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湖南省永州市冷水滩区京华中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试卷
一、单选题，每小题3分，10小题，共30分．
1．（2025八下·冷水滩期中）流感人数增多，下列关于防范流感的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．戴口罩图标 B．勤洗手图标 C．早就医图标 D．少聚集图标
2．（2025八下·冷水滩期中） 下列判断错误的是(　　)
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
3．（2025八下·冷水滩期中）如图，，可以判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·冷水滩期中）如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
5．（2025八下·冷水滩期中）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（　　）
A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形
C．当平分时，它是菱形 D．当且时，是正方形
6．（2025八下·冷水滩期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，，若矩形面积为，则阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
7．（2025八下·冷水滩期中）如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　）
A．3 B．6 C． D．
8．（2025八下·冷水滩期中）如图，在中于点为上一点连结交于点，若，，则与的和为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·冷水滩期中）如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
10．（2025八下·冷水滩期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断运动，每次移动个单位长度，其移动路线如下图所示，第一次移动到点，第二次移动到点，第次移动到点，则点的坐标是 （　　）
A． B． C． D．
二、填空题：
11．（2025八下·冷水滩期中）已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作　 　条对角线．
12．（2025八下·冷水滩期中）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记表．如图是中国象棋棋局的一部分，如果用表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为　 　．
13．（2025八下·冷水滩期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 　 　．
14．（2025八下·冷水滩期中）如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部到墙角的距离为．若梯子底部沿水平方向向右滑动至点，梯子顶部落在竖直墙体的点处，此时梯子与水平地面的夹角，点到墙角的距离为，则的度数为　 　．
15．（2025八下·冷水滩期中）如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，则的长为　 　．
16．（2025八下·冷水滩期中）如图，四边形是菱形，其中点A、D的坐标分别为、，点B在x轴上，则点C的坐标为　 　．
17．（2025八下·冷水滩期中）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则　 　；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为　 　．
18．（2025八下·冷水滩期中）如图，在中，，于点E，于点F，、交于点H，、的延长线交于G，给出下列结论：
①；②点D是中点：③；④若平分，则；
其中一定正确的结论有　 　．（填序号）
三、解答题，8小题，共66分．
19．（2025八下·冷水滩期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为，解答以下问题：
（1）若点P在第一象限，且点P到x轴的距离为8，求a的值；
（2）若点Q的坐标为，若轴，求a的值．
20．（2025八下·冷水滩期中）小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示，具体要求如下：在四边形中，连接，，米，米，米，米．
（1）求线段的长；
（2）求四边形的面积；
（3）若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
21．（2025八下·冷水滩期中）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若平分，且，，求的长．
22．（2025八下·冷水滩期中）如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，过点作，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若平行四边形的周长为，求菱形的面积．
23．（2025八下·冷水滩期中）在平面直角坐标系中如图所示：
（1）请画出关于轴对称的；
（2）请求出的面积．
24．（2025八下·冷水滩期中）已知，平分，点B，D分别在，上
（1）如图1，若，请你探索是否成立，并给出证明．
（2）如图2，若，则是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
25．（2025八下·冷水滩期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（）．过点作于点，连接．
（1）求证：．
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
（3）当_______时，为直角三角形．
26．（2025八下·冷水滩期中）【问题情境】
如图 1，在矩形中，E是边上的一点，过点D作，过点D作，过点A作，且．
【基础探究】（1）如图1，求证：．
【深入探究】（2）如图2，当E在延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系，并证明．
【拓展迁移】（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，当E在延长线上的位置发生改变时，判断的大小是否发生变化，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据轴对称和中心对称图形的定义可直接对各个选项进行判断．
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、“ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ”说法正确，不符合题意；
B、“ 四个内角都相等的四边形是矩形 ”说法正确，不符合题意；
C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴“ 对角线相等的四边形是矩形 ”说法错误，符合题意；
D、“ 四条边都相等的四边形是菱形 ”说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判断A选项；根据矩形的判定定理“四个内角都相等的四边形是矩形”可判断B选项；根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断C选项；根据菱形的判定定理“ 四条边都相等的四边形是菱形 ”可判断D选项.
3．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在和中，
故选：D．
【分析】
根据已知==90°，AC=AD可证明两个三角形为直角三角形，再根据全等三角形的判定定理即可解答.
