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贵州省安顺市2025年中考三模数学试题
一、选择题；以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．（2025·安顺模拟）的相反数是（　　）
A． B．2025 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B。
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数，称为相反数。据此即可求解。
2．（2025·安顺模拟）榫卯被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．如图，这是其中一种卯，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，卯的主视图是：
故选：D．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．（2025·安顺模拟）近几年来，安顺塑造“21℃的城市·360度的人生”城市IP，不断推进旅游产业高质量发展.2024年，安顺接待游客近5900万人次，旅游总收入达609.17亿元．将数据“5900”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选B．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数.
4．（2025·安顺模拟）如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由图得点位于第二象限，则选项C坐标符合题意，
故选：C．
【分析】由题意可得小手在第二象限，结合选项，即可求解．
5．（2025·安顺模拟）下列能用平方差公式因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、是与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；
B、共有三项，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；
C、两项的符号不相反，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；
D、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确；
故选：D．
【分析】根据平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025·安顺模拟）如图，点为正方形的中心，将正方形绕点顺时针旋转，要使其旋转后能与自身重合，至少需要旋转（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；旋转对称图形
【解析】【解答】解：要使正方形旋转后，与其自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数是，
故选：．
【分析】本题考查了旋转对称图形，根据正方形中心角的求法解答即可，解题的关键是理解“至少应将它绕中心顺时针旋转的度数”为其中心角的度数．
7．（2025·安顺模拟）小王和同学们做“抛掷硬币试验”，下面是他们的试验数据：
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上次数 51 99 154 200 248
若抛掷硬币的次数为1000次，则“正面朝上”的频数最接近（　　）
A．300 B．400 C．500 D．600
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表中数据可知，正面朝上的频率接近于，
∴若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近．
故选：C．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
8．（2025·安顺模拟）如图，在中，，，，则的长为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
，
，
∴是等边三角形，
，
，，
，
故选：B．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，代值计算即可求出答案.
9．（2025·安顺模拟）《九章算术》一书中记载一道题，其大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，个人，甲列出方程组乙列出方程，则下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有辆车，个人，
若3人坐一辆车，则两辆车是空的，
∴，
若2人坐一辆车，则9人需要步行，
∴，即，
∴，
根据意可列出方程组为，
即甲、乙所列的方程都正确，
故选：A．
【分析】设有辆车，个人，根据根据“若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行”，建立方程组，解方程组即可求出答案.
10．（2025·安顺模拟）2017年6月，安顺市获得了“国家卫生城市”这一称号．如图1，这是一块“创建国家卫生城市”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示．若，AB的长为45cm，AD的长为15cm，则扇面（阴影）的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：，，
，，
．
故选：C．
【分析】根据，结合扇形面积即可求出答案.
11．（2025·安顺模拟）“低空经济”作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院经调查、研究得出的关于低空经济市场规模的统计图．根据统计图中的信息，下列推断错误的是（　　）
A．2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升
B．2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元
C．从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小
D．2023年中国低空经济市场规模增量最多
【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：A、由统计图可得，2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升，原说法正确，不符合题意；
B、亿元，故2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元，原说法正确，不符合题意；
C、由统计图可得从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小，原说法正确，符合题意；
D、2023年中国低空经济市场规模增量为亿元，2024年中国低空经济市场规模增量为亿元，而，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
【分析】根据图象信息逐项进行判断即可求出答案.
