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广东省江门市广雅中学等校2024-2025学年高二下学期4月期中检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·江门期中）某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有（　　）
A．2种 B．10种 C．12种 D．20种
2．（2025高二下·江门期中）设集合，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·江门期中）现有一组数据1.3，1.2，1.2，1.4，1.6，1.3，1.1，则这组数据的分位数为（　　）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.6
4．（2025高二下·江门期中）若函数有极值，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025高二下·江门期中）某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·江门期中）已知下列四个图象之一是函数在某区间的图象，且的导函数在该区间的图象如图所示，则在该区间的图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025高二下·江门期中）若，，是圆上不同的三点，且，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·江门期中）已知定义在上的函数为奇函数，且的导函数的图象关于点对称，，且，则曲线在点处的切线斜率为（　　）
A． B． C． D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·江门期中）已知复数，则（　　）
A．
B．
C．为纯虚数
D．z在复平面内对应的点位于第二象限
10．（2025高二下·江门期中）已知点，点在曲线上，则（　　）
A．曲线由虚轴长相等的两条双曲线组成
B．存在无数个点，使得
C．存在无数个点，使得
D．存在8个点，使得
11．（2025高二下·江门期中）下列判断正确的是（　　）
A．方程有两个不同的实数解
B．方程的正整数解共有126组
C．方程有唯一实数解
D．方程的非负整数解共有3003组
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·江门期中）若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为　 　.
13．（2025高二下·江门期中）将2个i，2个n，2个o与1个p随机排成一排，得到一个字母串，则所得字母串恰为单词opinion的概率为　 　.
14．（2025高二下·江门期中）《九章算术 商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵中，，，则堑堵体积的最大值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·江门期中）已知函数.
（1）求；
（2）若函数，求曲线在点处的切线方程.
16．（2025高二下·江门期中）已知数列的前n项和为，且.
（1）求；
（2）求的通项公式，并证明为等差数列；
（3）若，求.
17．（2025高二下·江门期中）已知12名运动员中有5人只擅长篮球，4人只擅长足球，另外3人篮球与足球都擅长.
（1）若从这12名运动员中选派2人，求这2人都擅长足球的选派方法种数；
（2）若让这12名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数；
（3）从这12名运动员中选派4人参加某项活动，要求这4人有2人擅长篮球，有2人擅长足球，求满足条件的选派方法种数.
18．（2025高二下·江门期中）已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）讨论的单调性；
（3）若在上有个零点，求的取值范围.
19．（2025高二下·江门期中）已知曲线，直线.
（1）若，判断直线与曲线公共点的个数；
（2）已知直线与曲线相交于两点.
①求的取值范围；
②证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：根据分类加法计数原理可知：小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有种.
故答案为：C.
【分析】根据分类加法计数原理求解即可.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，得，
则，
要使函数有意义，
则，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数的单调性得出集合A，再利用对数型函数的定义域得出集合，再结合交集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：从小到大排序：1.1 1.2 1.2 1.3 1.3 1.4 1.6，
则，
所以，第60百分位数为第五个数1.3.
故答案为：B.
【分析】先排序，再利用百分位数的计算公式，从而得出这组数据的分位数.
4．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，
又因为函数有极值，
所以存在变号零点，
可得：，
解得：或，
所以a的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】由导数求极值的方法，从而得出导函数存在变号零点，再利用判别式法，从而得出实数a的取值范围.
5．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：4位任课老师站在一起的排法种数为，
将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数有，
再根据分步乘法计数原理可得排列种数为.
故选：A.
【分析】用捆绑法将4位任课教师作为一个整体即可，再根据分步乘法计数原理计算可得排列数.
6．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数极限
【解析】【解答】解：不妨设在区间（，可为，也可为）内的图象，
由的图象可知，当或时，；当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，故排除C、D；
因为在上单调递减，
则在上切线的斜率逐渐减小，
由的图象可知当时趋近于一个常数（正数），
所以的切线斜率不趋近于，故排除A.
故答案为：B.
【分析】由函数的图象判断出函数的单调性，则排除选项C和选项D；由导数的几何意义得出切线的斜率，再利用函数求极限的方法，则排除出选项A，从而找出函数在该区间的图象.
