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广东省湛江市2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·湛江期中）数列的一个通项公式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、的第一项为，不符合题意，故A错误；
B、即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确；
C、的前两项依次为，不符合题意，故C错误；
D、的第一项为，不符合题意，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据数列逐项验证即可.
2．（2025高二下·湛江期中）已知数列为等比数列，其中，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：由，a，可得，，解得，则.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，根据等比中项求解即可.
3．（2025高二下·湛江期中）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】平均变化率；瞬时变化率
【解析】【解答】解：函数在区间上的平均变化率为，
在时的瞬时变化率为，则．
故答案为：C.
【分析】根据平均变化率和瞬时变化率公式求解即可.
4．（2025高二下·湛江期中）若数列满足，则，则（　　）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】函数的周期性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，，，
，
所以，数列为周期数列，一个周期为4，
则.
故答案为：D.
【分析】利用递推公式求出数列的前5项，再利用周期函数的定义判断出数列为周期数列，从而得出数列的一个周期，再利用数列的周期性得出的值.
5．（2025高二下·湛江期中）从1，2，5，7中任取3个数字，从4，6，9中任取2个数字，则一共可以组成没有重复数字的五位数的个数为（　　）
A．720 B．1200 C．1440 D．1728
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从1，2，5，7中任取3个数字有种方法，
从4，6，9中任取2个数字有种方法，
再把取出的5个数全排列共有，
则一共可以组成1440个没有重复数字的五位数．
故答案为：C．
【分析】根据题意，先选后排，再根据分步乘法计数原理和排列数公式、组合数公式，从而得出组成没有重复数字的五位数共有的个数.
6．（2025高二下·湛江期中）已知函数在处取得极大值，则（　　）
A．0 B．12 C．16 D．96
【答案】A
【知识点】函数的值；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为，
由题意，得，
所以或，
经检验，当时，，
可知，当时，取得极小值，不符合题意，
所以，
因此.
故答案为：A.
【分析】利用导数求极值点的方法和已知条件，从而得出参数的值，再利用导数求极值的方法和检验法，从而得出满足要求的c的值，进而得出函数的解析式，再代入函数解析式得出函数的值.
7．（2025高二下·湛江期中）某高校的一个宿舍的6名同学被邀请参加校运动会的表演，要求必须有人去，其中甲和乙两名同学关系要好，商量决定要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（　　）
A．15种 B．28种 C．31种 D．63种
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若甲和乙两名同学都去，
则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，
所以，满足条件的去法数为种；
若甲和乙两名同学都不去，
则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，
所以，满足条件的去法有种；
则该宿舍同学的去法共有种．
故答案为：C．
【分析】分甲和乙两名同学都去、甲和乙两名同学都不去两种情况，再利用分类加法计数原理和组合数公式，从而得出该宿舍同学的去法共有的种数.
8．（2025高二下·湛江期中）函数在上的零点和极值点个数之和为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；余弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，
所以或，
因为，
所以，，
则函数在区间有5个零点，
又因为，
令，解得或，
因为，
所以在区间上有2个解，
设为，且，
则在区间上有2个解，设为，且，
当时，，，
则在上单调递减，
当时，，
则在单调递增，
所以在[0，上有4个变号零点，
则在上有4个极值点，
所以在上的零点和极值点个数之和为9.
故答案为：C.
【分析】利用函数零点的定义，令得出的值，再利用函数零点与方程的解的等价关系，则由余弦函数的图象求出满足的解的个数，再利用导数判断函数的单调性，从而得出在[0，上的变号零点个数，则得出函数在上的极值点个数，进而得出函数在上的零点和极值点个数之和.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·湛江期中）2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（　　）
A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
【答案】B,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，则观看顺序为种，故A错误；
B、若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，则共有种观看顺序，故B正确；
C、若将6部电影每2部一组随机分为3组，则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，则分组方式为，故C错误；
D、若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组，
按1和5，有种分组方式；按2和4，有种分组方式；按3和3，有种分组方式，则共有31种分组方式，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用“捆绑法”求解即可判断A；利用全排列计算即可判断B；根据平均分组计算即可判断C；利用分类分组计算即可判断D.
