资源简介

广东省深圳市南山区第二外国语学校2025年（集团）学府中学一模数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025·南山模拟）如图是一块雕刻印章的材料，它的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·南山模拟）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
3．（2025·南山模拟）某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是(　　)
A． B． C． D．
4．（2025·南山模拟）如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·南山模拟）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（　　）．
A． B． C． D．
6．（2025·南山模拟）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·南山模拟）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
8．（2025·南山模拟）2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，分别是上的点，相交于点是的中点，若，，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025·南山模拟）已知a是方程的一个根，则代数式的值为　 　．
10．（2025·南山模拟）已知反比例函数的图象经过点和，则　 　．
11．（2025·南山模拟）二次函数，当时，的最大值和最小值的和是　 　．
12．（2025·南山模拟）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走　 　米（结果保留根号）．
13．（2025·南山模拟）如图，是的边上的一点，，，．若，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025·南山模拟）（1）解方程：
（2）计算：
15．（2025·南山模拟）美育，又称美感教育，可以培养和提高人感受美、鉴赏美、表现美和创造美的能力，深入地影响人的情感、想象、思想、意志和性格，对于塑造美好心灵具有重要作用．实验中学为践行美育培养，组织学生开展中国名画鉴赏活动．通过投票，学校最终确定鉴赏下面四幅画：A．《清明上河图》，B．《千里江山图》，C．《百骏图》，D．《富春山居图》．活动开始时，老师将这四幅画的名称分别写在四张相同的卡片上，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上．
（1）小北从中随机抽取一张，他抽到的卡片是B．《千里江山图》的概率为　 　；
（2）小乐从这四张卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的名称后放回洗匀．小凯再从中随机抽取一张卡片，记录下卡片，上的名称请用画树状图或列表的方法，求小乐和小凯鉴赏同一幅画的概率．
16．（2025·南山模拟）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点．
（1）则　 　，　 　；
（2）该二次函数图象的顶点坐标为　 　；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；
（4）根据图象，当时，y的取值范围是　 　．
17．（2025·南山模拟）某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元. 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件.为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品.
（1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？
（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由.
18．（2025·南山模拟）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求线段的长．
19．（2025·南山模拟）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为．
说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：）
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔的高度．
20．（2025·南山模拟）【问题背景】：如图1，在矩形中，，点E是边的中点，过点E作交于点F．
【实验探究】：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现 ；将图1中的绕点B按逆时针方向旋转，连接，，如图2所示，发现 ；
（2）小亮同学继续将绕点B按逆时针方向旋转，连接，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【拓展延伸】：（3）在以上探究中，当旋转至D、E、F三点共线时，的长为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面观察题图，可以得到一个正方形和一个圆，且正方形的中心与圆心重合，正方形的边长大于圆的直径．
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程mx +2x+1=0有两个实数根，所以m≠0，△=2 +4m≥0，解得m≥-1且m≠0，故选D.
3．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口A离开的情况有1种，则P=．
故答案为：C．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得，
∴，
∴，即，
解得，
即河宽为，
故答案为：D．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出AD的长即可.
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得：，
在中，，，
，
这枚火箭此时的高度为，
故选：D．
【分析】由题意得：，进而解直角三角形即可得出，即这枚火箭此时的高度为，
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：，即，
故答案为：B．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意；
D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由题意设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】∵，，
∴正方形ABCD的边长为3．
在中，由勾股定理，得．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵N是DF的中点，即MN为的斜边DF上的中线，
∴．
故答案为：B．
【分析】首先可得出正方形的边长为AB=3，进而根据勾股定理可得出．再根据直角三角形斜边上的中线即可得出．
9．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程的一个根，
∴，即，
∴；
故答案为3．
【分析】首先根据方程的根的意义得出，再根据完全平方公式可得：，进而整体代入求值即可。
10．【答案】24
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数图象上点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：反比例函数的图象经过点和，
，
，，
．
故答案为：24．
【分析】首先根据反比例函数的图象经过点和，可得出，进而代入求值即可得出．
11．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是x＝1，
则当x＝1时，y＝1 2 3＝ 4，是最小值；
当x＝3时，y＝9 6 3＝0是最大值．
的最大值和最小值的和是-4
故答案为：-4．
【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质并结合求出对应的函数值y的取值范围，从而得解.