7．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为圆，
所以，
则圆心为，半径，
又因为结合，
解得（负值舍去），
在中，由正弦定理，得，
所以.
故答案为：C.
【分析】先将圆的一般方程化为圆的标准式，从而得到圆的半径，再由已知条件和同角三角函数的基本关系，从而求出满足要求的的值，再由正弦定理得出AC的长.
8．【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为函数为奇函数，
所以，
则，
所以关于对称，
又因为，所以，
则，
因为，
所以，
则，
所以，
因为的图象关于点对称，
所以，
则，
所以，
则，
所以，
则，
所以是以为周期的周期函数，
则，
又因为，
所以，
则，
所以曲线在点处的切线斜率为.
故答案为：D.
【分析】依题意结合奇函数图象的对称性，从而得出的值，再利用函数图象的对称性和周期性以及导数的几何意义，从而得出曲线在点处的切线斜率.
9．【答案】A,B
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：，
A、，故A正确；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、z在复平面内对应的点，第四象限，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】先利用复数代数形式的乘法运算化简求得，再根据共轭复数的概念求解即可判断A；求复数的模即可判断B；根据复数的概念即可判断C；根据复数在复平面内的表示求解即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的定义；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由，
得或，
则曲线由双曲线与双曲线组成.
对于A，因为双曲线与双曲线的实轴长都为4，虚轴长不等，故A错误；
对于B，因为点是双曲线的两个焦点，
所以，存在无数个点，使得，故B正确；
对于C，因为点是双曲线的两个焦点，
所以，存在无数个点，使得，故C正确；
对于D，由，
得点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，
由图知，该椭圆与曲线共有8个交点，
因此存在8个点，使得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件和椭圆、双曲线的定义以及椭圆的性质、双曲线的性质，从而逐项判断找出正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，令函数，求导得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此有唯一解，故A错误；
对于B，将10个相同小球排成一列，用5块隔板将10个小球分成5部分，
每种分法的5个结果为一组正整数解，共有，故B正确；
对于C，因为函数定义域为，
求导得，
令函数，
因为函数在上单调递增，，，
则存在唯一实数，使得，
所以，
当时，，则；当时，，则，
所以，函数在上单调递减，在单调递增，
则，
因此方程有唯一实数解，故C正确；
对于D，将原方程化为，
将16个相同小球排成一列，用5块隔板将16个小球分成5部分，
则每种分法的5个结果对应一组非负整数解，共有，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先构造函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再利用方程求解方法，则判断出选项A；利用已知条件和组合数公式，则判断出选项B；利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，则判断出选项C；利用已知条件和组合数公式，则判断出选项D，从而找出判断正确的选项.
12．【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由已知条件结合法向量定义，可得：，
则直线与平面所成角的正弦值为：.
故答案为：.
【分析】由已知条件和法向量的定义以及数量积求向量夹角公式，从而由诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：把2个i看作不相同的i，2个n看作不相同的n，2个o看作不相同的o，
则7个不同字母全排列可得个字母串，其中字母串恰为单词opinion的有个，
所以，所得字母串恰为单词opinion的概率.
故答案为：.
【分析】利用排列数公式和古典概率公式，从而得出所得字母串恰为单词opinion的概率.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意，，
令，由，得，
则堑堵体积，
当且仅当，即时取等号，
故堑堵体积的最大值为.
故答案为：.
【分析】作出图形，令，由，得，再根据棱柱的体积公式，结合基本不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：因为函数，
求导得，
所以.
（2）解：因为函数，，
求导得，
则，
所以，曲线在点处的切线方程为.
【知识点】极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求出导函数，再利用导数的定义求出的值.
（2）先利用已知条件得出函数的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，再由点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
（1）函数，求导得，
所以.
（2）函数，，
求导得，则，
所以曲线在点处的切线方程为.
16．【答案】（1）解：令，
可得：，
则.
（2）解：由，
可得：，
两式相减，可得：，，
当时，不满足题意，
所以，数列的通项公式为，
令，所以，
由数列的通项公式，
可得：，
由数列通项公式，可知：，
所以，数列为等差数列.
（3）解：由（2）知，当时，
所以
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）令结合的关系式，从而得出的值.
（2）利用已知条件和的关系式，从而得出数列的通项公式，再由等差数列的定义，从而证出数列为等差数列.