10．（2025高二下·湛江期中）设函数，直线与曲线相切于点，则（　　）
A．对于给定的，任意的恒过定点
B．对于给定的，存在一条直线，与的交点为定点
C．与的交点的横坐标存在最小值
D．与的交点的纵坐标存在最大值
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；恒过定点的直线；函数极限
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，切线方程为，即，
则切线恒过定点），故A正确；
对于B，由选项A知存在一条直线，使得与交于点，故B正确；
对于C、D，根据定义域，知，
设，
下面研究值域，
因为，
当单调递增；当单调递减，
所以存在极大值（也就是最大值），且当，
所以的值域为，
也就是横纵坐标均存在最大值1，不存在最小值，故D正确、C错误．
故答案为：ABD．
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出函数在处的切线方程，再根据直线过定点的判断方法，则可判断选项A；结合选项A分析可知，存在使得其与直线的交点为定点，则判断出选项B；先构造函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，进而得出函数的最值，再根据函数求极限的方法，从而得出函数的值域，则判断出选项选项C和选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高二下·湛江期中）已知前两项均为1的数列满足，记的前项和为，则（　　）
A．
B．
C．和均为等比数列
D．
【答案】A,C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对于A，令，可得，
令，可得，故A正确；
对于B，因为，
所以，
则
，
所以，故B错误；
对于C，由题意，可得，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
则，①，
同理可得，
所以数列是首项为，公比为-1的等比数列，
则，②，故C正确；
对于D，①－②得，
所以，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】分别令，结合数列的递推公式，从而得出的值，则判断选项A；利用变形结合数列求和的方法，则判断出选项B；根据递推公式变形和等差数列定义、等比数列定义，则判断出选项C；利用选项C结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式，再利用作差法得出数列的通项公式，从而得出的值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·湛江期中）已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为　 　.
【答案】11
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列 是首项和公差均为1的等差数列，
则，即，
令，解得，则满足条件的的最小值为11.
故答案为：11.
【分析】根据数列 是首项和公差均为1的等差数列，求得的表达式，再令求出的取值范围，确定的最小值即可.
13．（2025高二下·湛江期中）在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有　 　种（用数字表示）.
【答案】12
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：只有甲参加C项目，则有种分配方案；
甲与另外一人共同参与C项目，则有种分配方案.
综上：共有12种分配方案.
故答案为：12.
【分析】分只有甲参加C项目和甲与另外一人共同参与C项目讨论，结合排列、组合求解即可.
14．（2025高二下·湛江期中）已知是函数图象上一点，函数满足，则图象上的点到在处的切线的距离为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为，又因为在上，且，
可知与在处的切线平行或重合，
因为，
所以，
解得，
则函数在处的切线方程为，
分别整理得，切线方程为，直线为0，
由平行直线间距离公式知，
两直线间距离为．
故答案为：．
【分析】先利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出函数在处的切线方程，再利用与在处的切线平行或重合，从而得出直线，再由两平行直线的距离公式，从而得出函数图象上的点到函数在处的切线的距离.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·湛江期中）甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需且必须有1人完成，每人至少完成1项工作．
（1）共有多少种不同的情况；
（2）求甲做工作的概率．
【答案】（1）解：因为甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，
每人至少完成1项工作，
所以有1人做两项工作，其余2人各做一项工作，
则共有种情况．
（2）解：甲做工作的情况有2种：
①甲只做工作，共有种情况；
②甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况，
所以甲做工作的情况有种，
则所求概率为．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和组合数公式、排列数公式以及分步乘法计数原理，从而得出共有的不同情况种数．
（2）用已知条件和组合数公式、排列数公式以及分类加法计数原理，从而得出甲做工作的情况数，再利用古典概率公式得出甲做工作的概率．
（1）甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作，故有1人做两项工作，其余2人各做一项工作，
共有种情况．
（2）甲做工作的情况有2种：①甲只做工作，共有种情况；
②甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况，
所以甲做工作的情况有种，
故所求概率为．
16．（2025高二下·湛江期中）已知为数列的前n项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前n项的和为，，，求正整数的最小值.
【答案】（1）解：当时，，又因为，
两式相减，可得，
所以，可得，
又因为，，…，，
累乘得，
所以.
（2）解：由（1）知，可得，
所以，
所以，解得，
故的最小值为24.
