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江西吉安市五所重点县二中 2024-2025 学年下学期高一 5 月联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．为了得到函数 的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
2．函数 的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，在边长为 2的正方形 中， 分别为 的中点，则 （ ）
A． B．1
C． D．
5．如图所示，已知 ， ， 分别是 的边 ， ， 的中点，则下列等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 ，且 ，已知 的值域为 ，若 在区间 上
恰有 3个零点，则正实数 的一个可能取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点 是函数 图象的一个对称中心，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 在 上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的
得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
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9．下列命题不正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．若 与 共线， 与 共线，则 与 共线
C．若 ，则 D．若 与 都是单位向量，则
10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期是 B． 的图象关于 对称
C． 在区间 上单调递增 D．由函数 图象向右平移 个单位可得到函数 的图象
11．已知定义在 上的函数 （其中 ）在区间 上有且仅有 3个零点，且该
函数的图象关于点 中心对称，也关于直线 轴对称．现考虑函数 ，则函数
的零点可以是（ ）
A． B． C． D．
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知扇形的弧长为 ，面积为 ，则扇形的圆心角为________．
13．若函数 的部分图象如图所示，则关
于 的不等式 的解集为______.
14．如图,在 中, , , 与 相交于点 ,若 （ ）,则
__________.
四．解答题：本题共 5 小题，15 题 13 分，16、17 题各 15 分，18、19 题各 17 分，共 77 分，解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数 （其中 ， ）的最大值为 2，最小正周期为 .
(1)求函数的解析式；(2)求 的值；(3)求函数的单调递增区间.
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16．已知向量 ， .(1)若 ，求 ；
(2)若向量 ， ，求 与 夹角的余弦值.
17．已知 ．
(1)若 ，求 ；(2)若 的夹角为 ，求 .
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18．已知点 ， ， ， ．
(1)若 ， ，求 的值；(2)求 的最小值．
19．如图，设 ， 是平面内相交成 角的两条数轴， ， ， 分别是与 轴、 轴同方向
的单位向量.若向量 ，则把有序数对 叫做 在仿射坐标系 中的斜坐标.
(1)若 ， ， ，求 ；
(2)若 ， ， ，求 在 上的投影向量的斜坐标；
(3)若 ， ， ， ，求 的最大值.
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联考数学参考答案
一、单选题
1．C ， 将函数
的图象向右平移 个单位长度得 的图象.即 C对.故选 C.
2．A 的值域为 ， ；①当 时， ，即 ，
又 ， ， ， ， ，
，
又 在区间 上恰有 3个零点， ，解得 ；②当
时， ，即 ，又 ， ，
，
， ， ，又 在区间 上恰有 3个零点，
，解得 ；综上， 或 ．故选 A.
3．A 根据正切函数的对称中心公式可得： ，又因为 是对称中心，
所以 ，化简得： ；当 时， ，即 ；当
时， ，即 ；当 时， ，即 ；当 时，
,即 ,所以 时, ，因此 的最小值为 .故选 A.
4．C 令 ，解得 ，所以函数 的对称中
心为 当 时， ，即 是函数 的一个对
称中心.故选 C.
5．D 因为 ，所以 .故选 D.
6．D 以 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，则 ，则
，则
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.
7．D 因为 ， ， 分别是 的边 ， ， 的中点，所以 ∥ ，
，即 ∥ ，且 .所以四边形 是平行四边形由向量加法的三角
形法则可得， ， ；由向量加法的平行四边形法则可得，
， .所以 A，B，C正确；D错误.故选：D．
8．B 由题可知，向量 ， 满足 ， ， ，所以
，则 在 上的投影向量为
.故选 B.
二、多选题
9．ABD 对选项 A：单位向量的模都为 1，但方向不确定，所以单位向量都相等是错误的，
知 A错误；对选项 B：若 ， ， ，则 与 共线， 与 共线，但 与 不一定
共线，知B错误；对C：因为
，知 C正确；对 D：若 与 都是单位向量，则 ，只有当
时，才有 ，故 D错误；综上，故选 ABD.
10．ABC 对于选项 A， 的最小正周期 ，知 A正确;对于选项 B，对于
函数 ，令 ，解得 ， 当 时，
的图象关于 对称，知 B正确;对于选项 C，因为函数
，令 ，解得 ，
当 时， ，即 的单调递增区间为 ，又 区间
是 的子区间， 在区间 上单调递增，知 C正确；对于选项 D，函
数 图象向右平移 个单位，得到 ，
知 D错误;综上，故选 ABC.
11.BD 由 图象中心对称性可知 ，因此 ， ；由 图象轴
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对称性可知 ，因此 ， ；联立以上两式可得
．设函数的最小正周期为 T．由于在区间 上有且
仅有 3个零点，所以 且 ，因此 ，结合前面 的可能取值，可知
．
由 可知 ，但考虑到“ ”，所以 ．综上可知 ．经
检验，其在区间 上的所有零点为 ，符合题意．所以 ．
由于 等价于 ， ，即 ，所以 的零点为…，
，…．因此知仅 BD正确．故选 BD.
三、填空题
12． 设扇形的半径为 ，圆心角为 ，则 ，解得 ，所以扇形的圆
心角为 .故填 .
13． 由图象得 ， ，即 ，而 ，则
，
，又 ，则 ，解得 ，
函数 的最小正周期 ，由图象知 ，则 ，所以 ，
，
由 ，得 ，则 ，解得
，
即关于 的不等式 的解集为 .故填 .
14． 设 ， ，
则 ；
设 ， ，则
；又 不共线，故
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，解得 ，则 .故填 .
四、解答题
15．(1) ；(2)0；(3) ， .
解：（1）由题意得 ， ，解得 ，故解析式为 .
（2） .
（3）令 ， ，解得 ， ，
故函数的单调递增区间为 ， .
16．(1) ；(2) .
解:（1）已知 ， ，则 ，
又 ，所以 ，即 ，解得 .
所以 ，则 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，则 .
则 ， ， ，
设 与 夹角为 ，则 .
所以 与 夹角的余弦值为 .
17．(1) 或 ；(2) .
解:（1）若 ，则 与 的夹角为 0或 .
所以 或 .
（2）因为
，所以 .
18．(1) ；(2) .
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解:（1）因为 ， ，
，则 ， ，
由 ，可得 ，解得 .
（2）因为 ， ，则 ，所以 ，
则 ，所以当 时，
.
19．(1) ；(2) ；(3) ．
解:（1）由题意得， ，因为 ，则存在实数 使得 ，即
，因为 ， 不共线，所以 ，得 ．
（2）由题意得， ，且 ，
则 ，
，则 在 上的投影向量为
，故 在 上的投影向量的斜坐标为 ；
（3）由题意得， ，设 夹角为 ，则 ，
则 ，
，
，
，
则
因为 ，所以 ，得 ，则 ，则
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，因为 ，所以 ，则 ，当
时，可得 ；故 的最大值为 .
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