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D为中点，
∴，
∵是的中位线，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用三角形中位线的性质可得，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，最后利用线段的和差求出EF的长即可.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即该选项正确；
B、根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，即该选项错误；
C、根据对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，即该选项正确；
D、根据对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，即该选项正确．
故选B．
【分析】
根据矩形的判定定理、菱形的判定定理、正方形判定定理、平行四边形的性质逐个对各个选项进行分析判定即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵矩形面积为12，
∴．
故选：A．
【分析】
首先利用矩形的性质得到OA=OC，∠OAE=∠OCF，进而证明三角形全等，再根据全等三角形 的性质将阴影部分面积转化为矩形面积的一部分即可解答.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】∵点，将线段向左平移三个单位长度，
∴线段扫过的图形是一个底边长为3，高为2的平行四边形，
∴线段扫过的面积为，
故选：B．
【分析】
首先确定点A平移后的位置，再根据平移的性质确定线段OA扫过的图形，最后计算其面积即可.．
8．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵于点
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【分析】
由于和两边对应相等且夹角相等，可根据SAS证明全等，则由全等的性质得AD等于BD、等于，则是等腰直角三角形，等于且恰好是与的和 ．
9．【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点E作，
由题意可得四边形是矩形，
，
由折叠可知：，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
．
故选：C．
【分析】
利用矩形和折叠的性质确定线段GE=BE=5，再构造直角三角形，过点E作，由勾股定理可得，进而得，设，则，最后利用勾股定理建立方程求解即可．
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图象可知，次移动一个循环，
∵，，，，，，，，，
∴纵坐标以，，，，，，，循环变化，横坐标每一次循环增加，
∵，
∴点的纵坐标为，横坐标为，
∴点的坐标是 ，
故选：．
【分析】
通过分析前几个点的坐标，观察横坐标和纵坐标的变化规律，确定了每八次移动为一个循环周期，每个周期横坐标增加4，纵坐标呈周期性变化，再通过除法求余数确定A2025所在的周期位置，进而求出坐标即可.
11．【答案】9
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形的外角和都是，
内角和等于，
设这个多边形有条边，
，解得：，
从这个正多边形的一个顶点出发，可以作条对角线．
故答案为：9．
【分析】
先根据内角和与外角和的和求出内角和，再用内角和公式求边数，最后根据变边数求出一个顶点出发的对角线条数即可.
12．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】∵“炮”的位置用表示，
∴以“士”所在的行为轴，以“炮”向左数两列所在的列线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
∴“将”的位置应表示为，
故答案为：．
【分析】
先确定平面直角坐标系的原点与坐标轴方向，再确定“将”的坐标即可.
13．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【分析】关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数，即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
利用梯子长度不变（斜边相等）和已知线段相等（直角边相等），证明直角三角形ABC和直角三角形DEC全等，从而将转化为，最后利用三角形外角性质求解即可.
15．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
解得，
即的长为5．
故答案为：5．
【分析】连接BE，如图，利用基本作图得到EF垂直平分AB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AE=BE，再根据平行四边形的对边相等得到AD=BC=18，设DE=x，则BE=AE=18-x，然后在Rt△BDE中，利用勾股定理建立方程，于是解方程得到DE的长．
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：点A、D的坐标分别为、，
，
四边形是菱形，
，
点B在x轴上，
，
点C的坐标为，
故答案为：．
【分析】
利用勾股定理求出菱形的边长，并结合菱形“对边平行且相等”的性质，根据点B在x轴上，可得，进而可得点C的坐标．
17．【答案】12；；s1+s2=s3
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，
∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，
又∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S3=4+8=12，
又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S1，S2，S3，
∴S1==×AC2，
同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3．
故答案是：12，S1+S2=S3．
【分析】
利用勾股定理及正方形面积与边长平方的关系算出S3的值；第二空先推导出根等边三角形面积边长的关系，再结合勾股定理推导出S1，S2，S3三者之间的关系即可．
18．【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故①正确；
在和中，
，
，
，
，
正确；
连接，如图：
平分，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设，
，
，
，
④正确
∵是平行四边形，
∴，
∴，，
又，
∴三个角对应相等无法证明全等，
∴无法证明，
即无法证明点D是中点，
故②错误，
综上①③④正确，
故答案为：①③④．
【分析】
根据题意可得=90°，根据平行四边形的性质可得，进而可证明；③由题可知是等腰直角三角形，可得到BE=DE，进而可证明，由全等可得到，然后再根据平行四边形的性质可知AB=DC，进而得到AB=BH；④连接，证是等腰直角三角形，，设，得出，进而得出．②无法证明点D是中点．
19．【答案】（1）解：∵点P到x轴的距离为8，
∴，解得：或．
又∵点P在第一象限，
∴，解得，
∴．

（2）解：∵轴，且点Q坐标为，
∴，解得：，
∴a的值为2．