【知识点】数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据题意，当时，，两式相减，求得，再结合累乘法得出数列的通项公式.
（2）由（1）得，再结合裂项相消法和放缩法得出，从而得到不等式，进而得出的取值范围，则得出正整数的最小值.
（1）解：当时，，因为，
两式相减，可得，
所以，可得，
又因为，，…，，
累乘得，所以.
（2）解：由（1）知，可得，
所以，
所以，解得，故的最小值为24.
17．（2025高二下·湛江期中）已知函数．
（1）当时，求在上的最值；
（2）求的单调区间．
【答案】（1）解：当时，，，
所以，
则在上单调递减，
所以，无最小值．
（2）解：因为，
（i）若，则，所以在单调递减；
（ii）若，由，得，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
综上所述，当时，的单调减区间为（），无单调增区间；
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数在上的最值.
（2）分和两种情况讨论，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间.
（1）当时，，，
则，
则在上单调递减，
所以，无最小值．
（2），
（i）若，则，所以在单调递减；
（ii）若，则由得．
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
综上所述，当时，的单调减区间为（）；无单调增区间．
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
18．（2025高二下·湛江期中）已知函数，点均为曲线图象上的点，且，，.
（1）当时，证明：是等比数列；
（2）求的取值范围；
（3）证明：直线的斜率随的增大而增大.
【答案】（1）证明：由，
得，
因为，
所以，
则数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）解：由，
得，
则，
因此数列与分别是以与为首项，6为公差的等差数列，
则，
由，，
得，.
则等价于对于任意成立，
即，
即，
即，
解得，
由点均为图象上的点，且，
得，
所以的取值范围是.
（3）证明：因为直线的斜率.
任取，设函数，
求导得
令函数，
求导得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
则，
所以函数在和上都单调递增，
因为数列单调递增，
取，而，
则，
取，而，
则，
所以，
则直线的斜率随单调递增．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；斜率的计算公式
【解析】【分析】（1）根据已知的递推公式变形结合等比数列定义，从而证出数列是等比数列.
（2）由数列递推公式结合等差数列的定义，从而分别求出，再将等价转化结合不等式恒成立问题区间方法，从而求出的取值范围，再利用点代入法求出的取值范围.
（3）利用两点求斜率公式得出直线的斜率为，再构造函数，利用导数正负判断函数的单调性，从而证出，再由证出直线的斜率随的增大而增大.
（1）由，得，又，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由，得，则，
因此数列与分别是以与为首项，6为公差的等差数列，
，由，，得，.
等价于对于任意成立，即，
即，即，解得，
由点均为图象上的点，且，得，
所以的取值范围是.
（3）直线的斜率.
任取，设函数，求导得
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，，函数在和上都单调递增，
而数列单调递增，取，而，则，
取，而，则，
所以，即直线的斜率随单调递增．
19．（2025高二下·湛江期中）设函数．
（1）时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个极值点且，证明：．
【答案】（1）解：因为的定义域为，
所以，，
因此曲线在点处的切线方程为，
取，得．
（2）解：因为，
（i）当时，在单调递增；
（ii）当时，令，则，
因为，，
则单调递增；单调递减，
综上所得，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）证明：由（2）知，
因为是方程的两根，
所以，
可得，
则
等价于，
其中，
因此待证式等价于，
两侧同时加，
得，
即证，等价于，
由且，得，
记，
则，
记，
则，
所以单调递减，
则，
所以，
则单调递减，
所以，
则．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
（2）先求出导函数，再利用分类讨论的方法和导数的正负判断函数单调性的方法，从而讨论出函数的单调性.
（3）由（2）得出实数a的取值范围，再利用已知条件和韦达定理，则将
等价于，
其中，再两侧同时加结合分析法以及构造法，从而构造新函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的值域，进而证出不等式成立．
（1）的定义域为．
所以，，
因此曲线在点处的切线方程为，
取得．
（2）．
（i）时，在单调递增．
（ii）时，令，则，
，．
则单调递增．单调递减．
综上所得，
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知，因为是方程的两根，所以．可得.
