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绝密★启用前
2026年桐城市杨公中学高二年级第二学情 4月学科评价
数 学
本试卷满分 150分，考试时间 120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码
上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非
答题区域均无效.
3．选择题用 2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔在答题卡
上作答，字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5. 本卷测试范围： 选择性必修一、二和选择性必修三第 6章.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 已知等比数列 ， ， ，则
A. B. C. D.
2. 定义在 上的函数 ，若 ，则
A. B. C. D.
3. 已知 ， ， ，则
A. B. C. D.
4. 已知双曲线 ： 的渐近线方程为 ，则 的值为
A. B. C. D.
5. 在 的展开式中 的系数为
A. B. C. D.
数学试题第 1页（共 4页）
6. 从标有 ， ， ， ， 的五张卡片中随机选取 张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶
数，则这个数大于 的概率为
A. B. C. D.
7. 若经过点 的直线与曲线 相切，也与曲线 相切，则
A. B. C. D.
8. 记 为等差数列 的前 项和.若 ， ，设 ，关于 的值，
下列说法正确的是
A. 一定不大于 B. 可能大于 ，但一定不大于
C. 可能大于 D.当 时，
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则
A. B. C. D.当 或 时， 最大
10.已知函数 有两个零点 和 ，且 ，则下列说法正确的是
A. B.
C. D.有极大值点 ，且
11.定义曲线 为椭圆 的“倒椭圆”.已知椭圆 的方程为 ，其倒椭
圆 的方程为 ， 为坐标原点， 为曲线 上任意一点，则
A.椭圆 的离心率
B. 的最小值为
C.过点 作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 ， ，则直线 一定与椭圆 相切
D.椭圆 上至少存在四条切线与曲线 没有公共点
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
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12.设 为各项均为正数的等比数列 的前 项和，若 ，则 ____.
13.在长方体 中， ， ， 为线段 上一动点，则 的
最小值为____.
14.为了应对新能源汽车爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源部、电芯组、基建组三
个攻关小组.现安排甲、乙等 名工作人员到这三个小组做工作，且每个小组至少安排一人，
每人只能安排一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人
不能被安排到资源部，则不同的安排方案种数是____.（用数字作答）
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）有标号 ， ， ， ， ， 的六个小球和标有 ， ， ， 的四个盒子.（结果均
用数据表示）
(1)若将小球全部放入盒中，每盒中小球数量没有限制，有多少种放法？
(2)若每盒放入一球， 号球、 号球不能放入 盒和 盒，有多少种放法？
(3)若将小球全部放入盒中，恰有两个盒子为空且盒中球的数量不超过 个，有多少种放法？
16.（15分）如图， 和 都垂直于平面 ，且 ， ， 是 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值的最大值.
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17.（15分）已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为 ．过 的右焦点的直线交
于 ， 两点，过 的中心的直线交 于 ， 两点．
(1)求 的方程；
(2)若 ，求直线 的方程．
18.（17分）在数列 中，已知 ， .
(1)证明 是等差数列，并求出 的通项公式；
(2)若数列 满足 ， ，设数列 的前 项和为 .
①求 ，并证明 ；
②证明： .
19.（17分）已知函数 ，若 有三个实数根 ， ， ，且 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证：
① ；
② .
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