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广西柳州柳江中学2024-2025学年高一下学期3月质量检测数学考试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·柳江月考）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·柳江月考）命题“”的否定是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·柳江月考）在中，内角所对的边分别为，若，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·柳江月考）已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·柳江月考）已知是周期为4的函数，且时，，则（　　）
A． B．0 C．1 D．3
6．（2025高一下·柳江月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·柳江月考）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，在点D处测得塔顶A的仰角为，则铁塔的高度为（　　）
A．80米 B．100米 C．112米 D．120米
8．（2025高一下·柳江月考）已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C．2 D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·柳江月考）关于向量，下列说法正确的是（　　）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2025高一下·柳江月考）已知幂函数，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．函数为偶函数
C．不等式的解集为
D．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为
11．（2025高一下·柳江月考）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（　　）
A． B．
C． D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·柳江月考）在中，内角所对的边分别为，且，则　 　.
13．（2025高一下·柳江月考）函数的最大值为　 　.
14．（2025高一下·柳江月考）已知为内切圆的圆心，且，则　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·柳江月考）已知点.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
16．（2025高一下·柳江月考）在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
17．（2025高一下·柳江月考）已知函数（且，）的图象过点，.
（1）求的解析式；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（2025高一下·柳江月考）若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”.
（1）求函数的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值.
19．（2025高一下·柳江月考）如图，在中，，点为和的交点，设.
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的面积；
（3）若在上，，且，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，则集合，
因为集合，所以.
故答案为：B.
【分析】先解不等式求得集合，再根据集合的交集的运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定是.
故答案为：A.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，得，解得.
故答案为：C.
【分析】直接利用正弦定理求解即可.
4．【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：如图所示：向量在向量上的投影向量为，
由题意可得，
向量在向量上的投影向量为，
则，即向量与的夹角为.
故答案为：A.
【分析】由题意，作出图形，结合投影向量定义求解即可.
5．【答案】A
【知识点】函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：因为是周期为4的函数，且时，，
则.
故答案为：A.
【分析】根据函数的周期性求值即可.
6．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：，即，
由，可得，
则.
故答案为：C.
【分析】利用指数、对数互化，换底公式以及对数的运算性质化简求解即可.
7．【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设，由，，，，
可得，，
在中，，米，
由余弦定理可得，解得米．
故答案为：B．
【分析】设，在中，求得，，再在中，利用余弦定理求解即可.
8．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，以菱形的对角线为坐标轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
设，，
则，
所以，
则
，
则，即.
故答案为：D.
【分析】由，以菱形的对角线为坐标轴，建立平面直角坐标系，设，，利用向量的坐标运算，结合基本不等式求解即可.
9．【答案】A,B
【知识点】向量的物理背景与基本概念；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：A、，当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立，故A正确；
B、当时，，故B正确；
C、若和无法比较大小，故C错误；
D、当时，与可能不共线，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据向量加法的三角形法则即可判断A；根据向量相等的概念即可判断B；向量是矢量，不等比较大小即可判断C；根据平行向量的概念即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的奇偶性；幂函数的概念与表示；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由函数为幂函数，则，解得，即，
A、由分析可得，故A错误；
B、函数，满足，则函数为偶函数，故B正确；
C、不等式，即，解得，故C正确；
D、若函数在上单调递增，则，解得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据函数为幂函数，，求得m的值，确定函数的解析式即可判断A；根据函数的奇偶性即可判断B；解一元二次不等式即可判断C；利用分段函数单调性，结合分界点的端点值大小比较，即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：，由正弦定理可得，
即，，
整理得，因为，，
所以，则，，故A错误；
由，得，
因为为锐角三角形，所以解得，故B正确；
，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
由，得，由正弦定理，可得，
则
因为，所以，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用正弦定理，结合三角形内角和定理以及两角和、差的正弦公式化简整理可得，再根据为锐角三角形求得到即可判断A；由，结合三角形为锐角三角形列关于角的不等式，解不等式即可确定角的取值范围，即可判断B；根据化为，利用基本不等式求最值即可判断C；利用正弦定理化成角，再根据角的范围即可求出的范围，即可判断D.
12．【答案】3
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理，可得，
整理得，解得.
故答案为：3.
