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广东省深圳市新安中学(集团)高中部2024-2025学年高一下学期期中数学试题
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2025高一下·宝安期中）若复数满足（其中i是虚数单位），则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·宝安期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025高一下·宝安期中）已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·宝安期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·宝安期中）为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（　　）
A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
6．（2025高一下·宝安期中）在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
7．（2025高一下·宝安期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·宝安期中）已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（　　）
A．－1 B． C． D．
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．（2025高一下·宝安期中）设是的共轭复数，下列说法正确的是（　　）
A． B．若，则
C．若，则 D．是实数
10．（2025高一下·宝安期中）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．的图像关于直线对称
B．的图像关于点对称
C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
11．（2025高一下·宝安期中）已知中，，.则（　　）
A．若，则有两解
B．若是钝角三角形，则
C．若是锐角三角形，则
D．的最大值是
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．（2025高一下·宝安期中）已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为　 　．
13．（2025高一下·宝安期中）三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为　 　.
14．（2025高一下·宝安期中）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为　 　.
四、解答题：（本题共5小題，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（2025高一下·宝安期中）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式.
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间.
16．（2025高一下·宝安期中）已知平面向量，，，．
（1）若，求x的值；
（2）若，求的值．
（3）若与的夹角是锐角，求x的取值范围．
17．（2025高一下·宝安期中）如图，在中，，，点D在线段BC上.
（1）若∠ADC=，求AD的长；
（2）若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长.
18．（2025高一下·宝安期中）已知向量，设.
（1）求的单调增区间；
（2）若，求的值；
（3）令函数，求值域.
19．（2025高一下·宝安期中）在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）证明：；
（2）若的平分线交于，，，求的值；
（3）求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，
，
，
所以的虚部为.
故答案为：A.
【分析】先利用复数的除法运算法则，从而得出复数z，再利用共轭复数的定义和复数的虚部定义，从而得出共轭复数的虚部.
2．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为 点，分别为，边上的中点 ，所以，而，
则
故答案为：D.
【分析】由题意，利用向量加法及数乘向量运算求解即可.
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，
所以，且，，
则，
可得，
则在上的投影向量为：.
故答案为：B.
【分析】由数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值，再利用数量积求投影向量的公式，从而得出在上的投影向量.
4．【答案】C
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为，圆台的侧面积为，
母线长，圆台的高
所以，圆台上、下底面面积为
由圆台的体积计算公式，可得：
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合圆台的侧面积公式得出母线长，利用勾股定理得出圆台的高，再根据圆的面积公式和圆台的体积公式，从而得出该圆台的体积.
5．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
把的图象上所有的点向左平行移动个单位长度可得的图象.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式，结合三角函数图象的平移变换求解即可.
6．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：，
，
，
化简得：，
，
即，
或，
，
或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故答案为：D.
【分析】将已知条件结合二倍角的正弦公式，再结合两角和的正弦公式，从而化简可得，再结合三角形中角A，B的取值范围得出角A和角B的关系式，从而判断出三角形的形状.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
则.
故答案为：D.
【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和同角三角函数基本关系式，再由两角和的正弦公式，从而得出的值.
8．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵分别表示与方向的单位向量，
∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，
故所在直线为的平分线所在直线，
∵，
∴的平分线与垂直，故，
取的中点，连接，则，
由题意得，，
∴.
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，故，
设，则，
∴，
∴，，
∴，
当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：C.
【分析】分析题中已知条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，再结合向量共线的坐标表示和数量积的坐标表示，则根据二次函数的图象求最值的方法，从而得出的最小值.
9．【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：设z=a+bi（a，b为实数），则，|z|=，于是，即有 ，A正确；
若，则，则A知，故，B正确；
z1=c+di，z2=m+ni，若即有c2+d2=m2+n2，而，，2cd和2mn不一定相等，故C错误；
=a+bi+a-bi=2a，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】设z=a+bi（a，b为实数）可得，再依次对各选项进行判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可知：的最小正周期，
当时，，所以；
A、，故A选项正确；
B、，故B选项错误；
C、将向右平移，
得到，故C选项正确；
D、的大致图像如下：
欲使得在内方程有2个不相等的实数根，
则，故D选项正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据即可判断A，根据，即可判断B；将向右平移，得到，即可判断C；根据的图象即可判断D.
11．【答案】C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，，，，
由正弦定理，得：，则，
所以，则，所以有一解，故选项A错误；
因为，又因为为钝角三角形，
当为钝角时，，则，故B错误；
因为为锐角三角形，所以，
则，所以，
又因为，所以，，故C正确；
因为，当时，的最大值是，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】先利用已知条件和正弦定理解三角形的方法，则判断出选项A；根据钝角三角形边长关系判断出选项B；利用锐角三角形中角的取值范围和三角型函数求值域的方法，再利用正弦定理得出BC的长的取值范围，则判断出选项C；利用正弦定理和正弦型函数求值域的方法，从而得出的最大值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆柱与圆锥的底面半径分别为，，母线长分别为，，高均为，
由题意，可得：，
则，化简可得：.