【知识点】一元一次不等式组的应用；点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】
（1）根据题意，列出绝对值方程求得a，再根据点P在第一象限横纵坐标均为大于0，列出不等式组确定a的取值范围，进而确定a的值；
（2）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相等，点P的横坐标为a+1，点Q的横坐标为3，得到关于a的方程求解即可；
（1）解：∵点P到x轴的距离为8，
∴，解得：或．
又∵点P在第一象限，
∴，解得，
∴．
（2）解：∵轴，且点Q坐标为，
∴，解得：，
∴a的值为2．
20．【答案】（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米），
（3）解：（元，
答：制作这样一块背景板需花费360元．
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】
（1）在直角三角形ABC中，已知斜边和一条直角边，直接利用勾股定理求解另一条直角边AC的长；
（2）首先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，从而将四边形ABCD分割为两个直角三角形。分别计算两个三角形的面积求和得到总面积；
（3）最后根据“总价=单价面积”计算总费用即可；
（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米），
（3）解：（元，
答：制作这样一块背景板需花费360元．
21．【答案】（1）证明：，，，，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形为矩形．
（2）解：，
，，，
平分，
，
，
，
，
，
由（1）中的结论得，，，四边形为矩形，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，
的长为．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】 【分析】
（1）首先根据平行四边形的性质得到、，由得到，进而得到，进而证明，即可得到，最后利用矩形的判定即可证明；
（2）首先根据角平分线的定义得到，然后利用平行四边形的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，，设，在和利用勾股定理建立方程，解方程求出的值即可解答．
（1）证明：，
，，，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形为矩形．
（2）解：，
，，，
平分，
，
，
，
，
，
由（1）中的结论得，，，四边形为矩形，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，
的长为．
22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，是中点，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：连接，如图，
平行四边形的周长是36，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，解得，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，根据平行公理及其推论得到，进而根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，结合题意根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，从而根据菱形的判定即可求解；
（2）连接，根据平行四边形的性质得到，设，则，根据勾股定理求出AB，进而根据菱形的性质结合平行四边形的判定与性质得到，再根据菱形的面积即可求解。
23．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：的面积为．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变分别画出点，再顺次连接即可得；
（2）利用割补法，先构造一个正方形，利用一个正方形的面积减去周围三个小直角三角形的面积即可得．
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：的面积为．
24．【答案】（1）证明：∵，平分，
∴
∵
∴在中，，中， ，
∴，
∴
∴．
（2）解：（1）中的结论成立，
理由如下：如图2，在上截取，连接
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴
∴
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠CAD和∠CAB的度数，结合直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半的性质，直接计算出AD、AB和AC的关系；
（2）在上截取，连接，构造出全等三角形，则，再利用全等三角形对应边相等进行线段等量替换，然后证明为等边三角形，从而证明．
（1）证明：∵，平分，
∴
∵
∴在中，，中， ，
∴，
∴
∴．
（2）解：（1）中的结论成立，
理由如下：如图2，在上截取，连接
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴
∴
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
25．【答案】（1）证明：在中，，，，
∴，
又∵，
∴
（2）解：四边形能够成为菱形．理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴，
若使平行四边形为菱形，则需，
即，
解得，
即当时，四边形为菱形
（3）或．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】
（3）解：分情况讨论：
当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，此种情况不存在；
故当或时，为直角三角形，
故答案为：或．
【分析】
（）在Rt三角形DFC中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长度，根据题意可得出AE的长度，进而得出；
（）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案；
（）分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别分析得出即可．
26．【答案】解：（1）四边形是矩形，
，
又，，，
，
，
，
，
又，，
，
；
（2），证明如下：
，，，
四边形是矩形，
同（1）理可得，
，，
四边形是正方形，
，
；
（3）的大小没发生变化，理由如下：
过点作于点，在上截取，连接，
，，
由（2）得，
，
矩形是正方形，
又四边形是正方形形，
，，，
，，
，
，
，
又，
，
又，，
，
，
又，
．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
（1）通过证明，利用全等三角形对应边相等得出AD=CD，从而判断矩形ABCD为正方形即可；
（2）利用第（1）问的结论及全等三角形性质证明全等，则有，结合线段的和差关系及已知条件AG=CF，进一步即可得出结论；
（3）过点作于点，在上截取，连接，证明，利用第（2）问中得出的角度关系和线段关系，可证明，从而可证明的度数.
