数量除以总车道数量得到选中直行车道的概率即可.
13．（2025·长沙模拟）若圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面积为　 　．（结果保留）．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，
∴圆锥的侧面积公式：，
故答案为：．
【分析】
直接利用圆锥侧面积公式S=，把底面半径和母线代入计算即可.
14．（2025·长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是　 　．
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，
∴△=42﹣4a=16﹣4a=0，
解得：a=4．
故答案为：4．
【分析】一元二次方程的两根相等可推出判别式==0，代入a、b、c数值即可.
15．（2025·长沙模拟）如图，在中，，，，用图示的尺规作图方法在边上确定一点．则的周长为　 　．
【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
由题意知：D在线段的垂直平分线上，
，
的周长．
故答案为：15．
【分析】
根据线段垂直平分线的性质可得出，再根据“在三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”可得AB=2AC，则有的周长是．
16．（2025·长沙模拟）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A、B、C、D、E、F、G、H八道工序，加工要求如下：①工序C、D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B、D都完成后进行，工序F须在工序C、D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C E F G H
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 3
若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是 　 　分钟．
【答案】28
【知识点】推理与论证；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：假设这两名学生为甲，乙，
∵工序、须在工序完成后进行，工序须在工序、都完成后进行，且工序都需要 9 分钟完成，
∴甲学生做工序，乙学生做工序，需要 9 分钟，
然后甲学生做工序，同时乙学生做工序，
乙学生工序完成后接着做工序，
此时需要 9 分钟，
最后乙学生做工序，甲学生同时做工序完成后接着做工序，
此时需要 10 分钟，
则（分钟），
即若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 28 分钟．
故答案为： 28 ．
【分析】
根据加工要求确定工序之间的先后顺序，通过确定两名学生初始、后续到最后的工作步骤需要的时间，将每一步所需要的时间相加，得到完成加工所需最少时间即可.
三、解答题（本大题共9个小题，第 17、18、19题每小题6分，第20、21 题每小题8分，第22、23题每小题9分， 第 24、25题每小题10分， 共 72分）
17．（2025·长沙模拟）计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别根据绝对值的性质，特殊角三角函数的值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算出各项的值，然后再进行相加减运算即可．
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解： ，
，
，
，
当 时，原式 ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
19．（2025·长沙模拟）测量计算是日常生活中常见的问题，在现实生活中，往往当物体的高度不方便测量，此时我们可以借助所学的知识，利用直角三角形边角关系得到我们需要的数据．如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，小雅站在距离楼底端C点26米处的D点，测得此时旗杆顶点A的仰角为，观测旗杆底部B点的仰角为．（点A、B、C在同一直线上，且点A、B、 C、D处于同一平面内）（参考数据：，）
（1）求楼高；
（2）求旗杆的高度．（结果精确到1米）
【答案】（1）解：依题意，
在中，，
答：建筑物的高度为 26米．
（2）解：在中，，
，
，
米，
答：旗杆的高度为5米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）在中，利用正切函数的定义即可求解．
（2）在中，利用正切函数求出AC的长度，再用AC的长度减去BC的长度得到AB的长度即可．
（1）解：依题意，
在中，，
答：建筑物的高度为 26米．
（2）解：在中，，
，
，
米，
答：旗杆的高度为5米．
20．（2025·长沙模拟）某中学欲开设A实心球、B立定跳远、C跑步、D足球四种体育活动，为了了解学生们对这些项目的选择意向，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1、图2，请结合图中的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了　　名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）求扇形C的圆心角的度数；
（4）某班喜欢“跑步”的学生有3名，其中有2名男生，1名女生，现从这3名学生中选取2名，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）150；
（2）150﹣15﹣45﹣30＝60（人），补全条形统计图如图所示：
（3）
360°×（1﹣10%﹣30%﹣20%）＝144°
答：扇形C的圆心角的度数为144°；
（4）
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果数，其中一男一女的有4种，
因此，刚好抽到一名男生和一名女生的概率为＝
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）15÷10%＝150（人），
故答案为：150；
【分析】（1）利用已知的部分人数及其所占百分比求出总人数即可；
（2）通过总人数减去其他项目的人数得到C项目的人数，进而补全条形统计图；
（3）先求出C项目人数所占百分比，再根据圆心角度与百分比的关系求出扇形C的圆心角度数；
（4）通过列表法展开所有可能结果，找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算出刚好抽到一名男生和一名女生的概率即可．
21．（2025·长沙模拟）如图，在和中，，，，、相交于点F，
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）已知∠1=∠2，根据等式的基本性质，在等式两边同时加上同一个角∠CAD，即∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，从而推出∠CAB=∠EAD，结合AB=AD，AC=AE这两组边相等，根据全等三角形的判定定理（SAS）证明△ABC △ADE，最后根据全等三角形对应角相等的性质即可得结论；
（2）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，得到∠1=∠D=40°，结合（1）中结论，利用三角形内角和定理计算即可．
（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
22．（2025·长沙模拟）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个．
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元.