12．（2025·安顺模拟）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，安安和顺顺作出如下判断：
安安：．
顺顺：若m是实数，则．
对于这两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．安安对 B．顺顺对 C．两人都对 D．两人都错
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线经过，
∴，
∴，
∴，故安安正确；
∵开口向上，
∴时，函数取得最小值为，
∴，
∴，
∴，故顺顺错误，
故选：A．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．（2025·安顺模拟）在1，，，0这四个数中，最小的数是　 　．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小，
故答案为：．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
14．（2025·安顺模拟）在 ABCD中，AB＝4，BC＝6．以点B为圆心，小于AB长为半径作弧，交AB边于点E，交BC边于点F；再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧交于点M，再作射线BM交AD于点N，则DN＝　 　．
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得BN平分∠ABC，
∴∠ABN＝∠CBN，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝6，AD∥BC，
∴∠ANB＝∠CBN，
∴∠ABN＝∠ANB，
∴AN＝AB＝4，
∴DN＝AD AN＝6 4＝2．
故答案为：2．
【分析】由作法得BN平分∠ABC，则∠ABN＝∠CBN，根据平行四边形性质可得AD＝BC＝6，AD∥BC，则∠ANB＝∠CBN，根据等角对等边可得AN＝AB＝4，再根据边之间的关系即可求出答案
15．（2025·安顺模拟）如果是方程的一个根，那么代数式的值为　 　．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴.
故答案为：5．
【分析】根据一元二次方程的解的定义“一元二次方程的解是指使得方程两边相等的未知数的值”，可先把代入方程，得到，将所求代数式变形得原式=2（m2-2m）-7，然后整体代入计算即可求解．
16．（2025·安顺模拟）如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点E作，与边交于点F，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：的长为，则，的长为，
，，，
，
，，
，
，
，即，
，
当时，，
当时，，此时为最小，
．
故答案为：．
【分析】的长为，则，的长为，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值化简可得，结合二次函数性质即可求出答案.
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·安顺模拟）（1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】解：（1）
；
（2）解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为：．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据绝对值性质，二次根式性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可求出答案.
18．（2025·安顺模拟）航空航天事业是国家综合实力的重要体现．安顺谋划建设贵州航空产业城，是立足安顺优势和积极融入国家战略的重大举措．某校为了考察该校初中生对航空基础知识的了解程度，组织了一次航空知识测试，分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据．
【收集整理】
七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，100．
八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100．
九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100．
【描述分析】
（1）七、八、九年级学生得分数据的平均数、中位数、众数如下表：
　 平均数 中位数 众数
七年级 77 70 a
八年级 86 b 90
九年级 c 85 80
直接写出：__________，__________，__________．
【解决问题】
（2）依据数据分析结果，任选一个角度，对三个年级学生的航空基础知识的掌握程度作出评价与建议．
（3）若要从测试获得满分的学生中推选2名学生参加下一级别的比赛，求这2名学生刚好都是九年级的概率．
【答案】解：（1）70；87.5； 85
（2）从平均数看，，
八年级学生对航空基础知识的了解程度最高，九年级次之，七年级较差．
建议：加强七年级学生对航天基础知识的科普，比如开展航天基础知识竞赛活动．（答案不唯一，合理即可）
（3）由题意知，七年级满分1人，八年级满分1人，九年级满分2人，
假设这4名学生分别为甲、乙、丙、丁，其中丙和丁为九年级学生．
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到丙、丁2名学生的结果有2种，
这2名学生刚好都是九年级的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）∵七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，100，
可发现70出现的次数最多，
∴众数为70，即；
∵八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100，
∴中位数为，即；
∵九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100，
∴平均数为，即；
【分析】（1）根据众数，中位数，平均数的定义即可求出答案.
（2）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出这2名学生刚好都是九年级的结果，再根据概率公式即可求出答案.
19．（2025·安顺模拟）如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象；
（3）将等腰向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离．
【答案】（1）解：由题意，将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由反比例函数的解析式为，
得反比例函数过点，，，
描点画图如图：
（3）解：由图可得，
设点向下平移个单位长度得，
则，
由在上，
则，
解得：，
即向下平移单位长度．
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；描点法画函数图象；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据描点法作出函数图象即可.