1 / 1湖南省永州市冷水滩区京华中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试卷
一、单选题，每小题3分，10小题，共30分．
1．（2025八下·冷水滩期中）流感人数增多，下列关于防范流感的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．戴口罩图标 B．勤洗手图标 C．早就医图标 D．少聚集图标
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据轴对称和中心对称图形的定义可直接对各个选项进行判断．
2．（2025八下·冷水滩期中） 下列判断错误的是(　　)
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、“ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ”说法正确，不符合题意；
B、“ 四个内角都相等的四边形是矩形 ”说法正确，不符合题意；
C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴“ 对角线相等的四边形是矩形 ”说法错误，符合题意；
D、“ 四条边都相等的四边形是菱形 ”说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判断A选项；根据矩形的判定定理“四个内角都相等的四边形是矩形”可判断B选项；根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断C选项；根据菱形的判定定理“ 四条边都相等的四边形是菱形 ”可判断D选项.
3．（2025八下·冷水滩期中）如图，，可以判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在和中，
故选：D．
【分析】
根据已知==90°，AC=AD可证明两个三角形为直角三角形，再根据全等三角形的判定定理即可解答.
4．（2025八下·冷水滩期中）如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D为中点，
∴，
∵是的中位线，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用三角形中位线的性质可得，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，最后利用线段的和差求出EF的长即可.
5．（2025八下·冷水滩期中）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（　　）
A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形
C．当平分时，它是菱形 D．当且时，是正方形
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即该选项正确；
B、根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，即该选项错误；
C、根据对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，即该选项正确；
D、根据对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，即该选项正确．
故选B．
【分析】
根据矩形的判定定理、菱形的判定定理、正方形判定定理、平行四边形的性质逐个对各个选项进行分析判定即可.
6．（2025八下·冷水滩期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，，若矩形面积为，则阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵矩形面积为12，
∴．
故选：A．
【分析】
首先利用矩形的性质得到OA=OC，∠OAE=∠OCF，进而证明三角形全等，再根据全等三角形 的性质将阴影部分面积转化为矩形面积的一部分即可解答.
7．（2025八下·冷水滩期中）如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】∵点，将线段向左平移三个单位长度，
∴线段扫过的图形是一个底边长为3，高为2的平行四边形，
∴线段扫过的面积为，
故选：B．
【分析】
首先确定点A平移后的位置，再根据平移的性质确定线段OA扫过的图形，最后计算其面积即可.．
8．（2025八下·冷水滩期中）如图，在中于点为上一点连结交于点，若，，则与的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵于点
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【分析】
由于和两边对应相等且夹角相等，可根据SAS证明全等，则由全等的性质得AD等于BD、等于，则是等腰直角三角形，等于且恰好是与的和 ．
9．（2025八下·冷水滩期中）如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点E作，
由题意可得四边形是矩形，
，
由折叠可知：，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
．
故选：C．
【分析】
利用矩形和折叠的性质确定线段GE=BE=5，再构造直角三角形，过点E作，由勾股定理可得，进而得，设，则，最后利用勾股定理建立方程求解即可．
10．（2025八下·冷水滩期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断运动，每次移动个单位长度，其移动路线如下图所示，第一次移动到点，第二次移动到点，第次移动到点，则点的坐标是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图象可知，次移动一个循环，
∵，，，，，，，，，
∴纵坐标以，，，，，，，循环变化，横坐标每一次循环增加，
∵，
∴点的纵坐标为，横坐标为，
∴点的坐标是 ，
故选：．
【分析】
通过分析前几个点的坐标，观察横坐标和纵坐标的变化规律，确定了每八次移动为一个循环周期，每个周期横坐标增加4，纵坐标呈周期性变化，再通过除法求余数确定A2025所在的周期位置，进而求出坐标即可.
二、填空题：
11．（2025八下·冷水滩期中）已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作　 　条对角线．
【答案】9
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形的外角和都是，
内角和等于，
设这个多边形有条边，
，解得：，
从这个正多边形的一个顶点出发，可以作条对角线．
故答案为：9．
【分析】
先根据内角和与外角和的和求出内角和，再用内角和公式求边数，最后根据变边数求出一个顶点出发的对角线条数即可.