故答案为：.
【分析】根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式以及圆柱的侧面积公式、圆锥的侧面积公式，从而得出圆柱与圆锥的母线长之比.
13．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：三边长分别为，，，
由余弦定理得，
两边平方得，
则.
故答案为：.
【分析】先利用余弦定理求得，再将两边平方，结合向量的数量积运算法则求解即可.
14．【答案】
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过作于，如图所示：
设，由题意可得，
则，，
即，解得，，
在中，，则，
故.
故答案为：.
【分析】过作于，设，则，从而可得，，在中，可得，从而解得，再由求解即可.
15．【答案】（1）解：由图形可知，，得，
因为过点，所以，
即，解得，
又因为，所以，
则函数的解析式；
（2）解：将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，
再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，
即，
由，得，
则的对称中心为，
令，得，
则的单调递增区间为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）由函数图象可得和周期，再利用周期求得，最后根据函数图象过点，求，即可得函数的解析式；
（2）利用三角函数图象的伸缩、平移变换求出，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间.
（1）由图形可知，，得
过点，，即，
，
函数的解析式
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，
得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，
得到的图象，
即，
由，得
所以的对称中心为，
令，得，
所以的单调递增区间为.
16．【答案】（1）解：若，
则，
整理得，
解得或，
所以的值为或3．
（2）解：若，则，
所以，解得或，
当时，，，
则，得；
当时，，，
则，得，
所以，的值为或5．
（3）解：因与的夹角是锐角，
所以，则，得，
当与共线时，则，得，不合题意，
则，
综上所述，的取值范围为．

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据两向量垂直数量积为的等价关系和数量积的坐标表示，从而列方程得出x的值.
（2）根据向量共线的坐标表示列方程求出x的值，代入得到向量的坐标，再根据向量的模的坐标表示，从而得出的值.
（3）利用已知条件得出，再利用两向量不共线结合数量积求向量夹角的坐标公式，从而得出x的取值范围.
（1）若，则，
整理得，解得或．
所以的值为或3．
（2）（2）若，则有，即，解得或，
当时，，，则，得；
当时，，，则，得．
所以，的值为或5．
（3）（3）因与的夹角是锐角，则，即，得，
又当与共线时，有，得，不合题意，则
综上，的取值范围为．
17．【答案】（1）解：在中，由，可得，
在中，，
由正弦定理，可得；
（2）解：因为，所以，
又因为，所以，
由，解得，
在中，由余弦定理得，则.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系求得，再在中，利用正弦定理求解即可；
（2）由题意可得，再由，得到，结合三角形面积公式求得，最后根据余弦定理求解即可.
（1）在中，.
在中，由正弦定理得，
又，
（2）.
又.
，
解得：
在中，由余弦定理得，
所以.
18．【答案】（1）解：因为
，
由，
解得，
所以的单调增区间是.
（2）解：因为，
所以，
又因为，
所以，
在这个区间内.
所以.
则
.
（3）解：因为，
又因为
，
因为，
所以，
则，
所以的值域是.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示和三角恒等变换，从而化简函数的解析式，再利用换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调递增区间.
（2）根据三角恒等变换和角的取值范围以及同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式，从而得出的值.
（3）利用和函数f(x)的解析式以及三角恒等变换，从而化简函数的解析式，再利用正弦型函数求值域的方法，从而得出函数的值域.
（1）
，
由，
解得，
所以的单调增区间是.
（2），所以.
因为，所以，在这个区间内.
所以.
.
（3），
，
因为，所以，
则.
所以的值域是.
19．【答案】（1）证明：，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，或（舍去），所以；
（2）解：由（1）知，则为锐角，
因为， 所以，
因为，所以，
所以，
所以，即；
（3）解：因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，
由正弦定理得
，
令，则在上单调递增，
而，则，
故.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和与差的正弦公式化简求解即可；
（2）由（1）知，则为锐角，再利用同角三角函数基本关系，结合求得，代入数值求的值即可；
（3）根据是锐角三角形，求得，再由正弦定理得，设，根据在上单调递增，求的取值范围即可.
（1）证明：因为，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，或（舍去），所以.
（2）由（1）知，所以为锐角，
因为， 所以，
因为，
所以，
所以，
所以，即.
（3）因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，
由正弦定理得
.
令，则在上单调递增，
而，所以，
所以.