等价于．
其中．
因此待证式等价于，两侧同时加，得，
即证，等价于，
由且得，
记，则，
记，则，所以单调递减，
所以，则，所以单调递减，所以，证毕．
1 / 1广东省湛江市2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·湛江期中）数列的一个通项公式为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·湛江期中）已知数列为等比数列，其中，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·湛江期中）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（　　）
A． B．1 C．2 D．
4．（2025高二下·湛江期中）若数列满足，则，则（　　）
A． B． C． D．2
5．（2025高二下·湛江期中）从1，2，5，7中任取3个数字，从4，6，9中任取2个数字，则一共可以组成没有重复数字的五位数的个数为（　　）
A．720 B．1200 C．1440 D．1728
6．（2025高二下·湛江期中）已知函数在处取得极大值，则（　　）
A．0 B．12 C．16 D．96
7．（2025高二下·湛江期中）某高校的一个宿舍的6名同学被邀请参加校运动会的表演，要求必须有人去，其中甲和乙两名同学关系要好，商量决定要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（　　）
A．15种 B．28种 C．31种 D．63种
8．（2025高二下·湛江期中）函数在上的零点和极值点个数之和为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·湛江期中）2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（　　）
A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
10．（2025高二下·湛江期中）设函数，直线与曲线相切于点，则（　　）
A．对于给定的，任意的恒过定点
B．对于给定的，存在一条直线，与的交点为定点
C．与的交点的横坐标存在最小值
D．与的交点的纵坐标存在最大值
11．（2025高二下·湛江期中）已知前两项均为1的数列满足，记的前项和为，则（　　）
A．
B．
C．和均为等比数列
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·湛江期中）已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为　 　.
13．（2025高二下·湛江期中）在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有　 　种（用数字表示）.
14．（2025高二下·湛江期中）已知是函数图象上一点，函数满足，则图象上的点到在处的切线的距离为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·湛江期中）甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需且必须有1人完成，每人至少完成1项工作．
（1）共有多少种不同的情况；
（2）求甲做工作的概率．
16．（2025高二下·湛江期中）已知为数列的前n项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前n项的和为，，，求正整数的最小值.
17．（2025高二下·湛江期中）已知函数．
（1）当时，求在上的最值；
（2）求的单调区间．
18．（2025高二下·湛江期中）已知函数，点均为曲线图象上的点，且，，.
（1）当时，证明：是等比数列；
（2）求的取值范围；
（3）证明：直线的斜率随的增大而增大.
19．（2025高二下·湛江期中）设函数．
（1）时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个极值点且，证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、的第一项为，不符合题意，故A错误；
B、即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确；
C、的前两项依次为，不符合题意，故C错误；
D、的第一项为，不符合题意，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据数列逐项验证即可.
2．【答案】B
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：由，a，可得，，解得，则.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，根据等比中项求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平均变化率；瞬时变化率
【解析】【解答】解：函数在区间上的平均变化率为，
在时的瞬时变化率为，则．
故答案为：C.
【分析】根据平均变化率和瞬时变化率公式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】函数的周期性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，，，
，
所以，数列为周期数列，一个周期为4，
则.
故答案为：D.
【分析】利用递推公式求出数列的前5项，再利用周期函数的定义判断出数列为周期数列，从而得出数列的一个周期，再利用数列的周期性得出的值.
5．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从1，2，5，7中任取3个数字有种方法，
从4，6，9中任取2个数字有种方法，
再把取出的5个数全排列共有，
则一共可以组成1440个没有重复数字的五位数．
故答案为：C．
【分析】根据题意，先选后排，再根据分步乘法计数原理和排列数公式、组合数公式，从而得出组成没有重复数字的五位数共有的个数.
6．【答案】A
【知识点】函数的值；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为，
由题意，得，
所以或，
经检验，当时，，
可知，当时，取得极小值，不符合题意，
所以，
因此.
故答案为：A.
【分析】利用导数求极值点的方法和已知条件，从而得出参数的值，再利用导数求极值的方法和检验法，从而得出满足要求的c的值，进而得出函数的解析式，再代入函数解析式得出函数的值.