【分析】直接利用由余弦定理求解即可.
13．【答案】1
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
则（当，即，取“”）.
故答案为：1.
【分析】先利用诱导公式，结合辅助角公式将函数化为的形式，再根据正弦函数的性质求最大值即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：设的中点，圆与分别相切于点，如图所示：
由为的中点，可得，
因为，所以，则，即三点共线，
因为为的内切圆的圆心，所以，
不妨设，则，
在中，，
由，可得，则，解得，且，
又因为，所以.
故答案为：.
【分析】设的中点，圆与分别相切于点，由为的中点，可得，代入可得三点共线，设
，由直角三角形的性质，结合三角形相似求出各边长，再求出即可.
15．【答案】（1）解：点，
，
若，则，解得，则实数的值为；
（2）解：若，则，整理得，解得或.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示列式求解即可；
（2）根据向量垂直的坐标表示列式求的值即可.
（1）由题知，.
若，则，
解得，故实数的值为.
（2）若，则，整理得，
解得或.
16．【答案】（1）解：因为，所以，整理得，则，
由余弦定理得，
又因为，所以；
（2）解：由的面积为，得，即，解得，
由余弦定理得，
因为，，所以，即，解得.
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）化简，结合余弦定理求解即可；
（2）利用三角形面积公式，结合余弦定理列式求边长即可.
（1）因为，所以，
整理得，则，
由余弦定理得.
又，解得.
（2）由的面积为，得，
即，解得，
由余弦定理得，
因为，，所以，
即，而，解得.
17．【答案】（1）解：因为函数的图象过点，，
所以，解得，故；
（2）解：因为，，都为增函数，且，
所以函数在上单调递增，
不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，
设，则，，当且仅当，即时，等号成立，则，
故实数的取值范围是.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；复合函数的单调性；函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据函数图象过点，，列方程组求的值，即可得函数的解析式；
（2）先判断函数的单调性，问题转化为恒成立，分离参数可得恒成立，设，换元后，利用基本不等式求最值即可.
（1）因为函数的图象过点，，
所以，解得.
故.
（2）因为，，都为增函数，且，
所以函数在上单调递增，
所以不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立.
设，则，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解：由，得，即函数是周期为6的周期函数，
由，得，即是的一条对称轴，
因为函数为“函数”，所以，
又因为是的一条对称轴，所以，
又因为，所以，则函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，，即，即，
解得，故不等式的解集为；
（3）解：将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数，
再将所得图象向左平移个单位长度，得到，
因为的图象关于轴对称，所以，解得，
因为，所以时，取最小值.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由求得是周期为6的周期函数，由求得是的一条对称轴，再根据函数为“函数”，结合三角函数的周期及对称性求解即可；
（2）由（1）知，不等式，即，利用三角函数的性质解不等式即可；
（3）根据三角函数图象的伸缩、平移变换，结合函数的奇偶性求解即可.
（1）由，得，
所以是周期为6的函数，
由，得，
所以是的一条对称轴，
因为函数为“函数”，所以，
是的一条对称轴，所以.
因为，所以，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）知，，即，
所以，
解得，
即不等式的解集为.
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
得到函数，
再将所得图象向左平移个单位长度，
得到，
因为的图象关于轴对称，
所以，解得.
因为，所以时，取最小值，为.
19．【答案】（1）解：设，则，
所以，所以，解得，
则，
又因为，所以；
（2）解：，
由（1）知，，，则的面积；
（3）解：由（1）知，，
，
设与的夹角为，其中，
则
而，
因为，所以，
即，
所以，所以，
因为，所以，所以，解得，
故的取值范围为.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设，以为基向量，表示，根据向量相等，求解即可；
（2）利用三角形面积公式，结合|（1）的结论，可得求的面积即可；
（3）由（1）知，，以为基向量表示向量，根据，结合向量的数量积求得，再根据，解不等式，即可得的取值范围.
（1）设，则，
所以，
所以，解得，所以，
又，所以.
（2），
由（1）知，，所以，
所以的面积.
（3）由（1）知，，
所以.
设与的夹角为，其中，
则
而，
因为，所以，
即，
所以，所以.
因为，所以，所以，解得，
所以的取值范围为.