（3）根据点的平移可得，再将点A'坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（1）解：由题意，将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由反比例函数的解析式为，
得反比例函数过点，，，
描点画图如图：
（3）解：由图可得，
设点向下平移个单位长度得，
则，
由在上，
则，
解得：，
即向下平移单位长度．
20．（2025·安顺模拟）如图，在四边形中，，，对角线交于点O．有下列条件：①，②．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是菱形．
（2）在（1）的条件下，若菱形的面积为24，，求菱形的边长．
【答案】（1）证明：若选择①．
，，
四边形ABCD是平行四边形．
，
四边形ABCD是菱形．
若选择②．
，，
四边形ABCD是平行四边形．
，
四边形ABCD是菱形．
（2）解：四边形ABCD是菱形，，
，，，
，．
菱形ABCD的面积为24，
，
，
．
在中，，
菱形ABCD的边长为5．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理及菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，，根据菱形面积可得AC，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：若选择①．
，，
四边形ABCD是平行四边形．
，
四边形ABCD是菱形．
若选择②．
，，
四边形ABCD是平行四边形．
，
四边形ABCD是菱形．
（2）解：四边形ABCD是菱形，，
，，，
，．
菱形ABCD的面积为24，
，
，
．
在中，，
菱形ABCD的边长为5．
21．（2025·安顺模拟）放映《哪吒之魔童闹海》的贵阳越界影城，因拥有亚洲第一巨幕火爆全网．影城附近某玩偶店老板准备购进一些哪吒玩偶，他了解到A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同．
（1）A，B两款哪吒玩偶的进货单价分别是多少元？
（2）老板计划购进100个哪吒玩偶，总费用不超过1200元，至少应购进A款哪吒玩偶多少个？
【答案】（1）解：设A款哪吒玩偶的进货单价是x元，则B款哪吒玩偶的进货单价是元．
根据题意，可得，
解得．
经检验，是该方程的解，且符合题意，
．
答：A款哪吒玩偶的进货单价是10元，B款哪吒玩偶的进货单价是15元．
（2）解：设购进A款哪吒玩偶a个，则B款哪吒玩偶购进了个．
根据题意，可得，
解得．
答：至少应购进A款哪吒玩偶60个．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款哪吒玩偶的进货单价是x元，则B款哪吒玩偶的进货单价是元，根据花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进A款哪吒玩偶a个，则B款哪吒玩偶购进了个，根据总费用不超过1200元建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设A款哪吒玩偶的进货单价是x元，则B款哪吒玩偶的进货单价是元．
根据题意，可得，
解得．
经检验，是该方程的解，且符合题意，
．
答：A款哪吒玩偶的进货单价是10元，B款哪吒玩偶的进货单价是15元．
（2）解：设购进A款哪吒玩偶a个，则B款哪吒玩偶购进了个．
根据题意，可得，
解得．
答：至少应购进A款哪吒玩偶60个．
22．（2025·安顺模拟）花江峡谷大桥合龙贯通﹐成为世界第一高桥．某数学兴趣小组利用无人机测量花江峡谷大桥桥面距水面的高度，制定了如下测量方案：当无人机位于水面上方691米的点N处时，测得桥面正中心A的俯角，将无人机水平向左移动154米到达点M处，测得桥面正中心A的俯角为，并抽象出如图所示的数学图形．请利用以上信息，求花江峡谷大桥桥面距水面的高度．（参考数据：，，）
【答案】解：如图，延长交于点C，则．
设米，则米．
在中，，
米．
在中，，
米，
，
解得，
米，
米．
答：花江峡谷大桥桥面距水面的高度约为625米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长交于点C，则，设米，则米，解直角三角形可得AC，再根据题意建立方程，解方程可得x，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．（2025·安顺模拟）如图，是的直径，A，D是上的两点，过点A作的切线，交的延长线于点C．
（1）在不添加辅助线的情况下，写出图中一个与相等的角：__________．
（2）求证：．
（3）若，，求线段的长．
【答案】（1）
（2）证明：如图，连接．
，
．
是的直径，
．
是的切线，
，即，
，
．
（3）解：在中，由勾股定理得．
，，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴；
故答案为：
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等即可求出答案.