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意得：，
解得：．
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元
则
即
∵
∴w随m的增大而增大
又
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时(个).
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题围绕二元一次方程组，一元一次不等式与一次函数在实际销售盈利问题中的应用展开.
(1)需从题干提取 4件A娃娃与5件B娃娃费用相同，A娃娃进价比B娃娃多2元两个等量关系，设未知数构建方程组求解进价；
(2)先依据资金不超1700元设A娃娃购进数量，列不等式确定取值范围，再构建总利润关于该数量的一次函数，结合函数增减性求最大利润及对应进货方案，核心是将实际问题转化为数学模型(方程组，不等式，函数)求解.
（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元；
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，
根据题意得：，
解得：．
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，
则，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）．
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
23．（2025·长沙模拟）如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，过点D作，交的延长线于点E．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求的面积及的值．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为120．
∴．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【分析】(1) 首先根据平行四边形的性质和角平分线的性质可判断出四边形ABCD为菱形；
(2) 由（1）可知，四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质：对角线互相垂直且平分，可得，根据勾股定理和菱形的性质可得到四边形ACED为平行四边形，可得到，然后再根据三角形面积公式和正弦函数的定义即可解答.
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为120．
∴．
24．（2025·长沙模拟）如图，已知半径为半圆的直径为，点在半径上运动（点不与点重合），点是半圆弧的中点，点C在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点．
（1）若点为的中点，求的值；
（2）连接，①当点在半径上运动时，的度数是否发生变化，若不变，求出，若变化，请说明理由；
②若，，求矩形的边的长；
（3）假设，，求与之间的函数关系，当时，求函数的取值范围．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵点是半圆弧的中点，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴在中，，

（2）解：①的度数不会发生变化，
如图，连接，
∵点是半圆弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
②如图，过点作于点，连接，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：（舍），，
∴，
∴；

（3） 解：延长交的延长线于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
同（2）②可得，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
化简得：，
∵当时，随的增大而减小，
∴随着的增大而增大，且当时，当时，
∴．

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）通过连接半径，由题意知可得到，进而得出，在中，根据正切函数的定义即可解答；
（2）①连接，因为点B是半圆弧的中点，所以，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆心角的一半，可得出，根据题意可知四边形ABCD是矩形，可得出，利用圆内接四边形得出，最后可得；
②过点作于点，连接，因为矩形ABCD中，，则可证明，进而可得出，即，则有，再根据勾股定理可求出，则，最后再利用勾股定理求出BC的长；
（3）通过作辅助线，由已知条件可得到，即可得出，则，进而证明，则有，所以可得出，，由（2）②可得，即，已知AM=x，则OA=OM-AM=r-x，可求出，在中，根据勾股定理计算可得出，因为当时，随的增大而减小，可得随着的增大而增大，分别计算出x=0和x=时y的值，即可求解y的取值范围．
（1）解：如图，连接，
∵点是半圆弧的中点，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴在中，，
故答案为：；
（2）解：①的度数不会发生变化，
如图，连接，
∵点是半圆弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