12．【答案】
【知识点】比例的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设至少向前走米，
依题意得，，
解得，．
即主持人站在最佳位置处时至少要走米，
故答案为：．
【分析】
设至少向前走米，由黄金比列出方程，再根据比例的性质计算即可解答．
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】解：（1），
∴，
∴，
则，
．
（2）解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；配方法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）采用了配方法求解一元二次方程：通过配方法将方程转化为完全平方形式，然后开平方求解；（2）解题时需要按照运算顺序逐步计算。特殊角的三角函数值计算；零指数幂的性质（任何非零数的0次幂等于1）；绝对值的性质；二次根式的化简与计算。
15．【答案】（1）
（2）解：（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小乐和小凯鉴赏同一幅画的结果有4种，
小乐和小凯鉴赏同一幅画的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中他抽到的卡片是．《千里江山图》的结果有1种，
他抽到的卡片是．《千里江山图》的概率为．
故答案为：；
【分析】（1）根据概率计算公式即可得出答案；
（2）画树状图可得出共有16种等可能的结果，其中小乐和小凯鉴赏同一幅画的结果有4种，进而利用概率公式可得出答案．
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中他抽到的卡片是．《千里江山图》的结果有1种，
他抽到的卡片是．《千里江山图》的概率为．
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小乐和小凯鉴赏同一幅画的结果有4种，
小乐和小凯鉴赏同一幅画的概率为．
16．【答案】（1）；
（2）
（3）解：二次函数图象如图所示，
（4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）解：将点和代入得，
，
解得．
故答案为：，；
（2）：由（1）知，抛物线的解析式为，
所以抛物线的顶点坐标为．
故答案为：；
（4）由函数图象可知，
因为，
当时，；当时，，
所以的取值范围是：．
故答案为：。
【分析】（1）将给定的两个点坐标和代入函数表达式进行计算求解；
（2）根据第（1）问求得的参数和的值，确定完整的函数表达式，进而解决相关问题；
（3）根据题目要求，绘制出对应的二次函数图象；
（4）运用数形结合的思想方法来分析和解决问题。
（1）解：将点和代入得，
，
解得．
故答案为：，；
（2）解：由（1）知，
抛物线的解析式为，
所以抛物线的顶点坐标为．
故答案为：；
（3）解：二次函数图象如图所示，
（4）解：由函数图象可知，
因为，
当时，；当时，，
所以的取值范围是：．
故答案为：．
17．【答案】（1）解：该批发商场决定降价x元销售该款商品，依题意得，
，
即
解得：，
答：当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元
（2）解：，
即
∵，原方程无解，
∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到50000元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）该批发商场决定降价x元销售该款商品，则每件的利润为(10-x)元，每天的销售量为(3000+1000x)，然后根据每件的利润×每天的销售量=总利润列出关于x的方程，求解即可；
（2）同理建立关于x的方程，求出判别式的值，判断出方程根的情况，据此解答.
18．【答案】（1）证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
又
∴四边形是平行四边形
又∵，
∴四边形是菱形.
（2）解：过P点作于M点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合AB=AF，即可证出四边形是菱形；
（2）过P点作于M点，先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质求出，，再利用线段的和差求出MD的长，最后利用勾股定理求出PD的长即可.
（1）证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
又
∴四边形是平行四边形
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：过P点作于M点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．【答案】（1）解：由题意可知：，
在中，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离问
（2）解：如图，延长交的延长线于点，
则四边形为矩形，
，
设，
则，
在中，，
则，
，
在中，，
，
，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用已知可求出的长，再证明△ABC是等腰直角三角形，据此可求出BC的长.
（2）延长交的延长线于点，易证四边形ABFE是矩形，利用矩形的性质可求出EF的长，设，用含的代数式表示出、，再利用解直角三角形可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
（1）解：由题意可知：，
在中，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离问；
（2）解：如图，延长交的延长线于点，
则四边形为矩形，
，
设，
则，
在中，，
则，
，
在中，，
，
，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为．
20．【答案】解：（1）；；
（2）结论仍然成立，理由如下：如图，
绕点B按逆时针方向旋转，
，
，
，
；
（3）或
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质；余弦的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）如图：
，
，
，
如图2：
绕点B按逆时针方向旋转，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）当点E在的上方时，如图：
，点E是边的中点，，
，
，
，
D、E、F三点共线，
，
，
，
由（2）可得：，
，
；
当点E在AB的下方时，如图：
同理可求：，
故答案为：或．
【分析】（1）首先根据余弦的定义可得出再根据EF∥AD，即可得出；
（2）进一步证明△ABE与△DBF相似（△ABE∽△DBF），从而得到相同的比例关系：，由此可得出结论
（3）需分两种情况讨论，先求出DE和DF的长度，再利用（2）中的结论即可完成求解。
1 / 1广东省深圳市南山区第二外国语学校2025年（集团）学府中学一模数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025·南山模拟）如图是一块雕刻印章的材料，它的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面观察题图，可以得到一个正方形和一个圆，且正方形的中心与圆心重合，正方形的边长大于圆的直径．
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
2．（2025·南山模拟）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程mx +2x+1=0有两个实数根，所以m≠0，△=2 +4m≥0，解得m≥-1且m≠0，故选D.
