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河南周口市沈丘县第一高级中学2025-2026学年下学期高二3月份考试
数学试卷（A卷）
一、单选题
1．已知函数在处可导，若，则（ ）
A．4 B．6 C． D．
2．已知是数列的前项和，是等差数列，若，则（ ）
A．18 B．24 C．32 D．42
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．的值为（ ）
A． B． C． D．
5．《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（ ）
A．120种 B．240种
C．480种 D．600种
6．已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．记等差数列的公差为，前项和为，已知，．以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
10．已知函数，则（ ）
A．
B．当时，曲线在点处的切线方程为
C．当时，函数有最大值
D．当函数在区间上单调递减时，
11．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上不是增函数
B．若关于的方程有两个不相等的实根，，且，则
C．若（），且，则的最大值为
D．若，，不等式恒成立，则的取值范围为
三、填空题
12．若数列为等比数列，且，是方程的两个根，则_____.
13．若已知定义域为的函数在处的切线经过点，则函数在处的导数等于___________．
14．已知数列的前n项和为，，，则______．
四、解答题
15．已知函数在处取得极值.
(1)求函数的解析式及其单调递增区间；
(2)过点作曲线的切线，求此切线方程.
16．已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)记，求的前项和；
(3)记，求证：．
17．为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队.
(1)若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？
(2)学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？
(3)比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？
18．已知函数，其中a为常数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围；
(3)设，求证：当时，.
19．已知函数．
(1)讨论函数在区间内极值点的个数．
(2)设函数，若函数存在两个不同的零点，且．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．
参考答案
1．A
2．C
3．D
4．C
5．D
6．A
7．C
8．A
9．BC
10．AB
11．ACD
12．
13．0
14．2n
15.（1）在处取得极值，，
，，
，；
，
，即，即或，
在和上是单调递增函数；
（2）设切点为，，
则切线方程为，
切线过点，
，
，，
切点为，，
切线方程为，即.
16．（1）因为①，
所以②，
①-②得：，即，
又，所以．
所以是以1为首项，为公比的等比数列．
所以．
（2），
，
，
①-②得：
，
所以．
（3）因为，
所以．
.
17．（1）将校足球队的个名额分到7个班级，每个班级至少个名额，
问题等价于将个完全相同的小球分7组，每组至少一个小球，
由隔板法可知，不同的分配方法种数为．
（2）将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练，若其中一组人，另外两组每组人，
则不同的方法种数为种.
（3）将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排，
然后将、、、四人进行插空，
所以，不同的排法种数为种．
18．（1）当时，则的定义域为，且，
令，解得或；令，解得；
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）因为，
若，当趋近于时，趋近于，不合题意，所以，
因为，
且，则，，则，
可知在内单调递减，则，
可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
（3）令，
则，
因为，，则，，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，
因为，则，可得，
即，所以当时，.
19．（1）因为，所以．
若，当时，恒成立，
则函数在上单调递增，无极值点．
若，当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
故是函数的极小值点，且函数无极大值点．
综上可知，当时，函数在区间内极值点的个数为0；
当时，函数在区间内极值点的个数为1．
（2）（i）由题意知，
所以．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
因为函数存在两个不同的零点，所以，即，
所以实数a的取值范围为．
（ii）下面找两个点m，，使得，
注意到，且，于是考虑找点，
下面我们证明：．
①要证，即证，设，要证明，
即设，则，则
所以在上单调递增，得，
所以在上单调递增，
故，即
因此．
设，则，
所以在上单调递增，所以，
因此，又，故，即，
又，所以．．
②，
设，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，
所以，即．
因为，即，所以，且，
因此，
因为，所以，所以，
即得证．

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