（3）由（2）结合数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用裂项相消法，从而得出的值.
（1）令可得：，
即
（2）由，
可得：，
两式相减可得：，，
当时，不满足，
所以的通项公式为，
令，所以，
由的通项公式可得：，
由通项公式可知：。
所以为等差数列；
（3）由（2）知，当时，
，
所以
17．【答案】（1）解：设只擅长篮球的5人设为组，只擅长足球的4人设为组，
篮球与足球都擅长的3人设为组，
若选出的2人均来自组，有种方法；
若选出的2人均来自组，有种方法；
若选出的2人均1人来自组，1人来自组，有种方法，
则这2人都擅长足球的选派方法有种.
（2）解：将组的5人先全排列，有种方法，5人共形成6个空，
再将组的3人去插空，有种方法，
则共有种方法.
（3）解：若选出的4人中无组人员，
则选派方法有种；
若选出的4人中有1人来自组，并将其归为擅长篮球人员，
则再从组选出1人，组选出2人，共种方法；
若选出的4人中有1人来自组，并将其归为擅长足球人员，
则再从组选出2人，组选出1人，共种方法；
若选出的4人中有2人来自组，并将其归为擅长篮球人员，
则再从组选出2人，共种方法；
若选出的4人中有2人来自组，并将其归为擅长足球人员，
则再从组选出2人，共种方法；
若选出的4人中有2人来自组，
并将1人归为擅长篮球人员，1人归为擅长足球人员，
则再从组选出1人，再从组选出1人，共种方法；
若选出的4人中有3人来自组，
并将其中2人归为擅长篮球人员，将1人归为擅长足球人员，
再从组选出1人，共种方法，
若选出的4人中有3人来自组，
并将其中2人归为擅长足球人员，将1人归为擅长篮球人员，
则再从再从组选出1人，共种方法，
综上所述，满足条件的方法共种.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和组合数公式以及分类加法计数原理，从而得出这2人都擅长足球的选派方法种数.
（2）先全排列，再利用插空法结合排列数公式以及分步乘法计数原理，从而得出其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数.
（3）利用已知条件结合分类讨论的方法以及组合数公式和分类加法计数原理，从而得出满足条件的选派方法种数.
（1）设只擅长篮球的5人设为组，只擅长足球的4人设为组，
篮球与足球都擅长的3人设为组，
若选出的2人均来自组，有种方法，
若选出的2人均来自组，有种方法，
若选出的2人均1人来自组，1人来自组，有种方法，
故这2人都擅长足球的选派方法有种；
（2）将组的5人先全排列，有种方法，5人共形成6个空，
再将组的3人去插空，有种方法，
故共有种方法；
（3）若选出的4人中无组人员，
则选派方法有种，
若选出的4人中有1人来自组，并将其归为擅长篮球人员，
则再从组选出1人，组选出2人，共种方法，
若选出的4人中有1人来自组，并将其归为擅长足球人员，
则再从组选出2人，组选出1人，共种方法，
若选出的4人中有2人来自组，并将其归为擅长篮球人员，
则再从组选出2人，共种方法，
若选出的4人中有2人来自组，并将其归为擅长足球人员，
则再从组选出2人，共种方法，
若选出的4人中有2人来自组，并将1人归为擅长篮球人员，1人归为擅长足球人员，
则再从组选出1人，则再从组选出1人，
共种方法，
若选出的4人中有3人来自组，并将其中2人归为擅长篮球人员，将1人归为擅长足球人员，
再从组选出1人，共种方法，
若选出的4人中有3人来自组，并将其中2人归为擅长足球人员，将1人归为擅长篮球人员，
则再从再从组选出1人，共种方法，
综上，满足条件的方法共种.
18．【答案】（1）解： 依题意可得对恒成立，
即对恒成立，
所以，
所以的取值范围是.
（2）解：因为x+1>0，解得x>-1，所以函数的定义域为，
又，
当时，在上单调递增.
当时，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）解：由（2）知，当时，在上单调递增，
所以在上至多有个零点，所以，
当时，要使得在上有个零点，
则，即，
且，
设函数，所以，
所以在时，，所以单调递增，
在时，，所以单调递减，
所以.
由，解得.