3．（2025·南山模拟）某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口A离开的情况有1种，则P=．
故答案为：C．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
4．（2025·南山模拟）如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得，
∴，
∴，即，
解得，
即河宽为，
故答案为：D．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出AD的长即可.
5．（2025·南山模拟）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得：，
在中，，，
，
这枚火箭此时的高度为，
故选：D．
【分析】由题意得：，进而解直角三角形即可得出，即这枚火箭此时的高度为，
6．（2025·南山模拟）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：，即，
故答案为：B．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
7．（2025·南山模拟）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意；
D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由题意设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断即可求出答案.
8．（2025·南山模拟）2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，分别是上的点，相交于点是的中点，若，，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】∵，，
∴正方形ABCD的边长为3．
在中，由勾股定理，得．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵N是DF的中点，即MN为的斜边DF上的中线，
∴．
故答案为：B．
【分析】首先可得出正方形的边长为AB=3，进而根据勾股定理可得出．再根据直角三角形斜边上的中线即可得出．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025·南山模拟）已知a是方程的一个根，则代数式的值为　 　．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程的一个根，
∴，即，
∴；
故答案为3．
【分析】首先根据方程的根的意义得出，再根据完全平方公式可得：，进而整体代入求值即可。
10．（2025·南山模拟）已知反比例函数的图象经过点和，则　 　．
【答案】24
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数图象上点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：反比例函数的图象经过点和，
，
，，
．
故答案为：24．
【分析】首先根据反比例函数的图象经过点和，可得出，进而代入求值即可得出．
11．（2025·南山模拟）二次函数，当时，的最大值和最小值的和是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是x＝1，
则当x＝1时，y＝1 2 3＝ 4，是最小值；
当x＝3时，y＝9 6 3＝0是最大值．
的最大值和最小值的和是-4
故答案为：-4．
【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质并结合求出对应的函数值y的取值范围，从而得解.
12．（2025·南山模拟）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走　 　米（结果保留根号）．
【答案】
【知识点】比例的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设至少向前走米，
依题意得，，
解得，．
即主持人站在最佳位置处时至少要走米，
故答案为：．
【分析】
设至少向前走米，由黄金比列出方程，再根据比例的性质计算即可解答．
13．（2025·南山模拟）如图，是的边上的一点，，，．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025·南山模拟）（1）解方程：
（2）计算：
【答案】解：（1），
∴，
∴，
则，
．
（2）解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；配方法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）采用了配方法求解一元二次方程：通过配方法将方程转化为完全平方形式，然后开平方求解；（2）解题时需要按照运算顺序逐步计算。特殊角的三角函数值计算；零指数幂的性质（任何非零数的0次幂等于1）；绝对值的性质；二次根式的化简与计算。
15．（2025·南山模拟）美育，又称美感教育，可以培养和提高人感受美、鉴赏美、表现美和创造美的能力，深入地影响人的情感、想象、思想、意志和性格，对于塑造美好心灵具有重要作用．实验中学为践行美育培养，组织学生开展中国名画鉴赏活动．通过投票，学校最终确定鉴赏下面四幅画：A．《清明上河图》，B．《千里江山图》，C．《百骏图》，D．《富春山居图》．活动开始时，老师将这四幅画的名称分别写在四张相同的卡片上，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上．
（1）小北从中随机抽取一张，他抽到的卡片是B．《千里江山图》的概率为　 　；
（2）小乐从这四张卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的名称后放回洗匀．小凯再从中随机抽取一张卡片，记录下卡片，上的名称请用画树状图或列表的方法，求小乐和小凯鉴赏同一幅画的概率．
【答案】（1）
（2）解：（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小乐和小凯鉴赏同一幅画的结果有4种，
小乐和小凯鉴赏同一幅画的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中他抽到的卡片是．《千里江山图》的结果有1种，
他抽到的卡片是．《千里江山图》的概率为．
故答案为：；
【分析】（1）根据概率计算公式即可得出答案；
（2）画树状图可得出共有16种等可能的结果，其中小乐和小凯鉴赏同一幅画的结果有4种，进而利用概率公式可得出答案．
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中他抽到的卡片是．《千里江山图》的结果有1种，
他抽到的卡片是．《千里江山图》的概率为．
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小乐和小凯鉴赏同一幅画的结果有4种，
小乐和小凯鉴赏同一幅画的概率为．
16．（2025·南山模拟）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点．