7．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若甲和乙两名同学都去，
则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，
所以，满足条件的去法数为种；
若甲和乙两名同学都不去，
则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，
所以，满足条件的去法有种；
则该宿舍同学的去法共有种．
故答案为：C．
【分析】分甲和乙两名同学都去、甲和乙两名同学都不去两种情况，再利用分类加法计数原理和组合数公式，从而得出该宿舍同学的去法共有的种数.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；余弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，
所以或，
因为，
所以，，
则函数在区间有5个零点，
又因为，
令，解得或，
因为，
所以在区间上有2个解，
设为，且，
则在区间上有2个解，设为，且，
当时，，，
则在上单调递减，
当时，，
则在单调递增，
所以在[0，上有4个变号零点，
则在上有4个极值点，
所以在上的零点和极值点个数之和为9.
故答案为：C.
【分析】利用函数零点的定义，令得出的值，再利用函数零点与方程的解的等价关系，则由余弦函数的图象求出满足的解的个数，再利用导数判断函数的单调性，从而得出在[0，上的变号零点个数，则得出函数在上的极值点个数，进而得出函数在上的零点和极值点个数之和.
9．【答案】B,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，则观看顺序为种，故A错误；
B、若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，则共有种观看顺序，故B正确；
C、若将6部电影每2部一组随机分为3组，则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，则分组方式为，故C错误；
D、若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组，
按1和5，有种分组方式；按2和4，有种分组方式；按3和3，有种分组方式，则共有31种分组方式，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用“捆绑法”求解即可判断A；利用全排列计算即可判断B；根据平均分组计算即可判断C；利用分类分组计算即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；恒过定点的直线；函数极限
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，切线方程为，即，
则切线恒过定点），故A正确；
对于B，由选项A知存在一条直线，使得与交于点，故B正确；
对于C、D，根据定义域，知，
设，
下面研究值域，
因为，
当单调递增；当单调递减，
所以存在极大值（也就是最大值），且当，
所以的值域为，
也就是横纵坐标均存在最大值1，不存在最小值，故D正确、C错误．
故答案为：ABD．
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出函数在处的切线方程，再根据直线过定点的判断方法，则可判断选项A；结合选项A分析可知，存在使得其与直线的交点为定点，则判断出选项B；先构造函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，进而得出函数的最值，再根据函数求极限的方法，从而得出函数的值域，则判断出选项选项C和选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对于A，令，可得，
令，可得，故A正确；
对于B，因为，
所以，
则
，
所以，故B错误；
对于C，由题意，可得，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
则，①，
同理可得，
所以数列是首项为，公比为-1的等比数列，
则，②，故C正确；
对于D，①－②得，
所以，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】分别令，结合数列的递推公式，从而得出的值，则判断选项A；利用变形结合数列求和的方法，则判断出选项B；根据递推公式变形和等差数列定义、等比数列定义，则判断出选项C；利用选项C结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式，再利用作差法得出数列的通项公式，从而得出的值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】11
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列 是首项和公差均为1的等差数列，
则，即，
令，解得，则满足条件的的最小值为11.
故答案为：11.
【分析】根据数列 是首项和公差均为1的等差数列，求得的表达式，再令求出的取值范围，确定的最小值即可.
13．【答案】12
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：只有甲参加C项目，则有种分配方案；
甲与另外一人共同参与C项目，则有种分配方案.
综上：共有12种分配方案.
故答案为：12.
【分析】分只有甲参加C项目和甲与另外一人共同参与C项目讨论，结合排列、组合求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为，又因为在上，且，
可知与在处的切线平行或重合，
因为，
所以，
解得，
则函数在处的切线方程为，
分别整理得，切线方程为，直线为0，
由平行直线间距离公式知，
两直线间距离为．
故答案为：．
【分析】先利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出函数在处的切线方程，再利用与在处的切线平行或重合，从而得出直线，再由两平行直线的距离公式，从而得出函数图象上的点到函数在处的切线的距离.
15．【答案】（1）解：因为甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，
每人至少完成1项工作，
所以有1人做两项工作，其余2人各做一项工作，
则共有种情况．
（2）解：甲做工作的情况有2种：
①甲只做工作，共有种情况；
②甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况，
所以甲做工作的情况有种，
则所求概率为．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和组合数公式、排列数公式以及分步乘法计数原理，从而得出共有的不同情况种数．
（2）用已知条件和组合数公式、排列数公式以及分类加法计数原理，从而得出甲做工作的情况数，再利用古典概率公式得出甲做工作的概率．
（1）甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作，故有1人做两项工作，其余2人各做一项工作，
共有种情况．
（2）甲做工作的情况有2种：①甲只做工作，共有种情况；
②甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况，
所以甲做工作的情况有种，
故所求概率为．
16．【答案】（1）解：当时，，又因为，
两式相减，可得，
所以，可得，
又因为，，…，，
累乘得，
所以.