12．（2025八下·冷水滩期中）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记表．如图是中国象棋棋局的一部分，如果用表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为　 　．
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】∵“炮”的位置用表示，
∴以“士”所在的行为轴，以“炮”向左数两列所在的列线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
∴“将”的位置应表示为，
故答案为：．
【分析】
先确定平面直角坐标系的原点与坐标轴方向，再确定“将”的坐标即可.
13．（2025八下·冷水滩期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【分析】关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数，即可得出答案．
14．（2025八下·冷水滩期中）如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部到墙角的距离为．若梯子底部沿水平方向向右滑动至点，梯子顶部落在竖直墙体的点处，此时梯子与水平地面的夹角，点到墙角的距离为，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
利用梯子长度不变（斜边相等）和已知线段相等（直角边相等），证明直角三角形ABC和直角三角形DEC全等，从而将转化为，最后利用三角形外角性质求解即可.
15．（2025八下·冷水滩期中）如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，则的长为　 　．
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
解得，
即的长为5．
故答案为：5．
【分析】连接BE，如图，利用基本作图得到EF垂直平分AB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AE=BE，再根据平行四边形的对边相等得到AD=BC=18，设DE=x，则BE=AE=18-x，然后在Rt△BDE中，利用勾股定理建立方程，于是解方程得到DE的长．
16．（2025八下·冷水滩期中）如图，四边形是菱形，其中点A、D的坐标分别为、，点B在x轴上，则点C的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：点A、D的坐标分别为、，
，
四边形是菱形，
，
点B在x轴上，
，
点C的坐标为，
故答案为：．
【分析】
利用勾股定理求出菱形的边长，并结合菱形“对边平行且相等”的性质，根据点B在x轴上，可得，进而可得点C的坐标．
17．（2025八下·冷水滩期中）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则　 　；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为　 　．
【答案】12；；s1+s2=s3
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，
∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，
又∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S3=4+8=12，
又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S1，S2，S3，
∴S1==×AC2，
同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3．
故答案是：12，S1+S2=S3．
【分析】
利用勾股定理及正方形面积与边长平方的关系算出S3的值；第二空先推导出根等边三角形面积边长的关系，再结合勾股定理推导出S1，S2，S3三者之间的关系即可．
18．（2025八下·冷水滩期中）如图，在中，，于点E，于点F，、交于点H，、的延长线交于G，给出下列结论：
①；②点D是中点：③；④若平分，则；
其中一定正确的结论有　 　．（填序号）
【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故①正确；
在和中，
，
，
，
，
正确；
连接，如图：
平分，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设，
，
，
，
④正确
∵是平行四边形，
∴，
∴，，
又，
∴三个角对应相等无法证明全等，
∴无法证明，
即无法证明点D是中点，
故②错误，
综上①③④正确，
故答案为：①③④．
【分析】
根据题意可得=90°，根据平行四边形的性质可得，进而可证明；③由题可知是等腰直角三角形，可得到BE=DE，进而可证明，由全等可得到，然后再根据平行四边形的性质可知AB=DC，进而得到AB=BH；④连接，证是等腰直角三角形，，设，得出，进而得出．②无法证明点D是中点．
三、解答题，8小题，共66分．
19．（2025八下·冷水滩期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为，解答以下问题：
（1）若点P在第一象限，且点P到x轴的距离为8，求a的值；
（2）若点Q的坐标为，若轴，求a的值．
【答案】（1）解：∵点P到x轴的距离为8，
∴，解得：或．
又∵点P在第一象限，
∴，解得，
∴．

（2）解：∵轴，且点Q坐标为，
∴，解得：，
∴a的值为2．
【知识点】一元一次不等式组的应用；点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】
（1）根据题意，列出绝对值方程求得a，再根据点P在第一象限横纵坐标均为大于0，列出不等式组确定a的取值范围，进而确定a的值；
（2）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相等，点P的横坐标为a+1，点Q的横坐标为3，得到关于a的方程求解即可；
（1）解：∵点P到x轴的距离为8，
∴，解得：或．
又∵点P在第一象限，
∴，解得，
∴．
（2）解：∵轴，且点Q坐标为，
∴，解得：，
∴a的值为2．
20．（2025八下·冷水滩期中）小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示，具体要求如下：在四边形中，连接，，米，米，米，米．
（1）求线段的长；
（2）求四边形的面积；
（3）若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
【答案】（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米），
（3）解：（元，
答：制作这样一块背景板需花费360元．
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】
（1）在直角三角形ABC中，已知斜边和一条直角边，直接利用勾股定理求解另一条直角边AC的长；
（2）首先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，从而将四边形ABCD分割为两个直角三角形。分别计算两个三角形的面积求和得到总面积；
（3）最后根据“总价=单价面积”计算总费用即可；
（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米），
（3）解：（元，
答：制作这样一块背景板需花费360元．
21．（2025八下·冷水滩期中）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若平分，且，，求的长．
