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广西柳州市第二中学2024-2025学年高二下学期开学收心考试数学试题
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.）
1．（2025高二下·柳州开学考）过点且与直线垂直的直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：由题意，设所求直线的方程为，
将点的坐标代入所求直线方程得，解得，
则过点且与直线垂直的直线的方程为.
故答案为：A.
【分析】由题意设所求直线的方程为，将点代入，求直线的方程即可.
2．（2025高二下·柳州开学考）设某厂去年的产值为1，从今年起，该厂计划每年的产值比上年增长，则从今年起到第十年，该厂这十年的总产值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可得，这十年的总产值为：.
故答案为：C.
【分析】由题意可知： 每年的产值 构成等比数列，根据等比数列的求和公式求解即可.
3．（2025高二下·柳州开学考）“”是“方程表示椭圆”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：若方程表示椭圆则，解得或，
则“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故答案为：．
【分析】根据方程表示椭圆，列不等式组，求得参数的取值范围，再根据充分、必要条件的定义判断即可．
4．（2025高二下·柳州开学考）直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（　　）
A．若∥，则 B．若∥β，则
C．若⊥，则 D．若∥β，则
【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：A、若共线，则，故A错误；
B、若垂直，则，故B正确；
C、若共线，，故C错误；
D、若共线，，故D错误．
故答案为：B．
【分析】根据向量共线即可判断A；根据线面平行，直线的方向向量与面的法向量垂直，即可判定B；根据线面垂直，直线的方向向量与面的法向量平行即可判断C；根据面面平行，法向量平行即可判断D.
5．（2025高二下·柳州开学考）若椭圆的两个焦点将长轴三等分，则它的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的长轴长为，焦距为，由题意可得，即，
则该椭圆的离心率.
故答案为：B.
【分析】设椭圆的长轴长为，焦距为，根据题意求得，再利用椭圆离心率公式求解即可.
6．（2025高二下·柳州开学考）圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：设圆心坐标为，由题意可知：即为半径，
则，解得，即圆心坐标为，半径为5，
则该圆的方程是，展开得.
故答案为：C.
【分析】设圆心坐标为，由题意可知：即为半径，利用两点间距离公式列式求得圆心和半径，修写出圆的标准方程，化为一般式即可.
7．（2025高二下·柳州开学考）若是抛物线位于第一象限的点，是抛物线的焦点，，则直线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线方程为，设，
由抛物线的定义知，，即，解得，，
因为M位于第一象限，所以，所以，所以.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义求得，结合抛物线方程求得，再利用斜率公式计算即可.
8．（2025高二下·柳州开学考）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线的离心率，可得，则，
不妨设双曲线的标准方程为，设，则，
即，解得，故．
故答案为：D．
【分析】根据双曲线的离心率，结合的关系求得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求m，即可求解.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．（2025高二下·柳州开学考）若为等差数列，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．－11是数列中的项
C．数列的前n项和 D．数列的前7项和最大
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解： 设等差数列的公差为，
由，，可得 ，，解得，，
A、，故A正确；
B、取，，故B正确；
C、，故C错误；
D、，，，则数列的前7项和最大，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】 设等差数列的公差为，由题意利用等差数列的通项得，，求得等差数列的通项公式即可判断A；令，求解n即可判断B；求数列的前n项和即可判断C；根据，即可判断D.
10．（2025高二下·柳州开学考）已知函数在处有极值，则（　　）
A． B．的极大值为
C．有三个零点 D．
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得，解得或，
当时，，不满足题意，
当时，，
当或时，，当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减，
即在处取得极大值，在处取得极小值，
且极大值为，极小值为，有且仅有一个零点，故A、B正确，C错误；
由，，函数在上单调递减，则，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得，求得a的值，再代入检验，利用导数判断函数的单调性，并求极值，判断即可.
11．（2025高二下·柳州开学考）已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（　　）
A．椭圆的长轴长是4
B．的最大值是2
C．的面积的最大值为，其中为坐标原点
D．直线与椭圆相切时，
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知椭圆的右焦点，
A、由椭圆，可得，则椭圆的长轴为，故A正确；
B、由，可得，点在椭圆上，则，解得，
则，
二次函数的对称轴为，函数在上单调递减，
则当时，函数取到最大值9，即的最大值为3，故B错误；
C、由题意得，，
则，即的面积的最大值为，故C正确；
D、联立，消去y可得，
因为直线与椭圆相切，
所以，解得，
故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】易知椭圆的右焦点，根据椭圆的几何性质可得、、，结合长轴的概念即可判断A；利用两点求距离公式和二次函数的性质求解即可判断B；由题意可得，利用三角形面积公式计算即可判断C；联立直线与椭圆方程，由直线与椭圆相切，判别式为零求解即可判断D.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12．（2025高二下·柳州开学考）已知数列的前项和，则　 　．
【答案】
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解： 数列的前项和，
则.