②如图，过点作于点，连接，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：（舍），，
∴，
∴；
（3）解：延长交的延长线于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
同（2）②可得，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
化简得：，
∵当时，随的增大而减小，
∴随着的增大而增大，且当时，当时，
∴．
25．（2025·长沙模拟）我们不妨约定：若两个二次函数图象关于原点对称，我们称这两个函数互为“旗开得胜”函数．
（1）已知二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数，填空：
① ；②若，则 ；③ ；
（2）若二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上，且互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，求二次函数的解析式；
（3）已知二次函数与互为“旗开得胜”函数，的顶点为 E，与轴交于点F，轴，直线与图象交于A、B两点，与的图象交于 C、D两点，若线段、、可构成以为斜边的直角三角形，假设该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，求的值．
【答案】（1）；1；0
（2）解：二次函数的“旗开得胜”函数为，
联立，
整理得：，
互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，
，
，
，
二次函数为，其“旗开得胜”函数为，
令，则，
解得：，，
二次函数图象与轴两个交点间的距离为，
二次函数，
二次函数的顶点坐标为，
其“旗开得胜”函数的顶点坐标为，
其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上，
，
，
二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，
顶点到轴的距离等于图象与轴两个交点间的距离的一半，
，
解得：或，
当时，，无解，舍去；
当时，，解得，此时二次函数的解析式为或；
当，，解得，不符合题意，舍去；
综上所述，二次函数的解析式为或．

（3）解：由题意得，，
令，则，
，
，
，
轴，
，
，
，
联立，则，
直线与图象交于A、B两点，
，，
，
同理可得，，
线段、、可构成以为斜边的直角三角形，
，
，
解得：，
，，，
，，，
该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，
，，
．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：关于原点对称的两个二次函数图象开口方向相反，两个图象的对称轴关于轴对称，两个图象与轴的交点关于原点对称，
二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数，
两个二次函数图象关于原点对称，
，，，
解得：，，
，
，
综上所述，，，．
故答案为：；1；0．
【分析】
（1）由题意得，两个二次函数图象关于原点对称，分析得出两个图象的开口方向、对称轴、与轴的交点之间的关系，即可求解；
（2）二次函数的“旗开得胜”函数为，联立两个函数整理得到，根据两个二次函数图象有且只有一个交点，计算得到，根据二次函数的图象与性质得到顶点坐标为，其“旗开得胜”函数的顶点坐标为，代入到反比例函数可得，再根据等腰直角三角形的性质求出的值，进而求出的值，即可得到二次函数的解析式；
（3）根据二次函数的性质求出、的坐标，由轴，得到，，联立二次函数与直线，利用一元二次方程根与系数的关系求出，同理可得，再利用勾股定理列出等式求出的值，得出直角三角形三边长，再利用直角三角形的外接圆和内切圆半径公式即可求解．
（1）解：关于原点对称的两个二次函数图象开口方向相反，两个图象的对称轴关于轴对称，两个图象与轴的交点关于原点对称，
二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数，
两个二次函数图象关于原点对称，
，，，
解得：，，
，
，
综上所述，，，．
故答案为：；1；0．
（2）解：二次函数的“旗开得胜”函数为，
联立，
整理得：，
互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，
，
，
，
二次函数为，其“旗开得胜”函数为，
令，则，
解得：，，
二次函数图象与轴两个交点间的距离为，
二次函数，
二次函数的顶点坐标为，
其“旗开得胜”函数的顶点坐标为，
其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上，
，
，
二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，
顶点到轴的距离等于图象与轴两个交点间的距离的一半，
，
解得：或，
当时，，无解，舍去；
当时，，解得，此时二次函数的解析式为或；
当，，解得，不符合题意，舍去；
综上所述，二次函数的解析式为或．
（3）解：由题意得，，
令，则，
，
，
，
轴，
，
，
，
联立，则，
直线与图象交于A、B两点，
，，
，
同理可得，，
线段、、可构成以为斜边的直角三角形，
，
，
解得：，
，，，
，，，
该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，
，，
．
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