1 / 1广东省深圳市新安中学(集团)高中部2024-2025学年高一下学期期中数学试题
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2025高一下·宝安期中）若复数满足（其中i是虚数单位），则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，
，
，
所以的虚部为.
故答案为：A.
【分析】先利用复数的除法运算法则，从而得出复数z，再利用共轭复数的定义和复数的虚部定义，从而得出共轭复数的虚部.
2．（2025高一下·宝安期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为 点，分别为，边上的中点 ，所以，而，
则
故答案为：D.
【分析】由题意，利用向量加法及数乘向量运算求解即可.
3．（2025高一下·宝安期中）已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，
所以，且，，
则，
可得，
则在上的投影向量为：.
故答案为：B.
【分析】由数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值，再利用数量积求投影向量的公式，从而得出在上的投影向量.
4．（2025高一下·宝安期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为，圆台的侧面积为，
母线长，圆台的高
所以，圆台上、下底面面积为
由圆台的体积计算公式，可得：
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合圆台的侧面积公式得出母线长，利用勾股定理得出圆台的高，再根据圆的面积公式和圆台的体积公式，从而得出该圆台的体积.
5．（2025高一下·宝安期中）为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（　　）
A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
把的图象上所有的点向左平行移动个单位长度可得的图象.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式，结合三角函数图象的平移变换求解即可.
6．（2025高一下·宝安期中）在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：，
，
，
化简得：，
，
即，
或，
，
或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故答案为：D.
【分析】将已知条件结合二倍角的正弦公式，再结合两角和的正弦公式，从而化简可得，再结合三角形中角A，B的取值范围得出角A和角B的关系式，从而判断出三角形的形状.
7．（2025高一下·宝安期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
则.
故答案为：D.
【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和同角三角函数基本关系式，再由两角和的正弦公式，从而得出的值.
8．（2025高一下·宝安期中）已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（　　）
A．－1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵分别表示与方向的单位向量，
∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，
故所在直线为的平分线所在直线，
∵，
∴的平分线与垂直，故，
取的中点，连接，则，
由题意得，，
∴.
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，故，
设，则，
∴，
∴，，
∴，
当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：C.
【分析】分析题中已知条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，再结合向量共线的坐标表示和数量积的坐标表示，则根据二次函数的图象求最值的方法，从而得出的最小值.
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．（2025高一下·宝安期中）设是的共轭复数，下列说法正确的是（　　）
A． B．若，则
C．若，则 D．是实数
【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：设z=a+bi（a，b为实数），则，|z|=，于是，即有 ，A正确；
若，则，则A知，故，B正确；
z1=c+di，z2=m+ni，若即有c2+d2=m2+n2，而，，2cd和2mn不一定相等，故C错误；
=a+bi+a-bi=2a，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】设z=a+bi（a，b为实数）可得，再依次对各选项进行判断即可.
10．（2025高一下·宝安期中）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．的图像关于直线对称
B．的图像关于点对称
C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可知：的最小正周期，
当时，，所以；
A、，故A选项正确；
B、，故B选项错误；
C、将向右平移，
得到，故C选项正确；
D、的大致图像如下：
欲使得在内方程有2个不相等的实数根，
则，故D选项正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据即可判断A，根据，即可判断B；将向右平移，得到，即可判断C；根据的图象即可判断D.
11．（2025高一下·宝安期中）已知中，，.则（　　）
A．若，则有两解
B．若是钝角三角形，则
C．若是锐角三角形，则
D．的最大值是
【答案】C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，，，，
由正弦定理，得：，则，
所以，则，所以有一解，故选项A错误；
因为，又因为为钝角三角形，
当为钝角时，，则，故B错误；
因为为锐角三角形，所以，
则，所以，
又因为，所以，，故C正确；
因为，当时，的最大值是，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】先利用已知条件和正弦定理解三角形的方法，则判断出选项A；根据钝角三角形边长关系判断出选项B；利用锐角三角形中角的取值范围和三角型函数求值域的方法，再利用正弦定理得出BC的长的取值范围，则判断出选项C；利用正弦定理和正弦型函数求值域的方法，从而得出的最大值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．（2025高一下·宝安期中）已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为　 　．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆柱与圆锥的底面半径分别为，，母线长分别为，，高均为，
由题意，可得：，
则，化简可得：.
故答案为：.
【分析】根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式以及圆柱的侧面积公式、圆锥的侧面积公式，从而得出圆柱与圆锥的母线长之比.
13．（2025高一下·宝安期中）三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：三边长分别为，，，
由余弦定理得，
两边平方得，
则.
故答案为：.
【分析】先利用余弦定理求得，再将两边平方，结合向量的数量积运算法则求解即可.