1 / 1广西柳州柳江中学2024-2025学年高一下学期3月质量检测数学考试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·柳江月考）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，则集合，
因为集合，所以.
故答案为：B.
【分析】先解不等式求得集合，再根据集合的交集的运算求解即可.
2．（2025高一下·柳江月考）命题“”的否定是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定是.
故答案为：A.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．（2025高一下·柳江月考）在中，内角所对的边分别为，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，得，解得.
故答案为：C.
【分析】直接利用正弦定理求解即可.
4．（2025高一下·柳江月考）已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：如图所示：向量在向量上的投影向量为，
由题意可得，
向量在向量上的投影向量为，
则，即向量与的夹角为.
故答案为：A.
【分析】由题意，作出图形，结合投影向量定义求解即可.
5．（2025高一下·柳江月考）已知是周期为4的函数，且时，，则（　　）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】A
【知识点】函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：因为是周期为4的函数，且时，，
则.
故答案为：A.
【分析】根据函数的周期性求值即可.
6．（2025高一下·柳江月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：，即，
由，可得，
则.
故答案为：C.
【分析】利用指数、对数互化，换底公式以及对数的运算性质化简求解即可.
7．（2025高一下·柳江月考）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，在点D处测得塔顶A的仰角为，则铁塔的高度为（　　）
A．80米 B．100米 C．112米 D．120米
【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设，由，，，，
可得，，
在中，，米，
由余弦定理可得，解得米．
故答案为：B．
【分析】设，在中，求得，，再在中，利用余弦定理求解即可.
8．（2025高一下·柳江月考）已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，以菱形的对角线为坐标轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
设，，
则，
所以，
则
，
则，即.
故答案为：D.
【分析】由，以菱形的对角线为坐标轴，建立平面直角坐标系，设，，利用向量的坐标运算，结合基本不等式求解即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·柳江月考）关于向量，下列说法正确的是（　　）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A,B
【知识点】向量的物理背景与基本概念；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：A、，当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立，故A正确；
B、当时，，故B正确；
C、若和无法比较大小，故C错误；
D、当时，与可能不共线，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据向量加法的三角形法则即可判断A；根据向量相等的概念即可判断B；向量是矢量，不等比较大小即可判断C；根据平行向量的概念即可判断D.
10．（2025高一下·柳江月考）已知幂函数，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．函数为偶函数
C．不等式的解集为
D．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为
【答案】B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的奇偶性；幂函数的概念与表示；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由函数为幂函数，则，解得，即，
A、由分析可得，故A错误；
B、函数，满足，则函数为偶函数，故B正确；
C、不等式，即，解得，故C正确；
D、若函数在上单调递增，则，解得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据函数为幂函数，，求得m的值，确定函数的解析式即可判断A；根据函数的奇偶性即可判断B；解一元二次不等式即可判断C；利用分段函数单调性，结合分界点的端点值大小比较，即可判断D.
11．（2025高一下·柳江月考）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（　　）
A． B．
C． D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：，由正弦定理可得，
即，，
整理得，因为，，
所以，则，，故A错误；
由，得，
因为为锐角三角形，所以解得，故B正确；
，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
由，得，由正弦定理，可得，
则
因为，所以，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用正弦定理，结合三角形内角和定理以及两角和、差的正弦公式化简整理可得，再根据为锐角三角形求得到即可判断A；由，结合三角形为锐角三角形列关于角的不等式，解不等式即可确定角的取值范围，即可判断B；根据化为，利用基本不等式求最值即可判断C；利用正弦定理化成角，再根据角的范围即可求出的范围，即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·柳江月考）在中，内角所对的边分别为，且，则　 　.
【答案】3
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理，可得，
整理得，解得.
故答案为：3.
【分析】直接利用由余弦定理求解即可.
13．（2025高一下·柳江月考）函数的最大值为　 　.
【答案】1
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
则（当，即，取“”）.
故答案为：1.
【分析】先利用诱导公式，结合辅助角公式将函数化为的形式，再根据正弦函数的性质求最大值即可.
14．（2025高一下·柳江月考）已知为内切圆的圆心，且，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：设的中点，圆与分别相切于点，如图所示：
由为的中点，可得，
因为，所以，则，即三点共线，
因为为的内切圆的圆心，所以，
不妨设，则，
在中，，
由，可得，则，解得，且，
又因为，所以.