故答案为：.
【分析】根据的关系直接求解即可.
13．（2025高二下·柳州开学考）若双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的标准方程　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线方程为，设所求的双曲线的方程为()，
因为点为该双曲线上的点，所以，
则该双曲线的方程为：，即.
故答案为：.
【分析】根据渐近线方程，设双曲线的方程为()，将点代入曲线方程求得的值，即可得双曲线方程.
14．（2025高二下·柳州开学考）M、N分别为曲线与直线上的点，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：令定义域为，，
令，解得，
当，，单调递减；当，，单调递增，
则恒成立，恒成立，即曲线在直线上方，
则当M处切线与直线平行时最小，，求导得，解得，
点到直线距离即为最短距离，.
故答案为：.
【分析】令，求导，利用导数判断函数的单调性，求得恒成立，即曲线在直线上方，当M处切线与直线平行时最小，再利用导数求出切点，点到直线距离即为最短距离，利用点到直线的距离公式求的最小值即可.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（2025高二下·柳州开学考）已知圆.
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）若直线过点且被圆C截得的弦长为，求的范围.
【答案】解：（1）易知圆的标准方程为，圆心，半径为1，
当切线的斜率不存在时，切线方程为符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
圆心到切线的距离等于半径，则，解得，切线为，
综上可得，圆的切线方程为或；
（2）当直线时，弦长m最短，此时直线的方程为，
，当直线l经过圆心时，弦长最长为2，
则m的范围是.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）化圆的一般方程为标准方程，求得圆心与半径，分切线分斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在时检验适合；当斜率不存在时，设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径计算即可；
（2）当直线时，弦长m最短，当直线过圆心时弦长为直径最大，据此求m的范围.
16．（2025高二下·柳州开学考）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】解：（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
【知识点】等差数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）先利用等差中项关系，建立公比的方程，再求解即可求解；
（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
17．（2025高二下·柳州开学考）如图，四棱锥中，为等腰直角三角形，四边形为菱形，，，E，F分别为CD，PD的中点，平面平面．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，
因为为等腰直角三角形，所以，
由，得，
因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，
因为为菱形，，为等边三角形，为的中点，则，
所以，，
以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，
，则，即；
（2）解：由（1）可得，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，可得，
又，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，可得，
则，故平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，为的中点，根据面面垂直和底面菱形的特征，推出两两垂直，以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直即可；
（2）利用（1）的空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量法求夹角的余弦值即可.
（1）取的中点，连接．
为等腰直角三角形，．
由，得．
平面平面，平面平面，
平面，，则平面．
为菱形，，为等边三角形，为的中点，则．
则有，．
如图，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
，
，，，有．
（2）．
设平面的一个法向量为，
则 令，则，得．
又，
设平面的一个法向量为，
令，则，得．
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18．（2025高二下·柳州开学考）已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；
（3）当，且时，证明：.
【答案】解：（1）函数的定义域为，，
因为曲线在点处的切线与直线平行，所以，即；
（2）令，得，当变化时，，的变化情况如下表：
+ 0 -
极大值
由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是，
所以在处取得极大值，的极大值为；
（3）当时，，由于，要证，
只需证明，令，则，
因为，所以，故在上单调递增，
当时，，即成立，
故当时，有，即.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，由题意可得，求解a的值即可；
（2）令，得，利用导数判断函数的单调性，求单调区间和极值即可；
（3）当时，，证明等价于，设，求导，利用导数判断函数单调递增，计算最小值，证明即可.
19．（2025高二下·柳州开学考）已知和为椭圆上两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点H在椭圆C上，、是椭圆C的两焦点，且，求的面积；
（3）过点的直线l与椭圆C交于A、B两点，证明：为定值．
【答案】（1）解：由题意得，解得，则椭圆C的方程为 ；
（2）解：由题可知，
在中，由余弦定理得，
则，即，
则，即的面积是；
（3）证明：当l的斜率为0时，；
当l不与x轴重合时，设直线l的方程为，
联立，得，所以，
由韦达定理可得，
，
故为定值．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据题意列关于的方程组，求解即可得椭圆方程；
（2）利用椭圆定义，结合余弦定理以及三角形面积公式，求解三角形面积公式即可；
（3）当l的斜率为0时，直接求解；当l不与x轴重合时，设直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理化简证明即可.