（2）连接，根据等边对等角可得，根据圆周角定理的推论可得，再根据切线性质可得，即，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AB，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：∵，
∴；
（2）证明：如图，连接．
，
．
是的直径，
．
是的切线，
，即，
，
．
（3）解：在中，由勾股定理得．
，，
，
，
，
．
24．（2025·安顺模拟）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
【答案】解：（1）抛物线经过原点，
．
解得：．
抛物线的解析式为：．
顶点的坐标为；
（2）取，，
解得：，，
点的坐标为，
心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点，
设的解析式为：．
经过点，
．
解得：．
的解析式为：．
，
解得：
点的坐标为．
．
．
（3）作抛物线的对称轴于点，则，
直线与水平线的夹角为，
．
设点的横坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
．
顶点的坐标为，
点的纵坐标为．
点在抛物线上，
．
解得：．
点的坐标为．
．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1） 根据二次函数图象 过原点，可得出关于a的等式，求得值，即可得出抛物线的解析式 ，进一步把解析式的一般式化成顶点式即可确定顶点坐标；
（2）首先根据抛物线的解析式求出点C的坐标，进而得出直线的解析式．，再根据点G在对称轴上，即可联立方程组，求出点G的坐标，再根据两点间的距离公式，可求得CG，进而得出CC'.
（3）作抛物线的对称轴于点，则，设点的横坐标为，得出，根据点在抛物线上，列出方程，得出点的坐标为，最后求出即可．
25．（2025·安顺模拟）综合与实践
【回归教材】
八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下：
如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的点D处，折线交于点E，则．
（理由：______），
．
这说明在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角越大．从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题时常用的方法．
【类比探究】
类似地，应用上述方法探究：
（1）如图2，在中，，判断：______（填“>”“=”或“<”），请证明你的判断．
【拓展运用】
（2）如图3，在中，D为上的一点，且，比较和的大小关系，并说明理由．
【答案】回归教材：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
（1）．
证明：如图，在内作，交AB于点D，
，
．
，
．
（2）．
理由：，，
，
．
设与相似比为k，
，，，
．
，
，，
，，
，，即，
，
，
即．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：【回归教材】
理由：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
【分析】【回归教材】：根据三角形外角性质即可求出答案.
（1）在内作，交AB于点D，根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得，，设与相似比为k，则，，，根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1贵州省安顺市2025年中考三模数学试题
一、选择题；以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．（2025·安顺模拟）的相反数是（　　）
A． B．2025 C． D．
2．（2025·安顺模拟）榫卯被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．如图，这是其中一种卯，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·安顺模拟）近几年来，安顺塑造“21℃的城市·360度的人生”城市IP，不断推进旅游产业高质量发展.2024年，安顺接待游客近5900万人次，旅游总收入达609.17亿元．将数据“5900”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·安顺模拟）如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·安顺模拟）下列能用平方差公式因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·安顺模拟）如图，点为正方形的中心，将正方形绕点顺时针旋转，要使其旋转后能与自身重合，至少需要旋转（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·安顺模拟）小王和同学们做“抛掷硬币试验”，下面是他们的试验数据：
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上次数 51 99 154 200 248
若抛掷硬币的次数为1000次，则“正面朝上”的频数最接近（　　）
A．300 B．400 C．500 D．600
8．（2025·安顺模拟）如图，在中，，，，则的长为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
9．（2025·安顺模拟）《九章算术》一书中记载一道题，其大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，个人，甲列出方程组乙列出方程，则下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
10．（2025·安顺模拟）2017年6月，安顺市获得了“国家卫生城市”这一称号．如图1，这是一块“创建国家卫生城市”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示．若，AB的长为45cm，AD的长为15cm，则扇面（阴影）的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·安顺模拟）“低空经济”作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院经调查、研究得出的关于低空经济市场规模的统计图．根据统计图中的信息，下列推断错误的是（　　）