（1）则　 　，　 　；
（2）该二次函数图象的顶点坐标为　 　；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；
（4）根据图象，当时，y的取值范围是　 　．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：二次函数图象如图所示，
（4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）解：将点和代入得，
，
解得．
故答案为：，；
（2）：由（1）知，抛物线的解析式为，
所以抛物线的顶点坐标为．
故答案为：；
（4）由函数图象可知，
因为，
当时，；当时，，
所以的取值范围是：．
故答案为：。
【分析】（1）将给定的两个点坐标和代入函数表达式进行计算求解；
（2）根据第（1）问求得的参数和的值，确定完整的函数表达式，进而解决相关问题；
（3）根据题目要求，绘制出对应的二次函数图象；
（4）运用数形结合的思想方法来分析和解决问题。
（1）解：将点和代入得，
，
解得．
故答案为：，；
（2）解：由（1）知，
抛物线的解析式为，
所以抛物线的顶点坐标为．
故答案为：；
（3）解：二次函数图象如图所示，
（4）解：由函数图象可知，
因为，
当时，；当时，，
所以的取值范围是：．
故答案为：．
17．（2025·南山模拟）某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元. 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件.为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品.
（1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？
（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：该批发商场决定降价x元销售该款商品，依题意得，
，
即
解得：，
答：当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元
（2）解：，
即
∵，原方程无解，
∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到50000元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）该批发商场决定降价x元销售该款商品，则每件的利润为(10-x)元，每天的销售量为(3000+1000x)，然后根据每件的利润×每天的销售量=总利润列出关于x的方程，求解即可；
（2）同理建立关于x的方程，求出判别式的值，判断出方程根的情况，据此解答.
18．（2025·南山模拟）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求线段的长．
【答案】（1）证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
又
∴四边形是平行四边形
又∵，
∴四边形是菱形.
（2）解：过P点作于M点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合AB=AF，即可证出四边形是菱形；
（2）过P点作于M点，先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质求出，，再利用线段的和差求出MD的长，最后利用勾股定理求出PD的长即可.
（1）证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
又
∴四边形是平行四边形
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：过P点作于M点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（2025·南山模拟）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为．
说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：）
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔的高度．
【答案】（1）解：由题意可知：，
在中，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离问
（2）解：如图，延长交的延长线于点，
则四边形为矩形，
，
设，
则，
在中，，
则，
，
在中，，
，
，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用已知可求出的长，再证明△ABC是等腰直角三角形，据此可求出BC的长.
（2）延长交的延长线于点，易证四边形ABFE是矩形，利用矩形的性质可求出EF的长，设，用含的代数式表示出、，再利用解直角三角形可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
（1）解：由题意可知：，
在中，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离问；
（2）解：如图，延长交的延长线于点，
则四边形为矩形，
，
设，
则，
在中，，
则，
，
在中，，
，
，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为．
20．（2025·南山模拟）【问题背景】：如图1，在矩形中，，点E是边的中点，过点E作交于点F．
【实验探究】：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现 ；将图1中的绕点B按逆时针方向旋转，连接，，如图2所示，发现 ；
（2）小亮同学继续将绕点B按逆时针方向旋转，连接，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【拓展延伸】：（3）在以上探究中，当旋转至D、E、F三点共线时，的长为 ．
【答案】解：（1）；；
（2）结论仍然成立，理由如下：如图，
绕点B按逆时针方向旋转，
，
，
，
；
（3）或
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质；余弦的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）如图：
，
，
，
如图2：
绕点B按逆时针方向旋转，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）当点E在的上方时，如图：
，点E是边的中点，，
，
，
，
D、E、F三点共线，
，
，
，
由（2）可得：，
，
；
当点E在AB的下方时，如图：
同理可求：，
故答案为：或．
【分析】（1）首先根据余弦的定义可得出再根据EF∥AD，即可得出；
（2）进一步证明△ABE与△DBF相似（△ABE∽△DBF），从而得到相同的比例关系：，由此可得出结论
（3）需分两种情况讨论，先求出DE和DF的长度，再利用（2）中的结论即可完成求解。
1 / 1

展开更多......

收起↑