（2）解：由（1）知，可得，
所以，
所以，解得，
故的最小值为24.
【知识点】数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据题意，当时，，两式相减，求得，再结合累乘法得出数列的通项公式.
（2）由（1）得，再结合裂项相消法和放缩法得出，从而得到不等式，进而得出的取值范围，则得出正整数的最小值.
（1）解：当时，，因为，
两式相减，可得，
所以，可得，
又因为，，…，，
累乘得，所以.
（2）解：由（1）知，可得，
所以，
所以，解得，故的最小值为24.
17．【答案】（1）解：当时，，，
所以，
则在上单调递减，
所以，无最小值．
（2）解：因为，
（i）若，则，所以在单调递减；
（ii）若，由，得，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
综上所述，当时，的单调减区间为（），无单调增区间；
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数在上的最值.
（2）分和两种情况讨论，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间.
（1）当时，，，
则，
则在上单调递减，
所以，无最小值．
（2），
（i）若，则，所以在单调递减；
（ii）若，则由得．
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
综上所述，当时，的单调减区间为（）；无单调增区间．
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
18．【答案】（1）证明：由，
得，
因为，
所以，
则数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）解：由，
得，
则，
因此数列与分别是以与为首项，6为公差的等差数列，
则，
由，，
得，.
则等价于对于任意成立，
即，
即，
即，
解得，
由点均为图象上的点，且，
得，
所以的取值范围是.
（3）证明：因为直线的斜率.
任取，设函数，
求导得
令函数，
求导得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
则，
所以函数在和上都单调递增，
因为数列单调递增，
取，而，
则，
取，而，
则，
所以，
则直线的斜率随单调递增．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；斜率的计算公式
【解析】【分析】（1）根据已知的递推公式变形结合等比数列定义，从而证出数列是等比数列.
（2）由数列递推公式结合等差数列的定义，从而分别求出，再将等价转化结合不等式恒成立问题区间方法，从而求出的取值范围，再利用点代入法求出的取值范围.
（3）利用两点求斜率公式得出直线的斜率为，再构造函数，利用导数正负判断函数的单调性，从而证出，再由证出直线的斜率随的增大而增大.
（1）由，得，又，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由，得，则，
因此数列与分别是以与为首项，6为公差的等差数列，
，由，，得，.
等价于对于任意成立，即，
即，即，解得，
由点均为图象上的点，且，得，
所以的取值范围是.
（3）直线的斜率.
任取，设函数，求导得
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，，函数在和上都单调递增，
而数列单调递增，取，而，则，
取，而，则，
所以，即直线的斜率随单调递增．
19．【答案】（1）解：因为的定义域为，
所以，，
因此曲线在点处的切线方程为，
取，得．
（2）解：因为，
（i）当时，在单调递增；
（ii）当时，令，则，
因为，，
则单调递增；单调递减，
综上所得，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）证明：由（2）知，
因为是方程的两根，
所以，
可得，
则
等价于，
其中，
因此待证式等价于，
两侧同时加，
得，
即证，等价于，
由且，得，
记，
则，
记，
则，
所以单调递减，
则，
所以，
则单调递减，
所以，
则．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
（2）先求出导函数，再利用分类讨论的方法和导数的正负判断函数单调性的方法，从而讨论出函数的单调性.
（3）由（2）得出实数a的取值范围，再利用已知条件和韦达定理，则将
等价于，
其中，再两侧同时加结合分析法以及构造法，从而构造新函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的值域，进而证出不等式成立．
（1）的定义域为．
所以，，
因此曲线在点处的切线方程为，
取得．
（2）．
（i）时，在单调递增．
（ii）时，令，则，
，．
则单调递增．单调递减．
综上所得，
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知，因为是方程的两根，所以．可得.
等价于．
其中．
因此待证式等价于，两侧同时加，得，
即证，等价于，
由且得，
记，则，
记，则，所以单调递减，
所以，则，所以单调递减，所以，证毕．
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