A．2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升
B．2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元
C．从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小
D．2023年中国低空经济市场规模增量最多
12．（2025·安顺模拟）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，安安和顺顺作出如下判断：
安安：．
顺顺：若m是实数，则．
对于这两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．安安对 B．顺顺对 C．两人都对 D．两人都错
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．（2025·安顺模拟）在1，，，0这四个数中，最小的数是　 　．
14．（2025·安顺模拟）在 ABCD中，AB＝4，BC＝6．以点B为圆心，小于AB长为半径作弧，交AB边于点E，交BC边于点F；再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧交于点M，再作射线BM交AD于点N，则DN＝　 　．
15．（2025·安顺模拟）如果是方程的一个根，那么代数式的值为　 　．
16．（2025·安顺模拟）如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点E作，与边交于点F，连接，则的最小值为　 　．
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·安顺模拟）（1）计算：．
（2）解不等式组：
18．（2025·安顺模拟）航空航天事业是国家综合实力的重要体现．安顺谋划建设贵州航空产业城，是立足安顺优势和积极融入国家战略的重大举措．某校为了考察该校初中生对航空基础知识的了解程度，组织了一次航空知识测试，分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据．
【收集整理】
七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，100．
八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100．
九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100．
【描述分析】
（1）七、八、九年级学生得分数据的平均数、中位数、众数如下表：
　 平均数 中位数 众数
七年级 77 70 a
八年级 86 b 90
九年级 c 85 80
直接写出：__________，__________，__________．
【解决问题】
（2）依据数据分析结果，任选一个角度，对三个年级学生的航空基础知识的掌握程度作出评价与建议．
（3）若要从测试获得满分的学生中推选2名学生参加下一级别的比赛，求这2名学生刚好都是九年级的概率．
19．（2025·安顺模拟）如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象；
（3）将等腰向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离．
20．（2025·安顺模拟）如图，在四边形中，，，对角线交于点O．有下列条件：①，②．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是菱形．
（2）在（1）的条件下，若菱形的面积为24，，求菱形的边长．
21．（2025·安顺模拟）放映《哪吒之魔童闹海》的贵阳越界影城，因拥有亚洲第一巨幕火爆全网．影城附近某玩偶店老板准备购进一些哪吒玩偶，他了解到A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同．
（1）A，B两款哪吒玩偶的进货单价分别是多少元？
（2）老板计划购进100个哪吒玩偶，总费用不超过1200元，至少应购进A款哪吒玩偶多少个？
22．（2025·安顺模拟）花江峡谷大桥合龙贯通﹐成为世界第一高桥．某数学兴趣小组利用无人机测量花江峡谷大桥桥面距水面的高度，制定了如下测量方案：当无人机位于水面上方691米的点N处时，测得桥面正中心A的俯角，将无人机水平向左移动154米到达点M处，测得桥面正中心A的俯角为，并抽象出如图所示的数学图形．请利用以上信息，求花江峡谷大桥桥面距水面的高度．（参考数据：，，）
23．（2025·安顺模拟）如图，是的直径，A，D是上的两点，过点A作的切线，交的延长线于点C．
（1）在不添加辅助线的情况下，写出图中一个与相等的角：__________．
（2）求证：．
（3）若，，求线段的长．
24．（2025·安顺模拟）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
25．（2025·安顺模拟）综合与实践
【回归教材】
八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下：
如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的点D处，折线交于点E，则．
（理由：______），
．
这说明在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角越大．从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题时常用的方法．
【类比探究】
类似地，应用上述方法探究：
（1）如图2，在中，，判断：______（填“>”“=”或“<”），请证明你的判断．
【拓展运用】
（2）如图3，在中，D为上的一点，且，比较和的大小关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B。
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数，称为相反数。据此即可求解。
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，卯的主视图是：
故选：D．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选B．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数.
