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陕西咸阳市礼泉县第一中学2025-2026学年下学期高一年级月考（一）数学试题
一、单选题
1．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
2．（ ）
A． B．0 C． D．
3．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）
A． B． C． D．或
4．已知向量，且，则（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．或
5．已知正方形的边长为1，，，，则（ ）
A．0 B．3
C． D．
6．设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
8．某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．与同向的单位向量为
C．在上的投影向量为
D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
11．已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．若，且有两解，则的取值范围是
D．若，则为锐角三角形
三、填空题
12．已知，，和的夹角是60°，则______．
13．记的内角的对边分别为，已知，则的外接圆的半径为______．
14．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
四、解答题
15．已知复数，为虚数单位．
(1)若复数的实部与虚部相等，求实数的值；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围；
16．（1）已知向量，，当为何值时，与垂直．
（2）已知点，，若，求点的坐标．
17．（1）如图在平行四边形中，，，用向量，表示，；并证明：，，三点共线．
（2）若是夹角为的两个单位向量，，求，，与的夹角．
18．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
19．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，a＝1，求△ABC周长的取值范围．
参考答案
1．B
【详解】由，所以的虚部为，
故选：B
2．D
【详解】.
故选：D
3．D
【详解】在中，因为，，，且，故，
由正弦定理可得，
又因为，故或.
故选：D.
4．C
【详解】因为向量，又因为，
所以，
即，解得或.
故选：C.
5．D
【详解】正方形的边长为1，，，，
则.
故选：D.
6．C
【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线.
对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，无解，所以假设不成立.
所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误；
对于B， 假设与共线，则存在实数，使，
所以，无解，所以假设不成立.
所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误；
对于C，因为，
所以与共线，不能作为基底，所以C正确；
对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，无解，所以假设不成立，所以与不共线，
所以能作为基底，所以D错误.
7．C
【详解】解：，可得，
由余弦定理可得，整理可得：，即，
所以或，即或
∴的形状是等腰或直角三角形.
故选：C
8．D
【详解】已知，则.
所以，即为等腰三角形.
所以.
根据正弦定理：.
因为，所以，为直角三角形.
所以.
故选：D.
9．BD
【详解】向量不能比较大小，A错误；
表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确；
若是零向量，零向量平行于任意向量，此时即使满足、，但和也可以不平行，C错误；
由得、与同向；由得、与同向，因此、与同向，即，D正确.
10．ABC
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，与共线的单位向量，
同向的单位向量为，故B正确；
对于C，在上的投影向量为，
故C正确；
对于D，因，
则，
由与的夹角为锐角，可得：，
解得且，故D错误.
11．ABC
【详解】对于A，由正弦定理，得，。
由可得，故A正确；
对于B， 在锐角三角形中，由，可得，即，
由于正弦函数在上单调递增，故，故B正确；
对于C， 过作边射线的垂线，垂足为，如图，

若，且有两解，则，即，故C正确；
对于D，将不等式变形为，则
化简得，由正弦定理，可得，
再由余弦定理，，可知角为锐角，
但仅此不等式不能保证该三角形为锐角三角形，例如，取，，
由，，可知不等式成立，但三角形为钝角三角形，故D错误.
12．24
【详解】.
故答案为：24
13．
【详解】，.
，.
14．9
【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式
由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，
因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
故答案为：.
［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式
由三角形内角平分线性质得向量式．
因为，所以，化简得，即，亦即，
所以，
当且仅当，即时取等号．
［方法三］：解析法＋基本不等式
如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以．
下同方法一．
［方法四］：角平分线定理＋基本不等式
在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一．
［方法五］：正弦定理＋基本不等式
在与中，由正弦定理得．
在中，由正弦定理得．
所以，由正弦定理得，即，下同方法一．
［方法六］： 相似＋基本不等式
如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则．
由，得，即，从而．下同方法一．
15．(1)
(2)
【详解】（1）易知复数的实部为，虚部为，
依题意可得，
解得；
（2）易知复数在复平面内对应的点坐标为，
由第二象限特征可知，解得；
因此实数的取值范围为.
16．；
【详解】（1）又，解得.
（2）设，则
17．（1），，证明见解析；
（2），.
【详解】（1）由题意，，
由可得，
所以，
又可得，
又共点，故，，三点共线．
（2）由题意，，且，则，
由，可得，
由可得，
且，
所以，又，
因此.
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
19．（1）；（2）（1+，3]．
【详解】解：（1）因为，
所以，即，
所以，整理可得，
所以可得，
因为，可得，，
所以，可得．
（2）由正弦定理，且，，
所以，；
所以．
因为为锐角三角形，
所以得，
解得．
所以，；
即周长的取值范围是，．

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