所以的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）由在上单调递增，可得对恒成立，转化为对恒成立，解不等式即可求得的取值范围；
（2）先求得函数的定义域，进而对函数求导可得，分和分析导函数的正负即可求得函数 的单调性；
（3）由（2）中单调性结合零点存在定理可知，要使得在上有个零点，需满足且，构造函数，结合导数求得其最大值可得恒成立，所以只需满足，进而解不等式组即可求得a的取值范围.
（1）依题意得对恒成立，
即对恒成立，
所以，即的取值范围是.
（2）由题知，的定义域为，
又，
当时，在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，在上单调递增，
则在上至多有个零点，则不符合题意.
当时，要使得在上有个零点，
则，即，
且，
设函数，
则，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以.
由，得.
即的取值范围为.
19．【答案】（1）解：当，函数，求导可得，
令，得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
则，从而直线与曲线的公共点个数为1；
（2）①解：令，则，
由，得，当时，单调递减，当时，单调递增，
则，且当时，，当时，，
因为直线与曲线相交于两点，所以，得，故的取值范围为；
②证明：由题可知是的零点.不妨设，则，
从而要证，只需证，
即证.由（1）可知在上单调递减，
则需证，
因为，所以需证，即证，
令，则，
因为，当且仅当时，等号成立，所以在上恒成立，
则在上单调递增，则，
从而，证毕.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）将代入，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，求最值，从而判断直线与曲线公共点的个数；
（2）①、构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，根据导函数正负得出函数单调性及最值即可得m的取值范围；
②、构造，利用函数的单调性，结合基本不等式计算证明即可.
（1）令，则.
由，得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
则，从而直线与曲线的公共点个数为1.
（2）①解：令，则.
由，得，当时，单调递减，当时，单调递增，
则，且当时，，当时，.
因为直线与曲线相交于两点，所以，
得，故的取值范围为.
②证明：由题可知是的零点.不妨设，则，
从而要证，只需证，
即证.由（1）可知在上单调递减，
则需证.
因为，所以需证，即证.
令，则.
因为，当且仅当时，等号成立，所以在上恒成立，
则在上单调递增，则，
从而，证毕.
1 / 1广东省江门市广雅中学等校2024-2025学年高二下学期4月期中检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·江门期中）某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有（　　）
A．2种 B．10种 C．12种 D．20种
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：根据分类加法计数原理可知：小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有种.
故答案为：C.
【分析】根据分类加法计数原理求解即可.
2．（2025高二下·江门期中）设集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，得，
则，
要使函数有意义，
则，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数的单调性得出集合A，再利用对数型函数的定义域得出集合，再结合交集的运算法则，从而得出集合.
3．（2025高二下·江门期中）现有一组数据1.3，1.2，1.2，1.4，1.6，1.3，1.1，则这组数据的分位数为（　　）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.6
【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：从小到大排序：1.1 1.2 1.2 1.3 1.3 1.4 1.6，
则，
所以，第60百分位数为第五个数1.3.
故答案为：B.
【分析】先排序，再利用百分位数的计算公式，从而得出这组数据的分位数.
4．（2025高二下·江门期中）若函数有极值，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，
又因为函数有极值，
所以存在变号零点，
可得：，
解得：或，
所以a的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】由导数求极值的方法，从而得出导函数存在变号零点，再利用判别式法，从而得出实数a的取值范围.
5．（2025高二下·江门期中）某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：4位任课老师站在一起的排法种数为，
将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数有，
再根据分步乘法计数原理可得排列种数为.
故选：A.
【分析】用捆绑法将4位任课教师作为一个整体即可，再根据分步乘法计数原理计算可得排列数.
6．（2025高二下·江门期中）已知下列四个图象之一是函数在某区间的图象，且的导函数在该区间的图象如图所示，则在该区间的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数极限
【解析】【解答】解：不妨设在区间（，可为，也可为）内的图象，
由的图象可知，当或时，；当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，故排除C、D；
因为在上单调递减，
则在上切线的斜率逐渐减小，
由的图象可知当时趋近于一个常数（正数），
所以的切线斜率不趋近于，故排除A.
故答案为：B.
【分析】由函数的图象判断出函数的单调性，则排除选项C和选项D；由导数的几何意义得出切线的斜率，再利用函数求极限的方法，则排除出选项A，从而找出函数在该区间的图象.