4．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由图得点位于第二象限，则选项C坐标符合题意，
故选：C．
【分析】由题意可得小手在第二象限，结合选项，即可求解．
5．【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、是与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；
B、共有三项，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；
C、两项的符号不相反，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；
D、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确；
故选：D．
【分析】根据平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；旋转对称图形
【解析】【解答】解：要使正方形旋转后，与其自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数是，
故选：．
【分析】本题考查了旋转对称图形，根据正方形中心角的求法解答即可，解题的关键是理解“至少应将它绕中心顺时针旋转的度数”为其中心角的度数．
7．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表中数据可知，正面朝上的频率接近于，
∴若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近．
故选：C．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
，
，
∴是等边三角形，
，
，，
，
故选：B．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，代值计算即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有辆车，个人，
若3人坐一辆车，则两辆车是空的，
∴，
若2人坐一辆车，则9人需要步行，
∴，即，
∴，
根据意可列出方程组为，
即甲、乙所列的方程都正确，
故选：A．
【分析】设有辆车，个人，根据根据“若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行”，建立方程组，解方程组即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：，，
，，
．
故选：C．
【分析】根据，结合扇形面积即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：A、由统计图可得，2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升，原说法正确，不符合题意；
B、亿元，故2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元，原说法正确，不符合题意；
C、由统计图可得从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小，原说法正确，符合题意；
D、2023年中国低空经济市场规模增量为亿元，2024年中国低空经济市场规模增量为亿元，而，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
【分析】根据图象信息逐项进行判断即可求出答案.
12．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线经过，
∴，
∴，
∴，故安安正确；
∵开口向上，
∴时，函数取得最小值为，
∴，
∴，
∴，故顺顺错误，
故选：A．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小，
故答案为：．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
14．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得BN平分∠ABC，
∴∠ABN＝∠CBN，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝6，AD∥BC，
∴∠ANB＝∠CBN，
∴∠ABN＝∠ANB，
∴AN＝AB＝4，
∴DN＝AD AN＝6 4＝2．
故答案为：2．
【分析】由作法得BN平分∠ABC，则∠ABN＝∠CBN，根据平行四边形性质可得AD＝BC＝6，AD∥BC，则∠ANB＝∠CBN，根据等角对等边可得AN＝AB＝4，再根据边之间的关系即可求出答案
15．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴.
故答案为：5．
【分析】根据一元二次方程的解的定义“一元二次方程的解是指使得方程两边相等的未知数的值”，可先把代入方程，得到，将所求代数式变形得原式=2（m2-2m）-7，然后整体代入计算即可求解．
16．【答案】
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：的长为，则，的长为，
，，，
，
，，
，
，
，即，
，
当时，，
当时，，此时为最小，
．
故答案为：．
【分析】的长为，则，的长为，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值化简可得，结合二次函数性质即可求出答案.
17．【答案】解：（1）
；
（2）解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为：．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据绝对值性质，二次根式性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可求出答案.
18．【答案】解：（1）70；87.5； 85
（2）从平均数看，，
八年级学生对航空基础知识的了解程度最高，九年级次之，七年级较差．
建议：加强七年级学生对航天基础知识的科普，比如开展航天基础知识竞赛活动．（答案不唯一，合理即可）
（3）由题意知，七年级满分1人，八年级满分1人，九年级满分2人，
假设这4名学生分别为甲、乙、丙、丁，其中丙和丁为九年级学生．
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到丙、丁2名学生的结果有2种，
这2名学生刚好都是九年级的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）∵七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，100，
可发现70出现的次数最多，
∴众数为70，即；
∵八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100，
∴中位数为，即；
∵九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100，
∴平均数为，即；
【分析】（1）根据众数，中位数，平均数的定义即可求出答案.
（2）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出这2名学生刚好都是九年级的结果，再根据概率公式即可求出答案.
19．【答案】（1）解：由题意，将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由反比例函数的解析式为，
得反比例函数过点，，，
描点画图如图：
（3）解：由图可得，
设点向下平移个单位长度得，
则，
由在上，
则，
解得：，
即向下平移单位长度．
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；描点法画函数图象；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据描点法作出函数图象即可.