【答案】（1）证明：，，，，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形为矩形．
（2）解：，
，，，
平分，
，
，
，
，
，
由（1）中的结论得，，，四边形为矩形，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，
的长为．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】 【分析】
（1）首先根据平行四边形的性质得到、，由得到，进而得到，进而证明，即可得到，最后利用矩形的判定即可证明；
（2）首先根据角平分线的定义得到，然后利用平行四边形的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，，设，在和利用勾股定理建立方程，解方程求出的值即可解答．
（1）证明：，
，，，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形为矩形．
（2）解：，
，，，
平分，
，
，
，
，
，
由（1）中的结论得，，，四边形为矩形，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，
的长为．
22．（2025八下·冷水滩期中）如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，过点作，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若平行四边形的周长为，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，是中点，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：连接，如图，
平行四边形的周长是36，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，解得，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，根据平行公理及其推论得到，进而根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，结合题意根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，从而根据菱形的判定即可求解；
（2）连接，根据平行四边形的性质得到，设，则，根据勾股定理求出AB，进而根据菱形的性质结合平行四边形的判定与性质得到，再根据菱形的面积即可求解。
23．（2025八下·冷水滩期中）在平面直角坐标系中如图所示：
（1）请画出关于轴对称的；
（2）请求出的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：的面积为．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变分别画出点，再顺次连接即可得；
（2）利用割补法，先构造一个正方形，利用一个正方形的面积减去周围三个小直角三角形的面积即可得．
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：的面积为．
24．（2025八下·冷水滩期中）已知，平分，点B，D分别在，上
（1）如图1，若，请你探索是否成立，并给出证明．
（2）如图2，若，则是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，平分，
∴
∵
∴在中，，中， ，
∴，
∴
∴．
（2）解：（1）中的结论成立，
理由如下：如图2，在上截取，连接
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴
∴
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠CAD和∠CAB的度数，结合直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半的性质，直接计算出AD、AB和AC的关系；
（2）在上截取，连接，构造出全等三角形，则，再利用全等三角形对应边相等进行线段等量替换，然后证明为等边三角形，从而证明．
（1）证明：∵，平分，
∴
∵
∴在中，，中， ，
∴，
∴
∴．
（2）解：（1）中的结论成立，
理由如下：如图2，在上截取，连接
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴
∴
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
25．（2025八下·冷水滩期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（）．过点作于点，连接．
（1）求证：．
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
（3）当_______时，为直角三角形．
【答案】（1）证明：在中，，，，
∴，
又∵，
∴
（2）解：四边形能够成为菱形．理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴，
若使平行四边形为菱形，则需，
即，
解得，
即当时，四边形为菱形
（3）或．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】
（3）解：分情况讨论：
当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，此种情况不存在；
故当或时，为直角三角形，
故答案为：或．
【分析】
（）在Rt三角形DFC中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长度，根据题意可得出AE的长度，进而得出；
（）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案；
（）分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别分析得出即可．
26．（2025八下·冷水滩期中）【问题情境】
如图 1，在矩形中，E是边上的一点，过点D作，过点D作，过点A作，且．
【基础探究】（1）如图1，求证：．
【深入探究】（2）如图2，当E在延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系，并证明．
【拓展迁移】（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，当E在延长线上的位置发生改变时，判断的大小是否发生变化，请说明理由．
【答案】解：（1）四边形是矩形，
，
又，，，
，
，
，
，
又，，
，
；
（2），证明如下：
，，，
四边形是矩形，
同（1）理可得，
，，
四边形是正方形，
，
；
（3）的大小没发生变化，理由如下：
过点作于点，在上截取，连接，
，，
由（2）得，
，
矩形是正方形，
又四边形是正方形形，
，，，
，，
，
，
，
又，
，
又，，
，
，
又，
．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
（1）通过证明，利用全等三角形对应边相等得出AD=CD，从而判断矩形ABCD为正方形即可；
（2）利用第（1）问的结论及全等三角形性质证明全等，则有，结合线段的和差关系及已知条件AG=CF，进一步即可得出结论；
（3）过点作于点，在上截取，连接，证明，利用第（2）问中得出的角度关系和线段关系，可证明，从而可证明的度数.
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