7．（2025高二下·江门期中）若，，是圆上不同的三点，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为圆，
所以，
则圆心为，半径，
又因为结合，
解得（负值舍去），
在中，由正弦定理，得，
所以.
故答案为：C.
【分析】先将圆的一般方程化为圆的标准式，从而得到圆的半径，再由已知条件和同角三角函数的基本关系，从而求出满足要求的的值，再由正弦定理得出AC的长.
8．（2025高二下·江门期中）已知定义在上的函数为奇函数，且的导函数的图象关于点对称，，且，则曲线在点处的切线斜率为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为函数为奇函数，
所以，
则，
所以关于对称，
又因为，所以，
则，
因为，
所以，
则，
所以，
因为的图象关于点对称，
所以，
则，
所以，
则，
所以，
则，
所以是以为周期的周期函数，
则，
又因为，
所以，
则，
所以曲线在点处的切线斜率为.
故答案为：D.
【分析】依题意结合奇函数图象的对称性，从而得出的值，再利用函数图象的对称性和周期性以及导数的几何意义，从而得出曲线在点处的切线斜率.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·江门期中）已知复数，则（　　）
A．
B．
C．为纯虚数
D．z在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】A,B
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：，
A、，故A正确；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、z在复平面内对应的点，第四象限，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】先利用复数代数形式的乘法运算化简求得，再根据共轭复数的概念求解即可判断A；求复数的模即可判断B；根据复数的概念即可判断C；根据复数在复平面内的表示求解即可判断D.
10．（2025高二下·江门期中）已知点，点在曲线上，则（　　）
A．曲线由虚轴长相等的两条双曲线组成
B．存在无数个点，使得
C．存在无数个点，使得
D．存在8个点，使得
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的定义；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由，
得或，
则曲线由双曲线与双曲线组成.
对于A，因为双曲线与双曲线的实轴长都为4，虚轴长不等，故A错误；
对于B，因为点是双曲线的两个焦点，
所以，存在无数个点，使得，故B正确；
对于C，因为点是双曲线的两个焦点，
所以，存在无数个点，使得，故C正确；
对于D，由，
得点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，
由图知，该椭圆与曲线共有8个交点，
因此存在8个点，使得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件和椭圆、双曲线的定义以及椭圆的性质、双曲线的性质，从而逐项判断找出正确的选项.
11．（2025高二下·江门期中）下列判断正确的是（　　）
A．方程有两个不同的实数解
B．方程的正整数解共有126组
C．方程有唯一实数解
D．方程的非负整数解共有3003组
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，令函数，求导得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此有唯一解，故A错误；
对于B，将10个相同小球排成一列，用5块隔板将10个小球分成5部分，
每种分法的5个结果为一组正整数解，共有，故B正确；
对于C，因为函数定义域为，
求导得，
令函数，
因为函数在上单调递增，，，
则存在唯一实数，使得，
所以，
当时，，则；当时，，则，
所以，函数在上单调递减，在单调递增，
则，
因此方程有唯一实数解，故C正确；
对于D，将原方程化为，
将16个相同小球排成一列，用5块隔板将16个小球分成5部分，
则每种分法的5个结果对应一组非负整数解，共有，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先构造函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再利用方程求解方法，则判断出选项A；利用已知条件和组合数公式，则判断出选项B；利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，则判断出选项C；利用已知条件和组合数公式，则判断出选项D，从而找出判断正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·江门期中）若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为　 　.
【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由已知条件结合法向量定义，可得：，
则直线与平面所成角的正弦值为：.
故答案为：.
【分析】由已知条件和法向量的定义以及数量积求向量夹角公式，从而由诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值.
13．（2025高二下·江门期中）将2个i，2个n，2个o与1个p随机排成一排，得到一个字母串，则所得字母串恰为单词opinion的概率为　 　.
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：把2个i看作不相同的i，2个n看作不相同的n，2个o看作不相同的o，
则7个不同字母全排列可得个字母串，其中字母串恰为单词opinion的有个，
所以，所得字母串恰为单词opinion的概率.
故答案为：.
【分析】利用排列数公式和古典概率公式，从而得出所得字母串恰为单词opinion的概率.