（3）根据点的平移可得，再将点A'坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（1）解：由题意，将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由反比例函数的解析式为，
得反比例函数过点，，，
描点画图如图：
（3）解：由图可得，
设点向下平移个单位长度得，
则，
由在上，
则，
解得：，
即向下平移单位长度．
20．【答案】（1）证明：若选择①．
，，
四边形ABCD是平行四边形．
，
四边形ABCD是菱形．
若选择②．
，，
四边形ABCD是平行四边形．
，
四边形ABCD是菱形．
（2）解：四边形ABCD是菱形，，
，，，
，．
菱形ABCD的面积为24，
，
，
．
在中，，
菱形ABCD的边长为5．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理及菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，，根据菱形面积可得AC，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：若选择①．
，，
四边形ABCD是平行四边形．
，
四边形ABCD是菱形．
若选择②．
，，
四边形ABCD是平行四边形．
，
四边形ABCD是菱形．
（2）解：四边形ABCD是菱形，，
，，，
，．
菱形ABCD的面积为24，
，
，
．
在中，，
菱形ABCD的边长为5．
21．【答案】（1）解：设A款哪吒玩偶的进货单价是x元，则B款哪吒玩偶的进货单价是元．
根据题意，可得，
解得．
经检验，是该方程的解，且符合题意，
．
答：A款哪吒玩偶的进货单价是10元，B款哪吒玩偶的进货单价是15元．
（2）解：设购进A款哪吒玩偶a个，则B款哪吒玩偶购进了个．
根据题意，可得，
解得．
答：至少应购进A款哪吒玩偶60个．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款哪吒玩偶的进货单价是x元，则B款哪吒玩偶的进货单价是元，根据花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进A款哪吒玩偶a个，则B款哪吒玩偶购进了个，根据总费用不超过1200元建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设A款哪吒玩偶的进货单价是x元，则B款哪吒玩偶的进货单价是元．
根据题意，可得，
解得．
经检验，是该方程的解，且符合题意，
．
答：A款哪吒玩偶的进货单价是10元，B款哪吒玩偶的进货单价是15元．
（2）解：设购进A款哪吒玩偶a个，则B款哪吒玩偶购进了个．
根据题意，可得，
解得．
答：至少应购进A款哪吒玩偶60个．
22．【答案】解：如图，延长交于点C，则．
设米，则米．
在中，，
米．
在中，，
米，
，
解得，
米，
米．
答：花江峡谷大桥桥面距水面的高度约为625米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长交于点C，则，设米，则米，解直角三角形可得AC，再根据题意建立方程，解方程可得x，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）
（2）证明：如图，连接．
，
．
是的直径，
．
是的切线，
，即，
，
．
（3）解：在中，由勾股定理得．
，，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴；
故答案为：
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等即可求出答案.
（2）连接，根据等边对等角可得，根据圆周角定理的推论可得，再根据切线性质可得，即，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AB，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：∵，
∴；
（2）证明：如图，连接．
，
．
是的直径，
．
是的切线，
，即，
，
．
（3）解：在中，由勾股定理得．
，，
，
，
，
．
24．【答案】解：（1）抛物线经过原点，
．
解得：．
抛物线的解析式为：．
顶点的坐标为；
（2）取，，
解得：，，
点的坐标为，
心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点，
设的解析式为：．
经过点，
．
解得：．
的解析式为：．
，
解得：
点的坐标为．
．
．
（3）作抛物线的对称轴于点，则，
直线与水平线的夹角为，
．
设点的横坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
．
顶点的坐标为，
点的纵坐标为．
点在抛物线上，
．
解得：．
点的坐标为．
．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1） 根据二次函数图象 过原点，可得出关于a的等式，求得值，即可得出抛物线的解析式 ，进一步把解析式的一般式化成顶点式即可确定顶点坐标；
（2）首先根据抛物线的解析式求出点C的坐标，进而得出直线的解析式．，再根据点G在对称轴上，即可联立方程组，求出点G的坐标，再根据两点间的距离公式，可求得CG，进而得出CC'.
（3）作抛物线的对称轴于点，则，设点的横坐标为，得出，根据点在抛物线上，列出方程，得出点的坐标为，最后求出即可．
25．【答案】回归教材：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
（1）．
证明：如图，在内作，交AB于点D，
，
．
，
．
（2）．
理由：，，
，
．
设与相似比为k，
，，，
．
，
，，
，，
，，即，
，
，
即．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：【回归教材】
理由：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
【分析】【回归教材】：根据三角形外角性质即可求出答案.
（1）在内作，交AB于点D，根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得，，设与相似比为k，则，，，根据边之间的关系即可求出答案.
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