故答案为：.
【分析】设的中点，圆与分别相切于点，由为的中点，可得，代入可得三点共线，设
，由直角三角形的性质，结合三角形相似求出各边长，再求出即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·柳江月考）已知点.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）解：点，
，
若，则，解得，则实数的值为；
（2）解：若，则，整理得，解得或.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示列式求解即可；
（2）根据向量垂直的坐标表示列式求的值即可.
（1）由题知，.
若，则，
解得，故实数的值为.
（2）若，则，整理得，
解得或.
16．（2025高一下·柳江月考）在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
【答案】（1）解：因为，所以，整理得，则，
由余弦定理得，
又因为，所以；
（2）解：由的面积为，得，即，解得，
由余弦定理得，
因为，，所以，即，解得.
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）化简，结合余弦定理求解即可；
（2）利用三角形面积公式，结合余弦定理列式求边长即可.
（1）因为，所以，
整理得，则，
由余弦定理得.
又，解得.
（2）由的面积为，得，
即，解得，
由余弦定理得，
因为，，所以，
即，而，解得.
17．（2025高一下·柳江月考）已知函数（且，）的图象过点，.
（1）求的解析式；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数的图象过点，，
所以，解得，故；
（2）解：因为，，都为增函数，且，
所以函数在上单调递增，
不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，
设，则，，当且仅当，即时，等号成立，则，
故实数的取值范围是.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；复合函数的单调性；函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据函数图象过点，，列方程组求的值，即可得函数的解析式；
（2）先判断函数的单调性，问题转化为恒成立，分离参数可得恒成立，设，换元后，利用基本不等式求最值即可.
（1）因为函数的图象过点，，
所以，解得.
故.
（2）因为，，都为增函数，且，
所以函数在上单调递增，
所以不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立.
设，则，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故实数的取值范围是.
18．（2025高一下·柳江月考）若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”.
（1）求函数的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值.
【答案】（1）解：由，得，即函数是周期为6的周期函数，
由，得，即是的一条对称轴，
因为函数为“函数”，所以，
又因为是的一条对称轴，所以，
又因为，所以，则函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，，即，即，
解得，故不等式的解集为；
（3）解：将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数，
再将所得图象向左平移个单位长度，得到，
因为的图象关于轴对称，所以，解得，
因为，所以时，取最小值.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由求得是周期为6的周期函数，由求得是的一条对称轴，再根据函数为“函数”，结合三角函数的周期及对称性求解即可；
（2）由（1）知，不等式，即，利用三角函数的性质解不等式即可；
（3）根据三角函数图象的伸缩、平移变换，结合函数的奇偶性求解即可.
（1）由，得，
所以是周期为6的函数，
由，得，
所以是的一条对称轴，
因为函数为“函数”，所以，
是的一条对称轴，所以.
因为，所以，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）知，，即，
所以，
解得，
即不等式的解集为.
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
得到函数，
再将所得图象向左平移个单位长度，
得到，
因为的图象关于轴对称，
所以，解得.
因为，所以时，取最小值，为.
19．（2025高一下·柳江月考）如图，在中，，点为和的交点，设.
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的面积；
（3）若在上，，且，求的取值范围.
【答案】（1）解：设，则，
所以，所以，解得，
则，
又因为，所以；
（2）解：，
由（1）知，，，则的面积；
（3）解：由（1）知，，
，
设与的夹角为，其中，
则
而，
因为，所以，
即，
所以，所以，
因为，所以，所以，解得，
故的取值范围为.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设，以为基向量，表示，根据向量相等，求解即可；
（2）利用三角形面积公式，结合|（1）的结论，可得求的面积即可；
（3）由（1）知，，以为基向量表示向量，根据，结合向量的数量积求得，再根据，解不等式，即可得的取值范围.
（1）设，则，
所以，
所以，解得，所以，
又，所以.
（2），
由（1）知，，所以，
所以的面积.
（3）由（1）知，，
所以.
设与的夹角为，其中，
则
而，
因为，所以，
即，
所以，所以.
因为，所以，所以，解得，
所以的取值范围为.
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