14．（2025高一下·宝安期中）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为　 　.
【答案】
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过作于，如图所示：
设，由题意可得，
则，，
即，解得，，
在中，，则，
故.
故答案为：.
【分析】过作于，设，则，从而可得，，在中，可得，从而解得，再由求解即可.
四、解答题：（本题共5小題，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（2025高一下·宝安期中）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式.
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间.
【答案】（1）解：由图形可知，，得，
因为过点，所以，
即，解得，
又因为，所以，
则函数的解析式；
（2）解：将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，
再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，
即，
由，得，
则的对称中心为，
令，得，
则的单调递增区间为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）由函数图象可得和周期，再利用周期求得，最后根据函数图象过点，求，即可得函数的解析式；
（2）利用三角函数图象的伸缩、平移变换求出，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间.
（1）由图形可知，，得
过点，，即，
，
函数的解析式
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，
得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，
得到的图象，
即，
由，得
所以的对称中心为，
令，得，
所以的单调递增区间为.
16．（2025高一下·宝安期中）已知平面向量，，，．
（1）若，求x的值；
（2）若，求的值．
（3）若与的夹角是锐角，求x的取值范围．
【答案】（1）解：若，
则，
整理得，
解得或，
所以的值为或3．
（2）解：若，则，
所以，解得或，
当时，，，
则，得；
当时，，，
则，得，
所以，的值为或5．
（3）解：因与的夹角是锐角，
所以，则，得，
当与共线时，则，得，不合题意，
则，
综上所述，的取值范围为．

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据两向量垂直数量积为的等价关系和数量积的坐标表示，从而列方程得出x的值.
（2）根据向量共线的坐标表示列方程求出x的值，代入得到向量的坐标，再根据向量的模的坐标表示，从而得出的值.
（3）利用已知条件得出，再利用两向量不共线结合数量积求向量夹角的坐标公式，从而得出x的取值范围.
（1）若，则，
整理得，解得或．
所以的值为或3．
（2）（2）若，则有，即，解得或，
当时，，，则，得；
当时，，，则，得．
所以，的值为或5．
（3）（3）因与的夹角是锐角，则，即，得，
又当与共线时，有，得，不合题意，则
综上，的取值范围为．
17．（2025高一下·宝安期中）如图，在中，，，点D在线段BC上.
（1）若∠ADC=，求AD的长；
（2）若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长.
【答案】（1）解：在中，由，可得，
在中，，
由正弦定理，可得；
（2）解：因为，所以，
又因为，所以，
由，解得，
在中，由余弦定理得，则.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系求得，再在中，利用正弦定理求解即可；
（2）由题意可得，再由，得到，结合三角形面积公式求得，最后根据余弦定理求解即可.
（1）在中，.
在中，由正弦定理得，
又，
（2）.
又.
，
解得：
在中，由余弦定理得，
所以.
18．（2025高一下·宝安期中）已知向量，设.
（1）求的单调增区间；
（2）若，求的值；
（3）令函数，求值域.
【答案】（1）解：因为
，
由，
解得，
所以的单调增区间是.
（2）解：因为，
所以，
又因为，
所以，
在这个区间内.
所以.
则
.
（3）解：因为，
又因为
，
因为，
所以，
则，
所以的值域是.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示和三角恒等变换，从而化简函数的解析式，再利用换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调递增区间.
（2）根据三角恒等变换和角的取值范围以及同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式，从而得出的值.
（3）利用和函数f(x)的解析式以及三角恒等变换，从而化简函数的解析式，再利用正弦型函数求值域的方法，从而得出函数的值域.
（1）
，
由，
解得，
所以的单调增区间是.
（2），所以.
因为，所以，在这个区间内.
所以.
.
（3），
，
因为，所以，
则.
所以的值域是.
19．（2025高一下·宝安期中）在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）证明：；
（2）若的平分线交于，，，求的值；
（3）求的取值范围.
【答案】（1）证明：，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，或（舍去），所以；
（2）解：由（1）知，则为锐角，
因为， 所以，
因为，所以，
所以，
所以，即；
（3）解：因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，
由正弦定理得
，
令，则在上单调递增，
而，则，
故.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和与差的正弦公式化简求解即可；
（2）由（1）知，则为锐角，再利用同角三角函数基本关系，结合求得，代入数值求的值即可；
（3）根据是锐角三角形，求得，再由正弦定理得，设，根据在上单调递增，求的取值范围即可.
（1）证明：因为，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，或（舍去），所以.
（2）由（1）知，所以为锐角，
因为， 所以，
因为，
所以，
所以，
所以，即.
（3）因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，
由正弦定理得
.
令，则在上单调递增，
而，所以，
所以.
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