14．（2025高二下·江门期中）《九章算术 商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵中，，，则堑堵体积的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意，，
令，由，得，
则堑堵体积，
当且仅当，即时取等号，
故堑堵体积的最大值为.
故答案为：.
【分析】作出图形，令，由，得，再根据棱柱的体积公式，结合基本不等式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·江门期中）已知函数.
（1）求；
（2）若函数，求曲线在点处的切线方程.
【答案】（1）解：因为函数，
求导得，
所以.
（2）解：因为函数，，
求导得，
则，
所以，曲线在点处的切线方程为.
【知识点】极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求出导函数，再利用导数的定义求出的值.
（2）先利用已知条件得出函数的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，再由点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
（1）函数，求导得，
所以.
（2）函数，，
求导得，则，
所以曲线在点处的切线方程为.
16．（2025高二下·江门期中）已知数列的前n项和为，且.
（1）求；
（2）求的通项公式，并证明为等差数列；
（3）若，求.
【答案】（1）解：令，
可得：，
则.
（2）解：由，
可得：，
两式相减，可得：，，
当时，不满足题意，
所以，数列的通项公式为，
令，所以，
由数列的通项公式，
可得：，
由数列通项公式，可知：，
所以，数列为等差数列.
（3）解：由（2）知，当时，
所以
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）令结合的关系式，从而得出的值.
（2）利用已知条件和的关系式，从而得出数列的通项公式，再由等差数列的定义，从而证出数列为等差数列.
（3）由（2）结合数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用裂项相消法，从而得出的值.
（1）令可得：，
即
（2）由，
可得：，
两式相减可得：，，
当时，不满足，
所以的通项公式为，
令，所以，
由的通项公式可得：，
由通项公式可知：。
所以为等差数列；
（3）由（2）知，当时，
，
所以
17．（2025高二下·江门期中）已知12名运动员中有5人只擅长篮球，4人只擅长足球，另外3人篮球与足球都擅长.
（1）若从这12名运动员中选派2人，求这2人都擅长足球的选派方法种数；
（2）若让这12名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数；
（3）从这12名运动员中选派4人参加某项活动，要求这4人有2人擅长篮球，有2人擅长足球，求满足条件的选派方法种数.
【答案】（1）解：设只擅长篮球的5人设为组，只擅长足球的4人设为组，
篮球与足球都擅长的3人设为组，
若选出的2人均来自组，有种方法；
若选出的2人均来自组，有种方法；
若选出的2人均1人来自组，1人来自组，有种方法，
则这2人都擅长足球的选派方法有种.
（2）解：将组的5人先全排列，有种方法，5人共形成6个空，
再将组的3人去插空，有种方法，
则共有种方法.
（3）解：若选出的4人中无组人员，
则选派方法有种；
若选出的4人中有1人来自组，并将其归为擅长篮球人员，
则再从组选出1人，组选出2人，共种方法；
若选出的4人中有1人来自组，并将其归为擅长足球人员，
则再从组选出2人，组选出1人，共种方法；
若选出的4人中有2人来自组，并将其归为擅长篮球人员，
则再从组选出2人，共种方法；
若选出的4人中有2人来自组，并将其归为擅长足球人员，
则再从组选出2人，共种方法；
若选出的4人中有2人来自组，
并将1人归为擅长篮球人员，1人归为擅长足球人员，
则再从组选出1人，再从组选出1人，共种方法；
若选出的4人中有3人来自组，
并将其中2人归为擅长篮球人员，将1人归为擅长足球人员，
再从组选出1人，共种方法，
若选出的4人中有3人来自组，
并将其中2人归为擅长足球人员，将1人归为擅长篮球人员，
则再从再从组选出1人，共种方法，
综上所述，满足条件的方法共种.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和组合数公式以及分类加法计数原理，从而得出这2人都擅长足球的选派方法种数.
（2）先全排列，再利用插空法结合排列数公式以及分步乘法计数原理，从而得出其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数.
（3）利用已知条件结合分类讨论的方法以及组合数公式和分类加法计数原理，从而得出满足条件的选派方法种数.