（1）由题意得，解得，所以椭圆C的方程为．
（2）由题可知．
在中，由余弦定理得
，
则，即，
所以，故的面积是．
（3）当l的斜率为0时，；
当l不与x轴重合时，设直线l的方程为，
联立，得，所以，
由韦达定理可得．
，
故为定值．
1 / 1广西柳州市第二中学2024-2025学年高二下学期开学收心考试数学试题
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.）
1．（2025高二下·柳州开学考）过点且与直线垂直的直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·柳州开学考）设某厂去年的产值为1，从今年起，该厂计划每年的产值比上年增长，则从今年起到第十年，该厂这十年的总产值为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025高二下·柳州开学考）“”是“方程表示椭圆”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高二下·柳州开学考）直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（　　）
A．若∥，则 B．若∥β，则
C．若⊥，则 D．若∥β，则
5．（2025高二下·柳州开学考）若椭圆的两个焦点将长轴三等分，则它的离心率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·柳州开学考）圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025高二下·柳州开学考）若是抛物线位于第一象限的点，是抛物线的焦点，，则直线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·柳州开学考）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．（2025高二下·柳州开学考）若为等差数列，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．－11是数列中的项
C．数列的前n项和 D．数列的前7项和最大
10．（2025高二下·柳州开学考）已知函数在处有极值，则（　　）
A． B．的极大值为
C．有三个零点 D．
11．（2025高二下·柳州开学考）已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（　　）
A．椭圆的长轴长是4
B．的最大值是2
C．的面积的最大值为，其中为坐标原点
D．直线与椭圆相切时，
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12．（2025高二下·柳州开学考）已知数列的前项和，则　 　．
13．（2025高二下·柳州开学考）若双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的标准方程　 　．
14．（2025高二下·柳州开学考）M、N分别为曲线与直线上的点，则的最小值为　 　.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（2025高二下·柳州开学考）已知圆.
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）若直线过点且被圆C截得的弦长为，求的范围.
16．（2025高二下·柳州开学考）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
17．（2025高二下·柳州开学考）如图，四棱锥中，为等腰直角三角形，四边形为菱形，，，E，F分别为CD，PD的中点，平面平面．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18．（2025高二下·柳州开学考）已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；
（3）当，且时，证明：.
19．（2025高二下·柳州开学考）已知和为椭圆上两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点H在椭圆C上，、是椭圆C的两焦点，且，求的面积；
（3）过点的直线l与椭圆C交于A、B两点，证明：为定值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：由题意，设所求直线的方程为，
将点的坐标代入所求直线方程得，解得，
则过点且与直线垂直的直线的方程为.
故答案为：A.
【分析】由题意设所求直线的方程为，将点代入，求直线的方程即可.
2．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可得，这十年的总产值为：.
故答案为：C.
【分析】由题意可知： 每年的产值 构成等比数列，根据等比数列的求和公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：若方程表示椭圆则，解得或，
则“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故答案为：．
【分析】根据方程表示椭圆，列不等式组，求得参数的取值范围，再根据充分、必要条件的定义判断即可．
4．【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：A、若共线，则，故A错误；
B、若垂直，则，故B正确；
C、若共线，，故C错误；
D、若共线，，故D错误．
故答案为：B．
【分析】根据向量共线即可判断A；根据线面平行，直线的方向向量与面的法向量垂直，即可判定B；根据线面垂直，直线的方向向量与面的法向量平行即可判断C；根据面面平行，法向量平行即可判断D.
5．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的长轴长为，焦距为，由题意可得，即，
则该椭圆的离心率.
故答案为：B.
【分析】设椭圆的长轴长为，焦距为，根据题意求得，再利用椭圆离心率公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：设圆心坐标为，由题意可知：即为半径，
则，解得，即圆心坐标为，半径为5，
则该圆的方程是，展开得.
故答案为：C.
【分析】设圆心坐标为，由题意可知：即为半径，利用两点间距离公式列式求得圆心和半径，修写出圆的标准方程，化为一般式即可.
7．【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线方程为，设，
由抛物线的定义知，，即，解得，，
因为M位于第一象限，所以，所以，所以.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义求得，结合抛物线方程求得，再利用斜率公式计算即可.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线的离心率，可得，则，
不妨设双曲线的标准方程为，设，则，
即，解得，故．
故答案为：D．
【分析】根据双曲线的离心率，结合的关系求得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求m，即可求解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解： 设等差数列的公差为，
由，，可得 ，，解得，，
A、，故A正确；
B、取，，故B正确；
C、，故C错误；
D、，，，则数列的前7项和最大，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】 设等差数列的公差为，由题意利用等差数列的通项得，，求得等差数列的通项公式即可判断A；令，求解n即可判断B；求数列的前n项和即可判断C；根据，即可判断D.
