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射洪中学高 2025 级高一下期强实班第一次综合素质测评
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第 I卷 选择题（共 58分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．“ ”是“向量 ， ，则 ”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
3.△ABC中， , ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是（ ）
A.棱台的侧面都是等腰梯形
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D.以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
5. 已知向量 ， 满足 ， ， ， 夹角为 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
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6. 如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度 ，选取了与O在同一水
平面且在同一水平线上的 A，B，C三处．已知在 A，B，C处测得该建筑顶部
P的仰角分别为 ， ， ， ，则该建筑的高度 （ ）
A. B.
C. D.
7. 已知 是△ABC内一点，且 ，点 在 内（不含边界），若
，则 的值可能为（ ）
A． B．1 C． D．
8．已知△ABC是边长为 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分，有选错的得 0分．
9. 已知 是虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A.
B. 若 ，则
C. 若复数 满足 ，则
D. 已知复数 满足 ，则
10.已知△ABC的内角 的对边分别是 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若△ABC是锐角三角形，则
D． ，则△ABC为等腰三角形
11. 已知平面向量 满足 则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 若 则 的最大值为
C. 若向量 满足 则 的最大值是
高一强实班数学 第 2 页 共 5 页
D. 若向量 满足 ，则 的最小值是 2
第 II卷 非选择题（共 92分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知侧棱长为 的正三棱锥 如图所示，其侧面是顶角为 的等腰三角形，一只蚂
蚁从点 出发，围绕棱锥侧面爬行一周后又回到点 ，则蚂蚁爬行的最短路程为_______．
（12题图） （13题图）
13. 如图所示，在△ABC中， ，且 点为 边的中点且 ，则 的最大
值为 .
14. O为△ABC的外心，若 ，则实数 m的最大值
为________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题 13分) 复数 ， ， ．已知 为纯虚数．
(1)求 m和 ；
(2)复数 是方程 的一个根，求实数 p，q的值．
▲
16.（本小题 15分）已知菱形 的边长为 2， 为对角线 （异于 ， ）上一点．
（1）如图 1，若 ， ，设 ， ．试用基底 表示 ，并
求 ；
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（2）如图 2，若 ，点 在边 ， 上的射影分别为 ， ，求 与 的
夹角．
▲
17.（本小题 15分）在 中， ，点 D在边 上， ，且 .
（1）若 的面积为 ，求 ；
（2）设 ，若 ，求
▲
18. （本小题 17分）在① ，②
，③ ，三个条件中任选一个补充在下面的横
线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.）
已知△ABC的面积为 S，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且选条件：________.
（1）求角 A的大小；
（2）若 ，求△ABC周长的取值范围
（3）若△ABC为锐角三角形，作 （A，D位于直线BC异侧），使得四边形ABDC
满足 ， ，求 AC的最大值.
▲
19.（本小题 17分）我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定
的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，
这三个等边三角形的外接圆交于一点 ，该点 即称为托里拆利点（以下简称“ 点”）.通过研
究发现三角形中的“ 点”满足到三角形三个顶点的距离和 最小.当 的三个
内角均小于 时, 使得 的点 即为“ 点”； 当 有一个
内角大于或等于 时，最大内角的顶点为“ 点”.试用以上知识解决下面问题: 已知 的内
角 所对的边分别为 .
(1)若 ，则
①求 ；
②若 ，设点 为 的“ 点”, 求 ；
(2)若 ，设 点为 的“ 点”， ，求实数 的最小值.
▲
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高一强实班数学 第 5 页 共 5 页高 2025级强实班高一下期第一次综合素质测评
数学参考答案
1-8. BADC CBAB 9.AB 10.AC 11.ACD
11.选项 A，因为 ，所以 ， ，
，
所以 时， 取得最小值 ，A正确；
选项 B， ，
，当且仅当 等号成立，B错；
选项 CD， ，
， ，又 ，所以 ，
作 ， ， ， ，以 为圆心， 为半径作圆，如图，当
是圆 的优弧 上点时，即 时，满足 ，
再作 点关于直线 的对称点 ，以 为圆心， 为半径作圆，
当 是圆 的优弧 上点时，即 时，也满足 ，
当 不是这两段优弧上的点时，都不满足 ，即不满足 ，
是等边三角形，因此 ，两圆半径都是 2，
由图可知 即 的最小值是 2，最大值是 ，CD都正确，
15.（1）由 ，且 为纯虚数，则 ，解得 ，
所以 ，故 ......................6分
（2）由 ，则
整理可得 ，可得 ，解得 ....................................13分
16.（Ⅰ）由 可知， ，从而
，..................3分
因为 ，所以 ，
因为 ， ，解得 ，.........5分
所以 ．...................7分
（Ⅱ）因为 ，所以 ，以 为原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，
建立平面直角坐标系，由 为 （异于 ， ）上一点，从而设 ，则 ，
，所以 ， ，因此
，因此， 与 的夹角为
................................................................................................15分
17.解法一：（1）因为 ，即 ， ， ，所以 .
在 中，由余弦定理得，
即 ，解得 .......................................................7分
（2）在 中， ，因为 ，则 ，
又 ，有 ， 所以 . 中， ，
，
由正弦定理得， ，即 ，得 .....12分
因为 ，所以 ， ，
所以 或 ，解得 或 ...............................................15分
解法二：（2）证明：因为 ，所以 .取 中点 E，连结 ，所以
.设 ，因为 ，所以 .
在 中， . 以下同解法一.
18.（1） ...........................4分；
（2） ..........................10 分
（3）如图，设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 可得，
，在 中， ，
,
， 是锐角三角形，所以 所以
当 时，可得 的最大值是 ....................17分
19.(1) ①在 中，由正弦定理得 ，
，有
...........................................2 分
， ，又 .......4 分（不交代 扣 1 分）
②由①知 ，则 的三个角都小于 120°，
由“ 点”定义知： ，..................5 分
设 由 得
,整理得 ,......7 分
所以
..................9 分
(2) 法一：由 ，结合正弦定理
有 ， 均为三角形内角， （舍）
或 ，即 ， ......................12 分
由点 为 的“ 点”，得 ，
设 ,
由 , 得 , 由余弦定理得
,
,
,
相加得 ，得
，
整理得 ,........................................15 分
于是 ,当且仅当 ,即 时取等号.
又 因为 而 解得 ,所以实数 的最小值为 . .........
17 分
(3) 法二：建系：由 ，结合正弦定理
有 ， 均为三角形内角， （舍）
或 ，即 ， .....................12 分
由点 为 的“ 点”，得 ，
不妨设 , , ,则 ，
由 ，得 .......... .................15 分
有 ， ，当且仅当 等号成立
有 而 解得 ,所以实数 的最小值为 ....................................
17分

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