（1）设只擅长篮球的5人设为组，只擅长足球的4人设为组，
篮球与足球都擅长的3人设为组，
若选出的2人均来自组，有种方法，
若选出的2人均来自组，有种方法，
若选出的2人均1人来自组，1人来自组，有种方法，
故这2人都擅长足球的选派方法有种；
（2）将组的5人先全排列，有种方法，5人共形成6个空，
再将组的3人去插空，有种方法，
故共有种方法；
（3）若选出的4人中无组人员，
则选派方法有种，
若选出的4人中有1人来自组，并将其归为擅长篮球人员，
则再从组选出1人，组选出2人，共种方法，
若选出的4人中有1人来自组，并将其归为擅长足球人员，
则再从组选出2人，组选出1人，共种方法，
若选出的4人中有2人来自组，并将其归为擅长篮球人员，
则再从组选出2人，共种方法，
若选出的4人中有2人来自组，并将其归为擅长足球人员，
则再从组选出2人，共种方法，
若选出的4人中有2人来自组，并将1人归为擅长篮球人员，1人归为擅长足球人员，
则再从组选出1人，则再从组选出1人，
共种方法，
若选出的4人中有3人来自组，并将其中2人归为擅长篮球人员，将1人归为擅长足球人员，
再从组选出1人，共种方法，
若选出的4人中有3人来自组，并将其中2人归为擅长足球人员，将1人归为擅长篮球人员，
则再从再从组选出1人，共种方法，
综上，满足条件的方法共种.
18．（2025高二下·江门期中）已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）讨论的单调性；
（3）若在上有个零点，求的取值范围.
【答案】（1）解： 依题意可得对恒成立，
即对恒成立，
所以，
所以的取值范围是.
（2）解：因为x+1>0，解得x>-1，所以函数的定义域为，
又，
当时，在上单调递增.
当时，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）解：由（2）知，当时，在上单调递增，
所以在上至多有个零点，所以，
当时，要使得在上有个零点，
则，即，
且，
设函数，所以，
所以在时，，所以单调递增，
在时，，所以单调递减，
所以.
由，解得.
所以的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）由在上单调递增，可得对恒成立，转化为对恒成立，解不等式即可求得的取值范围；
（2）先求得函数的定义域，进而对函数求导可得，分和分析导函数的正负即可求得函数 的单调性；
（3）由（2）中单调性结合零点存在定理可知，要使得在上有个零点，需满足且，构造函数，结合导数求得其最大值可得恒成立，所以只需满足，进而解不等式组即可求得a的取值范围.
（1）依题意得对恒成立，
即对恒成立，
所以，即的取值范围是.
（2）由题知，的定义域为，
又，
当时，在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，在上单调递增，
则在上至多有个零点，则不符合题意.
当时，要使得在上有个零点，
则，即，
且，
设函数，
则，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以.
由，得.
即的取值范围为.
19．（2025高二下·江门期中）已知曲线，直线.
（1）若，判断直线与曲线公共点的个数；
（2）已知直线与曲线相交于两点.
①求的取值范围；
②证明：.
【答案】（1）解：当，函数，求导可得，
令，得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
则，从而直线与曲线的公共点个数为1；
（2）①解：令，则，
由，得，当时，单调递减，当时，单调递增，
则，且当时，，当时，，
因为直线与曲线相交于两点，所以，得，故的取值范围为；
②证明：由题可知是的零点.不妨设，则，
从而要证，只需证，
即证.由（1）可知在上单调递减，
则需证，
因为，所以需证，即证，
令，则，
因为，当且仅当时，等号成立，所以在上恒成立，
则在上单调递增，则，
从而，证毕.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）将代入，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，求最值，从而判断直线与曲线公共点的个数；
（2）①、构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，根据导函数正负得出函数单调性及最值即可得m的取值范围；
②、构造，利用函数的单调性，结合基本不等式计算证明即可.
（1）令，则.
由，得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
则，从而直线与曲线的公共点个数为1.
（2）①解：令，则.
由，得，当时，单调递减，当时，单调递增，
则，且当时，，当时，.
因为直线与曲线相交于两点，所以，
得，故的取值范围为.
②证明：由题可知是的零点.不妨设，则，
从而要证，只需证，
即证.由（1）可知在上单调递减，
则需证.
因为，所以需证，即证.
令，则.
因为，当且仅当时，等号成立，所以在上恒成立，
则在上单调递增，则，
从而，证毕.
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