10．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得，解得或，
当时，，不满足题意，
当时，，
当或时，，当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减，
即在处取得极大值，在处取得极小值，
且极大值为，极小值为，有且仅有一个零点，故A、B正确，C错误；
由，，函数在上单调递减，则，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得，求得a的值，再代入检验，利用导数判断函数的单调性，并求极值，判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知椭圆的右焦点，
A、由椭圆，可得，则椭圆的长轴为，故A正确；
B、由，可得，点在椭圆上，则，解得，
则，
二次函数的对称轴为，函数在上单调递减，
则当时，函数取到最大值9，即的最大值为3，故B错误；
C、由题意得，，
则，即的面积的最大值为，故C正确；
D、联立，消去y可得，
因为直线与椭圆相切，
所以，解得，
故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】易知椭圆的右焦点，根据椭圆的几何性质可得、、，结合长轴的概念即可判断A；利用两点求距离公式和二次函数的性质求解即可判断B；由题意可得，利用三角形面积公式计算即可判断C；联立直线与椭圆方程，由直线与椭圆相切，判别式为零求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解： 数列的前项和，
则.
故答案为：.
【分析】根据的关系直接求解即可.
13．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线方程为，设所求的双曲线的方程为()，
因为点为该双曲线上的点，所以，
则该双曲线的方程为：，即.
故答案为：.
【分析】根据渐近线方程，设双曲线的方程为()，将点代入曲线方程求得的值，即可得双曲线方程.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：令定义域为，，
令，解得，
当，，单调递减；当，，单调递增，
则恒成立，恒成立，即曲线在直线上方，
则当M处切线与直线平行时最小，，求导得，解得，
点到直线距离即为最短距离，.
故答案为：.
【分析】令，求导，利用导数判断函数的单调性，求得恒成立，即曲线在直线上方，当M处切线与直线平行时最小，再利用导数求出切点，点到直线距离即为最短距离，利用点到直线的距离公式求的最小值即可.
15．【答案】解：（1）易知圆的标准方程为，圆心，半径为1，
当切线的斜率不存在时，切线方程为符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
圆心到切线的距离等于半径，则，解得，切线为，
综上可得，圆的切线方程为或；
（2）当直线时，弦长m最短，此时直线的方程为，
，当直线l经过圆心时，弦长最长为2，
则m的范围是.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）化圆的一般方程为标准方程，求得圆心与半径，分切线分斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在时检验适合；当斜率不存在时，设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径计算即可；
（2）当直线时，弦长m最短，当直线过圆心时弦长为直径最大，据此求m的范围.
16．【答案】解：（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
【知识点】等差数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）先利用等差中项关系，建立公比的方程，再求解即可求解；
（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
17．【答案】（1）证明：取的中点，连接，
因为为等腰直角三角形，所以，
由，得，
因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，
因为为菱形，，为等边三角形，为的中点，则，
所以，，
以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，
，则，即；
（2）解：由（1）可得，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，可得，
又，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，可得，
则，故平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，为的中点，根据面面垂直和底面菱形的特征，推出两两垂直，以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直即可；
（2）利用（1）的空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量法求夹角的余弦值即可.
（1）取的中点，连接．
为等腰直角三角形，．
由，得．
平面平面，平面平面，
平面，，则平面．
为菱形，，为等边三角形，为的中点，则．
则有，．
如图，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
，
，，，有．
（2）．
设平面的一个法向量为，
则 令，则，得．
又，
设平面的一个法向量为，
令，则，得．
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18．【答案】解：（1）函数的定义域为，，
因为曲线在点处的切线与直线平行，所以，即；
（2）令，得，当变化时，，的变化情况如下表：
+ 0 -
极大值
由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是，
所以在处取得极大值，的极大值为；
（3）当时，，由于，要证，
只需证明，令，则，
因为，所以，故在上单调递增，
当时，，即成立，
故当时，有，即.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，由题意可得，求解a的值即可；
（2）令，得，利用导数判断函数的单调性，求单调区间和极值即可；
（3）当时，，证明等价于，设，求导，利用导数判断函数单调递增，计算最小值，证明即可.
19．【答案】（1）解：由题意得，解得，则椭圆C的方程为 ；
（2）解：由题可知，
在中，由余弦定理得，
则，即，
则，即的面积是；
（3）证明：当l的斜率为0时，；
当l不与x轴重合时，设直线l的方程为，
联立，得，所以，
由韦达定理可得，
，
故为定值．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据题意列关于的方程组，求解即可得椭圆方程；
（2）利用椭圆定义，结合余弦定理以及三角形面积公式，求解三角形面积公式即可；
（3）当l的斜率为0时，直接求解；当l不与x轴重合时，设直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理化简证明即可.
（1）由题意得，解得，所以椭圆C的方程为．
（2）由题可知．
在中，由余弦定理得
，
则，即，
所以，故的面积是．
（3）当l的斜率为0时，；
当l不与x轴重合时，设直线l的方程为，
联立，得，所以，
由韦达定理可得．
，
故为定值．
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