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广西南宁市第三中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试题
一、单选题
1．复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．记，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知中，角的对边分别是，若，则是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
6．在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的部分图像如图所示，，则（ ）

A．0 B． C． D．
8．已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，则（ ）
A．4为函数的一个周期
B．的图象关于对称
C．在上单调递增
D．
11．已知三个内角、、的对边分别是、、，若，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．若点在边上，为角平分线且长度为，则
C．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为
D．若是的外心，，则
三、填空题
12．函数的图象恒过定点_____.
13．在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排点和最后一排点的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为____________米．

14．在以为圆心，半径为的中，有一个内接锐角三角形，其中，的角平分线交于点，则的取值范围是________.
四、解答题
15．（1）已知平面向量，，若与平行，求实数的值；
（2）已知平面向量，的夹角为120°，且，，若与垂直，求实数的值.
16．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求周长的范围.
17．已知为坐标原点，点，，记函数，函数的对称中心到相邻对称轴的距离为.
(1)求的解析式及函数的单调递增区间；
(2)将函数图像上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，就可得到的图像，当，求函数的值域.
18．如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为．
(1)在斜坐标系中，，求；
(2)在斜坐标系中，，，且与的夹角．
①求；
②，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值．
19．记锐角的内角，，的对边分别为，，.
(1)若，证明：.
(2)当，时，求面积的最大值.
(3)当角，，满足，其中符号表示不大于的最大整数，若，试探讨是否为定值 请说明理由.
参考答案
1．C
【详解】复数的虚部为.
故选：C.
2．D
【详解】由，可得，
所以.
故选：D.
3．A
【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：.
故选：A.
4．D
【详解】因为，
，
.
故.
故选：D
5．B
【详解】由，
结合正弦定理可得，所以，
又因为是的内角，故，
所以是等边三角形.
故选：B.
6．D
【详解】在中，，，，又满足条件的有2个，
则，即，解得，所以的取值范围是.
故选：D.
7．C
【详解】由图像可知，，由可得，
且，所以，解得，所以，
由可得，，
所以，即，
即，且，当时，，
所以，则.
故选：C
8．A
【详解】画出函数的图像如图所示，
函数有6个零点，
等价于有6个解，
即或共有6个解，
等价于的图像与直线和直线，共有6个交点，
由图得的图像与直线有4个交点，
所以的图像与直线有2个交点，
所以或，解得或，
即实数的取值范围是.
故选：A.
9．ACD
【详解】对于A选项，若，则，故A对；
对于B选项，不妨取，则，但不是实数，故B错；
对于C选项，若，则，可得或，故C对；
对于D选项，若，则，故D对．
10．ABD
【详解】对于A，因为函数为偶函数，所以，
即的图像关于直线对称，因为为奇函数，所以，
则，
所以， 所以是周期为4的周期函数，故A正确；
因为关于直线对称，根据A可知是周期为4的周期函数，
所以关于直线对称，故B正确；
又因为是定义在上的奇函数，所以，
因为当时，，所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，又是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增，所以在上单调递增，
又关于直线对称，所以函数在上单调递减，
又因为是周期为4的周期函数，
所以在上的单调性相当于在上的单调性，故此时递减，故C错误；
当时，，所以，，
，所以，，，
所以，
所以
，故D正确.
故选：ABD.
11．BCD
【详解】对于A选项，因为，
由正弦定理可得，
整理可得，
由与余弦定理可得，所以，
因为，故，A错；
对于B选项，因为点在边上，为角平分线且长度为，所以，
由，即，
因为，所以，故，B对；
对于C选项，因为，则，即，
所以，
即，即，
当且仅当，即当时，等号成立，
所以，，
故面积的最大值为，C对；
对于D选项，因为，所以，
可知点在优弧上（端点除外），
由题意得，则，
又因为，
且，所以可得，
即，又因为，所以，
解得，当且仅当时，等号成立，
所以可得，故D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】令，解得，
则，所以函数的图象恒过定点.
故答案为：.
13．27
【详解】由图可得，
在中，由正弦定理可得，
即，
在中，，可得米.
故答案为：.
14．
【详解】，设，，，则，则，
再由角平分线定理，，则由定比分点性质，，
又为三角形的外心，所以：；
则三角形的面积，其中为三角形的边上的高，
由题意，当在的垂直平分线上时，此时取得最大值，为圆心到的距离加上半径即，
且三角形为锐角三角形，不能使或为直角或钝角，时，为直径，此时取得最小值，为圆心到的距离的二倍，即，
故的取值范围为，则.
15．【小问1】
【详解】（1），，
∵与平行，∴，
解得：.
（2），
∵与垂直，∴，
∴，得，解得.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
在中，，代入得：
得到，即
又，且，所以，又因为，可得.
（2）设外接圆半径为，则，
周长
而
代入化简得：
利用辅助角公式可得：
因为是锐角三角形，且，所以，
则，则，
所以周长
即：周长的取值范围为.
17．(1)，
(2)
【详解】（1）由题意得： ，
因为函数的对称中心到相邻对称轴的距离为，所以函数的周期为，
即，所以，
当时，解得，
即的单调递增区间是；
（2）若将函数图像上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，则，
再向右平移个单位，就可得到的图像，即，
当时，，所以，
即，
故函数的值域为.
18．(1)
(2)①；②
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以．
（2）①因为，，
所以，，
，
则，
化简并整理得，
解得或（舍去，因为），
则．
②依题意设，，，
因为为中点，则，
同理，
则
，
在中，，，，，
依据余弦定理得，
整理得，
所以
在中，，，
由正弦定理，
设，则，，
，
因为，所以，则，
所以当时，取得最小值，即取最小值，
此时取最小值．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)是，，理由见解析
【详解】（1）由题意可知，，，则，
因为在上单调递增，所以，
所以.
（2）在锐角中，由，
得.
因为，可得，
得，又，所以；
由余弦定理有，即：，
当且仅当时取等，此时，
所以.
即该三角形的面积的最大值为.
（3）由（2）知.
记，，，由条件得，
因为，所以，
所以，所以，，必为整数.
由，得，所以，
又，所以，，
又，
所以，，
化简得，即：，
所以，得，
又因为，，均为整数，所以或，
因为，且，，所以，
所以，即，，，
所以.

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